四川省乐山市高中2011届高三第二次诊断性考试数学(文)试题
2011年高考数学文科试卷(全国1卷)(内含答案)(新课标卷卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
四川省成都市2011届高三第二次诊断性考试(数学理)(2011成都“二诊”数学试卷及参考答案)
版权所有：高考资源网(www.ks5u.c成都市2011届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）l 至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )()()(B P A P B A P +=+ 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 334R V π= 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率),,2.1,0()1()(n k p p C k P kn n k n n Λ=-=- 其中R 表示球的半径一、选择题：(1)已知i 为虚数单位，则复数2i i+= (A)1- (B)i - (C)i (D)1 解：22i i i i i+=-=-，选B (2)已知向量)1,3(=a ，),2(λ=，若//，则实数λ的值为(A)32 (B)32- (C)23 (D)23- 解：2//3203a b λλ⇔-=⇔=r r ，选A(3)在等比数列}{n a 中，若3753)3(-=⋅⋅a a a ，则=⋅82a a (A)3- (B)3 (C)9- (D)9解：33335755((a a a a a ⋅⋅=⇒=⇒=，22853a a a ⋅==，选B(4)若*N n ∈，则121.23232lim -+-∞→+-⨯n n n n n 的值为 (A)0 (B)32 (C)92(D)2 解：111212..2223223lim lim 232933n n n nn n n n n n---+-→∞→∞-⨯-==++，选C (5)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为(A)54-(B)54 (C)53- (D)53解：22222263cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=⇒==，4sin()sin 5B C A +==，选B (6)设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A I =，则集合A 中元素的个数有(A)3个 (B)4个 (C)l 个 (D)2个解：由于直线210x y -+=与双曲线2214x y -=的渐近线12y x =平行，所以选C (7)某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买(A)8辆A 型出租车，42辆B 型出租车 (B)9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 (C)11辆A 型出租车，39辆B 型出租车 (D)10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元 B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为9241 1.579.5⨯+⨯=万元 C 时，成本为1113398455⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元 D 时，成本为1013408450⨯+⨯=万元，利润为10240 1.580⨯+⨯=万元 而1113398455450⨯+⨯=>，选D解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450**x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩，选D(8)过点)4,4(-P 作直线l 与圆25)1(:22=+-⋅y x C 交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解法一：如图，22||5441PC =+=，||5BC =，2222||2||PC d BC d --=-，当5d =时，2222||220||PC d BC d --=≠=-，舍A 当4d =时，2222||23||PC d BC d --==-，成立，选B解法二：由2222||2||PC d BC d --=-得222222||4||4||PC d PC d BC d ---+=-，22||5PC d -=，224d =，4d =，选B(9)已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=--Λ，则9210a a a a ++++Λ的值为(A)—33 (B) —32 (C) —31 (D) —30解：2555(2)(2)(1)x x x x --=-+，10x 的系数为505055(2)11C C -=，令1x =，则012910a a a a a +++++L32=-，所以012933a a a a ++++=-L ，选A(10)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有(A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种解，把学生分成两类：311，221，所以共有31122133521531332222150C C C C C C A A A A +=，选B (11)将函数x A y 2sin =的图象按向量(,)6a B π=-r 平移，得到函数)(x f y =的图象．若函数)(x f 在点))2(,2(ππf h 处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是 (A)223π-=A B (B)232-=πA B (C)23π-=A B (D) 32-=πA B 解：(,)6sin 2()sin(2)3a B y A x y f x A x B ππ=-=−−−−→==++r ，'2cos(2)3k y A x π==+，切线方程为()2cos(2)()()22322y f A x A x πππππ-=⨯+-=--，令0x y ==得()22A f ππ-=，即322A A B π-=，所以322B Aπ-=，选A (12)如图，在半径为l 的球O 中．AB 、CD 是两条互相垂直的直径，半径⊥OP 平面ACBD ．点E 、F 分别为大圆上的劣弧»BP、»AC 的中点，给出下列结论： ①向量OE 在向量OB 方向上的投影恰为21； ②E 、F 两点的球面距离为32π； ③球面上到E 、F 两点等距离的点的轨迹是两个点；④若点M 为大圆上的劣弧»AD 的中点，则过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线只有三条，其中正确的是(A)②④ (B)①④ (C)② (D)②③解：建立如图所示的空间直角坐标系，则22(0,,)22E ，22(,,0)22F -，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，(1,0,0)C ①向量OE 在向量OB 方向上的投影为22，错；舍B ②2212cos cos cos co 45cos(9045)2223EOF EOB COB EOF π∠=∠∠=+=-⨯=-⇒∠=o o o ，对；③过点EF 的中点及球心O 的大圆上任意点到点E 、F 的距离都相等，错；舍D ④由于等角的值不是一定值，因此将直线EF 、PC 都平移到点M ，可知过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线有无数多条，错，舍A ； 选C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．