北航本科毕设译稿

(4)
其中 C 和 D 分别为 s n 和 s q 尺寸的矩阵，而 v(k ) 表征观测噪声序列，类似于 K 矩阵， 定义 L 矩阵为 v(k ) 分布的协方差矩阵，并满足以下关系式：
E v(k ) 0,
(5) (6)
0, k1 k2 E v(k1 ) v T (k2 ) , L, k1 k2
S (0) P(0) E x(0) x T (0) ,
P (k 1) A p (k ) F2 (k ) P (k ) A T B K BT .
(23) (24)
3.2 基于情况 2 的滤波器设计
但是具体内部变量下： 满足 2.2.2 所述要求的线性最优滤波器形式上与公式(19)一致，
(31)
显然，如果 y ( j ) 并不受 影响（换言之， p (k ) q 1 ） ，那么，公式(31)与标准卡尔 曼滤波器的设计要求是完全一致的[3]。 公式(31)是对内部状态实现最优估计的一个充要条件。 由于公式(18)中 Q 矩阵的正定 性质，上述充要条件中的充分性很容易地建立了起来。
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这里假设系统内部状态应该是历史观测数据 y (i ), i 0,1, 2, , k 的线性组合。设计的参 考目标是寻找下式的最小值：
ˆ (t 1, i)]T Q [ x(t 1, i ) x ˆ (t 1, i )]}, J E x E {[ x(t 1, i) x
E u ( k ) 0.
(2) (3)
0, k1 k2 E u (k1 ) u T (k2 ) , K , k1 k2
其中矩阵 K 被称作 u (k ) 分布的协方差矩阵。假定内部状态初值 x(0) 是以 0 向量为均值， 并对应已知方差 P(0) ，约定以 y (k ) 为观测信号。接下来，关于观测失真的两种情况分别 予以考虑。 1) 情况 1 在这里，观测信号由以下公式生成： y (k ) C x(k ) D v(k ) with probability p (k ) , D v(k ) with probability 1 p (k )
单位代码 学 号
10006 39032415 TP11
分 类 号
毕业设计 (译稿 )
基于观测数据不确定条件下的最优递推估计方 法
学院名称 自动化科学与电气工程学院 专业名称 学生姓名 原文作者 自动化 李 柏
Nasser E. Nahi
2013 年 5 月
北 京 航 空 航 天 大 学 毕 业 设 计 (译 文 )
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2.1 问题背景
问题表述
现定义离散马氏过程，内部状态用变量 x(k ), k 0,1, 2, 表征。定义如下关系：
x(k 1) A x(k ) B u (k ),
(1)
其中 A 和 B 分别为 n n 和 n r 尺寸的矩阵，而 u (k ) 表征输入噪声序列，满足以下关系 式：
其中 (k ) 是取值非 0 即 1 的标量，且有
p(k ) Pr (k ) 1 . 1 p (k ) Pr (k ) 0 .
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(8) (9) (10)
t1 t2 .
E( (t )) p (t ),
E( (t1 ) (t2 )) p (t1 ) p (t2 ), E( 2 (t )) p (t ).
