广东省揭阳市一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题
广东省揭阳一中2014届高三上学期第一次阶段考试数学理试题 Word版含答案
2013-2014学年度高三理科数学测试题（一）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卷的表格中。
1.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,32．若m ＞0且m ≠1，n ＞0，则“log m n ＜0”是“(m －1)(n －1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A ．y x = B.21y x =- C.32y x =- D.23y x =-+4．函数x x x xe e y e e --+=-的图像大致为( ).5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a ＞3或a ＜－1D ．－1＜a ＜36 .若不等式 log a x>sin2x 对于区间⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π内的任意x 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,1) B.(0,4π) C. (4π,1) D. (4π,2π)7. 如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区间是( )A ．11(,)42B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2013）的值为( )A.-1B. 2C.1D. 0第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置。
2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(文科班)
2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题（文科班）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知集合{}1,0,1-=A ，{}11<≤-=x x B 则B A ⋂等于（ ）A. {}0B. {}1-C. {}0,1-D. {}1,0,1-2．若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ） A. )3,4(- B. )4,3(- C. )3,4(- D. )4,3(-3．已知函数的定义域为[]2,0，值域为[]4,1，则函数的对应法则可以为（ ）A. x y 2=B. 12+=x yC. xy 2= D. x y 2log =4．已知)(x f 是偶函数，且0>x 时，ax x x f +=2)(，若2)1(=-f ，则)2(f 的值是（ ）A. -1 B ． 1 C ． 3 D ． 65．函数),0,0(),sin()(R x A x A x f ∈>>+=ωϕω的部分图象如右图所示，则函数的表达式为（ ） A. )834sin(4)(ππ+=x x f B. )834sin(4)(ππ-=x x f C. )438sin(4)(ππ-=x x f D. )88sin(4)(ππ+=x x f 6．若0cos 2sin =-αα，则αα2sin cos 12+的值为（ ） A ． -2 B ． -1 C ． 1 D ． 27．若函数)1(log )(++=x a x f a x 在[]1,0上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值是（ ）A. 4B.41 C. 2 D. 21 8．已知0>ω， πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数B x A x f ++=)sin()(ϕω图像的两条相邻的对称轴，则ϕ为（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 43π 9．已知函数x x m x f sin 3sin log )(2+-=在R 上的值域为[]1,1-，则实数m 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(每小题4分，共20分)11．对于函数m x y =，若21)41(=f ，则m =________. 12．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____. 13．函数)4sin()(x x f -=π的单调增区间为________.14．已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin )(ππx x x f ，若0)21(cos )(sin =-+ααf f ，则=⋅ααcos sin ____________.15.已知函数⎩⎨⎧≤++>=m x x x m x x f ,24,2)(2，若函数x x f x F -=)()(恰有三个不同的零点， 则实数m 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共4题，共40分）17．已知函数)0,0(,11)(>>-=x a ax x f . （1）若)(x f 在[]2,1上的最小值为41，求实数a 的值； （2）若存在),0(,+∞∈n m ，使函数)(x f 在[]n m ,上的值域为[]m n --,，求实数a 的取值范围；19. 设是R 上的奇函数，且当时，，. （1）若1)1(=f ，求的解析式；（2）若，不等式0)14()2(>++⋅x x f k f 恒成立，求实数的取值范围； （3）若的值域为，求的取值范围.。
2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1} 2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣726．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log37．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．308．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于．12．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为．13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为cm2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．2014-2015学年广东省揭阳市高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x（x﹣1）=0}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{0，﹣1}D．{0，﹣1，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，B={x|x（x﹣1）=0}={0，1}，则A∪B={﹣1，0，1}．故选：D．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【解答】解：i为虚数单位，复数z=（1+i）2=1+2i﹣1=2i．则z的共轭复数为：﹣2i．故选：A．3．（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：四边形确定一个平面，是一个假命题，例如：把一个平面四边形沿着对角线折起一个角度可得一个空间四边形，因此不正确；命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，是一个假命题，例如一个三棱锥的三条棱不在同一个平面内．因此￢p∨q是真命题．故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a32﹣a22=（）A．9B．18C．21D．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a1=，a2=5﹣=，a3=∴a32﹣a22==18．故选：B．5．（5分）已知||=6，||=4，与的夹角为120°，则（+2）•（﹣3）的值是（）A．