(13)设53cos sin =+αα，则=α2sin ______________________． 解：23916sin cos (sin cos )sin 252525x αααα+=⇒+=⇒=-，填1625- (14)在底面边长为2的正四棱锥ABCD P -中，若侧棱PA 与底面ABCD 所成的角大小为4π，则此正四棱锥的斜高长为______________________． 解：如图，2212222OA =+=，22222PA =+=，在正PAD ∆中，3232PE =⨯=，填3 (15)已知椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，右准线l 与x 轴交于点B ，点A 在l 上，若ABO ∆(O 为坐标原点)的重心G 恰好在椭圆上，则=||AF ______________________．解：设(2,)A y ，则焦点(1,0)F ，重心022004(,)(,)3333y yG ++++=，因为重心G 恰好在椭圆上，所以224()3()1123y y +=⇒=±，即(2,1)A ±，所以||2AF =u u u r ，填2 (16)已知定义在),1[+∞上的函数348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．给出下列结论：①函数)(x f 的值域为]4,0[；②关于x 的方程*)()21()(N n x f n∈=有42+n 个不相等的实数根； ③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则2=S ；④存在]8,1[0∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立，其中你认为正确的所有结论的序号为______________________． 解：348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩111348||,1221133()[48||]24||,24222222211133()()()[48||]12||,48224442421(),2222n nn n x x x x x f x x x x f x f f x x x f x ---⎧--≤≤⎪⎪⎪=--=--<≤⎪⎪⎪===--=--<≤⎨⎪⎪⎪⎪<≤⎪⎪⎩L ，其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移1322n -⨯个单位，从而①对；②显然当1n =时，()y f x =的图象与12y =的图象只有2个交点，而非2146⨯+=个，错； ③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为11111414(22)222222n n n n n S ----=⨯-⨯=⨯⨯=，对；④00006()6()x f x f x x >⇔>，结合图象可知错 填①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分） 已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．(I)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值． 解：(I)m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(πΘm x x x x +--=2cos )sin 21cos 23(sin 2 ……1分m x x x x +--=2cos sin cos sin 32m x x x +---=.2cos 2)2cos 1(2sin 23 …3分 m x m x x +--=+--=21)62sin(212cos 212sin 23π．)(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……6分 (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x ，即44ππ≤≤-x 时，有222ππ≤≤-x ，36232πππ≤-≤-∴x ． ……8分 23)32sin(1π-≤-∴x ． ……10分得到)(.x f 的最小值为m +--211．由已知，有3211-=+--m ．23-=∴m ， (12)分(18)（本小题满分12分）如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点． (I)求证：平面//AEF 平面SBC ； (Ⅱ)求二面角F AC S --的大小． 解：（Ⅰ）F Θ分别是CD 的中点，121==∴CD FC ．又1=AB ，所以AB FC =． AB FC //Θ，……2分∴四边形ABCF 是平行四边形．1//BC AF ∴．E Θ是SD 的中点，SC EF //∴.……3分又F EF AF =I ，C SC BC =I ，∴平面//AEF 平面.SBC ……5分(Ⅱ)取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB ∆中，AB SO ⊥，又Θ平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面I SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD . …6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，)0,1,1(=AC ，)23,21,0(=AS ． …7分设平面SAC 的法向量为),,(z y x m =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02321000z y y x m AS m AC ． 取31,1,1=-==z y x ，得)311,1(,-=m ．……9分平面FAC 的法向量为)1,0,0(=n . …10分77311131,cos =++=>=<n m Θ …11分 而二面角F AC S ---的大小为钝角，∴二面角F AC S --的大小为77cosarc -π． …12分 (19)（本小题满分12分）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为32，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为21，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立． (I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率； (Ⅱ)记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE ． 解：(I)记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E ，事件E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确． 61)21(213132)(21312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C E P ． ……6分 (Ⅱ)随机变量ξ取值为：0、900、1800、2700．185])21(21)21][()32(1[)0(21332=⨯⨯+-==C P ξ； …．．7分 92])21(21)21[()32()900(21332=⨯⨯+==C P ξ； …8分185]21)21()21][(3231)31[()1800(2233122=⨯⨯+⨯⨯+==C C P ξ； ……9分92]21)21()21[()32()2700(22332=⨯⨯+==C P ξ． …10分ξ的分布13009227001851800929001850=⨯+⨯+⨯+⨯=ξF 。
