南京市高三数学二轮专题复习(第二层次)专题 圆锥曲线的综合问题
苏教版高中数学高三二轮专题17圆锥曲线综合问题测试(解析版).docx
第3讲圆锥曲线的综合问题一、填空题21.在平而直角坐标系X。
尹中，经过点(0,為且斜率为£的直线/与椭圆- + y2=l<两个不同的交点，贝必2的取值范围为 _______ •、2’ '2 '【解析】设直线1的方程为：y-Q = k(x-0), BPy = kx + 4与椭圆方程联立可得：x2 + 2(kx + Q2 = 2，即：(2k2 + l)x2 + 4^/5kx + 2 = 0»直线与椭圆有两个不同的交点，贝I」：A = (472k)2-8(2k2 + 1)>0, 求解关于实数k 的方程可得k的取值范围为(・8, ■迟)U (退,+ 00)2.___________________________________________________________________________ F],尸2是椭圆乞+ y2=i的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PFj - PF2的最大值是________________________ .【答案】13 【解析】设P(x, y),依题意得F](—的，0), F2(® 0), PFi - PF2=(-A/3-x)(A/3-x)+y2=x2+y2-3=-x2"•••0最4,-2亍-24诃曲的最大值是1.X V3.已知椭圆一+ J=1(O<〃V2)的左、右焦点分别为鬥，E，过尺的直线/交椭圆于/，B两点，若BF2+AF24 b2的最大值为5,则〃的值是 _________ .【答案】R【解析】试题分析:由题意:|BF2| + |AF2| + |AB| = 4a = 8, v |BF2| + |AF?啲最大值为5 ,|AB|的最小值为3 ,当且仅当AB丄x轴时，取得最小值，此时A(-C,|),B(-C-|) , RA椭圆方程可学得〒4-^=1, c2 = 4—b2 »养° + ^ = 1 » b = \ 3 ,故答案为\3.+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网…考点：1、椭圆的简单性质；2、椭圆的定义及儿何意义.2 24.若双曲线冷■冷=l(a>0, b>0)与直线y=&无交点，则离心率e的取值范围是 ________________ ・【答案】（]，2]【解析】因为双曲线的渐近线为y=^x，要使直线y=&与双曲线无交点，则直线y=^x应在两渐近线之a b间,所以有-曲,即b諒a,所以b2<3a\ c~a<ia,即c<Aa, e2<4,所以i<e<2.a2 25.已知双曲线冷■*=l（a>0, b〉0）的渐近线与圆X2-4.Y+/+2= 0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______ •【答案】（1,边）【解析】有双曲线方程可得其渐近线方程为：y= ±-x,即bx土ay = O，a圆的标准方程为：（x-2）2 + y2 = 2,|2b + 0| 厂不妨考查渐近线bx + ay = 0与圆相交，贝】J：/ 广&，+ b「整理可得：一<&,即：2（c2-a2）<c2，C2则J = 2<2,©<&,a**由双曲线的性质可知双曲线的离心率e> 1,综上可得：双曲线的离心率的取值范围是（1，4）.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的儿何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范I韦I）,常见有两种方法：c①求出G, C,代入公式6 =-；a②只需要根据一个条件得到关于G，b, C的齐次式，结合b2=c2~a2转化为G, C的齐次式，然后等式（不等式）两边分別除以a或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.2 26.已知椭圆—+ ^= 1内有两点力（1，3）, 3（3, 0）,尸为椭圆上一点，则PA+PB的最大值为___________ •25 16【答案】15【解析】由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为区，由椭圆的定义可知：PB = 2a-PB'= 10-PB*,则PA + PB= 10 + （PA—PB'）,很明显，当（PA-PB'）max =|AB*| = J（-3T）2 +（0-3）2 = 5,据此可得：PA+PB的最大值为10 + 5=15.X* V*7.(2017-苏中四校联考)在平面直角坐标系xQy中,设双曲线—^=1 (a>0, b>0)的焦距为2c(c>0).当a, b 茁b°Ji + b任意变化时，——的最大值是________ .C【答案】&【解析】试题分析：吆=^—= 3 \ < 带2十丁 =@ 当且仅当3 = b时取等号，所以丄C &2 + b2 J a2+ b2 J a2+ b2 c 的最人值是血考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧，使其满足基本不等式中“正"(即条件要求中字母为正数)、“定"(不等式的另一边必须为定值)、"等"(等号取得的条件啲条件才能应用，否则会出现错误.28.过双曲线C： J-乙=1的右焦点F作直线/与该双曲线的右支交于点儿若/与双曲线在左支存在另一个3交点，则线段/F长度的取值范围为__________ .【答案】［1,|)【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线为：士羽x,结合双曲线的性质可知，当直线1的斜率k 6 ［-彷,、庁］时满足题意，考查临界情况：当直线的斜率为0时，AF=1,当直线的斜率为靠吋，直线方程为：y-0 = ^(x-2),与设切线方程联立有：3x?-3(x-2)2 = 3‘贝〔J： x = -,y = _~A/3»此时点A(),-^/^j‘F(2,0)之间的距离为：J(J2)2+ =-,综上可得：线段/F长度的取值范围为［1》.二、解答题29.如图，已知椭圆O： - + y2=l的右焦点为F,点B, C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线厶卩=一24上的一个动点(与V轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求的而积；(2)记直线BM, 的斜率分别为S炷,求证：岛逅为定值.【解析】试题分析:⑴由题知8(0, 1), C(0, —1), F(73,0),满足题意时，直线PM 的方程为丫 =匕x-l ，与椭圆方程联立可得:⑵设P (皿 -2),且加挪 则直线加的方程为丫 = ―x-l,与椭圆方程联立可得M (—-———I 则m nr + 4 nV + 4/1 3 3kj = -m,k 2 =-一,据此可得“局为定值--•4 ・ m 4试题解析：(1)由题知 B(0, 1), C(0, -1),焦点0),当直线PM 过椭圆的右焦点F 吋，直线PM 的方程为击+十=1，即丿=¥丫一1・ 怦月 •连接BF,则直线BF 的方程为命+ ；= 1,而BF=a=2,所以点M 到直线EF 的距离为Vr+T^F 5 ~ 7 故 S,、MBF=、BF d=ix2xj&=3p. ■7 7 ⑵设P(m , —2),且加兴0,则直线PM 的斜率为k=° J=-丄, n —jw 欖则直线PM 的方程为y=—丄x — 1,(2)见解析.则三角形的高舞底边BF = 2,三角形的面积舞【答案】⑴学直线BF 的力•程为x + ^y-x/3 = 0,时37 • ".Y- -fl> 或・ (舍)，所以丄 ■尸_ I 7即兀+岳一｛5=0,解得y 品所以皿n 辛为定值.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:（1） 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2） 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数Z 间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题.2 2庁- + ^-= 1 （a>b>0）的离心率为匸，长轴氏为4.过椭圆的左 2 b 2 2 顶点/作直线人分别交椭圆和圆x 2+y 2 = a 2于相异两点只Q. AP 二的值； AQ⑵若PQ = ZAP,求实数久的取值范围.【答案】（1）一 （2） O<A<1. 