﹣84B．144C．﹣48D．﹣72【解答】解：由已知可得=﹣6×4×=﹣12，所以（+2）•（﹣3）==36﹣96+12=﹣48；故选：C．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）A．18B．2C．9D．log3【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点A时直线y=的截距最大，此时z最大，当经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，3），此时z=3×1+5×3=18，则log3的最大值为log3=log39=2，故选：B．7．（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50，100）的用户数为A1，用电量在[100，150）的用户数为A2，…，以此类推，用电量在[300，350]的用户数为A6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）A．82B．70C．48D．30【解答】解：由图2知，输出的s=A2+A3+A4+A5，由图1知，A1+A6=（0.0024+0.0012）×50×100=18，故s=100﹣18=82，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x+5）是偶函数D．f（x+7）是奇函数【解答】解：由f（x+1）、f（x﹣1）都是奇函数得f（﹣x+1）=﹣f（x+1），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），从而有f（x）=﹣f（2﹣x），f（x）=﹣f（﹣x﹣2），故有f（2﹣x）=f（﹣x﹣2）⇒f（x+2）=f（x﹣2）⇒f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，因f（x﹣1）为奇函数，8也是函数f（x）的周期，所以f（x+7）也是奇函数．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为π．【解答】解：由题意，该几何体为一圆柱的一半，底面直径为2，高为2．体积V==π．故答案为：π．10．（5分）函数f（x）=1﹣e x的图象与y轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为x+y=0．【解答】解：由f（x）=1﹣e x，得f（0）=1﹣e0=0．又f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1．∴f（x）=1﹣e x在点P（0，0）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0．故答案为：x+y=0．11．（5分）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣2012．（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为（4，4）或（﹣4，4）．【解答】解：抛物线解析式变形得：x2=8y，即p=4，∴焦点坐标为（0，2），设所求点坐标为（a，a2），根据题意得：=6，解得：a=4或﹣4，则所求点坐标为（4，4）或（﹣4，4），故答案为：（4，4）或（﹣4，4）13．（5分）在区域中随机取一点P（a，b），则满足b≥sina+1的概率为．【解答】解：如图，由题意，满足几何概型，矩形的面积为2π×4=8π，满足b≥sina+1的是图中阴影部分，其面积为=（3a+cosa）|=6π，所以由几何概型的概率公式得满足b≥sina+1的概率为；故答案为：二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2cosθ与ρ2﹣4ρcosθ+3=0的交点的极坐标为．【解答】解：根据ρ=2cosθ，得x2+y2=2x，根据ρ2﹣4ρcosθ+3=0，得x2+y2﹣4x+3=0，∴x=，y=，∴交点（，﹣）或（，），化为极坐标为：．故答案为：．（几何证明选讲选做题）15．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC=24cm，BC边上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的面积为64cm2．【解答】解：设EF与AD交于O，则∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设正方形EFGH的边长是xcm．则解得：x=8故正方形零件的面积为64cm2．故答案为：64．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=，cosB=，b=3．（1）求a和c的值；（2）求cos（B﹣C）的值．【解答】解：（1）∵＞0，∴，∴，由，得ac=5．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2=26，联立，结合a＞c，解得a=5，c=1．（2）由正弦定理知，∴=，∵a＞c，∴，∴，∴cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC==．17．（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意得，（2分）解得x6=90，（3分）这6位同学成绩的标准差：．（6分）（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2．（7分）且，（8分），（9分），（10分）∴ξ的分布列为：（11分）ξ的数学期望：．（12分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【解答】证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又E为PD的中点，∴EO∥PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，且∴∠ECF=α﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解法一：过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，∵PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵AQ⊂面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，∴AQ⊥面CDQ，故AQ⊥CQ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴∠DQC是二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AP=1，，∴又∵E为PD的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在Rt△AQD中，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∵0＜∠CQD＜π，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，﹣（7分）则A（0，0，0），，，，P（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故，，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由条件可知，为平面ADE的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设平面AEC的一个法向量为，则由，得，取x=2，得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设二面角D﹣AE﹣C的大小为θ，则=，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n）．（1）求x2，x3的值；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）证明：++…+＜．【解答】（1）解：∵f（x）=，f（1）=1，f（）=，∴，解得a=2，b=1，∴，∵数列{x n}满足x1=，x n+1=f（x n），∴x2=f（）==，x3=f（）==．（2）解：由（1）猜想x n=．用数学归纳法证明：①n=1时，x1==，成立．