2011年全国高考卷数学(文)
2011年全国高考卷数学(文)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共7题，每题5分，满分35分）1. （5分）已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x1)的值为？A. x²2xB. x²2x+1C. x²2x1D. x²3x+22. （5分）在等差数列{an}中，a1=1，a3=3，则a5的值为？A. 5B. 6C. 7D. 83. （5分）若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为？A. 0B. 1C. 2D. 无法确定4. （5分）已知直线y=2x+1与圆(x1)²+(y2)²=4相交，则它们的交点坐标为？A. (0,1)和(2,5)B. (1,3)和(3,7)C. (1,1)和(1,3)D. (1,3)和(1,1)5. （5分）设平面直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是？A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)6. （5分）已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5，则三角形ABC的面积S为？A. 6B. 8C. 10D. 127. （5分）函数y=2x在x=1处的导数值为？A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共3题，每题5分，满分15分）（题目及分值待补充）三、解答题（共3题，每题15分，满分45分）（题目及分值待补充）四、应用题（共1题，满分10分）（题目及分值待补充）五、证明题（共1题，满分15分）（题目及分值待补充）二、填空题（共3题，每题5分，满分15分）8. （5分）若函数f(x) = x² 4x + 3，则f(2)的值为______。
9. （5分）在直角坐标系中，点P(3, 4)关于x轴的对称点坐标为______。
10. （5分）已知等比数列的前三项分别为a, ar, ar²，若a=2，r=3，则第四项为______。
三、解答题（共3题，每题15分，满分45分）11. （15分）解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x y = 1\end{cases}\]12. （15分）已知函数g(x) = 3x 2，求g(g(x))。
2011年高三文科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数 学（文科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合1(),02x A y y x ⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．()0,+∞ D ．[)0,+∞2. 在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）A.（1.4，2）B.（1，1.4）C.(1,1.5)D.(1.5,2)3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[)6,10内的频数为（ ）A.8B.32C.40D.无法确定4. 双曲线22221y abx -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A.53B.43C.54D.745. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果B 的（ ） A.7 B.15 C.31 D.636. 对定义域内的任意两个不相等实数1x ，2x ，下列满足0)]()()[(2121<--x f x f x x 的函数是（ ）A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(=C ．x x f ln )(=D ．xx f 5.0)(=7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A.373m B.392m C.372m D.394m8. 已知函数m x x x f +-=3)(3在区间]0,3[-上的最大值与最小值的和为14-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．9-D ．8-9. 已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得21<-ABC P V ABC S V -的概率是（ ）A ．43 B ．87 C ．21 D ．4110.在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，3b =，则△ABC 的外接圆半径为（ B ）A ．21B.1C.2D.4第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．11.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = . 12. 已知向量(1,2),(2,)a b λ=-=r r，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .13.已知函数()113sin cos 24f x x x x =--的图象在点()()00,A x f x 处的切线斜率为12，则)4tan(0π+x 的值为 ．14. 某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计 产品类别 A B C 产品数量（件）1300样本容量（件）130A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。
四川省乐山市高中2011届高三第二次诊断性考试理综试题及答案
四川省乐⼭市⾼中2011届⾼三第⼆次诊断性考试理综试题
及答案
2012年05⽉23⽇亲，很⾼兴访问《四川省乐⼭市⾼中2011届⾼三第⼆次诊断性考试理综试题及答案》⼀⽂，也欢迎您访问店铺（）的⾼考频道，为您精⼼准备了2011⾼考理综⽇常练习的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设⾼考频道，我们全体编辑的努⼒全是为了您，希望您能在本次⾼考中能获得好的名次，以及考上满意的⼤学，也希望我们准备的《四川省乐⼭市⾼中2011届⾼三第⼆次诊断性考试理综试题及答案》内容能帮助到您。
