湖南省高一上学期期末考试数学试题(含答案)

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湖南省长沙市教育集团2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案

教育集团2023年下学期期末考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1.已知集合{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A.{2,1,0,1,2}--B.{22}x x -≤≤∣C.{2,1,0}-- D.{20}x -≤≤【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】因为{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，所以{}2,1,0A B =-- ，故选：C. 2.函数()2x f x x=的定义域为（）A.(],2-∞ B.(),2-∞C.()(],00,2-∞⋃ D.[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.【详解】由题意得：20x x -≥⎧⎨≠⎩得：2x ≤且0x ≠，()f x \定义域为()(],00,2-∞⋃.故选：C.3.将885- 化为)()360Z,0,360k k αα⎡+⋅∈∈⎣的形式是（）A .()1652360︒︒-+-⨯ B.()1953360︒︒+-⨯C.()1952360︒︒+-⨯ D.()1653360︒︒+-⨯【答案】B 【解析】【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由600,3α︒︒⎡⎤∈⎣⎦知()88519533195108060︒︒-+-⨯=-= .故选：B.4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c R ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则3a a<C.若0a b >>，则11b ba a+<+ D.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <【答案】B 【解析】【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A 中，0a b <<有11a b<，错误；B 中，01a <<时，3a a <成立，正确；C 中，2,1a b ==时，2132>，错误；D 中，由题设，当0b =时，220cb ab ==，错误；故选：B5.函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A.54313，12B.354，13，12C.12，13354，D.13，12，543【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 5113423>>>.故选：C ．6.若角α，β均为锐角，25cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β=（）A.255B.55C.55-D.255【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.【详解】角α，β均为锐角，即0αβ<+<π，而3cos()5αβ+=，则4sin()5αβ+=，又5cos 5α=，则5sin 5α=，所以，4535sin sin[()]sin()cos cos()sin 5555βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯55=.故选：B7.将函数()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，…，A n ，若P 点坐标为（0，1），则12n PA PA PA +++=（）A.B.C.D.0【答案】A 【解析】【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫= ⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，1A 和5A ，2A 和4A 关于3A 对称，()31,1PA =-，152432PA PA PA PA PA +=+= ，∴12+++=n PA PA PA 故选：A.8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为（）A.()4,+∞ B.()0,4 C.()0,2 D.()2,+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，由单调性的定义可判断得()g x 在()0,∞+上单调递增，再将题设不等式转化为()()2g x g >，利用()g x 的单调性即可求解.【详解】令()()f x g x x=，因为对()120,x x ∀∈+∞、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()24f =，所以()()2222f g ==，故()2f x x>可化为()()2g x g >，所以由()g x 的单调性可得2x >，即不等式()2f x x>的解集为()2,+∞.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若－1＜x ＜4是－3＜x ＜a 的充分不必要条件，则实数a 的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】BCD 【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x ＜4是－3＜x ＜a 的充分不必要条件，∴{x |－1＜x ＜4}{x |－3＜x ＜a }，∴a ≥4，∴实数a 的值可以是4，5，6．故选：BCD ．10.若0x >，0y >，0n ≠，R m ∈，则下列各式中，恒等的是（）A.()lg lg lg x y x y +=+ B.lglg lg xx y y=-C.log log mnx x my yn= D.1lg lg nx x n=【答案】BD 【解析】【分析】根据对数的运算法则、换底公式逐一判断得解.【详解】因为0x >，0y >，0n ≠，m ∈R ，对于A ，lg lg lg()x y xy +=，A 错误；对于B ，lglg lg xx y y=-，B 正确；对于C ，当1,0x m ≠≠时，lg lg log log lg lg mn nx m x y n y n y y x m x m===，C 错误；对于D ，1lg lg nxx n=，D 正确.故选：BD11.下列说法正确的是（）A.向量AB 与CD共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件B.若//a b ，则存在唯一实数λ使得b aλ=C.已知()()=1,3,1,1= a b ，则a 与a b l + 的夹角为锐角的充要条件是()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.在△ABC 中，D 为BC 的中点，若AB AC AD AB ACλ+=，则BD 是BA 在BC 上的投影向量【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量可得AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线可判断 D.【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线⇒向量AB 与CD共线，反之不成立，所以A 正确；对于B 选项：当0a = ，0b ≠时，不存在实数λ使得b a λ= ，当0a = ，0b =时，存在无数个实数λ使得b a =，故B 错误；对于C 选项：因为()1,3a = ，()1,1b =r ，所以()1,3a b λλλ+=++ ，则a 与a b l +的夹角为锐角的充要条件是()·0a a b λ+>且a 与a b l + 不同向共线，即()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠，解得()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭，则实数λ的取值范围是()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项：由平面向量加法可知：AB ACAB AC+ 为“与BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量”因为AB AC AD AB ACλ+=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，所以BD是BA 在BC的投影向量，故选项D 正确.故选：ACD.12.函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A.函数()g x 的最大值为3B.函数()g x 关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.函数()g x 的最小正周期为π【答案】AD 【解析】【分析】根据给定的函数图象求出函数()f x ，进而求出()g x ，再借助余弦函数的图象和性质，逐项判断即可.【详解】观察图象知，3A =，函数()f x 的周期T 有，35ππ3π()41234T =--=，即πT =，则2ω=，显然5(312f π=，则5ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，即π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，因此π()3sin(2)3f x x =-，πππ()3sin[2(]3sin(2)3cos21232g x x x x =--=-=-，函数()g x 的最大值为3，A 正确；ππ(3cos 0126g =-≠，B 错误；π(0,)2x ∈，()20,πx ∈，函数()g x 在π(0,2上单调递增，C 错误；函数()g x 的最小正周期为2ππ2=，D 正确.故选：AD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分13.命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”否定是_________.【答案】[0,π]x ∃∈，sin 0x <.【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定写出结论即得.【详解】命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“,π[]0x ∀∈，sin 0x ≥”否定是：[0,π]x ∃∈，sin 0x <.故答案为：[0,π]x ∃∈，sin 0x <.14.若()2,1,1x x f x a x x-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(]0,1.【解析】【分析】分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：012a a >⎧⎨-+≥⎩，解得：01a <≤，故实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：(]0,1.15.把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.【答案】sin 2y x =-【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，可得cos 2y x =的图象，再向左平移4π个单位，所得图象的解析式为cos 24y x π⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：sin 2y x =-16.若2sin cos 5αα=-，则tan α=__________.【答案】2-或12-【解析】【分析】利用齐次式法列式，求解方程即得.【详解】由2sin cos 5αα=-，得22sin cos 2sin cos 5αααα=-+，即2tan 2tan 15αα=-+，整理得22tan 5tan 20αα++=，所以tan 2α=-或1tan 2α=-.故答案为：2-或12-四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}1,2,3A =，{}10B x ax =-≥.（1）当2a =时，求A B ⋂与A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1,2,3}A B ⋂=，1{|}2A B x x =≥ ；（2）1a ≥.【解析】【分析】（1）把2a =代入求出集合B ，再利用交集、并集的定义求解即得.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】当2a =时，1{|210}{|}2B x x x x =-≥=≥，而{}1,2,3A =，所以{1,2,3}A B ⋂=，1{|}2A B x x =≥ .【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，则10210310a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是1a ≥.18.已知函数()sin cos (R)f x x x x =-∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数2()1,0,2y f x x x π⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值．【答案】（1）π3π2π2π44k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈（2，最小值-2，【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简()f x ，利用整体换元法即可求解增区间，（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.【小问1详解】由于π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,故πππ2π2π242k x k -+≤-≤+，解得π3π2π2π44k x k -+≤≤+，Z k ∈,故函数()f x 的单调递增区间为π3π2π2π44k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈【小问2详解】22ππ()212sin 22cos 22sin 242y f x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2cos 2,6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当π5π2π,612x x +==时，取最小值-2，当ππ2,066x x +==19.已知函数()211x b f x x +-=+（[]1,1x ∈-）是奇函数,()()221g x x a x =+-+是偶函数.（1）求a b +;（2）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性并说明理由;（3）若函数()f x 满足不等式()()120f t f t -+<,求出t 的范围.【答案】（1）3;（2）单调递增,理由见解析;（3）10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出a b +即可;(2)先判断()f x 单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;(3)根据()f x 的奇偶性,将不等式化为()()12f t f t -<-,再根据()f x 的单调性及定义域写出范围解出即可.【小问1详解】解:由题知()211x b f x x +-=+（[]1,1x ∈-）是奇函数,()100,11b f b -∴==∴=,()()221g x x a x =+-+ 是偶函数,()()11g g ∴=-,2222a a ∴+-=-+,2a ∴=,故3a b +=;【小问2详解】()f x 在[]1,1-上的单调递增,理由如下:由(1)知()21x f x x =+,任取[]1212,,1,1x x x x <∈-,()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()22122122121111x x x x x x +-+=++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()12122212111x x x x x x --=++,[]1212,1,1,10x x x x ∈-∴-> ,12120x x x x <∴-< ,()()120,f x f x ∴-<()()12,f x f x <∴故()f x 在[]1,1-上的单调递增;【小问3详解】由(1)(2)知()21x f x x =+是奇函数且在[]1,1-上的单调递增,()()120,f t f t -+<()()()()12,12f t f t f t f t \-<-\-<-,11112112t t t t -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩,103t ∴≤<,故10,3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20.某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元），当年产量不足80台时，()21402C x x x =+，当年产量不小于80台时，()101C x x =+81002180x -，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.【答案】20.2160500,080,N 281001680,80,N x x x x y x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎪--≥∈⎪⎩；21.90台，1500万元.【解析】【分析】（1）考虑080x ≤<和80x ≥两种情况，根据()100500y x C x =--计算得到答案.（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.【小问1详解】当080x ≤<，N x ∈时，()2211100500100405006050022y x C x x x x x x =--=---=-+-；当80x ≥，N x ∈时，()8100810010050010010121805001680y x C x x x x x x =--=--+-=--，所以年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式是2160500,080,N 281001680,80,N x x x x y x x x x ⎧-+-≤<∈⎪⎪=⎨⎪--≥∈⎪⎩.【小问2详解】当080x ≤<，N x ∈时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，当60x =时，y 最大值为1300；当80x ≥，N x ∈时，8100168016801500y x x =--≤-=，当且仅当8100x x=，即90x =时取等号，而15001300>，所以当90x =时，y 有最大值为1500.21.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）m =（2）764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +===∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m t =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴312741273477m m m m ≤<≤<≠∴727637{840m m m ≤<≤<≠∴764m ≤<.22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。