6【解析】试题分析：2 2首先求得椭圆方程为乞+乙=1，圆的方程为/ + y? = 4・ 4 2⑴法一：直线方程为y = ?x AP _5AQ 64 8 AP yp 5法二：联立直线方程与椭圆方程可得：y P = -y 0 = ^贝= —=-・ 3 v 5 AQ y Q 6联立；7 •化简得•靜+*=o 看4i ・所以局= l<r10・如图，在平面直角坐标系xO 尹中，已知椭圆- a + 2）,与椭圆方程联立可得则AP = ¥，结合圆的性质可得AQ = ^,M'J试题解析:所以椭圆的方程为今+ ¥ = 1，圆的方程为X 2+/=4勺 A.⑴法一直线/的方程为尹=:;(x+2),解得“—2, x P =l ，所以昭・却所以宀也孑曲呼法二 由仁 .■得3/-4y=0,所以y P =\..r- ■4s(2)若甩=么#,则久=#-1'设直线 /： y=k(x+2)f由/"卜即 2 4•得(2k 2+l)x 2 + 8k 2x+8k 2-4=0, .f=jt lx ■ 2)即(x+2)l(2k 2 +1 )x+(4k 2-2)] = 0,所以卩=-2,妇需，得彳需•井7).(2)由题意可得X = —L 设直线/： y=k(x+2),与椭圆方程联立可得P AP 2-4k~ 4k 2k 2 + 1 2k 2 + 1 ,据此可得: 2k 2 + 14 1 ,同理可得AQ = ^，则--丙®)• 由题意得2 乂誓. :■ 1</=护・r------------ ——H由.Jp •得 3X 3+4X _4=(). 2 |為F又因为原点O 到直线/的距离d=所以 AQ=2^l4-*/s 产所以务議三s 5- 以 所O - 8> - 2 IW zf-4 5" ft所以护=¥_ +呼+(半\2k「+ 1 / \2k「+ 1由题意知A2>o,所以0V/IV1.11.己知点/(O, -2),椭圆E：冷+ ¥=1 (a>b>0)的离心率为也，F是椭圆E的右焦点，直线"的斜率为才K 2迺,O为坐标原点.3(1)求E的方程；(2)设过点/的动直线/与E相交于P, 0两点.当△OPQ的面积最大时，求/的方程.2 行【答案】(l)' + y2=l (2)y=±^x-2【解析】试题分析：设出F,由直线AF的斜率为連求得c,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,即可求3椭圆方程；(2)点1丄x轴吋，不合题意；当直线1斜率存在时，设直线l:y = kx-2,联立直线方程和椭圆方程, 由判别式大于零求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|,由点到直线的距离公式求得O到1的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求.试题解析：(1)设F(c,O),因为直线AF的斜率, A(0,・2)3所以?c=Gc 3X£=^b2 = a2.c2a 2解得 a = 2,b = 1,2所以椭圆E的方程为- + y2=l.4(2)解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)由题意可设直线1的方程为：y = kx・2,x22_联立q + y =1«消去y得(l+41?)x2・16kx+12 = 0,y = kx-2,3/3 (3当厶=16(41?・3)>0，所以k2>-,即kv •一或k>»时4 2 216k 12X] + X2 = ----- EX? = --------1 + 4k 1 + 4k所以|PQ| = Jl + k*(X] + X2)2 ・ 4X]X21 +4k 22点0到直线1的距离d = ^—«k~+ 1, 1 4 J4k 2 - 3所以 S&PQ =訓 PQI = ------ r 2 l+4k-设彳41?・3 = t>0,则41? = ^ + 3,4t 44 S AOPQ =77；=77^=1， I H -当且仅当t = 2,即3 = 2,解得k= ±也时取等号， 2满足4斤 厅所以AOPQ 的血积最大时直线1的力程为：y = —x ・2或y =・—x ・2.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线屮的最值问 题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角 函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题(2)就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形 最值的. (阿视频D 481+41?4^1 + k\f 4k 2 - 3。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第二层次)专题11圆锥曲线的基本问题 Word版含答案
专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)班级 姓名一、课前测试1．(1)椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是．(2)双曲线x 24－y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是．(3)若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为．答案：(1)3或5．(2)(－12，0)．(3)(0，116a )．2．(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为．(2)已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当PA ＋PF 最小时，点P 的坐标为．答案：(1)3．(2)(2，2)．3．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为．(2) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为．(3)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是．(4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P ，使PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为． 答案：(1)12．(2)3－1． (3)[22，1)．(4)(1，3]．二、方法联想1．方程的标准形式在进行圆锥曲线的基本量的计算时，首先要是标准方程，对椭圆、双曲线来说要分清焦点在哪轴上，对抛物线来说，首先要确定抛物线的开口方向．变式：(1)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是．答案：3或62 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系)(2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为．答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)2．圆锥曲线定义的应用涉及到圆锥曲线上的点与焦点的连线，应联系到圆锥曲线的第一定义和第二定义．在运算时，可以设点的坐标，也可以设焦半径，解焦点三角形．变式：(1)已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)(3)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)3．离心率或范围的计算椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率；求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．变式：(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角） (2)双曲线x 24－y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是．答案：(0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)(3)已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是．答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)(4)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)三、例题分析例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，MF 1为半径作圆M ．