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【小题解析】成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测(理)数学试题(解析)
成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设复数3(z i i =+为虚数单位）在复平面内对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转090得到OB ,则点B 在（ ）(A ) 第一象限 (B)第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为7，则输出x 的值为（ ） （A ）14(B)2log 3 (C) 2 (D) 33.10(1)x -的展开式中第6项的系数为（ ）（A ）510C - （B ）510C （C ）610C - (D) 610C4.在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组12010y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（ ）()A 2 ()B 13 ()C 12()D 15.已知,αβ是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（ ）()A 存在一条直线l ，,//l l αβ⊂ ()B 存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥ ()C 存在一条直线l ，,l l αβ⊥⊥ ()D 存在一个平面γ，//,γαγβ⊥【答案】Ｃ6.设命题00,P R αβ∃∈：，0000cos +=cos +cos αβαβ（）；命题:,,q x y R ∀∈且,2x k ππ≠+,2y k k Z ππ≠+∈，若,x y >则tan tan x y >．则下列命题中真命题是（ ）()A p q ∧ ()B (p q ∧⌝） ()C ()p q ⌝∧ ()D ()()p q ⌝∧⌝7.已知P 是圆22(1)1x y -+=上异于坐标原点O 的任一点，直线OP 的倾斜角为θ，若=d OP ，则函数()d f θ=的大致图象为（）xyOD PP考点：1、解直角三角形；2、圆的方程；3、三角函数的图象.8.已知过定点(2,0)的直线与抛物线2x y =相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点．若12,x x 是方程2sin cos 0x x αα+-=的两个不相等实数根，tan α的值是（ ）()A12 ()B 12- ()C 2 ()D 2-9.某市环保部门准备对分布在该市的,,,,,,,A B C D E F G H 等8个不同监测点的环境监测设备进行检测维护．要求在一周内的星期一至星期五监测维护完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中,A B 两个监测点分别安排在星期一和星期二，,,C D E 三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（ ）()A 36 ()B 40 ()C 48 ()D 60【答案】D 【解析】试题分析：由题意，将,,C D E 看做整体，记为O ，该题相当于把六个不同的元素,,,,,A B O F G H 放置在五个不同的位置，每个位置至少一个，其中,A B 必须依次在第一、二位置，F 不能在第五个位置，且必须有两个元素同时放入同一个位置.先考虑第一个位置有两个元素，按照有F 和无F 分为两类，共有1113322318C C C A +=种，再考虑第二个位置有两个元素，按照有F 和无F 分为两类，共有1113322318C C C A +=种，接着考虑第三、四、五位置有两个元素的情况，此时，需将,,,O F G H 这四个元素分为三组，再放入三个不同位置，当F 单独一组时，有21232212C C A =；当F 不是单独为一组时，有11232212C C A =种，由分类计数原理得，安排总数为60种. 考点：排列和组合.10.已知定义在[0,)+∞上的函数()f x ，当[0,1]x ∈时，1()24;2f x x =--当1x >时，()(1)f x af x =-，a R ∈，a 为常数．有下列关于()f x 的描述：①当2a =时，3()42f =；②当1a <时，函数()f x 的值域为[2,2]-； ③当0a >时，不等式12()2x f x a-≤在区间[0,)+∞恒成立；④当10a -<<时，函数()f x 的图象与直线12n y a -=()n N *∈在区间[0,]n 的交点个数为1(1)2nn +--． 其中描述正确的有（ ）()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 1xy–11234–11234O考点：1、分段函数的解析式；2、函数的图象和性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面积为______________．1２.定义在(0,)+∞上的函数()3xf x =，若()9f a b +=，则()f ab 的最大值为_____________．13.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组个随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________________．14.如图，在平行四边形ABCD ，BH CD ⊥，垂直为点H ，BH 交AC 于点E ，若3,BE =215AB AC AE AC BE CB AE -⋅+⋅-⋅= ，则AE EC=____________．1５.已知单位向量,,i j k 两两所成夹角均为(0,θθπ<<且)2πθ≠，若空间向量a 满足a xi y j zk =++(,,)x y z R ∈，则有序实数组(,,)x y z 称为a 在“仿射”坐标系Oxyz (O 坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=．有下列命题：①已知(2,0,1)a θ=- ，(1,0,2)b θ= ，则0a b ⋅=；②已知33(,,0)(0,0,)a x y b z ππ== ，其中0xyz ≠，则当且仅当x y =时，向量,a b的夹角取得最小值；③已知111222(,,),(,,)a x y z b x y z θθ== ，则121212(,,)a b x x y y z z θ-=---；④已知33(1,0,0),(0,1,0),OA OB ππ== 3(0,0,1),OC π=则三棱锥O ABC -的体积V =． 其中真命题有＿＿＿（写出所有真命题的序号）． 【答案】③④ 【解析】kjiD 1C 1C B 1OA EB。
成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测数学试题(文史类)Word版
