2012高考数学热点考点精析：11定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(新课标地区)
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
定积分知识点总结文字
定积分知识点总结文字一、定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要内容，它是对给定区间内函数值的“积分”，通俗地说就是曲线下的面积。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有界，将[a, b]区间分成n份，在第i个区间上任取一点ξi，作出任意形式的ξi对于x的函数值f(ξi)，再用第i个小区间长度Δx为宽、f(ξi)为高的长方形来逼近曲线f(x)围成的图形，然后将n个小矩形的面积加在一块，且去极限，即可得到[a, b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算方法定积分的计算方法主要有几种：几何法、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的分部积分法、定积分的换元积分法、定积分的定积分法、定积分的换限积分法等。
(一) 几何法：如计算函数y = x^2在区间[0, 1]上的定积分，可以通过几何法计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先画出y = x^2曲线和x轴，然后在区间[0, 1]上做垂直于x轴的线段，对于每一个x值，可以得到一个矩形，然后得到所有矩形的面积之和，即为y = x^2在区间[0, 1]上的定积分值。
(二) 牛顿-莱布尼茨公式：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]间的定积分为该函数的一个不定积分在区间[a, b]上的值。
即如果F(x)是f(x)的一个不定积分，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
(三) 分部积分法：设u = u(x)和v = v(x)是定义在闭区间[a, b]上具有连续导数的函数，令u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，那么∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
(四) 换元积分法：设φ(x)是[a, b]上的可导函数，且φ'(x)在[a, b]上连续，f(φ(x))φ'(x)定义在φ[a, b](a ≤ x ≤ b)上，则∫[a, b]f(φ(x))φ'(x)dx = ∫[φ(a), φ(b)]f(u)du。
高考数学复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
136定积分概念与微积分定理--知识点总结
《定积分的概念与微积分基本定理》知识点总结一.定积分的概念: ㈠定积分的背景:1.求曲边梯形的面积:区别“曲边梯形”与“直边梯形”:前者有一边是曲线段;后者所有的边都是直线段。
采用“分割,近似代替,求和,取极限”的步骤和办法,求出其面积。
2.求变速直线运动的路程:3.连续函数的概念:一般地,若函数)(x f y =在某个区间I 上的图象是一条连续 不断的曲线,则称它是区间I 上的连续函数。
㈡定积分的概念:若函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区 间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作 和式1()nn ii I f x ξ==∆∑()∑=-=ni if nab 1.ξ(其中x ∆为小区间长度), 当n →∞即0x ∆→时,和式n I 无限接近于某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区 间[,]a b 上的定积分,记作⎰bax d x f )(即=⎰bax d x f )(1lim ()ni n i f x ξ→∞=∆∑()∑=∞→-=ni i n f n ab 1.lim ξ这里,a 与b 分别叫做积 分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()f x dx 叫做被积式。
㈢定积分的几何意义:若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且恒有0)(≥x f 时,定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是:它表示由直线0,,===y b x a x 和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
㈣定积分的性质: ①⎰⎰=ba badx x f k dxx kf )()(（k 为常数）;②⎰⎰⎰±=±ba ba ba dx x g dxx f dx x g x f )()()()(;③⎰⎰⎰+=ba ca bc dx x f dxx f dxx f )()()((其中a c b <<)㈤难点及疑惑点:1.定积分与曲边梯形的面积的关系:定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来:设阴影部分面积为S .(1)S ＝ʃb a f (x )d x ; (2)S ＝－ʃba f (x )d x ；(3)S ＝ʃc a f (x )d x －ʃb c f (x )d x ; (4)S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .2.定积分ʃb a f (x )d x 的实质:(1)当f (x )在区间[a ，b ]上大于0时，ʃb a f (x )d x 表示由直线0,,===y b x a x和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
高考数学热点考点精析 11定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(新课标)
考点11定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题1.（2011·福建卷理科·Ｔ5）10(2)+⎰x e x dx 等于（ ）（A ）1 （B ）e-1 （C ）e （D ）e+1【思路点拨】寻求函数2+x e x 的原函数，从而求得积分值.【精讲精析】选C.被积函数22,x x e x e x ++的原函数为 11212000(2)()1)(0).x x e x dx e x e e ∴+=++-+=⎰｜＝(e2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ9）由曲线y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 A.103 B.4 C.163D.6 【思路点拨】画出图形，确定积分区间，然后用积分求面积.【精讲精析】选C . y 与2y x =-以及y 轴所围成的图形面积如下图所示的阴影部分，联立2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点坐标为(4,2)，故所求面积为 324200216(2)[(2)]|323x S x dx x x =-=--=⎰.3.（2011·湖南高考理科·T6）由直线x=0,3,3==-y x ππ与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．3 【思路点拨】本题主要考查不规则图形面积的求法：定积分法.【精讲精析】选D.所求图形的面积是33|cos xdx |ππ-⎰=33||sin x|ππ--=3. 二、填空题 4.（2011·陕西高考理科·T11）设20lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【思路点拨】分段函数问题通常需要分步进行计算或判断，从1x =算起是解答本题的突破口.【精讲精析】答案：1因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．。
(整理)高考数学考点11定积分的概念与微积分基本定理.