当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值．答案：（1）椭圆C 的方程为＋＝1．（2）△MF 1F 2面积的最大值为,3)．〖教学建议〗主要问题归类与方法：1．椭圆的焦距是2c ，长轴长是2a ，短轴长是2b ．2．椭圆右准线方程为x ＝a 2c ，直线与圆有公共点的条件是：圆心到直线距离小于等于圆的半径．3．点M 在椭圆上，则点M 的坐标满足椭圆方程，同时，横、纵坐标都有范围．例2 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1．（1）若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程；（2）若PF 1＝PQ ，求椭圆的离心率e ．答案：（1）x 24＋y 2＝1；（2）6－3．〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：椭圆的定义．根据垂直条件及椭圆定义求出PF 1，PF 2．2．方法选择与优化建议：第（2）问中有两种方法选择，方法一：设P 点坐标，利用PQ ⊥PF 1及点P 在椭圆上求出P 点坐标，再计算出PF 1＝a ＋a 2－2b 2，再根据等腰直角三角形PQF 1的周长为4a ，列出方程，得到答案；方法二：根据等腰直角三角形PQF 1的周长为4a 及椭圆定义，求出PF 1，PF 2，再根据直角三角形PF 1F 2列出方程，得到答案．例3 椭圆的中心为原点，离心率e ＝22，一条准线的方程是x ＝22．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：x ＝210的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析
第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。
（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。
南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线
专题12：圆锥曲线问题归类篇类型一：方程的标准形式一、前测回顾1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ．2.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ．3.若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为 ． 答案：1.3或5；2.(－12,0)；3.(0,116a)．二、方法联想方程的标准形式涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线要注意开口方向． 三、归类巩固*1.以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是 ．答案：3或62(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) *2.以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 ． 答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用一、前测回顾1. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为__________．2.已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当P A ＋PF 最小时，点P 的坐标为 ．3. 点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，过点F 且倾斜角为π3的直线交椭圆于A ,B 两点(AF <BF )，则AFBF ＝ ．答案： 1.3；2.(2，2); 3.35．二、方法联想1.涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围．2.焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑， 常用结论（以焦点在x 轴的方程为例）：3.若点P 为椭圆或双曲线上任意一点，A,B 两点关于原点对称，且直线PA,直线PB 斜率存在，则k PA ·k PB＝e 2－1 .三、归类巩固*1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)**2.已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)*3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点 ．答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)**4．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ． 答案：x ±2y ＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)**5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(p 0)x py =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .答案:2y x =±（考查抛物线的定义及抛物线与双曲线的几何性质.） **6．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径 的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝ ．答案：2＋52(何图形的面积计算)**7．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ．答案：43(考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)**8．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：22(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式,或常用结论)类型三：离心率或范围的计算一、 前测回顾1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ， 0)， B (0， b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为 ．2. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．3. 已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ．4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为 ．答案：1.12； 2.3－1；3. (0，32]；4.[22，1)；5.(1，3]．二、方法联想椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系． 三、归类巩固*1.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角）*2.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .答案（已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） *3.双曲线x 24－y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ．答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)**6．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．答案：13 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 ．答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)**8.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)类型四：直线与圆锥曲线的综合问题一、 前测回顾1．