湖南省益阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题含答案

益阳市2022年下学期期末质量检测高一数学（答案在最后）注意事项：1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题､多项选择题､填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分.2.答题前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题上上卡作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.试题卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,1,2,1,2,3A B ==，则A B ⋃=（）A.∅B.{}1,2C.{}0,1,2D.{}0,1,2,32.已知:sin sin ,:p x y q x y ==，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()()e ln 21xf x x =++的定义域为（） A.(),∞∞-+ B.()0,∞+ C.1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.化简：1cos2cos 2x x π-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（） A.sin x B.cos x C.2sin x D.2cos x5.已知函数()2,0,1,0,x x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()2f -=（） A.6 B.3 C.2 D.1-6.下列函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是（）A.3y x =B.ln y x =C.e e x x y -=+D.tan y x =7.为了得到函数2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要把2sin y x =的图象上的所有的点（） A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度 8.已知函数()y f x =的部分图象大致如图所示，则其解析式可以是（）A.()()2ln 12x f x x =+-B.()()2ln 14x f x x =+- C.()2e e x x f x x -=+- D.()3e e 2x x f x x -=--二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()2sin f x x =，则（）A.()f x 是R 上的奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 有最大值1D.()f x 在[]0,π上为增函数10.下列命题正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若33a b >，则a b >C.若0,0a b >>，且6a b +=，则3ab ≤D.若1a >-，则111a a +≥+11.已知231log ,log 23a b c ===，则（） A.a b > B.b c >C.a c >D.1ac <12.已知函数()()cos32lg 1f x x x x +-+的所有非负零点从小到大依次记为12,,,n x x x ，则（）A.8n =B.9n =C.1211049n x x x π-+++>D.121319n x x x π+++> 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算：32916⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 14.若点()3,4P -在角α的终边上，则sin α=__________.15.科学家研究发现，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+，记里氏9.0级地震､7.0级地震所释放出来的能量分别为12E E ､，则12E E =__________. 16.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()1y f x =+是R 上的偶函数，且()112f =，则()()()122022f f f +++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）已知5,cos 13ABC A =，求tan A 的值. （2）求证：1sin2cos sin cos sin x x x x x+=++. 18.（本小题满分12分）设集合{}251,{1}A xx B x x a =-≤=>-∣∣. （1）当2a =时，求A B ⋂；（2）若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数()222,f x x mx x =-+∈R （1）若()0f x >对一切实数x 都成立，求m 的取值范围；（2）已知2m =，请根据函数单调性的定义证明()f x 在(),2∞-上单调递减.20.（本小题满分12分）已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴交于P 点()0,1，若123,,x x x 是方程()10f x -=的三个连续的实根，且122315,88x x x x +=+=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调递增区间.21.（本小题满分12分）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w 进行监测.第一次监测时的总量为0w （单位：吨），此时开始计时，时间用t （单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w 与t 的变化关系：①0w dw =；①()0log 1(0a w b t w a =++>且1)a ≠.（1）请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；（2）根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量w 由0w 翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量w 再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：lg30.48,lg17 1.23≈≈）22.（本小题满分12分）已知函数()e ex x a f x =-. （1）若函数()f x 是R 上的奇函数，求a 的值；（2）若函数()f x 的在R 上的最小值是，确定a 的值；（3）在（2）的条件下，设()()22e 4e (0x x mf x g x mm -+-=>且1)m ≠，若()g x 在[]0,4上的最小值为1，请确定m 的值. 益阳市2022年下学期普通高中期末考试高一数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.C4.C5.B6.A7.B8.A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AB 10.BD 11.ACD 12.BC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2764 14.45 15.310 16.12四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（1）A 是ABC 的内角，()0,A π∴∈，又5cos 13A =，12sin 13A ∴==， sin 12tan cos 5A A A ∴== （2）证明：221sin2sin cos 2sin cos cos sin cos sin x x x x x x x x x+++=++ 2(sin cos )cos sin x x x x+=+ cos sin x x =+18.（本小题满分12分）解：{}{}2513A xx x x =-≤=≤∣∣ （1）当2a =时，{1}B x x =>-∣， {}3{1}{13}A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤∣∣∣（2）,13A B a ⋂≠∅∴-<，解得：2a >-，所以，a 的取值范围是()2,∞-+.19.（本小题满分12分）解：（1）x R ∀∈，有()0f x >，即2220x mx -+>恒成立， 2Δ480,m ∴=-<解得m <<m 的取值范围是( （2）由已知有()242f x x x =-+，任取()12,,2x x ∞∈-，设12x x <，()()()()22121122121242424,f x f x x x x x x x x x -=-+-+-=-+-则()12121212,,2,0,40x x x x x x x x ∞∈-<∴-<+-<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x ∴在(),2∞-上单调递减.20.（本小题满分12分）解：（1）123,,x x x 是方程()10f x -=的三个连续的实根，且122315,88x x x x +=+=，记45,x x x x ==是三根之间从左到右的两条相邻对称轴，则4515,1616x x ==， ()54122T x x ∴=-=，即24Tπωπ==，再将点P代入得：1ϕ=，且2πϕ<得4πϕ=，()44f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. （2）由()242242k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈ 解之得：31162162k k x -+≤≤+ ()f x ∴的单调递增区间为()31,162162k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 21.（本小题满分12分）解：（1）由已知将前2列数据代入解析式①得：0024dw dw =⎧⎪⎨=⎪⎩.解之得：02,dw c =⎧⎪⎨=⎪⎩∴①2w =；将前2列数据代入解析式①得：0024log 3a w b w =⎧⎨=+⎩，解之得：0322log w b a =⎧⎨=⎩， ①()()332log log 122log 12a w a t t =++=++.（2）当8t =时，模型①426w =+=，模型①32log 926w =+=；当16t =时，模型①27.66w =+≈，模型①32lg172log 17227.13lg3w =+=+≈； ∴选模型①；当总量w 再翻一番时有：()382log 12t =++，解之得26t =，即再经过26-2=24个月时，总量w 能再翻一番.22.（本小题满分12分）解：（1）()f x 是R 上奇函数，()()0f x f x ∴-+=即0,1x x x x e ae e ae a ---+-=∴=；（2）当0a <时，()e e x x a f x =-≥()ln 2a x -=时取等，即2a =∴=-；当0a ≥时，()e ex x a f x =-在R 上单调递增，没有最小值；综上所述，函数()f x 在R 上的最小值是2a =-.（3）由（2）以及()f x 的单调性可知：当[]0,4x ∈时，()442f x e e -⎡⎤∈+⎣⎦， ()()()()()2224422244,x x ee mf x f x mf x x x f x e eg x m m -+----=++∴==，记()()()24u x f x mf x =--，则()()u x g x m =在[]0,4上的最小值为1， ∴当01m <<时，()u g u m =单调递减，有()[]()max 00,4u x x =∈，当1m >时，()u g u m =单调递增，有()[]()min 00,4u x x =∈，记()t f x =，则()2444,2u t t mt t e e -⎡⎤=--∈+⎣⎦； ①当01m <<时，()22424m m u t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中12m <， ()u t ∴在442t e e -⎡⎤∈+⎣⎦上单调递增， ()()()24444max 2240u t e e m e e --∴=+-+-=，解之得44444212m e ee e --=+->+（舍）； ①当1m >时，122m >，（a ）当m ≤2m ≤()u t 在442t e e -⎡⎤∈+⎣⎦上单调递增， ()(min 840u t u ∴==--=，解之得m =；（b ）当()4422m e e -≥+时，4422m e e -≥+，此时()u t 在442t e e -⎡⎤∈+⎣⎦上单调递减，()()()24444min 2240u t e e m e e --∴=+-+-=，解之得()44444442222m e e e e e e---=+-<++（舍）；（c ）当()4422m e e -<+时，4422m e e -⎡⎤∈+⎣⎦，此时()u t 在2m t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，44,22m t e e -⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()22min 40242m m m u t u ⎛⎫∴==--< ⎪⎝⎭（舍）；综上所述，m =.。