②假设n=k时成立，即，=f（x k）==，也成立，则x k+1由①②知x n=．（3）证明：∵=≤，∴++…+＜==（1﹣）＜．∴++…+＜．20．（14分）双曲线C的焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且双曲线C 经过点P（4，2）．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x=上，且，是点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为=1，（1分）∵点P（4，2）在双曲线C上，∴，①又b2=8﹣a2，②②代入①去分母整理得：a4﹣68a2+32×8=0，又a＜c，解得a2=4，b2=4，（3分）∴所求双曲线C的方程为．（4分）（2）设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（，t），其中x0＞2，或x0＜﹣2．（5分）当y0≠t时，直线AB的方程为y﹣t=（x﹣），即（y 0﹣t）x﹣（）y+tx0﹣=0，（6分），若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值，设圆心O到直线AB的距离为d，则d=．（7分）∵y0≠0，∴t=﹣，（8分）又=4，∴====2，（11分）此时直线AB与圆x2+y2=4相切，（12分）当y0=t时，，代入双曲线C的方程并整理得t4﹣2t2﹣8=0，即（t2﹣4）（t2+2）=0，解得t=±2，此时直线AB：y=±2．也与圆x2+y2=4也相切．（13分）综上得存在定圆x2+y2=4与直线AB相切．（14分）21．（14分）若实数x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．（1）若x2﹣3比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a≥2且x≥1时，证明：比x+a更接近lnx．【解答】解：（1）依题意可得|x2﹣3|≤1⇔﹣1≤x2﹣3≤1或，∴x的取值范围为；（2）解法一：∵===，即，∴比更接近ab；解法二：∵对任意两个正数a、b，有，，∴，即，∴比更接近ab；（3）证明：令，则p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，且p（e）=0，由，得当x≥1时，q'（x）≥0，∴q（x）在[1，+∞）上单调递增，且当x≥1时，有q（x）≥q（1）=0，①当1≤x≤e时，∵p（x）≥0，a≥2，∴．∴比x+a更接近lnx．②当x＞e时，方法一：∵p（x）＜0，q（x）＞0．，∴．令f（x）=2lnx﹣x﹣2，则．当x＞e时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，+∞）单调递减，当x＞e时，f（x）＜f（e）=﹣e＜0综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．方法二：当x＞e时，∵p（x）＜0，q（x）＞0．∴，令，则．令f'（x）=0，解得，∵x＞e∴不合舍去，∵（e﹣1）2＜1+e，∴∴x1＞e∵当e＜x＜x1时，f'（x）＞0．当x＞x1时，f'（x）＜0．∴f（x）在区间（e，x1）单调递增，在（x1，+∞）单调递减，又e＜x1＜3∴当x＞e时，．综上可知，当x≥1时，．即．∴比x+a更接近lnx．。
广东省揭阳一中2014-2015学年高一上学期阶段1考试数学
揭阳一中2014-2015学年度第一学期阶段1考试高一级数学科试题一、选择题（每题5分,共50分）1、已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，那么()U A C B ⋂=（ ） Ａ．{}2Ｂ．{}5 Ｃ．{}34， Ｄ．{}2345，，， 2、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，3、已知函数xx f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=⋂N M （ ）A.{}2-≥x xB.{}2<x xC.{}22<<-x xD. {}22<≤-x x4、下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（ ）A.3x y =B.1||+=x yC.12+-=x y D.21y x =+5、设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ).A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x6、函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为（ ） A. B. C. D.7、已知函数f (x )的定义域是 , 则函数y = f (x ＋1)＋f (2x －1)的定义域是（ ） A B 1 2 , 1 1 2 , 3 2 0 , 120，2hslx3y3h 13. {|613y y ≤≤} 14.01a ≤≤ (可表成集合) 三、解答题 15（本题12分） 解：∵ U R =2{|230}{|(1)(3)0}A x x x x x x =-->=+->={|1,3}x x x <->或2{|280}{|(4)(2)0}{|42}B x x x x x x x x =+-≤=+-≤=-≤≤ 。
广东省揭阳一中高一数学上学期期末试题新人教A版
揭阳一中2013-2014学年度第一学期高一级期末考试数学科试题一．选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x |122x>}，则M ∩N 等于（ ） A ∅B {x |0＜x ＜3}C {x |－1＜x ＜3}D {x |1＜x ＜3}2. 已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,,I ；其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3. 如图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长 为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( ) A ．12 B. 8 C. 43 D. 34. 函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 5. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 和AD 1所成角的大小是（ ） A. 30° B. 45° C.90° D.60° 6. 已知函()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ． ()1,2B ． ()2,3C ． (]2,3D ． ()2,+∞7. 如图在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A-BCD的体积是（ ）243D.123C. 242B. 122.A 8. 函数y ＝log 2(1－x )的图象是（ ）俯视图正视图 侧视图9. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ． 2)4(-x10. 已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）A ．6B ．13C ．22D ．33二．填空题（每小题5分，共20分）11. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．12. 已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ．13. 已知直二面角βα--l ，点A ∈α，AC ⊥l ,C 为垂足，B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足, 若AB=2，AC=BD=1则C,D 两点间的距离是_______14. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是三．解答题（本大题共6小题，共80分。
广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次阶段考试文科数学试题
