高中数学第十三章导数(实验修订版)

高三数学总复习—导数
高三数学总复习（十三）实验修订版
§13. 导 数 知识要点
1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值
x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'
x x y =，
即)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.
②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：
⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .
于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000
00
x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→
).
()(0)()(lim lim )
()(lim )]()()([
lim 000'0000000000x f x f x f x f x
x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x
y
；
当x ∆＜0时，
1-=∆∆x
y ，故x y
x ∆∆→∆0lim
不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，
曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'
0x x x f y y -=-
4. 求导数的四则运算法则：
''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒ ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）
)0(2'
''
≠-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛v v u
v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.
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②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设x x x f 2sin 2)(+
=，x
x x g 2
cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.
5. 复合函数的求导法则：)()())(('''
x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('
x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('
x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('
x f =0①
. 此外，函数不可导的点也可
能是函数的极值点②
. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小
值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('
x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0
x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('
x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：
I.0'
=C （C 为常数） x x cos )(sin '
= 2
'11)(arcsin x
x -=
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1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2
'11)(arccos x
x --
=
II. x x 1)(ln '=
e x x a a log 1
)(log '= 1
1)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 1
1)cot (2'+-
=x x arc
III. 求导的常见方法： ①常用结论：x
x 1
|)|(ln '=
. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(()
)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数
和形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得
x x x x x y y x y y x
x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1
ln '''.。