湖南省衡阳市耒阳市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

湖南省衡阳市耒阳市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,13M N x x =-=≤≤，则M N ⋂=A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ，则命题p 的否定为（）A ．,21x x x ∃∈>+N B ．,21x x x ∃∈≥+N C ．,21x x x ∀∈≤+N D ．,21x x x ∀∈>+N 3．若sin 0α>且tan 0α<，则2α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第三象限D ．第三象限或第四象限4．设()35f x ax bx =+-，且()77f -=，则()7f =（）A ．7-B ．7C ．17D ．17-5．设0.21()a e-=，lg 2b =，6cos π5c =，则（）A ．a c b <<B ．c<a<b C ．b<c<aD ．c b a<<6．已知函数(12)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．12[,]23B ．12()23，C ．12(]23，D ．12[,237．鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（）A ．4小时B ．7116小时C ．7916小时D ．5小时8．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )＝|log 2x |，若0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，则2m +n 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()+∞D ．)∞⎡+⎣二、多选题9．设a 、b 、c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．ln ln a b>C ．()20221a b ->D ．()()2211a c b c +>+10．已知函数()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 的判断正确的是（）A ．在区间,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于直线6x π=成轴对称D ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．下列结论中正确的有（）A ．若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则实数m 的取值范围是()4,+∞B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D ．当0x >时，2xx+的最小值为12．已知函数()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的值可以是（）A ．8-B ．7-C ．6-D ．5-三、填空题13．已知71cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 8πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.14．函数()2lg 243y kx kx =--+的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_______________.15．已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若不等式x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围为________.16．已知函数())22log 31xf x e =+++，[]6,6x ∈-，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|120A x x x =--≤，{}|132B x a x a =-≤≤-.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间.（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的值域.19．已知函数()221x f x a =-+为奇函数，R a ∈.(1)求a 的值；(2)若()()2240f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围.20．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()2217,02()850251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为2010x +元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21．已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，且点A 又在函数()()f x x a =+的图象上.(1)求实数a 的值并解不等式()f x a <；(2)函数()()22h x g x =+-的图象与直线2y b =有两个不同的交点时，求b 的取值范围.22．已知函数2()21f x ax x =-+．（Ⅰ）当34a =时，求()f x 在区间[1,2]上的值域；（Ⅱ）当12a ≤时，是否存在这样的实数a ，使方程2()log 04x f x -=在区间[1,2]内有且只有一个根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【解析】根据交集的定义，找出集合M,N 的公共元素即可．【详解】因为集合{}{}1,0,1,2,13M N x x =-=≤≤，所以{}1,2M N = ，故选C.【点睛】本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题．2．D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题:,21x p x x ∃∈≤+N 的否定为：,21x x x ∀∈>+N .故选：D 3．C【详解】由sin 0α>且tan 0α<，知α为二象限角，即2,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭.则,,242k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，当k 为偶数时，2α的终边在第一象限；当k 为奇数时，2α的终边在第三象限.故选C.4．D【分析】根据f (x )＝ax 3＋bx －5，可得g (x )＝f (x )＋5＝ax 3＋bx 为奇函数，根据f (－7)＝7，求出g (－7)的值，再根据奇函数的性质，求出g (7)的值，进而得到f (7)的值．【详解】令g (x )＝f (x )＋5＝ax 3＋bx ，∵g (－x )＝a (－x )3＋b (－x )＝－ax 3－bx ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，∵f (－7)＝7，∴g (－7)＝f (－7)＋5＝12，又∵g (－7)＝－g (7)，∴g (7)＝－12，又∵g (7)＝f (7)＋5，∴f (7)＝－17，故选：D ．5．D【分析】由指数函数的性质求得1a >，由对数函数的性质求得(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得0c <，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.20111((e ea ->==，由对数函数的性质，可得lg 2lg101b =<=且0b >，即(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得6cos cos()cos 0555c ππππ==+=-<，所以c b a <<.故选：D.6．C【分析】分段函数在R 上单调递减，即：各段上都单调递减且分界点在左边解析式的函数值大于等于分界点在右边解析式的函数值.【详解】由题意，120120123121a a a a a-<⎧⎪<<⇒<≤⎨⎪-+≥⎩故选：C.7．C【分析】分01t <≤和1t >两种情况令14y ³，解不等式得到t 的范围即可得到杀虫剂的有效时间.【详解】由题图可知34,011,12t t t y t -<≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，当01t <≤时，令14y ³，即144t ≥，解得1116t ≤≤；当1t >时，令14y ³，即31124t -⎛⎫⎪≥⎝⎭，解得15t <≤，所以投放该杀虫剂的有效时间为17951616-=小时.故选：C.8．D【分析】根据函数的解析式和,m n 的取值范围可求出mn ＝1，从而利用基本不等式即可求出2m +n 的取值范围.【详解】因为f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，所以22log log m n =，即22log log m n -=，所以mn ＝1．∴2m +n ≥2m ＝n ，即2m n =故2m +n 的取值范围为)⎡+∞⎣.故选：D ．9．CD【分析】取0a b >>，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，而a 、b 不一定是正数，所以B 错误；对于C ，因为0a b ->，所以()20221a b ->，所以C 正确；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：CD 10．ABD【分析】逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.【详解】对于选项A ，,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，4,323x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为增函数；对于选项B ，()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为T ωπ==π；对于选项C ，因为(0)()3f f π==，(0)(3f f π≠，所以图象不是关于直线6x π=成轴对称；对于选项D ，令32k x ππ+=，Z k ∈，得23k x ππ=-，令1k =得6x π=，所以图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故选：ABD.【点睛】本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推理的核心素养.11．ACD【分析】转化为x ∀∈R ，240x x m ++≠，计算2440m ∆=-<，可得出m 的范围，即可判断A 项；根据不等式的性质，可判断B 项；求出11a<的等价条件为1a >或a<0，即可判断C 项；根据基本不等式，即可判断D 项.【详解】对于A 项，等价于x ∀∈R ，240x x m ++≠，则2440m ∆=-<，解得4m >，故A 项正确；对于B 项，因为22ab cb >，显然20b >，210b>，所以a c >；因为a c >，若0b =，则22ab cb =，故B 项不正确；对于C 项，111a a a--=，所以11a <等价于10a a -<，即()10a a ->，所以1a >或a<0.显然“1a >”是“1a >或a<0”的充分不必要条件，故C 项正确；对于D 项，当0x >时，2xx+≥2x x=，即x D 项正确.故选：ACD.12．CD【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到230x x +=，1(7,3]x ∈--，即可得到答案.【详解】函数()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩的图象图所示：设123x x x <<，因为()()()123f x f x f x ==，所以230x x +=，当2113x --=时，7x =-，2115x --=-时，3x =-，所以1(7,3]x ∈--，即1231(7,3]x x x x ++=∈--.故选：CD13．15-【分析】观察出788ππααπ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用诱导公式求解即可.【详解】因为71cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以771cos cos cos 8885πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：15-【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.14．3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据题意，将问题转化为22430kx kx --+>恒成立问题，结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意可知，22430kx kx --+>恒成立，当0k =时，30>恒成立，当0k ≠时，20Δ16240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得302k -<<，综上：302k -<≤，故k 的取值范围为3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.15．()4,2-.【分析】利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ，∴21x y+=1，∴2142(2)()4428x y x y x y x y y x +=++=++≥+，当且仅当4x yy x=，即4,2x y ==时等号成立，∴2x y +的最小值为8，由228m m +<解得42m -<<，∴实数m 的取值范围是()4,2-故答案为：()4,2-．16．8【分析】先对()f x 变形得())21log 41xxe f x e -=+++，再构造函数)21()log 1xxe g x x e -=++，判断()g x 为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案【详解】由题意可得()))2221log 3log 411xx xe f x e e -=++=++++，令)21()log 1xxe g x e-=++，则()()4f x g x =+，[]6,6x ∈-因为)21()log 1xxe g x e ----=++21log +1x xe e -=121log )1xxe e --=-+21[log )]()1xxe g x e -=-+=-+所以)21()log 1xxe g x e ----=++为奇函数，所以()g x 在[6,6]-最大值与最小值之和为0，所以8M m +=.故答案为：8【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数()f x 变形，得到())21log 41xxe f x e -=+++后，判断函数)21()log 1xxe g x x e -=++为奇函数，考查计算能力，属于中档题17．(1){}|24A B x x =≤≤ (2)(],2-∞【分析】（1）先解二次不等式化简集合A ，再根据集合的交集运算即可求得答案；（2）根据题意得到B A ⊆，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出关于a 的不等式组，解之即可.【详解】（1）由2120x x --≤可得34x -≤≤，所以{|34}A x x =-≤≤，又当3a =时，{|27}B x x =≤≤，所以{|24}A B x x ⋂=≤≤.（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，321a a -<-，可得12a <；当B ≠∅时，32113324a a a a -≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可得122a ≤≤；综上：2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.18．（1）T π=；37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）⎡⎤⎣⎦【解析】（1）由2T πω=得到最小正周期，由3222242k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得到()f x 的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦得到32444x πππ-≤-≤，从而得到()f x 的值域.【详解】（1）函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为22T ππ==，由3222242k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得37()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以32444x πππ-≤-≤，所以sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()2sin 24f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()f x的值域为⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查求正弦型函数的周期，单调区间和值域，属于简单题.19．(1)1a =(2)()2,+∞【分析】（1）根据()00f =得1a =，再检验即可；（2）先证明函数()f x 在R 上是增函数，再根据奇偶性得224x x k -+<恒成立，再结合二次函数性质求解即可.【详解】（1）解：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，即02021a -=+，解得1a =；∴()22112121x x x f x -=-=++，∴()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，满足奇函数定义，∴1a =（2）解：设12,x x 是R 上的任意两个值，且12x x <，∴()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221122222221212121x x x x x x -=-=++++，∵12x x <，∴1222x x <，1211x +>，2211x +>，12220x x -<，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上是增函数；∵()()2240f x x f x k -++--<∴()()224f x x f x k -+<---，∵()f x 为奇函数，∴()()224f x x f x k -+<+，∵()f x 为R 上单调递增函数，∴224x x x k -+<+，即224x x k -+<恒成立，∴()2max 24x x k -+<，∵()2224212x x x -+=--+，∴当1x =时，224x x -+取得最大值为2，∴2k >，即实数k 的取值范围为()2,+∞.20．（1）22020330,02()8049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩；（2）3千克，最大利润是390元.【解析】（1）根据题意可以直接得到利润表达式；（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.【详解】（1）由已知()()10()2010f x W x x =-+，∴()22017(2010),02()80500(2010),251x x x f x x x x ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪-⎩，∴22020330,02()8049020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩.（2）由（1）得当02x ≤≤时，221()2020330203252f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴当02x ≤≤时，()()2370f x f ≤=；当25x <≤时，8080()4902049020(1)2011f x x x x x ⎡⎤=--=-+-+⎢⎥--⎣⎦8047020(1)1x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦470390≤-=，当且仅当()802011x x =--时，即3x =时等号成立，∵370390<，∴当3x =时，max ()390f x =，即当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．(1)1a =，不等式的解集为()1,0-(2)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由指数函数的性质可求得定点，再将定点代入())f x x a =+即可求得a ，再解不等式()f x a <即可求得结果.（2）由（1）求得()g x ，再求得()h x 的解析式，画出图像，由图像可得b 的取值范围.【详解】（1）函数()g x 的图象恒过定点A ，当20x -=时，即2,2x y ==，∴A 点的坐标为()2,2，又A 点在()f x 上，∴()()222f a =+=，解得1a =，()f x a <，∴()10x +<=，∴011x <+<，∴10x -<<，∴不等式的解集为()1,0-；（2）由（1）知()()221x g x g x -==+，∴()()22212x h x g x b =+-=-=，分别画出()y h x =与2y b =的图象，如图所示：由图象可知：021b <<，故b 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．（Ⅰ）1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）存在，102a <≤.【解析】（Ⅰ）先把34a =代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；（Ⅱ）函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点，转化为函数2()log h x x =和2()23g x ax x =-+的图象在[]1,2内有唯一交点，根据()g x 中a 是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）当34a =时，23()214f x x x =-+，对称轴为：43x =，所以函数()f x 在区间41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增；则()()()min max 41,2033f x f f x f ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[1,2]上的值域为1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由222()log 23log 4x y f x ax x x =-=-+-，令0y =，可得2223log 0ax x x -+-=，即2223log ax x x -+=，令2()23g x ax x =-+，2()log h x x =，[]1,2x ∈，函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点，等价于两个函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点；①当0a =时，()23g x x =-+在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，而()()()()1101,2112g h g h =>==-<=，所以函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点.②当a<0时，()g x 图象开口向下，对称轴为10x a=<，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，当且仅当(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得112a -≤≤，所以10a -≤<.③当102a <≤时，()g x 图象开口向上，对称轴为12x a =≥，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得112a -≤≤，所以102a <≤.综上，存在实数11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使函数2()log 4x y f x =-于在区间[]1,2内有且只有一个点.【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.。