广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次阶段考试文科数学试题2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可．．能．的是（ ）3.两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a 千米, 灯塔A 在C 的北偏东30°, B 在C 的 南偏东60°，则A ，B 之间的相距（ ）千米. A ．a B ．a 3 C ．2aD ．a 24.已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且a b ⊥，则32a b +=（ ） A.（－4,－10） B.（－4,7） C.（－3,－6） D.（7,4）5.设定点F 1 (0,－3)、F 2 (0,3)，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 6.下列结论，不正确．．．的是（ ） A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题q p ∨为真命题． B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题． C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题．D ．命题“0,,22≥+∈∀y x R y x ”的否定是“0,,202000<+∈∃y x R y x ”.7.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60AB C D8.在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是（ ）A.24B.48C.60D.849.已知椭圆()222109x y a a+=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为（ ）A B C ．4 D ．1010.已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P . 若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 13二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).11.在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为_________.12.若方程13322=++-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是________.13.已知x >0，y >0且20x y +=，则lg lg x y +的最大值是_________.14.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_________. 三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=2，点(1,0)在函数f ( x ) =2a n x 2 – a n +1x 的图像上. （1）求数列{a n }的通项；（2）设221log n n b a -=，求数列{b n }的前n 项和T n .16.（本小题满分12分）在△ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222a c b ac +-=．（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),m A A n ==--，n),(6,1)m A A n ==--，求n m ⋅的最小值，并求此时角A 的大小.A 1B 1C 1D 1AB CD17.（本小题满分14分）如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.（1）求证：直线//1BB 平面DE D 1； （2）求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； （3）求三棱锥DE A A 1-的体积.18．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值.19.（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(, 数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?20.（本小题满分14分）已知),0,3(),0,3(21F F -动点P 满足,421=+PF PF记动点P 的轨迹为.E （1）求E 的方程；（2）曲线E 的一条切线为,l 过21,F F 作l 的垂线，垂足分别为,,N M 求N F M F 21⋅的值；（3）曲线E 的一条切线为,l l 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，求AB 的最小值，并求此时切线的斜率.揭阳一中2014-2015学年度高二级第一学期第二次阶段测试16.解：(1)∵222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==，……………3分又∵0B π<<，∴3B π=． ………………………………5分（2）6sin cos 2m n A A ⋅=-- ………………………………………………………6分223112sin 6sin 12(sin )22A A A =--=--， ………………………8分∵203A π<<，∴0sin 1A <≤． ……………10分∴当2π=A 时，sin 1A =，m n ⋅取得最小值为5-． …………11分即m n ⋅的最小值为5-，此时 2π=A …………12分∴直线AE ⊥平面DE D 1, ………………………8分而⊆AE 平面AE A 1,所以平面AE A 1⊥平面DE D 1.………………………10分 (3)=-DE A A V 1 =⨯=∆-ADE ADE A S AA V 1311312121131=⨯⨯⨯⨯. ………………………14分 18．解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =，即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=， 解得23b =， 于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y += ………………………6分(2).设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- …………………….8分222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++…10分又3y -≤≤ .....................................12分∴当32y =-时，max PQ =………………………14分∴12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，*n N ∈；...................5分∵1n n S S --==+Q()2n ≥又0n b >0>, 1=；∴数列构成一个首相为1公差为1的等差数列. ....................7分()111n n =+-⨯=，即2n S n =∴当2n ≥，()221121n n n b S S n n n -=-=--=-； 又b 1=c =1满足上式21n b n ∴=-(*n N ∈) .....................9分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K …1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭....................12分 由1000212009n n T n =>+得10009n >，即满足10002009n T >的最小正整数为112. ........14分 20.解：（1）可知.3221=F F 又因为,32421>=+PF PF所以点P 的轨迹是以21F F 、为焦点的椭圆。
广东省揭阳市一中高一数学上学期期末考试试题