成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文史类）本试卷分为选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷(非选择题)2至4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}|03A x x =<≤，{}|12B x x x =<->或，则A B = （A ）(2,3] （B ）(,1)(0,)-∞-+∞ （C ）(1,3]- （D ）(,0)(2,)-∞+∞2．设复数3z i =+（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将点OA 绕原点O 逆时针旋转90︒得到OB ，则点B 在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为7，则输出的x 值为（A ）2（B ）3 （C ）2log 3 （D ）144．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组12010y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）13是 输入x2log (1)x x =+ 2x ≤？输出x 开始结束否5．已知,αβ是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（A ）存在一条直线l ，l α⊂，//l β （B ）存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥ （C ）存在一条直线l ，l α⊥，l β⊥ （D 存在一个平面γ，//γα，γβ⊥6．下列说法正确的是（A ）命题“若12>x ，则1>x ” 的否命题为“若12>x ，则1≤x ” （B ）命题“0x R ∃∈，201x >”的否定是“R x ∈∀，12>x ” （C ）命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题 （D ）命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题7．已知实数1,,4m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 （A ）22 （B ）3 （C ）22或3 （D ）12或3８．已知P 是圆1)1(22=+-y x 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若d OP =||，则函数)(θf d =的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）9. 已知过定点(2,0)的直线与抛物线2x y =交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，若21,x x 是方程2sin cos 0x x αα+-=的两个不相等实数根，则tan α的值是（A ）12 （B ）12- （C ）2 （D ）2-10.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程26[()]()10f x f x --=的实数根的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9d Oπ2π 2Oπ2π 2 Oπ2π 2Oπ2π 2θθ θ θθdd第Ⅱ卷（非选择题,共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图 如图所示．如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______．12．如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面 积为______．13．已知定义在(0,)+∞上的函数()3x f x =,若()9f a b +=,则()f ab 的最大值为_______.14．如图，在平行四边形ABCD 中，BH CD ⊥于H ，BH 交AC于点E ，已知3BE = ，215AB AC AE AC BE CB AE -⋅+⋅-⋅=， 若AE EC λ=，则λ= _______.15．已知单位向量,i j 的夹角为θ（0θπ<<，且2πθ≠），若平面向量a 若满足=+a xi yj ，（,x y ∈R ）则有序实数对(,)x y 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxy (O 为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a (,)x y θ=，有下列命题： ①已知a (2,1)θ=-，b (1,2)θ=，则0⋅=a b ；②已知=a 3(,)x y π,=b 3(1,1)π，其中0xy ≠，则当且仅当y x =时，向量,a b 夹角取得最小值．③已知=a 11(,),x y θ=b 22(,)x y θ，则-=a b 1212(,)x x y y θ--；④已知(1,0)OA θ= ，(0,1)OB θ= ，则线段AB 的长度为2sin 2θ其中的真命题有_______.（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分） 设函数2()sin()2sin 62xf x x πωω=++（0ω>），已知函数()f x 的图象的相邻两对称轴间的距离为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为,,a b c （其中b c <），且3()2f A =，ABC ∆的面积为63S =，27a =，求,b c 的值．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+,n ∈N*. （Ⅰ）求p 的值及n a ；（Ⅱ）在等比数列{}n b 中，31b a =，424b a =+，若等比数列{}n b 的前n 项和为n T ． 求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列．侧视图2 A BCD H E甲组 乙组8 9 0 1 2 8 2 3BAC D 1A 1B1C使用时间（千小时） 18．（本小题满分12分）节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好.若使用时间小于4千小时的产品为不合格品；使用时间在4千小时到6千小时（不含6千小时）的产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．某节能灯生产厂家为了解同一型号的某批次产品的质量情况,随机抽取了部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示。
