湖北省孝感市重点高中协作体2019届高三上学期期中联考考试数学(文)试题 PDF版含答案
孝感市五校协作体高三数学（文科）试卷（共5页）第 1页考试时间：2018年 11月23 日下午15：00-17：00 试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数 满足 (其中 为虚数单位)，则A ．B ．C ．D ．2.集合 ， ，则 A ．B ．C ．D ．3. 已知 为锐角，，则A ．B ．C ．D ． 4.等差数列中， ， ，则A ．8B ．10C ．12D ．14 5.函数是奇函数，则 在 处的切线斜率为A. -3B. -1C. 4D. 56. 已知向量 , ，若 ，则向量 在 方向上的投影为A. 10B. -10C.5D.-5 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为A ．B ．1C ．D ．48. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为A． B． C． D．9. 已知函数若，则的取值范围为A. B.C. D.10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗8升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油11.设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为A．B． C．2 D．312.已知四面体的顶点都在球的球面上，，，平面，则球的表面积为A．B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量满足则的最小值为_________.14.已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为．15.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为__________.16.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）在中，、、分别为角、、所对的边，0．(1)求角的大小；(2) 若，，求角及的面积．18. （本小题满分12分）设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2) 记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.19. （本小题满分12分）如图，在多面体 中， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ，平面 平面 ， 平面 ，点 为 的中点． (1)求证： ∥平面 ；(2)若 ，求三棱锥 的体积．20. （本小题满分12分）平面直角坐标系 中，过椭圆右焦点的直线交 于 两点，且椭圆 的离心率为. (1)求椭圆 的方程；(2) 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值.21. （本小题满分12分） 已知函数.(1)求 的零点及单调区间； (2)求证：曲线存在斜率为 的切线，且切点的纵坐标 .⊥⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（t为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.高三文科数学参考答案一． 选择题（共12小题）13. 6 14. 4 15.16.三、解答题：（一）必考题：共60分．17. 解：（1）2bcos 20C a c -+=，由余弦定理得：2222202a b c b a c ab+-⨯-+=，222a c b ac ⇒+-=，则2221cos 222a c b ac B ac ac +-===∵0B π<< ∴3B π=. -------------------------------------------6分(2)， ，由正弦定理知得又因为 ，故. ---------------------------8分，，-----------------------------------12分18.解：(1) ;时， ; 符合上式.; ------------------------------------------3分, ;时，, ,故 ; -----------------------------------------5分H OMDC B A; ------------------------------------------6分 (2) 数列中每5个一组，前30项和可分为6组，其前30项的和 为------------------------------------------12分19.（1）证明：∵△是等腰直角三角形，，点为的中点，∴． ∵ 平面平面，平面平面，平面，∴平面． …………4分∵ 平面,∴ ∥． …………5分 ∵ 平面,平面,∴ ∥平面． …………6分 （2）法1：由（1）知∥平面,∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分∵ ，△是等边三角形,点为的中点 ∴ …………8分 ∴ …………10分…………12分 法2：由（1）知∥平面,∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分 过作，垂足为点，∵ 平面,平面, ∴ ． ∵ 平面,平面,， ∴ 平面． …………9分∵ ，△是等边三角形，∴ ，，． …………10分 ∴ ． ∴ 三棱锥． …………12分20.解：（Ⅰ）椭圆 的右焦点为 ，则 .CMD 90CMD ︒∠=O CD OM CD ⊥CMD ⊥BCD CMD BCD CD =OM ⊂CMD OM ⊥BCD AB ⊥BCD OM AB AB ⊂ABD OM ⊄ABD OM ABD OM ABD M ABD O ABD 2AB BC ==BCD O CD 234834321212=⋅=⋅⋅==∆∆BC S S BCD BOD OBD A ABD ABD M V V V ---==0332233131=⋅⋅=⋅=∆AB S BOD OM ABD M ABD O ABD O OH BD ⊥H AB ⊥BCD OH ⊂BCD OH AB ⊥AB ⊂ABD BD ⊂ABD AB BD B =OH ⊥ABD 2AB BC ==BCD 2BD =1OD =sin 602OH OD ︒=⋅=A BDM M ABD V V --=1132AB BD OH =⨯⨯⋅⋅112232=⨯⨯⨯=A BDM -离心率，则 . 故 .所以M 的方程为. …………5分（Ⅱ）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |＝.由题意可设直线CD的方程为(3y x n n =+-<<，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝43|x x -由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=…………10分当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD 面积的最大值为…………12分 21.解：(1) 的定义域为 ， 得 . …………1分 求导得：当 时， ,故 单调递增； 当 时， ,故 单调递减；因此， 的零点为 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ; ………5分(2)先证明存在斜率为8的切线. 由于，题意即在 有解 令 ，易知 在 上单调递减，又所以存在使得 ,得证. …………8分 接下来证明 .由上可知：因此，有容易知道函数在单调递减，因此因此，欲证命题成立. …………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.解：（1）由已知得：11222x t y t ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+=， 即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.-----------------------5分（2）把直线l的参数方程11222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅=分23.解：（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-； 当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥；综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.-----------------------5分（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-.-----------------------10分 【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-.。