考点11 定积分的概念与微积分基本定理【高考再现】热点一定积分的基本计算1. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分121(sin)x x dx-+=⎰___________【方法总结】1.计算简单定积分的步骤：(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．2.求定积分的常用技巧：(1)求被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．热点二微积分基本定理的应用3.(2012年高考山东卷理科15)设a＞0.若曲线=y x与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。
【答案】9 4【解析】a a x dx x S a a====⎰232303232，解得49=a . 4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【考点剖析】二．命题方向定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。
一般以客观题形式出现.三．规律总结一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．【基础练习】1.（教材习题改编） ⎠⎛01(e x ＋2x)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 【答案】C【解析】 因为F (x )＝e x ＋x 2，且F ′(x )＝e x ＋2x ，则⎠⎛1(e x＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(e 0＋0)＝e ，故选C. 3. 【经典习题】 220(4)x x dx --=⎰_______________．【答案】C 【解析】：220(4)x dx -⎰等于圆224x y +=在第一象限的面积π，则222222201(4)(4)22x x dx x dx xdx x ππ⎡⎤--=--=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.4. 已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.【名校模拟】一．基础扎实1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．－12C ．14D ．18【答案】 C【解析】''2(1)(1)(1)(1)'(1)x x x x y x -+--+=+2(1)(1)(1)x x x +--=+22(1)x =+，所以2k =，所以切线方程为21y x =-，所以1111224S ∆=⨯⨯=，故选C 2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分)的面积为 A. B. C.D.3．(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为 A.121 B.41 C. 31D.127【答案】A【解析】解：由微积分基本定理，可知由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为12334100111(x x )dx x x |3412-=-=⎰ 4．(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)答案：A 解析：由题意得，2200(22)(2)|233tt x dx xx t t t -=-=-=⇒=⎰或1t =-（舍去），故选A 。
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考点11定积分的概念与微积分基本定理、定
积分的简单应用
一、选择题
1.（2011·福建卷理科·Ｔ5）1
0(2)+⎰x e x dx 等于（ ）
（A ）1 （B ）e-1 （C ）e （D ）e+1 【思路点拨】寻求函数2+x e x 的原函数，从而求得积分值. 【精讲精析】选C. 被积函数22,x x e x e x ++的原函数为
1
1
2
1
2
(2)()1)(0).x
x
e x dx e x e e ∴+=++-+=⎰｜＝(e
2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ9）由曲线y =
，直线2y x =-及
y
轴所围成的图形的面积为 A.
103
B.4
C.
163
D.6
【思路点拨】画出图形，确定积分区间，然后用积分求面积. 【精讲精析】选C .
y =2y x =-以及y 轴所围成的图形面积如
下图所示的阴影部分，
联立2
y y x ⎧=
⎪⎨
=-⎪⎩得交点坐标为(4,2)，故所求面积为
3
2
4
4
2
00
216(2)[(
2)]|3
2
3
x
S x dx x x =
-=--=
⎰
.
3.（2011·湖南高考理科·T6）由直线x=0
,3
,3
==
-y x π
π
与曲线y=cosx
所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．21
B ．1
C ．
2
3 D ．
3
【思路点拨】本题主要考查不规则图形面积的求法：定积分法. 【精讲精析】选D.所求图形的面积是33|cos xdx |π
π-⎰=33
||sin x|π
π--=
3
.
二、填空题
4.（2011·陕西高考理科·T11）设2
0lg 0()30
a x
x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩
⎰…，若((1))1
f f =
，
则a = ．
【思路点拨】分段函数问题通常需要分步进行计算或判断，从1x =算起是解答本题的突破口.
【精讲精析】答案：1因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为
23
()3a
f x x t dt x a
=+
=+⎰
，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．。