广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题 （每小题5分，共50分）1．集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B I 等于 （ ） A.{|01}x x <≤ B.{|12}x x ≤< C.{|12}x x <≤D.{|01}x x ≤<2．如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 ( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，12，－2，－123．方程0Ax By C ++=表示倾斜角为锐角的直线，则必有 ( ) A. 0AB > B. 0AB < C . 0BC > D. 0BC < 4．函数()1xxf x a a-=++，()x x g x a a -=-，其中01a a >≠，，则 ( )A ．()()f x g x 、均为偶函数B ．()()f x g x 、均为奇函数C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数D ． ()f x 为奇函数 ，()g x 为偶函数5．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面 ( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β7． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A ．36B ．108C ．72D ．180 8．已知函数6)1(-+=+x x x g ，则)(x g 的最小值是（ ）A 、)0(gB 、)21(gC 、)21(-g D 、)1(g9．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是 ( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC10．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当221ax x ≤<时，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为（ ）A 、(0,1)(1,3)UB 、)3,1(C 、(0,1)(1,23)UD 、)32,1(二、填空题 （每小题5分，共20分）11．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为____ ___． 12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②MN ∥CD .；③EF 与MN 是异面直线； ④AB 与DF 所成的角为60°以上四个命题中，正确命题的序号是____ ____．13．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z，则k = ．14．已知()x f 是定义域为()()+∞⋃∞-,00,的奇函数，在区间()+∞,0上 单调递增，当0>x 时，()x f 的图像如右图所示：若()()[]0<--⋅x f x f x ，则x 的取值范围是 ；三、解答题（共80分）15．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若a = -1，求A ∩(∁R B )； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a >0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f (x )；(2)若g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．xyo 317．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥C －ABD 的体积．18．（本小题满分14分）设函数y ＝f (x )且x 、y 满足lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )．(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)求f (x )的值域；（结果可保留分数指数幂形式）19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A SC B --的正弦值．OSBC一、选择题: DBBCA BBDDD 二、填空题：11. 23-；12. ①③ ； 13. 3 ； 14. ()()3,00,3⋃- 三、解答题（共80分）15. 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． ………………………………2分 (1) 若a =－1， B ＝{x |(x +1)·(x +3)<0}＝{x |－3<x <－1} …………………………3分 ∁R B ＝{x |x ≥－1或x ≤－3} ………………………………………………4分 ∴ A ∩(∁R B )＝{x |2<x <4} ……………………………… ………………5分 (2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件； ……………………6分当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4； (9)分当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4.∴a <0时成立， ……………………11分综上所述，a ≤23或a ≥4 ………………………………… ………………12分16．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ……………………………1分a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数， ……………………………2分 故⎩⎪⎨⎪⎧f3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ……………………………5分∴ f (x )＝x 2－2x ＋2 ……………………………6分 (2) g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ……………………………8分 ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ……………………………11分∴m ≤2或m ≥6. ……………………………12分 17解：(1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ， ………………………1分∵E 是B 1C 的中点，∴ EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. ………………3分又AA 1∥BB 1，AA 1=BB 1 ，D 是AA 1的中点，∴ EG ∥AD 且EG =AD …………………………………5分 ∴四边形EGAD 是平行四边形，∴ ED ∥AG ， ………………………7分 又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ∴DE ∥平面ABC . …………9分 (2) ∵DA ⊥平面A BC ∴DA 是三棱锥D －A BC 的高DA ＝12AA 1＝3 CG ＝12BC ＝3 ∴ AG 2＝AC 2- CG 2＝16 ∴ AG ＝4 ………11分∴V C －A BD ＝V D －A BC ＝13×12BC ·AG ·D A ＝16×6×4×3＝12 ………………14分18.解：(1) lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )． ………3分∴y ＝103x (3－x )…………………………………………………………5分由⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3 ∴定义域是{x |0<x <3} ……………………7分(2)∵y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274， …………………9分当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274，∴u ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，274. …………………………10分y ＝10u在⎝⎛⎦⎥⎤0，274上是递增的，∴y max ＝10274 …………………………………12分又u>0 ∴y>1 ………………………………………………………13分 ∴值域是(1,10274] ………………………………………………14分19． 