[初中数学]初中数学复习用书(丰富的图形世界等68个) 人教版40

第16讲 相似图形（5）
【知识要点】
1．位似图形：如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心，其相似比又叫做位似比．
2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以将图形放大或缩小．
3．画已知多边形的位似图形的方法和步骤： （1）确定位似中心；
（2）画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；
（3）分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位似中心的距离之比为相同的一个定值；
（4）顺次连接各点。

4．图形的相似或位似的实际应用。

【典型例题】
例1 （2006．江苏省淮安市）如图16-5-1,已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B 、C 两点的对应点B ′、C ′的坐标； (3)如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y ),写出M 的对应点M ′的坐标． 解：(1)画图略 (2) B ′(-6,2)，C ′(-4,-2) (3) M ′(-2x ．-2y )
例2 (2006．广东课改区)如图16-5-2，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O ；
(2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；
(3)以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1．5． 解：(1)画图略
(2) 位似比是.2
1
(3) 画图略 .
例3 （2004．海口课标卷）（1）请在如图16-5-3所示的方格纸中，将△ABC 向上平移3格，再向右平移6格，得△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点B 1按顺时针方向旋转90°，得△A 2B 1C 2，最后将△ A 2B 1C 2以点 C 2为位似中心放大到2倍，得△A 3B 3C 2；
（2）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为1个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点C 、C 1、C 2的坐标分别为：点C （ ）、点C 1（ ）、点C 2（ ）.
图
16-5-1
图16-5-2
解：(1)答案见图16-5-4.
(2)此题答案不唯一，若建立如图的坐标系，答案分别为(0,0), (6,3), (3,0).
例4 （2004．南京）如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
(1)选择：如图16-5-5，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′与△PQR 是位似三角形．此时，△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比、位似中心分别为（ ）．
A ．2、点P
B ．
2
1
、点P C ．2、点O D ．
2
1
、点O
如图15-5-6所示，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；
图16-5-3 图16-5-4
P
Q
R
O
P'
Q'R'
A
B
C
E
C'
E'
图16-5-5 图16-5-6
②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′， 作E ′D ′∥ED ，交OB 于点D ′；
③连结C ′D ′．则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形． 求证：△C ′D ′E ′是等边三角形． 解：（1）D.
（2）证明：利用位似的性质证明△C ′D ′E ′的各角或各边都相等。

因为E ′C ′∥EC ，所以E O OE
E C CE '
=
'',∠CEO =∠O E C ''. 因为E ′D ′∥ED ，所以E O OE
D E ED '
=
'',∠DEO =∠O E D ''. 所以
D E ED
E C CE '
'=
''，∠CEO =∠O E D ''. 因为△CDE 是等边三角形，所以CE =DE ，∠CED =60°. 所以E D E C ''=''，∠C ′D ′E ′＝60°， 所以△C ′D ′E ′是等边三角形． 【知识运用】 一．选择题
1．下列说法错误的是（ ）
A ．位似图形一定是相似图形
B ．相似图形不一定是位似图形
C ．位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D ．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行 2．（2005．北京丰台）如图16-5-8是一束平行的光线从教室窗户射
入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角AMC ∠，
=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN =32米，窗户
的下檐到教室地面的距离BC =1米（点M 、N 、C 在同一直 线上），则窗户的高AB 为 C A.
3米
B. 3米
C. 2米
D. 1.5米
3．下列说法正确的是（ ）
A ．分别在△ABC 的边A
B 、A
C 的反向延长线上取点
D 、
E ，使DE ∥BC ，则△ADE 是△ABC 放大后的图形
B ．两位似图形的面积比等于位似比
C ．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D ．位似图形的周长之比等于位似比的平方
4．如图16-5-9，在△ABC 中，如果AB =30cm ，BC =24cm ，CA =27cm ， AE =EF =FB ，EG ∥DF ∥BC ，FM ∥EN ∥AC ，图中阴影部分 三个三角形周长的和为（ ）
A ．70cm
B ．75cm
C ．81cm
D ．80cm 二．填空题：
5．如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm ，且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为 .
6．已知△ABC ，以点A 为位似中心，作出△ADE ，使△ADE 是△ABC 放大2倍的图形，这样的图形可以作 个，它们之间的关系是 。

7．古代—位数学家设计了一种测量金字塔高度的方法：如图16-5-10，为了测量金字塔的高
A
M N C
B
图15-5-9 图16-5-8
度CB ，先竖起一根已知长度的木棒DE ，测得金字塔和木棒的影长，AB 、DF 后，就可计算出金字塔的高度．如果DE =1m 、DF =2m 、AB =274m ，则金字塔的高度为__________．
三．解答题
8．如图16-5-11,有点光源S 在平面镜上方，若在P 点初看到点光源的反射光线，并测得AB =10cm ，BC =20cm.PC ⊥AC ，且PC =24cm ，求点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度。

9．(2005年锦州)如图16-5-12，己知四边形ABCD ，用尺规将它放大，使放大前后的图形对
应线段的比为1∶2.(不写作法，但保留作图痕迹)
10．如图16-5-13， ∆OAB 与∆ODC 是位似图形。

试问:
（1）AB 与CD 平行吗？请说明理由。

（2）如果OB =3,OC =4,OD =3.5，试求∆OAB 与∆ODC 的相似比及OA 的长。

图16-5-10 图
16-5-11
图16-5-13。