2019最新高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单性质(一)作业 北师大版必备1-1

2.1.2 椭圆的简单性质（一）[A.基础达标]1．已知椭圆x 216＋y 29＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋43y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－32＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B.5－1 C.2－12D.2－1解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝b c，即b 2＝ac ， 又b 2＝a 2－c 2，所以a 2－c 2＝ac ，即c 2＋ac －a 2＝0，所以e 2＋e －1＝0，又e ∈(0，1)，所以e ＝－1＋52.4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 24＝1C.x 24＋y 2＝1 D.x 23＋y 2＝1 解析：选A.因为a ＝|AO |＝2，b ＝2×32＝ 3. 故该椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a解析：选D.设F 2为椭圆的右焦点，|F 1P i |＋|F 2P i |＝2a (i ＝1，2，…，99)，P 1，P 2，…，P 99关于y 轴成对称分布，∑i ＝199（|F 1P i |＋|F 2P i |）＝2a ×99＝198a ，∑i ＝199| F 1P i |＝12∑i ＝199(|F 1P i |＋|F 2P i |)＝99a . 又因为|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，所以|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |＝99a ＋2a ＝101a .6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由题意知，2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝35，所以c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64. 故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝17．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 解析：将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m＝1， 则必有m >0. 因为m ＋1>m >0，所以1m ＋1<1m. 所以a 2＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2m m.答案：2m m8．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1，则实数m 的取值范围为________．解析：当焦点在x 轴上时，可得：⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜4，22≤4－m2＜1，解得m ∈(0，2]； 当焦点在y 轴上时，可得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＞4，22≤m －4m ＜1，解得m ∈[8，＋∞)， 故m ∈(0，2]∪[8，＋∞)．答案：(0，2]∪[8，＋∞)9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，因为m －m m ＋3＝m （m ＋2）m ＋3>0，所以m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1.所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.所以a ＝1，b ＝12，c ＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－32，0)，(32，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，12)．10．(1)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程． (2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，所以椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c 2＝4， 所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝b a，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B.能力提升]1．已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点，若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ→取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017B ．－5017C.5017D.10017解析：选B.若P 在x 轴上方，则P (t ，9（1－t 225）)，Q (t ，－9（1－t 225）)，所以FP →＝(t ＋4，9（1－t 225）)，FQ →＝(t ＋4，－9（1－t 225）)，FP →·FQ →＝3425t 2＋8t＋7，t ∈(－5，5)，其对称轴为t ＝－5017∈(－5，5)，故当t ＝－5017时，FP →·FQ →取最小值．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为2b ，则该椭圆的离心率为( )A.22B ．2－ 2 C.2－1D.3－ 2解析：选C.由题意知，A (a ，0)，直线BF 的方程为x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由题意得|ab ＋bc |b 2＋c 2＝2b ，即a ＋c a ＝2，1＋c a ＝2，c a ＝2－1，所以e ＝2－1.3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．解析：由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2＜2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 答案：点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率为________．解析：由|AO →||AF →|＝|AP →||AB →|＝23＝aa ＋c ，得a ＝2c .故e ＝c a ＝12.答案：125．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A (0，1)，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆上的一点，求|AP |的最大值． 解：(1)因为过点A (0，1)，所以b ＝1，又因为离心率为32，所以a ＝2，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，则满足x 204＋y 20＝1，得x 20＝4(1－y 20)，所以|AP |2＝x 20＋(y 0－1)2＝4(1－y 20)＋(y 0－1)2，整理得|AP |2＝－3y 20－2y 0＋5＝－3(y 0＋13)2＋163，所以当y 0＝－13时，|AP |max ＝433.6．(选做题)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝120°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝(m ＋n )2－mn ＝4a 2－mn ≥4a 2－(m ＋n2)2＝4a 2－a 2＝3a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以c 2a 2≥34，即e ≥32.又0<e <1，所以e 的取值范围是[32，1)． (2)证明：由(1)知mn ＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12mn sin 120°＝3b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．。