解：（1）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥， ……………1分又ABC △为等腰直角三角形，所以BC OC OB OA 21===,又2=2BC AB SA =，∴22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥， 且SA SA SA OB SB SO 22222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，……4分∴222OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． ……………………5分又O AO BC =⋂． 所以SO ⊥平面ABC ． ……………………7分（2）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．………………10分由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=I ，，得AO ⊥平面SBC ． 所以AO OM ⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠=== ………13分 所以二面角A SC B--的正弦值为36………………………………………14分 20．解：(1)令x ＝y ＝0 得f (0)＝0， …………………………………………1分令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) …………………………………3分∴f (x )在(－1,1)上是奇函数． …………………………………………4分(2)设0<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝ f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2， …………………………………6分 而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0，又x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝(1＋x 1)(1－x 1)1－x 1x 2>0， (8)分故－1<x 1－x 21－x 1x 2<0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减． …………………………………10分。
广东省揭阳一中2014年春学期高一第一次阶段考试数学试卷(有答案)
广东省揭阳一中2014年春学期高一第一次阶段考试数学试卷，有答案一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率为（ ）A ． D ．-2．已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（）． A ．a //b B ．a 与b 异面 C ．a 与b 相交 D ．a 与b 无公共点3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A ．120︒B ．150︒C ．180︒D ．240︒6．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是（ ）A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥7．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-= 8．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．[]1,5-B ．()1,5-C ．(][)15,-∞-+∞ ，D ．()1(5,)-∞-+∞ ，9．直线y x b =+与曲线x =1个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b =．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．11b -≤≤ 或b =10 ．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.[2]B.22⎡+⎣ D.[0,)+∞ 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11. 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．12．无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．13.光线从A (1，0) 出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ．14. 已知圆221:1C x y +=与圆()()222:241C x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、(PN M 、N 分别为切点），若PM PN =,则22a b +最小值是 ．三、解答题：（本大题共6题，满分80分） 15．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0 ．（1）求直线l 的方程； （2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程。
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广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题 （每小题5分，共50分）1．集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B I 等于 （ ） A.{|01}x x <≤ B.{|12}x x ≤< C.{|12}x x <≤D.{|01}x x ≤<2．如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 ( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，12，－2，－123．方程0Ax By C ++=表示倾斜角为锐角的直线，则必有 ( ) A. 0AB > B. 0AB < C . 0BC > D. 0BC < 4．函数()1xxf x a a-=++，()x x g x a a -=-，其中01a a >≠，，则 ( )A ．()()f x g x 、均为偶函数B ．()()f x g x 、均为奇函数C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数D ． ()f x 为奇函数 ，()g x 为偶函数5．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面 ( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β7． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A ．36B ．108C ．72D ．180 8．已知函数6)1(-+=+x x x g ，则)(x g 的最小值是（ ）A 、)0(gB 、)21(g C 、)21(-g D 、)1(g9．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是 ( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC10．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当221ax x ≤<时，0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为（ ）A 、(0,1)(1,3)UB 、)3,1(C 、(0,1)(1,UD 、)32,1(二、填空题 （每小题5分，共20分）11．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为____ ___． 