2011年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（）A．B．C．D．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布表．【专题】计算题．【分析】根据所给的数据的分组及各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知这组数据的总数是66，根据等可能事件的概率个数得到结果．【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5，43.5）范围的有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，∴满足题意的数据有12+7+3=22个，总的数据有66个，根据等可能数据的概率得到P=，故选：B．【点评】本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查频率分布表的应用，考查等可能事件的概率，是一个必得分题目．2．（5分）（2011•四川）复数=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可．【解答】解：复数==﹣2i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2011•四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．4．（5分）（2011•四川）如图，正六边形ABCDEF中，=（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得===故选D【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=，=是解答本题的关键．5．（5分）（2011•四川）函数f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在点x=x0处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【考点】函数的连续性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】由f（x）在点x=x0处连续的定义，函数f（x）在点x=x0处有定义；但是函数f（x）在点x=x0处有定义，f（x）在点x=x0处不一定连续，分析选项可得答案．【解答】解：由f（x）在点x=x0处连续的定义，可知f（x）在点x=x0处连续⇒函数f（x）在点x=x0处有定义；反之不成立．故为必要而不充分的条件故选：B【点评】本题考查函数在某点连续的概念和充要条件的判断，属基本概念的考查．6．（5分）（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π） C．（0，]D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（5分）（2011•四川）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反函数．【专题】综合题；数形结合．【分析】根据已知条件我们易得f（x）的反函数也为奇函数，根据x＞0时，函数的解析式，我们易求出反函数的解析式及定义域，分析其性质判断反函数图象的形状，并逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是R的奇函数，故f（x）的反函数也为奇函数，又∵x＞0时，此时其反函数（1＜x＜2）分析四个答案，发现只有A答案满足条件故选A【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出当x＞0时，其反函数的解析式及定义域是解答本题的关键．8．（5分）（2011•四川）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．9．（5分）（2011•四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．10．（5分）（2011•四川）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．故选A．【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．11．（5分）（2011•四川）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）A．3 B．C．2 D．【考点】数列的求和；数列的极限．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．【解答】解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，所以a n=，S n=，==故选D【点评】本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．12．（5分）（2011•四川）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15中取法，平行四边形的面积超过4的由列举法列出，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15种结果，满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，根据等可能事件的概率得到P==故选B．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查组合数的应用，考查用列举法列举法求计数问题，本题是一个综合题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2011•四川）计算÷=﹣20．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题．【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．【解答】解：=lg=﹣20故答案为：﹣20【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．14．（4分）（2011•四川）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是16．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离．【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6所以c=10准线方程为x=；离心率e=设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得即d=设P（x，y）则d=|=所以x=所以点P到左准线的距离是故答案为16【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题．15．（4分）（2011•四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2πR2．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的侧面积为：2πR2sin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2πR2，球的表面积为：4πR2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2πR2．故答案为：2πR2【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．16．（4分）（2011•四川）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【考点】抽象函数及其应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2011•四川）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]2﹣2=0．