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基于观测数据不确定条件下的最优递推估计方法
原文作者：Nasser E. Nahi 译文作者： 李 柏
摘
要
传统估计理论认为，观测数据应当始终包含待估计的信号数据（即系统内部真实状 态） 。然而现实中，观测数据存在仅仅包含噪声信号而丢失内部状态的可能性；此时， 仅仅丢失内部状态情况的概率为已知。针对这种情况，本文提出了一种线性最小方差滤 波器，能够在两类不同的情况下分别获得线性最优估计：其一，时间序列中每个采样点 的观测数据是否失真是相互独立的概率事件；其二，针对固定长度时间序列是否失真， 是一个整体的概率事件。在此强调的是，本文得到的滤波器能写成递推形式。为了直观 呈现推导结果，我们给出了一个算例。
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概 述
经典控制理论[1-3]认为，对于系统状态的估计（滤波）是基于以下假设，观测数 据中始终包含真实系统状态。然而在一些实际情况中，确实存在观测数据只包含了 噪声这种情况。例如，考虑一种太空飞行目标轨迹跟踪案例，跟踪目标每隔固定的 时间间隔发送信号，即观测数据。在每个采样时间点，得到的观测数据可以采取诸 如“似然比检验”之类的方法进行分析[1]，确认观测数据中包含了内部真实的状态 信息；进而经典滤波理论方法可以适用。然而，实际情况中如果不存在这种绝对性， 一旦观测信号为杂讯，后续滤波处理方法将完全不再适用。假定观测数据中丢失状 态的情况符合宏观统计分布的规律，如果利用这一信息，本文中以此信息为基础， 设计了一种线性最优滤波器。具体地，我们研究了两类情况：其一，时间序列中每 个采样点的观测数据是否失真是相互独立的概率事件；其二，针对固定长度时间序 列是否失真，是一个整体的概率事件。通过推导与计算，本文证实，这种滤波器在 失真几率为 0 条件下“退化”为标准卡尔曼滤波形式。相关问题或可参见文献[5]。
从公式(4)可知，虚警概率为 1 p(k ) 。换言之，第 k 个观测信号包含了内部状态的
x(k ) 的概率为 p(k ) 。我们考虑的情况是基于 p(k ) 先验已知的假设。
上述观测信号的情况可用下式表征：
y (k ) (k ) C x(k ) D v(k ),
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2) 情况 2 在这里，观测信号由以下公式生成： y (k ) C x(k ) D v(k ) k = 0,1,2, with probability q , D v(k ) k = 0,1,2, with probability 1 q
(11) (12)
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3 滤波器设计方法
3.1 基于情况 1 的滤波器设计
满足 2.2.1 所述要求的线性最优滤波器如下：
ˆ (k 1) F1 (k ) x ˆ (k ) F2 (k ) y (k ), x
其中
(19)
F1 (k ) A p(k ) F2 (k ) C,
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5 滤波器设计过程推导
由于滤波器的形式限定为观测信号的线性组合，可推知滤波器有如下形式的递推结 构：
ˆ (k 1) F1 (k ) x ˆ (k ) F2 (k ) y ( k ) x . ˆ (0) 0 x
(32)
如果恰当的 F1 和 F2 可以求得，则公式(31)所述的充要条件可以满足，从而实现了最 优滤波器的设计。 在问题 1 情况之中， 观测信号的实际情况由公式(4)给出， 现推导据此设计的滤波器。 公式(31)代表的充要条件可以拆分为以下两部分，即
ˆ (k 1)] y T ( j )} 0, j 0,1, ,k 1. E x E {[ x(k 1) x
(33)
和
ˆ (k 1)] y T (k )} 0. E x E {[ x(k 1) x
(34)
ˆ (k 1) 代进公式(33)之中，得到 把公式(1)以及公式(32)所描述的 x(k 1) 、 x
ˆ (k ) F2 (k ) y (k )] y T ( j )} 0, ( j 0,1, ,k 1) (35) E x E {[A x(k ) B u (k ) F1 (k ) x
再考虑到 y (k ) ，以及以下的关系
E[u (k )] y T ( j ) 0, j 0,1, ,k 1.
将其均代进公式(35)之中，得到
ˆ (k ) F2 (k ) C x(k )] y T ( j )} 0, j 1, , k 1. (36) E x E {[A x(k ) F1 x
(14)
(15) (16) (17)
E E 2 q. 2.2 设计条件与要求
接下来，我们给出了上述两种情况下对应的状态估计方法。 1) 基于情况 1 的滤波器设计条件与要求
ˆ (k 1) 。在 现已知系统内部状态的更新公式(1)，要求估计系统每个时刻的内部状态 x
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ˆ (k 1) i 0 (i ) y (i ), x
k
(29)
其中每一个 (i ) 为 n s 尺寸的矩阵。为了实现对公式(18)的最小化，我们把公式(29)带 入其中，并对每个 (i ) 的每一个元素求偏导数。这样一共得到 n s (k 1) 个方程，将其 写成闭合形式，参照文献[3]的方法，则有：
(13)
其中各矩阵与向量的定义与情况 1 中一致，而 (1 q ) 是整个观测信号的序列全部都丢失 真实内部状态的这种情况的发生概率。 此时公式(13)也可简略地写为 y (k ) C x(k ) D v(k ), 其中 是取值非 0 即 1 的标量，且有
q Pr 1 . 1 q Pr 0 .
F2 (k ) p (k ) A P(k ) CT {D L DT p 2 (k ) C P(k ) CT p (k ) 1 p (k ) C S (k ) CT }1 ,