2019年秋季九年级数学上册习题讲评课件(湖北专版) 24.1.2 垂直于弦的直径
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九年级数学上册(人教版 课件) 24.1.2 垂直于弦的直径
简称弧，以 A，C 为端点的 弧记作“A︵C”，读作“圆弧 AC”或“弧 AC”．大于半圆的弧(如图所 示A︵BC)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示A︵C或B︵C)叫做劣弧．
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
24．1 圆的有关性质
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问 题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加 予理解．
重点 垂径定理及其运用． 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一、复习引入 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． ②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB， 垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什 么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是 CD. (2)AM＝BM，A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D，即直径 CD 平分
三、课堂小结(学生归纳，老师点评) 垂径定理及其推论以及它们的应用． 四、作业布置 1．垂径定理推论的证明． 2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．
证明：如图，连接 OA，OB，则 OA＝OB， 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM， ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称， ∵⊙O 关于直径 CD 对称， ∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，A︵C与B︵C重合，A︵D 与B︵D重合． ∴A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D.
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫 做半圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
24．1 圆的有关性质
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问 题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加 予理解．
重点 垂径定理及其运用． 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一、复习引入 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． ②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB， 垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什 么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是 CD. (2)AM＝BM，A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D，即直径 CD 平分
三、课堂小结(学生归纳，老师点评) 垂径定理及其推论以及它们的应用． 四、作业布置 1．垂径定理推论的证明． 2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．
证明：如图，连接 OA，OB，则 OA＝OB， 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM， ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称， ∵⊙O 关于直径 CD 对称， ∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，A︵C与B︵C重合，A︵D 与B︵D重合． ∴A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D.
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共18张PPT)
7.23
=18.52+(R-7.23)2 A 解得R≈27.3
即主桥拱半径约为27.3m.
18.5 R
D 37 R-7.23
O
B
巩固练习
1.下列说法中正确的是( B ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
D
垂径定理
C
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
AE＝BE
A⌒C＝B⌒C
A⌒D＝B⌒D
O E
A
B
①过圆心 ②垂直于弦
③平分弦
D
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
C
∵ CD是直径，AE=BE ，
∴ CD⊥AB,A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股 定理解答.
两个量，可以求出其它两个量．
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的
历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是
圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点
到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小
数点后一位).
C
7.23
A
18.5 D 37
O
E A
B
D
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
M A
C
O
D
人教版数学九年级 上册24.1.2垂直于弦的直径课件
解： 过点O，作OE⊥AB，连接AO A
E
B
∵OE⊥AB AB=8
∴ AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△AOE中
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 32 42 5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
2、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，
AB=10，求直径CD的长。
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第2课时） 垂直于弦的直径
实际问题
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
回忆： 圆的有关概念
∵OA=OB，OE=OE，
∴Rt△OAE≌Rt△OBE.
C
∴AE=BE.
A E└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴重∴当合A⌒C圆, =⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
活动三 利用新知 解决问题
∴ r 2 18.72 r 7.22
解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.
拓广探索
例4、⊙O半径为10，弦AB=16，CD=12，AB∥CD.
求AB与CD之间的距离.
F
C
D
A
B
E
A
B
O.；圆心O在AB、CD同侧时
过点O，作OE⊥AB交AB于点E，延长 线交CD于点F,连接OC，OA
证明： OE AC OD AB AB AC
九年级数学上册人教版(课件)：24.1.2 垂直于弦的直径
二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB， 垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什 么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是 CD. (2)AM＝BM，A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D，即直径 CD 平分
弦 AB，并且平分A︵B及A︵DB. 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB，且 CD⊥AB 垂足为 M. 求证：AM＝BM，A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D. 分析：要证 AM＝BM，只要证 AM，BM 构成的两个三角形全等．因 此，只要连接 OA，OB 或 AC，BC 即可．
24．1 圆的有关性质
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问 题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加 予理解．
重点 垂径定理及其运用． 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一、复习引入 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． ②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
进一步，我们还可以得到结论： 平分 Nhomakorabea(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN ＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径 课件
O
O
O
(1)
(2)
(3)
O
(4)
(5)
条件：CD是直径 AE = BE
结论：CD⊥AB
可推得
A⌒C = ⌒
BAC⌒D = ⌒
BD
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
应用
例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O
到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半 径．
A
赵州桥主桥拱的半径是多少？
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的 半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
D
1 2
AB
1 2
8
4
在 Rt△ AO 中
OA2 DOD2 AD2
OA OD2 AD2 32 42 5 cm
答：⊙O的半径为5 cm。
注：弦心距 圆心到弦的距离
解决求赵州桥拱半径的问题
例2：如图，用 A表示主桥拱AB ，设 A所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆B 心O作弦AB 的垂线B OC，D为垂足，
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中
点，C是 的AB中点，CD就是拱高．
C
D
A
B
R
O
在图中 AB=37，CD=7.23，
AD
1 2
AB
1 2
37
18.5
OD = OC－CD = R－ 在Rt△7.O2A3 D中，由勾股定理，得
人教版九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件(共17张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其推证过程； 3.能运用垂径定理解决圆中简单的计算与证明问题. 重点：垂径定理及其应用； 难点：垂径定理的理解.