(1)点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A ⊥PF ，则点P 的坐标为 ．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P在椭圆C 上，且OP ⊥AF ， 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，则椭圆C 的离心率为 ．(2)已知椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，与右焦点F 相应的准线l 与x 轴相交于点A ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明：→FM ＝λ→QF ．(3) 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：(1)22 ；(2)略；(3) 22． 3． (1)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ．(2)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4，O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，则线段AB 长度的最小值为 ． 答案：（1）62；（2）22．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点. ①设点(x 0,y 0)代入方程、列式、消元；②设点(a cos θ,b sin θ)方法2：求点. 代入方程、列式、求解． 注意 考虑x 0(或y 0)的取值范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)． 有时也可以直接求出两交点.注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程． 结论：弦长公式 ｜AB ｜＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k2｜y 1－y 2｜．方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法3 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题． 3. 圆锥曲线的最值与范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．三、归类巩固*1.由椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．则OA →·OB →．答案：－13 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .*①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；**②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)**3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB→＋AD →·CB →＝8，求k 的值．答案： 863. (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)**4.已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件)综合应用篇一、例题分析例1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．*（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；**（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ． 由题意，得4a ＝8，解得a ＝2．因为点P 的坐标为 (1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a).因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，（第18题）xOyPF 1F 2Q解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa ).因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a)．因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2a )．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2．因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． 因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．〖教学建议〗（1）问题归类与方法：本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围.求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．（2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从P 点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用λ表示离心率e ，解不等式求出λ的范围. 例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22. *（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . **（i ）求直线FP 的斜率； ***（ii ）求椭圆的方程.解：(1)设椭圆的离心率为e .由已知，可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0.又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.所以，椭圆的离心率为12.（2）（ⅰ）方法一：依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m.由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为((2m －2)c m ＋2，3cm ＋2). 由已知|FQ |=3c 2，有[(2m －2)c m ＋2＋c ]2＋(3c m ＋2)2＝(3c 2)2，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34.方法二：由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，又|FQ |＝32c设Q (x 0，y 0) ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0－2c ＝0(x 0＋c )2＋y 02＝94c 2 消y 0 得5x 20＋4cx 0－c 2＝0， x 0＝－c （舍）或c 5 ，所以Q (c 5，910c ) ，直线FP 的斜率为34.（ii ）方法一：由（i ）得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0 ，与椭圆x 24c 2＋y 23c 2＝1 联立得7x 2＋6cx －13c 2＝0，x ＝－137c （舍）或c ，所以P (c ，32c ) 由（i ）得Q (c 5，910c )，由题直线QN,直线PM 的斜率一定存在，设为k 0 , 设PM ：k 0x －y －k 0c ＋32c ＝0 ，QN ：k 0x －y －k 05c ＋910c ＝0，两平行线距离为|－k 0c ＋32c ＋k 0c 5－910c |k 02＋1＝c ，解得k 0＝－43 ，所以M (178c ，0)，N (78c ，0) ，四边形PQNM 的面积为S ΔPFM －S ΔFQN ＝12(178c ＋c )×32c－12(78c ＋c )×910c ＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 . 方法二：同方法一求出k 0＝－43，所以FP ⊥QN ，FP ⊥PM , 又P (c ，32c )，Q (c 5，910c )，直线FP 的斜率为34.