2022-2023学年湖南省株洲二中高一数学第一学期期末考试试题含解析

，
当时，，或，
∴ 或；
【小问2详解】
由是的充分条件，知：，
∴ ，解得，
∴ 的取值范围为 .
21、（1），；
（2）
【解析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及 .
（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围
【小问1详解】
由得：，所以，则，
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】解绝对值不等式求解集，根据充分、必要性的定义判断题设条件间的充分、必要关系.
【详解】由，可得，
∴“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
13．已知集合，则的元素个数为___________.
14．已知则 _______.
15．函数函数的定义域为________________
16．已知平面和直线，给出条件：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
（1）当满足条件_________时，有；
（2）当满足条件________时，有．（填所选条件的序号）
同理方程的两个解也要关于直线对称，同理
从而可得若关于的方程有一个正根，则方程有两个不同的实数根；
若关于的方程有两个正根，则方程有四个不同的实数根
综合以上情况可得，关于的方程的解集不可能是．选D
非选择题
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、5
，则，
，所以 .
19、（1）1（2）
（3）答案见解析

湖南省湘西州2021-2022学年高一上学期期末数学试题含解析

【详解】（1）要使有意义，只需，解得，
所以的定义域为，关于原点对称.
又因为，
所以函数是奇函数.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增.
（2）对任意，存在，使得不等式成立，
等价于，
由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，
，
函数的对称轴为，
当时，，则，
（2）利用平移变换，得到，再令求解；
【小问1详解】
解：数据补充完整如下表：
0
0
5
0
－5
0
函数f（x）的解析式为； .
【小问2详解】
将图象上所有点向左平移个单位长度，
得到
由，可解得：
当时，可得：
从而可得离原点O最近的对称中心为：
18.已知函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集；
对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确.
故选：ACD.
9.已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别画出，的图象，结合图象即可判断
【详解】分别画出，的图象，如示意图：
实数，满足等式，
可得：，或，或．
故选：ABD.
17.某同学将“五点法”画函数在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象，求的图象离原点O最近的对称中心.
【答案】（1）表格见解析，

2022-2023学年湖南省湘潭市高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省湘潭市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知命题:N,e e x p x x ∃∈≤，则命题p 的否定为（） A ．N,e >e x x x ∃∈ B ．N,e e x x x ∃∈≥ C ．N,e e x x x ∀∈≤ D ．N,e e x x x ∀∈>【答案】D【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系即可得出结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为N,e e x x x ∀∈>．故选：D.2．若集合{1,4,7}A =-，{1,3,7,9}B =-，则A B =（） A ．{1,7}- B ．{1,3}- C ．{1,3,7}- D ．{1,3,4,7,9}-【答案】A【分析】利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{1,4,7}A =-，{1,3,7,9}B =-，所以{1,7}A B ⋂=-，故选：A3．下列函数为增函数的是（） A ．()31log f x x= B ．()3f x x =C ．()sin f x x =D ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数()31log f x x =与()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数，不符合题意；函数()sin f x x =在π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数，不符合题意；根据幂函数的性质知()3f x x =为增函数.故选:B.4．若角α是第一象限角，则2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【分析】根据题意得18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，分k 为偶数和奇数求解即可.【详解】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈，所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角，当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ． 5．函数()22111x f x x +=-+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数()22111x f x x +=-+的定义域为R ，()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+，因此()f x 是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，选项C ，D 不满足；又()1102f =>，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. 故选：A6．设0.2.3203,0.3,log 2a b c ===，则（） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．a c b >> D ．b c a >>【答案】B【分析】根据指数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为0.20200.30.3331,00.30.31,log 2log 10a b c =>=<=<==<=，所以a b c >>.故选：B7．从盛有1L 纯酒精的容器中倒出2L 3，然后用水填满；再倒出2L 3，又用水填满；…；连续进行n 次，容器中的纯酒精少于0.01L ，则n 的最小值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】利用指数的运算性质求解即可.【详解】由题意可得21110.0133100n n⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，*Z n ∈，因为45111111,3811003213100⎛⎫⎛⎫=>=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5n ≥，故选：A8．已知π3sin 54α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 210α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．716-B ．716C ．18-D ．18【答案】C【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.【详解】令π5t α=-，所以3sin 4t =，π5t α=+，所以2ππ1sin(2)sin(2)cos 212sin 1028t t t α+=+==-=-．故选：C ．二、多选题9．下列等式正确的是（）A ．1sin15cos154︒︒=B．22sin 22.51︒-=C．sin 26cos34cos26sin 34︒︒+︒︒= D ．tan 71tan 2611tan 71tan 26︒-=+︒︒︒【答案】ACD【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，A 正确；22sin 22.51cos 452︒-=-︒=-，B 错误； ()sin 26cos34cos 26sin 34sin 2634sin 60︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，C 正确； ()tan 71tan 26tan 7126tan 4511tan 71tan 26︒-︒=︒-︒=︒=+︒︒，D 正确；故选：ACD10．下列命题正确的是（） A ．若0a b >>，0m >，则a b m m> B ．若1a b <<，则33a b >C ．若0x >且1x ≠，则1ln 2ln x x +≥ D ．若正数a ，b 满足2a b +=，则112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误；当()0,1x ∈时，1ln 0ln x x+<，C 错误；正数a ，b 满足2a b +=，则()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，D 正确. 故选：AD.11．已知α是第三象限角，且2tan211tan2aα=-，则（）A ．tan 1α= B．sin α= C ．4sin 25α=D ．π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】利用正切的二倍角公式判断A ，利用同角三角函数关系判断B ，利用正弦的二倍角公式判断C ，利用正切的两角差公式判断D.【详解】由题意得22tan2tan 21tan 2ααα==-，A 错误；又α是第三象限角，sin 0α<，所以由22sin cos 1sin tan 2cos ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩解得sin α=，cos α=，B 正确；4sin 22sin cos 5ααα==，C 正确；πtan 11tan 41tan 3ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，D 错误；故选：BC12．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数[]y x =，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ．如[]20222022=，[]1.71=，[]1.52-=-，记函数()[]f x x x =-，则（）A ．()2.90.9f -=B ．()f x 的值域为[)0,1C ．()f x 在[]0,5上有5个零点D ．a ∀∈R ，方程()f x x a +=有两个实根【答案】BD【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()[]()2.9 2.9 2.9 2.930.1f -=---=---=，选项A 错误；当10x -≤<时，[]1x =-，()[]1f x x x x =-=+ 当01x ≤<时，[]0x =，()[]f x x x x =-=；当12x ≤<时，[]1x =，()[]1f x x x x =-=-……以此类推，可得()[]f x x x =-的图象如下图所示，由图可知，()f x 的值域为[)0,1，选项B 正确；由图可知，()f x 在[]0,5上有6个零点，选项C 错误；a ∀∈R ，函数()y f x =与y a x =-的图象有两个交点，如下图所示，即方程()f x x a +=有两个根，选项D 正确．故选：BD三、填空题13．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知D 为OA 的中点，4OA =，3π4AOB ∠=，则此扇面（扇环ABCD ）部分的面积是__________.【答案】9π2【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】()2213π9π42242ABCD AOB DOC S S S =-=⨯⨯-=扇环扇形扇形. 故答案为：9π2. 14．若函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，请写出一个ϕ的值：ϕ=______.【答案】π8（答案不唯一，符合ππ82k +，Z k ∈即可）【分析】将2x ϕ+看作一个整体，利用余弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】由题意可知ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ82k ϕ=+，Z k ∈，故答案为：π8（答案不唯一，符合ππ82k +，Z k ∈即可） 15．已知()sin cos 2sin cos f αααα+=，则πcos 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12-##0.5-【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值. 【详解】已知()sin cos 2sin cos f αααα+=，因为()2sin cos 12sin cos αααα+=+，所以令sin cos t αα=+，则()21f t t =-，则π11cos 1422f f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：12-16．已知0a >，函数2,0()πsin ,02π5ax a x f x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，已知()f x 有且仅有5个零点，则a 的取值范围为__________．【答案】191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】当2a ≥时，()f x 在(,0)-∞上无零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有5个零点；当2a <时，()f x 在(,0)-∞上恰有一个零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.【详解】当0x <时，()2f x ax a =-+-，令()0f x =，得21x a=-，若210a-≥，即2a ≥时，()f x 在(,0)-∞上无零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有5个零点，当[0,2π]x ∈时，πππ,2π555ax a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，所以π5π2π6π5a ≤+<，即1229510a ≤<. 若210a-<，即2a <时，()f x 在(,0)-∞上恰有一个零点，所以()f x 在[0,2π]上有且仅有4个零点，所以π4π2π5π5a ≤+<，即191255a ≤<，又2a <，所以1925a ≤<. 综上所述：a 的取值范围为191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.四、解答题17．若角α终边上一点P 的坐标为()3,4m m ，其中0m ≠. (1)求tan α的值；(2)若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)4tan 3α=【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可；（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.【详解】（1）因为角α终边上一点P 的坐标为()3,4m m ，且0m ≠，所以由三角函数的定义可得44tan 33m m α==. （2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以40,sin 5m α>==，3cos 5α==，所以πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫-=+=⎪⎝⎭.18．设全集U =R ，集合{}212200,{ln 2ln3},{25}M x x x N x x P x a x a =-+≤=<=<<+∣∣∣. (1)求(),UMN MN ；(2)若P N ⊆，求a 的取值范围. 【答案】(1){010}MN x x =<≤∣，(){}910UMN x x =≤≤∣(2)][)0,45,∞⎡⋃+⎣【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法化简集合,M N ，再由集合的运算求解即可；（2）讨论P =∅、P ≠∅两种情况，根据包含关系求得a 的取值范围.【详解】（1）由{}212200M xx x =-+≤∣，得{}210M x x =≤≤∣，由{ln 2ln3}N xx =<∣，得{09}N x x =<<∣，所以{010}M N x x =<≤∣.由{09}N xx =<<∣得{0UN x x =≤∣或9}x ≥，所以(){}910UMN x x =≤≤∣.（2）当P =∅时，25a a ≥+，即5a ≥，符合题意，当P ≠∅时，255920a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，解得04a ≤≤，符合题意.综上，a 的取值范围为][)0,45,∞⎡⋃+⎣.19．已知幂函数()()2211m f x m x -=-⋅在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值； (2)若()20,22f x ax x x∀>≥-，求a 的取值范围. 【答案】(1)2m = (2)[)2,+∞【分析】（1）根据幂函数的性质和概念求解即可；（2）不等式可转化为224a x x ≥-+对0x >恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求224x x -+的最大值即可.【详解】（1）因为()()2211m f x m x -=-⋅是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，所以()211210m m ⎧-=⎪⎨->⎪⎩，解得2m =.（2）由（1）得()3f x x =，所以0,22a x x x∀>>-，即224a x x ≥-+对0x >恒成立，由一元二次函数的图象和性质可得当4122x 时，224x x -+有最大值2，所以2a ≥，即a 的取值范围为[)2,+∞. 20．已知函数()()()22log 4log 2f x x x =---． (1)求()f x 的定义域; (2)求()f x 的值域．【答案】(1)()4,+∞ (2)(),0∞-【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.（2）运用对数运算性质将()f x 化简为22log 12x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,根据(1)中的定义域求得212x --的范围,再根据2log y x =的单调性即可求得()f x 值域.【详解】（1）因为()()()22log 4log 2f x x x =---,所以4020x x ->⎧⎨->⎩,解得4x >, 所以()f x 的定义域为()4,+∞．（2）因为()()()22log 4log 2f x x x =--- 2224222log log log 1222x x x x x ---⎛⎫===- ⎪---⎝⎭, 由(1)知()f x 的定义域为()4,+∞, 所以22x ->,2012x <<-,20112x <-<-，因为2log y x =是增函数，所以()2log 10f x <=，故()f x 的值域为(),0∞-．21．已知函数2()2ln (1)2n f x x x =+-+. (1)证明：当1n =时，()f x 在(1,e)上有零点.(2)当2n =时，关于x 的方程()f x m =在[1,2]上没有实数解，求m 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)(,3)(62ln2,)-∞++∞【分析】（1）根据零点存在性定理即可计算端点处的函数值进行求证，（2）根据函数的单调性求解()f x 在[1,2]x ∈上的值域，进而根据()min,m f x <⎡⎤⎣⎦ 或()max,m f x >⎡⎤⎣⎦即可求解.【详解】（1）当1n =时，2()2ln 2f x x x =-+，因为2(1)10,(e)4e 0f f =>=-<，所以(1)(e)0f f <，因此()f x 在(1,e)上有零点.（2）当2n =时，2()2ln 2f x x x =++，由于2ln ,y x y x ==均为[1,2]x ∈上的单调递增函数，故()f x 在[1,2]x ∈上单调递增.又(1)3,(2)62ln2f f ==+，故()f x 在[1,2]x ∈上的值域为[]3,62ln 2+，且关于x 的方程()f x m =在[1,2]上没有实数解，故()min m f x <⎡⎤⎣⎦ 或()max m f x >⎡⎤⎣⎦，即3m <或62ln 2m >+所以m 的取值范围为(,3)(62ln2,)-∞++∞.22．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)将()y f x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到()y g x =的图像，求函数()g x 的单调递增区间；(3)在第（2）问的前提下，对于任意1ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否总存在实数2ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x m+=成立若存在，求出实数m 的值或取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)存在，0m =【分析】（1）由题知1A =，7ππ4123T =-，求出T 从而得ω的值，将特殊点代入函数中求出ϕ，即可解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；（3）假设存在实数m 的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由()()12f x g x m +=，得()()21g x m f x =-，再根据所给的角把()()21,g x m f x -范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可.【详解】（1）由图可知1A =，7πππ41234T =-=，则2ππT ω==，2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以7π2π(Z)π62k k ϕ+=-+∈，即5π2π(Z)3k k ϕ=-+∈ 又π2ϕ<，所以当1k =时，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()y f x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得：πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移π6个单位长度得到：()πππsin 4sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由πππ2π42π232k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得ππ5ππ242242k k x -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z（3）由()()12f x g x m +=，得()()21g x m f x =-，由1ππ33x -≤≤，得1ππ2π33x -≤+≤，所以1sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()11,m f x m m ⎡-∈-⎢⎣⎦. 又2ππ66x -≤≤，得2πππ433x -≤-≤，所以2π1sin 43x ⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭.由题可知1,m m ⎡⎡-⊆-⎢⎢⎣⎦⎣⎦，得11m m -≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩解得0m =，所以存在0m =，使得()()12f x g x m +=成立.。