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x﹣）+sin（x﹣）=2sin（x﹣）∴T=2π，最小值为﹣2（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣，两式相加得2cosβcosα=0，∵0＜α＜β，∴β=∴[f（β）]2﹣2=4sin2﹣2=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．18．（12分）（2011•四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．19．（12分）（2011•四川）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）°由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用AC∥PC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1∥平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离．【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C1D=x，∵AC∥PC1∴可设D（0，1，x），∴=（0，1，x），设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则⇒令a=1，则=（1，x，﹣1）∵PB1∥平面BA1D∴0=0⇒x=；故CD=C1D．（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，∴cos＜．故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为．（III）∵设平面B1DP的一个法向量为=（x，y，z），则⇒令z=1，∴又∴C到平面B1PD的距离d=．【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．20．（12分）（2011•四川）设d为非零实数，（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛a n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设b n=nda n（n∈N*），求数列﹛b n﹜的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】计算题；综合题．【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：（Ⅰ）根据条件直接代入n值计算即可获得a1、a2、a3的值．然后利用，当n≥2，k≥1时，，对数列通向进行化简可得a n=d（d+1）n﹣1，进而分类讨论问题即可获得解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，进而可计算b n，结合b n的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，当n≥2，k≥1时，，∴=d（C n﹣10d0+C n﹣11d1+C n﹣12d2+…+C n﹣1n﹣1d n﹣1）=d（d+1）n﹣1．所以，当d≠﹣1时，{a n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．当d=﹣1时，a1=﹣1，a n=0（n≥2），此时{a n}不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，∴b n=nd2（d+1）n﹣1=d2n（d+1）n﹣1，∴S n=d2[1•（d+1）0+2•（d+1）1+3•（d+1）2+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣2+n•（d+1）n﹣1]，当d=﹣1时，S n=d2=1当d≠﹣1时，（d+1）S n=d2[1•（d+1）1+2•（d+1）2+3•（d+1）3+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣1+n•（d+1）n]，∴﹣dS n=d2[1+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+…+（d+1）n﹣1﹣n（d+1）n]，∴S n=（d+1）n（nd﹣1）+1．综上可知：S n=（d+1）n（nd﹣1）+1，n∈N*．【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．21．（12分）（2011•四川）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想．【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直线l的方程为y=x+1；（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P点的坐标为（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴与异号，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴与y1y2异号，与同号，∴=，解得x=﹣k，故Q点坐标为（﹣k，y0），=（﹣，0）•（﹣k，y0）=1，故为定值．【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．22．（14分）（2011•四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a 的讨论）．（Ⅲ）把f（100）h（100）﹣转化为一新数列{a n}的前100项和，再比较新数列{a n}的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题．在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题．。
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四川省乐山市高中 2011届高三第二次诊断性考试
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B 或5B 铅笔
写、涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用4B 或5B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其它答案，不准答在试题单上。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
4．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率()(1).k k n k
n n P k C P P -=-
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．22log sin log cos
12
12
π
π
+=
（ ）
A ．-2
B ．2
C ．4
D ．-4
2．设全集为U ，集合2
{|2},{|4}M x x N x x =>=>，则下列关系中正确的是 （ ） A ．M=N
B ．N M ⊆
C ．M N ⊆
D ．()U C M N φ⋂=
3．若2a 与2b
的等比中项，则ab 的最大值为