即tan ∠PFM ＝34 ，|FQ |＝32c ，|FP |＝52c ，所以四边形PQNM 的面积为 12(QN ＋PM )·c ＝12(34×32c ＋34×52c )·c＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 .方法三：可利用|F Q |＝32c ，|FP |＝52c 得FP －FQ ＝c 即直线PM 与直线QN 间的距离，直接得FP ⊥QN ，FP ⊥PM ，避免求k 0的值简化运算过程.〖教学建议〗（1）问题归类与方法：1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)． 有时也可以直接求出两交点.（2）方法选择与优化：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用a,b,c,e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM 的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.二、反馈巩固*1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ． 答案：x 23＋y 22＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)*2.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)*3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ,C两点，且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是 .答案:63(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *4．已知方程x 2m 2+n －y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 .答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)*5．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是 ．答案：[38，34] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)**6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)***7．点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 答案：(0，6－22) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) **8．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的下顶点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上， 且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为(0，1)，则椭圆 方程是 ．答案：x 212＋y 24＝1 (**9．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 212P 有________个．答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)**10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．答案：(13，12)∪(12，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)**11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点,若点P A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为_______. 答案：－1或10 (考查两点距离，函数的最值问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．*(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；** (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2)55．(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)13. 已知椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2.*(1)求椭圆C 的方程.**(2)经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证： B ， D ， E 三点共线.. 解：（1）由题意得2a ＝22，则a ＝2.由椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(1，±22)，所以12＋12b 2＝1，解得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.（2）证明：设A (x 1，y 1)， E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)， D (x 1，0).因为点A ， E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋ 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x22(y 1＋y 2).又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →) ＝AE →·AB →＝0， 所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2)x 1＋x 2又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝ y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ， D ， E 三点共线. （记住常见的结论可以更快获取思路，避免联立方法的繁琐计算）14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3，0),离心率为e .*(1)若e ＝32，求椭圆的方程； **(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值范围. 答案：（1）x 212＋y 23＝1 ；（2）(－∞，－24]∪[24，＋∞) .(本题可以利用平面几何知识得F 2A ⊥F 2B 简化运算，考查函数值域问题)15.如图，已知动直线:l y kx m =+与椭圆2214x y +=交于,A B 两个不同点. *(1)若动直线:l y kx m =+又与圆22(y 2)1x +-=相切，求m 的取值范围.**(2)若动直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，满足2PB AP =，点O 为坐标原点.求AOB ∆面积的最大值，并指出此时k 的值.解：把y kx m =+代入椭圆方程22440x y +-=得： 222(41)8440,(1)k x k m x m +++-= （Ⅰ）222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->即22410(2)k m -+>直线l 与圆22(2)1x y +-=相切，221,43(3)k m m =∴=-+把（3）代入（2）得：2316130m m -+>解得：133m >或1m < （Ⅱ）(0,),P m 设 1122(,),(,)A x y B x y ，122,20PB AP x x =∴+=由（1）式得：121122288,()4141km kmx x x x x k k -+=∴=-+=++ 又1x 是方程（1）的根，2222222226464(41)440(41)41k m k m k m k k ∴+++-=++ 22241361k m k +∴=+，依题意得0≠k ，显然满足222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-> 1212243,41kmx x x k -==+2122212121,241361AOB m k k S x x m k k ∆∴=-==++31194k k=≤+∴当且仅当194k k=即1.6k =±（符合题意），∴当16k =±时，AOB ∆的面积取最大值为1.