2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}{23},0,1,2A xx B =-<<=∣，则A B =（） A ．{}1,0,1,2- B ．2,0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义即可求. 【详解】A B ={}0,1,2 故选：C.2．已知关于x 的一元二次不等式2320x x -+<的解集为{}x m x n <<∣，则m n +的值是（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.【详解】依题意可得，,m n 分别是关于x 的一元二次方程2320x x -+=的两根，根据韦达定理可得：3m n +=.故选：A.3．下列函数是偶函数的是（） A ．lg y x = B ．2x y = C ．3y x = D ．cos y x =【答案】D【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.【详解】函数lg y x =为非奇非偶函数；函数2x y =为非奇非偶函数；函数3y x =为奇函数，函数cos y x =为偶函数. 故选：D.4．已知0.4231log 3,2,log 2a b c -===则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可．【详解】因为22log 3log 21a =>=，0.400221b -<=<=，331log log 102c =<=，所以a b c >>. 故选：A ．5．若,R a b ∈，则“a b <”是“ln ln a b <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出不等式ln ln a b <的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由ln ln a b <得0a b <<，因为若0a b <<，则a b <，反之不成立，故“a b <”是“0a b <<”的必要不充分条件，即“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件. 故选：B6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．B ．12C ．D ．14【答案】A【分析】根据三角函数的定义得1sin ,cos 2y x r r αα====sin22sin cos ααα=解决即可.【详解】由题得，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1r OP ===,所以1sin ,cos 2y x r r αα====所以1sin22sin cos 22ααα⎛==⋅⋅= ⎝⎭故选：A7．2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v 满足公式：ln 1⎛⎫=+ ⎪⎝⎭M v w m ，其中M为火箭推进剂质量，m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当3M m =时， 5.544=v 千米/秒．在保持w 不变的情况下，若25m =吨，假设要使v 超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M 至少约为（结果精确到1，参考数据：2e 7.389≈，ln 20.693≈）（） A ．135吨 B ．160吨 C ．185吨 D ．210吨【答案】B【分析】根据所给条件先求出w ，再由8v =千米/秒列方程求解即可. 【详解】因为当3M m =时， 5.544=v ，所以 5.544 5.544ln 42ln 2w ==，由 5.544ln(1)82ln 1ln 225M v w m M +⎛⎫=+=⎪⎝=⎭，得ln 1225M ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭，所以21e 7.38925M+≈≈，解得159.725160M =≈（吨），即M 至少约为160吨. 故选：B8．已知函数()()221,,R f x x g x x x =-+=-∈，用()M x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,M x f x g x =，则()M x 的最大值为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】先把()M x 写成分段函数的形式，再求最大值即可【详解】令221x x -+>-，即2210x x --<,解得1<<12x -, 所以[)21,,12()121,,1,2x x M x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪-+∈--⋃+ ⎥⎪⎝⎦⎩，当1,12x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由y x =-在定义域内单调递减可得11()22M x M ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，当[)1,1,2x -⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦时，由二次函数的性质可得max 11()()22M x M =-=,综上，函数()M x 的最大值为12，故选：D二、多选题9 ） A ．cos150 B ．cos12cos42sin12sin42+ C ．2sin15cos15 D ．22cos 15sin 15-【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．【详解】2c 3os150cos(180co 300)s3=-=-=-，故A 错误；()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====--，故B 正确； 12sin15cos15sin 302︒︒︒==，故C 错误；22cos 15sin 1cos305︒-==D 正确．故选：BD.10．下列说法正确的是（）A ．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∀∈≤”B ．若正数,a b 满足1a b +=，则14ab ≤C ．函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是πD ．半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长等于π3【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；利用基本不等式可判断B ；利用三角函数的周期公式可判断C ；利用扇形的弧长公式可判断D.【详解】命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∃∈<”，故A 错误； 2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故B 正确；函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==，故C 正确；半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长为ππ133⨯=，故D 正确.故选：BCD.11．已知函数()()2222,22x x x xf xg x ---+==，则下列说法正确的是（） A ．函数()g x 的图象关于x 轴对称 B ．函数()f x 在区间()1,1-上单调递增 C ．()()()22f x f x g x = D ．()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦- 【答案】BC【分析】由函数的定义可判断A ；由函数2x y =与2x y -=-都是R 上的增函数可判断B ；计算等式的两边进行验证可判断C 、D.【详解】由函数的定义可知，函数()g x 的图象不关于x 轴对称，故A 错误；因为函数2xy =与12()2xx y -=-=-都是R 上的增函数，则()222x xf x --=是R 上的增函数，所以函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，故B 正确；22222222(2)22()()222x x x x x xf x f xg x -----+==⋅⋅=，故C 正确；()222222x xg x -+=，()()22222222122x x x x g x f x --⎛-⎫⎛⎫+-=-=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：BC.12．已知正实数,,x y z 满足236x y z ==，则（） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．24xy z <D ．4x y z +>【答案】AD【分析】令236x y z t ===，得出x y z ，，．选项A ，根据换底公式计算即可判断；选项B ，结合作差法和换底公式即可判断；选项C 、D ，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断．【详解】令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =，3log y t =，6log z t =．对于A ，231111lg 2lg 3lg 61log 6log log lg lg lg t x y t t t t t z+=+=+===，故A 正确；对于B ，因为1t >，故lg 0t >，232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >；()3623lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 3363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 错误．对于C ，()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t xy t t =⋅=⋅=⋅，()()()2222624lg lg 44log 4lg 6lg 6t t z t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，lg 0t >，因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立），所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⋅，即24xy z >，故C 错误；对于D ，23lg lg lg 6lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t x y t t ⋅+=+=+=⋅，64lg 44log lg 6t z t ==，lg 0t >，因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立），所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()2lg 6lg 4lg 6lg 4lg lg 2lg3lg 6lg 6t t t⋅⋅>=⋅，即4x y z +>，故D 正确．故选：AD ．三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象经过点(2，则()4f 的值等于_________. 【答案】2【解析】设出幂函数()f x x α=，将点(2代入解析式，求出解析式即可求解. 【详解】设()f x x α=，函数图像经过(2，2α=，解得12α=，所以12()f x x =，所以()12442f ==. 故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14．1323log 3log 28⋅+=__________.【答案】3【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.【详解】解：1323lg 3lg 2log 3log 2823lg 2lg 3⋅+=⋅+=. 故答案为：3.15．若函数()f x 满足：（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <；（2）()()()1212f x x f x f x +=，则()f x =__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答案】2x （答案不唯一）【分析】由条件（1）可判断函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），即可得解. 【详解】由条件（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），故可选一个单调递增的指数函数：()2xf x =．故答案为：2x （答案不唯一）．16．已知R t ∈，函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是__________.【答案】(]()4,14,∞-⋃+【分析】根据分段函数，得函数图象，求得()40f x -=是所有可能的根，结合图象可的方程()40f x -=恰有2个实数解时t 的取值范围.【详解】解：函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，函数图象如下图所示：方程()40f x -=，若40x -=，即34x =；若2340x x +-=，得14x =-，21x =；结合图象可知：当4t ≤-时，方程()40f x -=仅有一个实数解4x =；当41t -<≤时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，4x =；当14t <≤时，方程()40f x -=恰有三个实数解4x =-，1x =，4x =；当4t >时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，1x =；综上，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是(]()4,14,∞-⋃+. 故答案为：(]()4,14,∞-⋃+.四、解答题17．已知集合{}21,{26}A xa x a B x x =<<+=<<∣∣. (1)当2a =时，求A B ⋂； (2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){25}xx <<∣(2)⎡⎣【分析】（1）由交集的定义求解即可；（2）根据题意列出不等式组求解．【详解】（1）当2a =时，{25}A x x =<<∣ 因为{26}B xx =<<∣ 所以{25}A B xx ⋂=<<∣. （2）22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，21a a ∴<+恒成立，A ∴≠∅，A B ⊆22,?16a a ≥⎧∴⎨+≤⎩，解得：2a ≤≤故实数a 的取值范围为⎡⎣.18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()()4g x f x =-，求()g x 的零点. 【答案】(1)()1,1- (2)零点为1517.【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；（2）令()0g x =，得()4f x =，解方程即可．【详解】（1）由题意得1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-.（2）令()()()40,4g x f x f x =-=∴= 211log 41611x x x x ++∴=⇒=--，解得()151,117x =∈-，故()g x 的零点为1517. 19．（1）已知sin 2cos 0αα+=，求22cos sin sin cos αααα-的值；（2）在①sin 2cos 0αα+=，②sin cos αα+=解答.已知α为第四象限的角，__________.4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）16（2）【分析】（1）由题意得tan 2α=-，所求式子弦化切代入计算即可；（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得sin ,cos αα，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用22(sin cos )2(sin cos )αααα-=-+结合角的范围求得sin cos αα-，然后利用两角差的正弦计算即可.【详解】（1）由sin 2cos 0αα+=，得tan 2α=-， 222cos 11.sin sin cos tan tan 6αααααα∴==-- （2）选择①：sin 2cos 0αα+=，即tan 2α=-，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，又22sin cos 1,sin αααα+=∴==sin cos αα∴-=)sin cos 4πααα⎛⎫--= ⎪⎝⎭选择②：sin cos αα+=22sin cos 1αα+=， 229(sin cos )2(sin cos )5αααα∴-=-+=，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，sin cos αα∴-=)sin cos 422πααα⎛⎫--=-⎪⎝⎭20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产x 百件该产品，需另投入成本()p x 万元，且210,060()6400712000,60x x x p x x x x ⎧-<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品销售单价为0.7万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．(1)求全年的利润()f x 万元关于年产量x 百件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．【分析】（1）根据题意分为060x <<，60x ≥两种情况，求得函数解析式；（2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．【详解】（1）（1）当060x <<时，()()22706001080600f x x x x x x =---=-+-当60x ≥时，()64006400706007120001400f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）（2）若060x <<，()()2208060000041f x x x x =-++-=--，则当40x =时，()max ()401000f x f ==（万元）若()6400640060,14001400214001601240x f x x x x x ⎛⎫≥=-+≤-⋅=-= ⎪⎝⎭（万元），当且仅当80x =时“＝”成立．则当80x =时，max ()1240f x =（万元）1000万元1240<万元，故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．21．已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)1724π【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出ω，将点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入新解析式，得5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出ϕ，将点()0,1代入新解析式，即可得出A ，即可得出答案；（2）设()()()h x f x g x =-，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出()h x 在区间[],m m π-上单调递减，由三角函数的单调区间解出()h x 的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上，所以5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<， 554663πππϕ∴<+<，则56πϕπ+=，即6πϕ=，因为点()0,1在函数图像上，所以sin 16A π=，即2A =，故函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由题意可得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ []12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x -<-恒成立，即()()12h x h x <恒成立，()h x ∴在区间[],m m π-上单调递减，令32222122k x k πππππ+≤-≤+，解得719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为m m π-<，所以2m π>，则2m ππ-<，故7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得17224m ππ<≤，所以m 最大值为1724π. 22．已知函数()()22R 21x x t t f x t ⋅-+=∈+为奇函数.(1)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)若正数,a b 满足()()2120f a f b ++-=，求2212a b +++的最小值； (3)解不等式()22220f x x -+->. 【答案】(1)证明见解析； (2)165；(3)((),2,-∞+∞. 【分析】（1）利用函数的奇偶性得出1t =，然后利用函数单调性的定义证明即可；（2）由已知条件求得21a b +=，即()2125a b +++=，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；（3）令()()g x f x x =+，易知()g x 是奇函数，且在R 上单调递增，又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->，从而220x ->，求解即可．【详解】（1）函数()f x 的定义域是R ，由题意得()00f =，解得：1t =，则()2121x f x =-+， ()()22222112021212121x x x x x f x f x -⋅-+=-+-=--=++++，f x 为奇函数，故1t =，任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()12211222221121212121x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()12122121111122222221212121x x x x x x x x +++++---==++++，因为12,R x x ∈，且12x x <，所以121211220,210,210x x x x ++<-+>+>，所以()()()()122111122202121x x x x f x f x ++-=<++-，故()()12f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）因为()()()2120,f a f b f x ++-=为奇函数，所以()()()2122f a f b f b +=--=-，又函数()f x 在R 上单调递增，所以正实数,a b 满足21221a b a b +=-⇒+=，所以()2125a b +++=，所以()2412421212512a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()228118512b a a b ⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦116855⎡⎢≥+=⎢⎣，当且仅当()()24112b a a b ++=++，即11,42a b 时取等号，所以2412a b +++的最小值为165. （3）令()()2121x x g x f x x -=+=++，因为()y f x =和y x =都是奇函数，且在R 上单调递增，所以()g x 是奇函数，且在R 上单调递增.又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->.从而220x ->，解得x x <故不等式的解集为((),2,-∞+∞.。