（ ）
A ．3
B ．8
C ．
3
2 D ．
94
4．已知命题p ；对任意2
,2210x R x x ∈-+≤；命题q ：存在,sin cos x R x x ∈+=
则下列判断：①p 且q 是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④p ⌝是真命题，其中正确的是
（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．③④
D ．②④
5．已知函数2
()2(0)f x x x =-≥的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，则
[(1)]f g 等于
（ ）
A ．
B ．1
C
D ．-1
6．函数c o s ()(0,0,||)2
y A x A π
ωϕωϕ=+>>
<的图象如下图所示，则函数
c o s ()y A x ωϕ=+的递减区间是
（ ）
A ．5[2,2],44k k k z π
π
ππ+
+
∈
B ．3[2,2],44k k k z ππ
ππ-+∈
C ．5[,],88k k k z ππ
ππ++∈
D ．3[,],44
k k k z ππ
ππ-+∈
7．在一次演出中，原计划要排4个节目，因临时有变化，需再添加2个小品节目，若保持
原有的4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方式有 （ ） A ．20种 B ．25种 C ．30种 D ．32种
8．如图，在四边形ABCD 中，221,,6
3
AB AD AC CAB BAD π
π
==+∠=
∠=
，设,AC AB AD λμλμ=++=则
（ ）
A ．4
B ．6
C ．-4
D ．-2
9．某工艺品厂为一次大型博览会生产甲、乙两种型号的纪念品，所用的主要原料为A 、B
两种贵重金属，已知生产一套甲型纪念品需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套乙型纪念品需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒 ，若甲型纪念品每套可获利700元，乙型纪念品每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒，则该厂生产甲、乙两种纪念品各多少套才能使该厂月利润最大？ （ ） A ．19，25 B ．20，24 C ．21，23 D ．22，22 10．定长为10的线段AB 的两端点都在抛物线2
8y x =上，则AB 中点M 的横坐标的最小
值为
（ ）
A ．3
B ．4
C ．
258
D ．
2516
11．已知三棱锥P —ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，
则该三棱锥的外接球的表面积为 （ ）
A ．
323
π
B ．
163
π
C ．83π
D ．43π
12．设11
(1)1,212
n n n n a S S ++==+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项的和，若定义
1n n n a a a +∆=-，则集合*{|,()2011}n S n n N a =∈∆∆≥-的元素个数是
（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1．第II 卷用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．设82
80128()x a a a x a x a x -=+++
+，若686a a +=-，则实数a 的值为 。
14．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本
频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ，数据落在[2,10)内的概率约为 。
15．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若37199
,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为 。
16．若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(,,,f x y f x f y x y λμλμλμ+=+均为实数），
则称()f x 为R 上的线性变换，现有下列命题：
①()2f x x =是R 上的线性变换；②若()f x 是R 上的线性变换，则
()()()f kx kf x k R =∈；③若()()f x g x 和均是R 上的线性变换，则()()f x g x +是R
上的线性变换；④()f x 是R 上的线性变换的充要条件是()f x 是R 上的一次函数。
其中是真命题的是 。
（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
某自助银行共有4台A TM 机，在某一时刻A 、B 、C 、D 四台ATM 机被占用的概率分
别为
13、12、12、2
.5
（1）如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，求该客户需要等待的概率； （2）求恰有两台A TM 机被占用的概率。
18．（本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴的正半轴上，直线AB 的倾斜角为
33
,||2,,(,).424
OB AOB πππ
θθ=∠=∈设 （1）用θ有示点B 的坐标及||OA ； （2）求OA OB ⋅的范围。
19．（本题满分12分） 在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD//AE ，F 是BE 的中点，AC=BC=1，
90,2 2.ACB AE CD ∠=︒==
（1）证明DF ⊥平面ABE ；
（2）求二面角A —BD —E 的余弦值。
20．（本题满分12分）
已知3
22()3().3f x x ax x a R =
--∈ （1）当1
||2
a ≤时，求证：()(1,1)f x -在内是减函数；
（2）若()y f x =在（-1，1）内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围。
21．（本题满分12分）
如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长
轴AB 长为4，离心率2
e =
，O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP=PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上； （3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系。
已知点列(,0)n n A x 满足：0111n n A A A A a +⋅=-，
其中n N ∈，又011,1, 1.x x a =-=> （1）若*
1()()n n x f x n N +=∈，求()f x 的表达式；
（2）已知点*1||(),n n n n B a BA n N a a +=∈<记且成立，试求a 的取值范围；
（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：n S <。