(考查直线与圆位置关系，直线与椭圆的位置关系，函数最值问题)16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1、F 2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB 、DC ，分别交椭圆E 于点A 、B 和D 、C .当α＝π4时，点B 坐标为(0，1)． *(1) 求椭圆E 的方程；** (2) 当α变化时，讨论线段AD 与BC 长度之间的关系，并给出证明； *** (3) 当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值及对应的α值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2) AD ＝BC ；(3)α＝π2.(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)第15题17.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．*⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).**①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ***②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程． 解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22(考查椭圆的基本量计算，椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量.问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD→转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．)18.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14),B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12＜x ＜32)．过点B 作直线AP的垂线，垂足为Q ．*（1）求直线AP 斜率的取值范围； ***（2）求|PA |·|PQ |的最大值． 答案：（1）(－1，1)；（2）2716(试题分析：（1）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为x －12，由－12＜x ＜32，得AP 斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达|P A |与|PQ |的长度，通过函数f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3求解|P A |·|PQ |的最大值．也可以利用向量的数量积的投影法: |PA |·|PQ |＝PA →·PB →减少了求Q 点坐标问题达到简化运算的目的.)。
高三数学第二轮复习高考数学培优压轴题汇编【7】——圆锥曲线综合(论证、分析、类比、推导)
高三第二轮复习——圆锥曲线综合（论证、分析、类比、推导）一、知识梳理（1）圆锥曲线题型分类：用韦达和不用韦达！ 1、韦达的几种常见形式：①2121y y x x +；②21x x -或21y y -；③1221y x y x +；④21x x 或21y y ，()2122121221++=+x x x x x x x x ；⑤a x a x +++2111；⑥()2121PF PF ⋅+； ⑦21k k +，21k k ⋅，2111k k +； 2、不用韦达定理的形式：①过原点的直线：kx y =；②过曲线上已知定点的直线；③两垂直的直线——类比； ④两斜率互补的直线——同理；⑤三点都在曲线上：PB PA k k +可进入代入再化简； （2）化简的几种类型：①代入化简；②韦达化简；③数学式子化简；④抛物线代换化简；⑤几何性质或向量性质化简：如垂径定理、角平分线定理、定比分点、共线、切线、相似等等；（3）做法类型分类：①数形结合：圆；②韦达：椭圆+双曲线；③化简：抛物线； （4）封闭与不封闭：①圆+椭圆；②双曲线+抛物线；内：12222222<+<+b y a x or ry x ；外：12222222>+>+by a x or r y x ；内：1222222>->b y a x or px y ；外：1222222<-<by a x or px y ； （5）范围问题：总归是要转化到值域问题。
圆锥曲线里常见的值域类型： 1、不等式型；/2、二次()b a k +-2、c kb k a++112、c bk ak ++24、c bk ak ++2等； 3、单调型，如：22121kS ABC ++=∆，且32≥k ，从而可求；4、整体换元型：如：()()2222)1(2112k k k ++-，则可设t k =+21； （6）向量在解析几何中的使用平面向量作为工具，能综合处理有关长度、角度、共线、共点、平行、垂直、射影等问题 主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题； 5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是24F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F-E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭 圆 双曲线 抛物线轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶 点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)轴 对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=焦 点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦 距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2+准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在x=±ca 2准线垂直于实轴，且在x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离曲 线 性 质椭圆外.两顶点的内侧.相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦 点 焦 线对称轴 椭圆22h)-(x a +22k)-(y b=1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b=1 (±c+h,k)=±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b=1 (h,±c+h)y=±ca 2+kx=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k) x=-2p +h y=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2p+k)y=-2p +kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k) y=2p +k x=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、 考纲中对圆锥曲线的要求： 考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质； . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线的初步应用。
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR＝22
11＋＋mm3322－＋11＝1＋2
2 1＋m32－1.