2022-2023学年湖南省衡阳市雁峰区名校高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】

衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角终边相同的角是（）20-︒A ．B ．C ．D ．300-︒280-︒320︒340︒2．不等式的解集是（）2320x x --≥A ．B ．C ．D ．213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或3．“”是“”的（）1x >11x <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数的零点所在的一个区间是（）()152xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()3,2--()2,1--()1,0-()0,15．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大()xf x a =()f x 为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象()g x ()g x 2恰好与函数的图象重合，则a 的值是（）()f xA ．B ．CD ．32236．函数（，）的部分图象如图所示，则（）()()2sin f x x ωϕ=+0ω>2πϕ<()f π=A ．B ．CD 7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围1()ax f x x a -=-(2,)+∞a 是（）A ．，，B ．(-∞1)(1-⋃)∞+(1,1)-C ．，，D ．，，(-∞1)(1-⋃2](-∞1)(1-⋃2)8．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为()2022a=2223b =c a b =A ．B ．C ．D ．c a b >>b a c >>a c b >>a b c>>二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中正确的是（）A ．若a >b ，则B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <12211a bc c >++C ．若a >b >0，m >0，则D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd m m a b <10．下列各式中，值为的是（）12A ．B ．C ．D5πsin62sin 45122-21011．已知函数，，则（）()1212xxf x -=+())lg g x x =-A ．函数为偶函数B ．函数为奇函数()f x ()g x C ．函数在区间上的最大值与最小值之和为0()()()F x f x g x =+[]1,1-D ．设，则的解集为()()()F x f x g x =+()()210F a F a +--<()1,+∞12．已知函数，则（）()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数的最小正周期为|()|y f x =πB ．直线是图象的一条对称轴58x π=()y f x =C.是图象的一个对称中心3(,0)8π()y f x =D ．若时，在区间上单调，则的取值范围是或0ω>()f x ω,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω10,8⎛⎤⎥⎝⎦15,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．若函数的最小正周期是，则的取值可以是______.（写()()tan()03f x x πωω=+≠2πω出一个即可）.14．已知函数，若，则_____________.()sin 1f x a x bx =++()12f -=()1f =15．已知:{} ,max , .a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，(){}1max 2,42x f x x -=--x ()f x t=则实数的取值范围是．16.设函数，若对于任意实数，在区间上()()()2sin 10f x x ωϕω=+->ϕ()f x 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是ω四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知f （α）＝．2sin ()cos(2)tan()sin()tan(3)παπαπαπααπ-⋅-⋅-+-+⋅-+（1）化简f （α）；（2）若α＝，求f （α）的值．313π-18．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x ∈R |≥}，集合B ＝{x ∈R |（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0}．a ∈R 22log x 2log 2x （）（1）求集合A ；（2）若B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数，，且该函数的图象经过点，.()bf x ax x =+,a b R ∈()1,0-32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求a ，b 的值；（2）已知直线与x 轴交于点T ，且与函数的图像只有一个公共点.求()1y kx m k =+≠()f x 的最大值.（其中O 为坐标原点）OT20．（本小题满分12分）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车60km/h 每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：Q wh x km/hx0104060Q142044806720为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数Q x 模型供选择：①；②；．3211()250Q x x x cx =-+22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()300log aQ x x b =+(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），060x ≤≤并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶，高速上行驶50km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度300km Q 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，x x km/h [80,120]x ∈且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足N wh x km/h ）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤总耗电量最少，最少总耗电量为多少？21．（本小题满分12分）已知，.sin cos x x t +=t ⎡∈⎣(1)当且是第四象限角时，求的值；12t =x 33sin cos x x -(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.（x ()sin cos sin cos 1x x a x x -++=a ）()3322()a b a b a ab b -=-++22．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足()f x D a 1x D ∈2x D ∈，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.()122x f x a +=()f x a ()f x (1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：()2x f x =(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；()sin()(0)6g x x πωω=+>[0,1]x ∈ω(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.2()23h x tx x =++[0,2]x ∈衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试数学参考答案：1．D【分析】由终边相同的角的性质即可求解.【详解】因为与角终边相同的角是，，20-︒20360k -︒+︒Z k ∈当时，这个角为，1k =340︒只有选项D 满足，其他选项不满足.Z k ∈故选：D.2．C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：232(32)(1)0x x x x --=+-≥解得：.213x x ≤-≥或故选：C.3．A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，，，11x <10xx -<(1)0x x ∴-<(1)0x x ∴->或，0x ∴<1x >当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；1x >0x <1x >1x >11x <当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.0x <1x >1x >1x >11x <所以“”是“”的充分不必要条件.1x >11x <故选：A 4．B【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】∵，，()360f -=>()210f -=>，，()120f -=-<()040f =-<根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为．()f x ()2,1--故选：B 5．D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的a 等式，进而可求得实数的值.a 【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数()3xg x a =()g x 2，()23x f x a -=又因为，所以，，整理可得，()xf x a =23x x a a -=23a =因为且，解得0a >1a ≠a =故选：D.6．A【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出()f x ()f x ω5,212π⎛⎫⎪⎝⎭值，则函数的解析式可求，取可得的值.ϕ()f x x π=()f π【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.()f x 521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22T πω==又，则，5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ则，，则，，5262k ϕπ=π+π+Z k ∈23k πϕπ=-Z k ∈，则，，则，22ππϕ-<<0k =3πϕ=-()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭求函数解析式的方法：（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ7．C【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范21()a f x a x a -=+-a 围.【详解】解：根据题意，函数，221()11()ax a x a a a f x ax a x a x a --+--===+---若在区间上单调递减，必有，()f x (2,)+∞2102a a ⎧->⎨⎩ 解可得：或，即的取值范围为，，，1a <-12a < a (-∞1)(1-⋃2]故选：C ．8．D【详解】分别对，，两边取对数，得，，2022a =2223b =c a b =20log 22a =22log 23b =．log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅由基本不等式，得:，()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，()2lg 22lg 20lg 230-⋅>即，所以．0a b ->1a b >>又，所以.log log 1a a c b a =<=a b c >>故选：D ．9．AC【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.【详解】对于A ，因c 2+1>0，于是有>0，而a >b ，由不等式性质得，A 211c +2211a bc c >++正确；对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误；对于C ，因为a >b >0，所以，又因为m >0，所以，C 正确；11a b <m m a b <对于D ，且，而，即ac >bd 不一定成立，D 错误.12->-23->-(1)(2)(2)(3)-⋅-<--故选：AC10．ABD【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，；5πππ1sinsin πsin 6662⎛⎫=-==⎪⎝⎭对于B 选项，；221sin 452==对于C 选项，122-==对于D.()121018030302=+=== 故选：ABD.11．BCD【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案【详解】对于A ：，定义域为，，()1212x x f x -=+R ()()12121212x xx xf x f x -----==-=-++则为奇函数，故A 错误；()f x 对于B ：，定义域为，())lgg x x=R ，()()))()lglgg x x x g x -=-=-=-则为奇函数，故B 正确；()g x 对于C ：，，都为奇函数，()()()F x f x g x =+()f x ()g x 则为奇函数，()()()F x f x g x =+在区间上的最大值与最小值互为相反数，()()()F x f x g x =+[]1,1-必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；()F x []1,1-对于D ：，则在上为减函数，()1221221122121x x x x xf x ⎛⎫-+-==-=- ⎪+++⎝⎭()f x R在上为减函数，())lg g x x ==()g x R 则在上为减函数，()()()F x f x g x =+R 若即，()()210F a F a +--<()()21F a F a <+则必有，解得，21a a >+1a >即的解集为，故D 正确；()()210F a F a +--<()1,+∞故选：BCD 12．