观察与猜想:
条件: 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，
你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？为什么？
结论： 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
A
C
·O
E B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平
C
分弦所对的两条弧.
结论 O
符号语言：∵ ① Βιβλιοθήκη D是直径， ② CD⊥ABAE
B
∴ ③AE=BE，④A⌒C=B⌒C，⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理： ∵ ① 直径， ②垂直于弦， ∴ ③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧.
AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O 的半径.
O
r r-2
6E
A
2B
D
C
变式: 如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，
AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O 的半径.
O
r 9-r
3E
A
B
D
D
弓高
A 半弦 E
B
. 半径
弦心距
O
A 半弦 E
B
. 半径
弦心距
O
弓高
D
知二推二
本节课你学到了什么？
当堂检测
1.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，
则圆心O到AB的距离是
.
C
2.如图，⊙ O的直径CD⊥AB于E，AB＝8cm，
学习目标
1.理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其推证过程； 3.能运用垂径定理解决圆中简单的计算与证明问题. 重点：垂径定理及其应用； 难点：垂径定理的理解.
观察与猜想:
条件: 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，
你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？为什么？
结论： 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
A
C
·O
E B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平
C
分弦所对的两条弧.
结论 O
符号语言：∵ ① Βιβλιοθήκη D是直径， ② CD⊥ABAE
B
∴ ③AE=BE，④A⌒C=B⌒C，⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理： ∵ ① 直径， ②垂直于弦， ∴ ③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧.
AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O 的半径.
O
r r-2
6E
A
2B
D
C
变式: 如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，
AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O 的半径.
O
r 9-r
3E
A
B
D
D
弓高
A 半弦 E
B
. 半径
弦心距
O
A 半弦 E
B
. 半径
弦心距
O
弓高
D
知二推二
本节课你学到了什么？
当堂检测
1.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，
则圆心O到AB的距离是
.
C
2.如图，⊙ O的直径CD⊥AB于E，AB＝8cm，
数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(1) PPT课件
交于C, D两点, 若M(2,0), B(5,0),
则C点的坐标是 (0, 5) .
y C
AOM D
Bx
方法提炼: 涉及圆中半径、弦长、圆心到弦距离的 计算时, 常通过作半径, 作垂线构造直角三角形, 利 用垂径定理和勾股定理解决。
C
·O
AE
B
D
我是赵州桥, 我历史悠久, 是世界上现存最早、 保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我 的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.23m, 但一千多年了, 我还不知 道我主桥拱的半径是多少, 你能帮我算算吗?
距离为d, 则R, a, d三者的关系式
为
。
练习:
(1)半径为4 cm的⊙O中, 弦AB=4 cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 2 3cm.
（2）⊙O的直径为10 cm, 圆心O到弦AB 的距离OE=3 cm, 则弦AB的长是 8cm .
O
C
A
B
C
O A EB
解题钥匙
在圆中解决有关弦的问题时, 经常是连结半径,过圆心作弦的垂线段(即弦心距)
AD=BD
D
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
C
符号语言:
·O
∵ CD是直径, CD⊥AB
∴ AE=BE,
AE
B
D
A⌒C ⌒ A⌒D ⌒ =BC, =BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件?
C
c
C
C
A
D
B
O
O
O
O
A
E
B
A
E
BA
EB
D
D
注意: 定理中的两个条件
人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 课件
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧．
为什么强调这里的弦不是直径？
圆的直径互相平分，但不一定垂直.
拓展
对于一个圆和一条直线，如果这条直线满足下列五个 条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个:
（1）过圆心； （2）垂直于弦； （3）平分弦(非直径）； （4）平分弦所对的优弧； （5）平分弦所对的劣弧.
例 2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥， 距今约 有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m， 求桥拱， 设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
垂直于弦的直径
人教版·九年级上册
新课导入
你能举例说说生活中的轴对称图形吗？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
动手操作
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2，
即
R2 = 18.52 + (R-7.23)2.
解得 R ≈ 27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m.
随堂练习
如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的 距离为 3 cm. 求 ⊙O 的半径. 【教材P83练习 第1题】
从上面的证明我们知道，如果⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AA′， 垂足为 M，那么点 A 和 A′ 是对称点. 点 A 与点 A′ 重合 AM 与 A′M 重合 AC 与 A′C 重合 AD 与 A′D 重合 因此，AM = A′M ，AC = A′C ，AD = A′D . 即直径 CD 平分弦 AA′，并且平分 AA′ ，ACA′ .