基础知识
题型分类 第18页，共88页。 思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
此时 1＋m32>1，且 1＋m32≠2，
所以 1<1＋ 2
1＋2 m32－1<3，且
1＋ 2
1＋2 m32－1≠53，
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32， 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程；
思维启迪
解析
探究提高
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率，通过推理计算消参．
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
互为相反数，证明直线 EF 的斜率
圆锥曲线中的探索性问题
难圆点锥正 曲本线P中1的(疑x函点1数清，思源想y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
圆锥曲线中的探索性问题
1＋k |x －x | ＝ 圆数直锥学线曲 和线圆R 中锥A（的曲文探线）索问性题问解题法的2一般1规律
2
圆锥曲线中的范围、最值问题
1 圆锥曲线中的范围、最值问题
p y0.
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否成立．
基础知识
题型分类 第6页，共88页。 思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案
高三第二轮专题复习——圆锥曲线(一)
px江苏省2011届高三第二轮专题复习——圆锥曲线（一）题型一、求离心率：例1、在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e =．【答案】2例2、如图1，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点恰好是椭圆22221x y a b+=的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为． 【答案】12-=e ．【提示】研究椭圆与抛物线在第一象限得交点，对于椭圆来说，坐标为2(,)b c a，对于抛物线来说，坐标为),2(p p ，所以有c a b 22=，又ac e c a b =-=,222，联立解得12-=e ．练习：已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，ab PF PF 421=⋅，则双曲线的离心率是．例3、已知F 1、F 2是椭圆的焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围是．【答案】)1,22[． 【提示】本题有多种解法，其中比较简单的方法是数形结合，借助图形可以看出，当P 位于短轴顶点时，∠F 1PF 2最大，设椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x ，),0(b B 为短轴一个顶点，因此若1290F BF ∠=，必有1290F BF ∠≥，由对称性知12F BF ∆为等腰三角形，因此有b c ≥，解得22≥e ．变式：已知1F ，2F 椭圆13610022=+y x 的两个焦点，00(,)P x y 为椭圆上一点，当021>⋅PF PF 时，0x 的取值范围为．【答案】57[10,(,10]-． 【提示】实际上即为求满足21PF F ∠为锐角得点P 得横坐标得取值范围。
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专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时) 班级姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A ⊥PF ，则点P 的坐标为．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是．答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12．二、方法联想1．椭圆上一个点问题 （1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解． （2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2．直线与椭圆相交于两点问题方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式 AB ＝｜x 1－x 2｜＝k 2))｜y 1－y 2｜．方法3 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法4 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)三、例题分析例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为,2)，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上． 答案：（1）椭圆C 的方程为＋＝1．（2）略．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：12．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径．3．两直线的交点．4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程． 二、方法选择与优化建议：解法一：很自然地设出点M ，N 的坐标，利用两直线相交求出交点T 的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T 的坐标（x ，y ），利用两条直线方程，把M 或N 点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x ，y 的方程．本题解法二的计算量相对小一点． 例2 如图，A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，若椭圆C 的离心率为12，且右准线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交直线MB 于点Q ，试证明：直线PQ 与x 轴的交点R 为定点，并求出R 点的坐标．答案：（1）椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1．（2）R 点的坐标为（－12，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．2．k MA k MB ＝－b 2a2．3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系． 二、方法选择与优化建议：解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．例3 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程． 解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22x ＋1 〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：（1）椭圆的基本量计算．（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 2．方法选择与优化建议：（1）问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．（2）问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD →转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．四、反馈练习1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________.答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________. 答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________．答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ________.答案：x 24－y 25＝1（考查：双曲线中的基本量的计算）6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________.答案：32（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率)10．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案：x 2－y 23＝1（考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 答案：(1)y 216＋x 24＝1.(2)y ＝x 或y ＝－x .（考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点） 13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程． 答案：(1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2.（考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。