BCD【详解】因为函数的最小正周期为，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22T ππ==而函数周期为，故A 错误；|()|y f x =2π当时，，58x π=553()sin 2sin(18842f ππππ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭所以直线是图象的一条对称轴，故B 正确；58x π=()y f x =故C 正确38x π=33()sin 2sin()0884f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭时，在区间上单调，0ω>()sin(24f x x πωω=+,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即，2,2444x πππωωπωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦所以或04242πωπππωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩423242ππωπππωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得或，故D 正确.108ω<≤1548ω≤≤故选：BCD.【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．13．2或-2 （写一个即可）14. 015．24t <<【分析】根据函数新定义求出函数解析式，画出函数的图象，利用转化的思想将()f x ()f x 方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令，解得，1242x x -=--20x x x ==，根据，得，{}max a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，作出函数的图象如图所示，()f x 由方程有3个不等的根，()0f x t -=得函数图象与直线有3个不同的交点，()y f x =y t =由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，24t <<()y f x =y t =所以t 的取值范围为.24t <<故答案为：24t <<16.：.1643ω≤<【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根t x ωϕ=+1sin 2t =sin y t =12y =据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.ω【详解】令，则()0f x =()1sin 2x ωϕ+=令，则t x ωϕ=+1sin 2t =则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t ，使得，sin y t =3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦1sin 2t =求的取值范围.ω作出和的图像，观察交点个数，sin y t =12y =可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，1sin 2t =223ππ+由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：.1643ω≤<【点睛】研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令），转化为研究t x ωϕ=+的图像和性质较为方便.sin y t =17、解：（1）f （a ）＝＝＝sin α•cos α…5分（2）∵α＝﹣＝﹣6×，∴f （﹣）＝cos （﹣）sin （﹣）＝cos （﹣6×）sin （﹣6×）＝cossin＝＝﹣…10分18、解：（1）根据题意，集合A ＝{x ∈R |2log 2x ≥log 2（2x ）}，即，则，得x ≥2，则集合A ＝{x ∈R |x ≥2}，（2）∁R A ＝{x ∈R |x ＜2}，又集合B ＝{x ∈R |（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0}，①当a ＝1时，（x ﹣1）2＜0，则无解，故B ＝∅，满足B ⊆∁R A ，②当a ＞1时，由（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，得1＜x ＜a ，若B ⊆∁R A ，则a ≤2，得1＜a ≤2，③当a ＜1时，由（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，得a ＜x ＜1，显然满足B ⊆∁R A ，综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．19．（Ⅰ）; （Ⅱ）1.11a b =⎧⎨=-⎩【分析】（Ⅰ）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得;,a b （Ⅱ）设,则直线方程可以写成, 与函数(),0T t ()1y kx m k =+≠()y k x t =-联立，消去，利用判别式求得，利用二次函数的性质求得()1y f x x x ==-y 22114t k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值1，进而得到的最大值.2t OT 【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;03222a b b a --=⎧⎪⎨+=⎪⎩11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数(),0T t ()1y kx m k =+≠()y k x t =-联立，消去，并整理得()1y f x x x ==-y ()2110k x ktx --+=由已知得判别式,()22410k t k --=22114,t k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，取得最大值1，所以.112k =2t maxmax 1OT t ==20.【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，3()300log a Q x x b =+0x =对于②，当时，，又，22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10x =1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭所以，故不符合题意，故选①，1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭3211()250Q x x x cx=-+由表中的数据可得，，解得3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=160c =∴．（不需要说明理由，写对解析式即可）321()216050Q x x x x =-+（2）解：高速上行驶，所用时间为，300km 300hx 则所耗电量为，()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭由对勾函数的性质可知，在上单调递增，()f x [80,120]∴，min 100()(80)60080300045750wh80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭国道上行驶，所用时间为，50km 50hx 则所耗电量为，32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭∵，∴当时，，060x ≤≤50x =min ()(50)5500wh g x g ==∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，80km/h 50km/h 该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少，最少为．45750550051250wh +=21．(1)(2)[)1,+∞【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合立方差sin cos x x sin cos x x -公式可求得所求代数式的值；（2）由已知可得出，，分、211022t at -+-=t ⎡∈⎣0=t 0t <≤时直接验证即可，在时，由参变量分离法可得出，结合基本不0=t 0t <≤112a t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭等式可求得实数的取值范围，综合可得结果.a 【详解】（1）解：因为，即，则，12t =1sin cos 2x x +=()21sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=即，3sin cos 8x x =-所以.()27sin cos 12sin cos 4x x x x -=-=因为是第四象限角，则，，所以，所以x sin 0x <cos 0x >sin cos 0x x -<sin cos x x -=所以()()33223sin cos sin cos sin sin cos cos 18x x x x x x x x ⎛⎫-=-++=-= ⎪⎝⎭（2）解：由，可得，()2sin cos 12sin cos x x x x+=+()21sin cos 12x x t =-则方程可化为，.()sin cos sin cos 1x x a x x -++=211022t at -+-=t ⎡∈⎣①当时，，显然方程无解；0=t 12-≠②当时，方程等价于.0t ≠211022t at -+-=112at t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当，当且仅当时，等号成立，0t <≤111122t t ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭1t =又，10,t t t →+→+∞故，1112a t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭所以要使得关于的方程有实数根，则.x sin cos (sin cos )1x x a x x -++=1a ≥故的取值范围是.a [)1,+∞22．(1)不是，理由见解析；(2)；5[,)6π+∞(3).12-【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值()2xf x =2()f x 12y a x =-域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此2()g x [0,1]12y a x =-[0,1]推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借2()h x [0,2]12y a x =-[0,2]助a 值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R ，则存在，对于，()2x f x =()2xf x =R a ∈1x ∀∈R 存在，有，2R x ∈2122x x a+=即，依题意，函数在R 上的值域应包含函数在R 上的值2122x a x =-22()2x f x =12y a x =-域，而当时，值域是，当时，的值域是R ，显然不2R x ∈2()f x (0,)+∞1R x ∈12y a x =-(0,)+∞包含R ，所以函数不是 “自均值函数”.()2xf x =(2)依题意，存在，对于，存在，有，即R a ∈1[0,1]x ∀∈2[0,1]x ∈12()2x g x a +=，21sin()26x a x πω+=-当时，的值域是，因此在的值域1[0,1]x ∈12y a x =-[21,2]a a -22()sin(6g x x πω=+2[0,1]x ∈包含，[21,2]a a -当时，而，则，2[0,1]x ∈0ω>2666x πππωω≤+≤+若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间62ππω+≤2min 1()2g x =2()1g x ≤2()g x 12长度为1，不符合题意，[21,2]a a -于是得，，要在的值域包含，62ππω+>2max()1g x =22()sin()6g x x πω=+2[0,1]x ∈[21,2]a a -则在的最小值小于等于0，又时，递减，22()sin()6g x x πω=+2[0,1]x ∈23[,]622x πππω+∈2()g x 且，()0π=g 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在6πωπ+≥56πω≥12a =12y a x =-[0,1]2()g x 的值域，2[0,1]x ∈所以的取值范围是.ω5[,)6π+∞(3)依题意，存在，对于，存在，有，即R a ∈1[0,2]x ∀∈2[0,2]x ∈12()2x h x a +=，2221232tx x a x ++=-当时，的值域是，因此在的值域1[0,2]x ∈12y a x =-[22,2]a a -2222()23h x tx x =++2[0,2]x ∈包含，并且有唯一的a 值，[22,2]a a -当时，在单调递增，在的值域是，0t ≥2()h x [0,2]2()h x 2[0,2]x ∈[3,47]t +由得，解得，此时a 的值不唯一，不符合[22,2][3,47]a a t -⊆+223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩57222a t ≤≤+要求，当时，函数的对称轴为，0t <2222()23h x tx x =++21x t =-当，即时，在单调递增，在的值域是，12t -≥102t -≤<2()h x [0,2]2()h x 2[0,2]x ∈[3,47]t +由得，解得，要a 的值唯一，当且仅当[22,2][3,47]a a t -⊆+223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩57222a t ≤≤+，即，则，57222t =+15,22t a =-=12t =-当，即时，，，，102t <-<21t <-2max 11()()3h x h t t =-=-2min ()min{(0),(2)}h x h h =(0)3h =，(2)47h t =+由且得：，此时a 的值不唯一，不符合要求，1[22,2][3,3]a a t -⊆-112t -≤<-531222a t ≤≤-由且得，，要a 的值唯一，当且仅当1[22,2][47,3a a t t -⊆+-1t <-9312222t a t +≤≤-，此时；9312222t t +=-t =a =综上得：或，12t =-t =所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是2()23h x tx x =++[0,2]x ∈12-【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x 值域的子集.()g x。