12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②MN ∥CD .；③EF 与MN 是异面直线； ④AB 与DF 所成的角为60°以上四个命题中，正确命题的序号是____ ____．13．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ．14．已知()x f 是定义域为()()+∞⋃∞-,00,的奇函数，在区间()+∞,0上单调递增，当0>x 时，()x f 的图像如右图所示：若()()[]0<--⋅x f x f x ，则x 的取值范围是 ；三、解答题（共80分） 15．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若a = -1，求A ∩(∁R B )； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a >0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f (x )；(2)若g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5， BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点． (1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥C －ABD 的体积．18．（本小题满分14分）设函数y ＝f (x )且x 、y 满足lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )．(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)求f (x )的值域；（结果可保留分数指数幂形式）19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A SC B --的正弦值．OSBC一、选择题: DBBCA BBDDD 二、填空题：11. 2-；12. ①③ ； 13. 3 ； 14. ()()3,00,3⋃- 三、解答题（共80分）15. 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． ………………………………2分 (1) 若a =－1， B ＝{x |(x +1)·(x +3)<0}＝{x |－3<x <－1} …………………………3分 ∁R B ＝{x |x ≥－1或x ≤－3} ………………………………………………4分 ∴ A ∩(∁R B )＝{x |2<x <4} ……………………………… ………………5分 (2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件； ……………………6分 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4； ……………………9分 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4.∴a <0时成立， ……………………11分 综上所述，a ≤23或a ≥4 ………………………………… ………………12分16．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ……………………………1分a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数， ……………………………2分故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.……………………………5分 ∴ f (x )＝x 2－2x ＋2 ……………………………6分 (2) g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ……………………………8分 ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ……………………………11分∴m ≤2或m ≥6. ……………………………12分 17解：(1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ， ………………………1分∵E 是B 1C 的中点，∴ EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. ………………3分又AA 1∥BB 1，AA 1=BB 1 ，D 是AA 1的中点，∴ EG ∥AD 且EG =AD …………………………………5分 ∴四边形EGAD 是平行四边形，∴ ED ∥AG ， ………………………7分 又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ∴DE ∥平面ABC . …………9分 (2) ∵DA ⊥平面A BC ∴DA 是三棱锥D －A BC 的高DA ＝12AA 1＝3 CG ＝12BC ＝3 ∴ AG 2＝AC 2- CG 2＝16 ∴ AG ＝4 ………11分∴V C －A BD ＝V D －A BC ＝13×12BC ·AG ·D A ＝16×6×4×3＝12 ………………14分18.解：(1) lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )． ………3分∴y ＝103x (3－x )…………………………………………………………5分由⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3 ∴定义域是{x |0<x <3} ……………………7分 (2)∵y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274， …………………9分当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274，∴u ∈⎝⎛⎦⎤0，274. …………………………10分y ＝10u在⎝⎛⎦⎤0，274上是递增的，∴y max ＝10274 …………………………………12分又u>0 ∴y>1 ………………………………………………………13分 ∴值域是(1,10274] ………………………………………………14分19． 解：（1）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥， ……………1分又ABC △为等腰直角三角形，所以BC OC OB OA 21===,又BC =，∴OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥， 且SA SA SA OB SB SO 22222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，……4分∴222OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． ……………………5分 又O AO BC =⋂． 所以SO ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．………………10分 由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=I ，，得AO ⊥平面SBC． 所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠=== ………13分所以二面角A SC B --的正弦值为36………………………………………14分 20．解：(1)令x ＝y ＝0 得f (0)＝0，…………………………………………1分令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) (3)分∴f (x )在(－1,1)上是奇函数． (4)分(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2， (6)分而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0，又x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝(1＋x 1)(1－x 1)1－x 1x 2>0，……………8分故－1<x 1－x 21－x 1x 2<0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0,1)上单调递减． …………………………………10分。