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湖南师大附中度高一第一学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A(a，3)，B(1，－2)，若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为A．6 B．－6 C．4 D．－42．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线lA．平行B．相交C．垂直D．异面3．已知直线l1：2x＋3my－m＋2＝0和l2：mx＋6y－4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为A.55B.105C.255D.21054．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3，PC＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A．16πB．32πC．36πD．64π5．圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是A．内含B．相交C．内切D．外切6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A．若m∥n，m⊂β，则n∥βB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β7．在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(2，2，2)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为8．若点P(3，1)为圆(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为A．x－3y＝0 B．2x－y－5＝0C．x＋y－4＝0 D．x－2y－1＝09．已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是A．异面直线PA与BC的夹角为60°B．若M为AD的中点，则AD⊥平面PMBC ．二面角P －BC －A 的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC10．已知直线l 过点P(2，4)，且与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则直线l 的方程为A ．x ＝2或3x －4y ＋10＝0B ．x ＝2或x ＋2y －10＝0C ．y ＝4或3x －4y ＋10＝0D ．y ＝4或x ＋2y －10＝011．在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A 、D 分别是BF 、CE 上的，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF ，如图1.将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE ，如图2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是A ．AC ∥平面BEFB ．直线BC 与EF 是异面直线C ．若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD D ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是____________． 13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14．已知三棱锥P －ABC 的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分8分)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，0)，B(4，6)，C(0，8)． (1)求BC 边上的高所在直线l 的方程； (2)求△ABC 的面积．16.(本小题满分10分)已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上．(1)求圆C的标准方程；(2)设动直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．17．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．(1)证明：A1B⊥平面AB1C;(2)求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x <1，N ＝{y|y ＝lg (x 2＋1)}，则N ∩∁R M ＝______．19．已知函数f (x )在定义域R 上单调递减，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称．若实数t 满足f (t 2－2t )＋f (－3)>0，则t －1t －3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，12C.⎝⎛⎭⎫0，23D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 二、本大题共3个大题，共38分．20．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．设函数f(x)＝mx2－mx－1，g(x)＝f（x）x－1.(1)若对任意x∈[1，3]，不等式f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝－14时，确定函数g(x)在区间(3，＋∞)上的单调性．已知圆C：(x－a)2＋(y－a－2)2＝9，其中a为实常数．(1)若直线l：x＋y－4＝0被圆C截得的弦长为2，求a的值；(2)设点A(3，0)，O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求a的取值范围．湖南师大附中高一第一学期期末考试数学参考答案第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分.12．[－3，1] 13.3214.34三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】(1)因为点B(4，6)，C(0，8)，则k BC ＝8－60－4＝－12.(1分)因为l ⊥BC ，则l 的斜率为2.(2分)又直线l 过点A ，所以直线l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.(4分) (2)因为点A(3，0)，C(0，8)，则|AC|＝9＋64＝73.(5分) 又直线AC 的方程为x 3＋y8＝1，即8x ＋3y －24＝0，(6分)则点B 到直线AC 的距离d ＝32＋18－2464＋9＝2673.(7分)所以△ABC 的面积S ＝12|AC|×d ＝13. (8分)16．【解析】(1)方法一：因为线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，12，k AB ＝－17，则线段AB 的垂直平分线方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32，即y ＝7x －10. (2分)联立y ＝2x ，得x ＝2，y ＝4.所以圆心C(2，4)，半径r ＝|AC|＝16＋9＝5.(4分)所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分) 方法二：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧－2D ＋E ＋F ＋5＝0，5D ＋F ＋25＝0，E ＝2D ，解得D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5.(3分) 所以圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －8y －5＝0，即(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分)(2)直线l 的方程化为(2x ＋y －8)＋m(x ＋2y －7)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以直线l 过定点M(3，2)．(7分) 由圆的几何性质可知，当l ⊥CM 时，弦长|PQ|最短．因为|CM|＝（3－2）2＋（2－4）2＝5，则|PQ|min ＝2r 2－||CM 2＝225－5＝4 5.(10分)17．【解析】(1)因为A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥AC. 又AC ⊥AB ，则AC ⊥平面AA 1B 1B ，所以AC ⊥A 1B.(3分) 由已知，侧面AA 1B 1B 是正方形，则AB 1⊥A 1B. 因为AB 1∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C.(5分)(2)方法一：连结A 1C ，设AB 1∩A 1B ＝O ，连CO ，交A 1D 于G. 因为O 为A 1B 的中点，D 为BC 的中点，则G 为△A 1BC 的重心．因为A 1O ⊥平面AB 1C ，则∠A 1GO 是A 1D 与平面AB 1C 所成的角．(8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝ 2. 得A 1O ＝22，A 1G ＝23A 1D ＝23×2sin 60°＝63. 在Rt △A 1OG 中，sin ∠A 1GO ＝A 1O A 1G ＝32，则∠A 1GO ＝60°.所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°.(12分)方法二：分别取AB ，B 1B 的中点E ，F ，连DE ，EF ，DF ，则ED ∥AC ，EF ∥AB 1，所以平面DEF ∥平面AB 1C.因为A 1B ⊥平面AB 1C ，则A 1B ⊥平面DEF. 设A 1B 与EF 的交点为G ，连DG ，则∠A 1DG 是直线A 1D 与平面DEF 所成的角. (8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝ 2. 得A 1G ＝34A 1B ＝324，A 1D ＝2sin 60°＝62.在Rt △A 1GD 中，sin ∠A 1DG ＝A 1G A 1D ＝32，则∠A 1DG ＝60°.所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°. (12分)第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分． 18．[0，2]【解析】M ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝[0，＋∞)，所以N ∩∁R M ＝[0，2]．19．B 【解析】因为y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，则y ＝f (x )的图象关于原点对称，即f (x )为奇函数．由f (t 2－2t )＋f (－3)>0，得f (t 2－2t )>－f (－3)＝f (3)，因为f (x )在R 上是减函数，则t 2－2t <3，即t 2－2t －3<0，得－1＜t ＜3. 因为y ＝t －1t －3＝1＋2t －3在区间(－1，3)上是减函数，则t －1t －3<12，选B. 二、本大题共3个大题，共38分．20．【解析】(1)连接BD ，设AC 交BD 于点O ，连接SO ，由题意得SO ⊥AC ，又因为正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面SBD,∵SD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SD. (6分) (2)在棱SC 上存在一点E ，使得BE ∥平面PAC. 设正方形边长为a ，则SD ＝2a. 由SD ⊥平面PAC 得PD ＝2a4，故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.过点N 作PC 的平行线与SC 的交点为E ，连接BN ，在△BDN 中，易得BN ∥PO ，又因为NE ∥PC ，所以平面BEN ∥平面PAC ，所以BE ∥平面PAC. 因为SN ∶NP ＝2∶1，所以SE ∶EC ＝2∶1. (12分)21．【解析】(1)由f(x)<5－m ，得mx 2－mx －1<5－m ，即m(x 2－x ＋1)<6. 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，则m<6x 2－x ＋1.(3分)设h(x)＝6x 2－x ＋1，则当x ∈[1，3]时，m ＜h(x)恒成立．因为y ＝x 2－x ＋1在区间[1，3]上是增函数，则h(x)在区间[1，3]上是减函数，h(x)min ＝h(3)＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. (6分) (2)因为f(x)＝mx(x －1)－1，则g(x)＝mx －1x －1. 当m ＝－14时，g(x)＝－⎝⎛⎭⎫x 4＋1x －1.(7分) 设x 1>x 2>3，则g(x 1)－g(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 24＋1x 2－1－⎝⎛⎭⎫x 14＋1x 1－1＝ x 24－x 14＋1x 2－1－1x 1－1＝x 2－x 14＋x 1－x 2（x 1－1）（x 2－1）＝ (x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤1（x 1－1）（x 2－1）－14.(10分) 因为x 1－1>x 2－1>2，则(x 1－1)(x 2－1)>4，得1（x 1－1）（x 2－1）<14，又x 1－x 2>0，则g(x 1)－g(x 2)<0，即g(x 1)<g(x 2)，所以g(x)在区间(3，＋∞)上是减函数．(13分)22．【解析】(1)由圆方程知，圆C 的圆心为C(a ，a ＋2)，半径为3.(2分)设圆心C 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 截得的弦长为2，则d 2＋1＝9，即d ＝2 2.(4分) 所以|a ＋（a ＋2）－4|2＝22，即|a －1|＝2，所以a ＝－1或a ＝3.(6分) (2)设点M(x ，y)，由|MA|＝2|MO|，得（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，即x 2＋y 2＋2x －3＝0.所以点M 在圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝4上．其圆心为D(－1，0)，半径为2.(8分)因为点M 在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，即1≤|CD|≤5.(9分) 所以1≤（a ＋1）2＋（a ＋2）2≤5，即⎩⎨⎧a 2＋3a ＋2≥0，a 2＋3a －10≤0，即⎩⎨⎧（a ＋2）（a ＋1）≥0，（a －2）（a ＋5）≤0，(11分) 解得⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥－1，－5≤a ≤2，即－5≤a ≤－2或－1≤a ≤2. 故a 的取值范围是[－5，－2]∪[－1，2]．(13分)。