2019年湖北省孝感市综合高级中学高三数学文联考试卷含解析
2019年湖北省孝感市综合高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．一定是奇函数 B．一定是偶函数C．一定是奇函数 D．一定是偶函数参考答案：D【知识点】正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．C3解析：（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值图象左移一个单位，是偶函数，即f（x+1）是偶函数，所以判定A、B、C是错误的．故选D．【思路点拨】由题意根据图象平移可以判定A、B、C是错误的，验证D即可．2. 已知i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===2+i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. （5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A． B． C． D． 7参考答案：A【考点】：由三视图求面积、体积．空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4. 已知函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），且f（1）＞f （3），要得到函数，f（x）的图象可将函数y=2cos x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），故可将函数y=2cos x的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：C．5. 已知集合，则（）A． B． C .D．参考答案：C6. 设，则＝（）A． B． C． D．参考答案：D7. 已知数列满足，则=A．－1 B．－2 C．－3 D．1－log340参考答案：C8. （5分）（2015?青岛一模）已知点G是△ABC的外心，，，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则G点的轨迹为（）A．一条线段 B．一段圆弧C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分参考答案：B【考点】：轨迹方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：确定点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角，BC=2，根据△ABC 的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，即可得出结论．解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，|∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠A是直角∵，，是三个单位向量，∴BC=2∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动∴G的轨迹是以原点为圆心1为半径的圆弧，故选：B．【点评】：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题．9. 已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．故选：B．10. 集合，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为，虚部为．参考答案：2，112. 已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______．参考答案：13. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为参考答案：（0，1/2）略14. 若向量满足且则向量的夹角为__________.参考答案：15. 已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是参考答案：由题意可知方程组为，解得。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷1（含答案解析）
2019-2020学年湖北省重点⾼中联考协作体⾼三（上）期中数学试卷1（含答案解析）2019-2020学年湖北省重点⾼中联考协作体⾼三（上）期中数学试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知复数z满⾜(z?1)i=1+i，则z=()A. ?2?iB. ?2+iC. 2?iD. 2+i2.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2?7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知3件次品和2件正品放在⼀起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测⼀件产品，检测后不放回，则第⼀次检测出的是次品且第⼆次检测出的是正品的概率为()A. 16B. 310C. 35D. 564.已知向量a?=(?2,?1)，b? =(2,?2)，则(a??b? )?(a?+2b? )等于()A. 7B. ?6C. ?10D. ?135.由曲线y=|x?1|与(x?1)2+y2=4所围成较⼩扇形的⾯积是()A. π4B. 3π4C. πD. 3π26.若曲线x2m +y21?m=1表⽰焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为()A. m<1B. m<0C. ?1227.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平⾯α、β的四个命题：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共⾯；②若m、l是异⾯直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l//α，m//β，α//β，则l//m；④若l?α，m?α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//β，其中为真命题的是()A. ①③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.根据如图程序框图，当输⼊5时，输出的是()A. 6B. 4.6C. 1.9D. ?3.99.已知函数，若a≠b,f(a)=f(b)，则ab等于()A. e?1B. 1C. eD. e210.有下列4个说法：①等⽐数列的某⼀项可以为0②等⽐数列的公⽐取值范围是R③若b2=ac，则a,b,c成等⽐数列④若⼀个常数列是等⽐数列，则这个数列的公⽐是1其中正确说法的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311.在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的()A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若函数f(x)={ln (x+1)?x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.某⼯⼚零件模型的三视图如图所⽰，则该零件的体积为______ mm3．14.在区间[1,5]上任取⼀个数m，则函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]的概率是______ ．15.函数f(x)=2sin(2x+π6)在[?π6,π2]上取最⼩值时x的值为______．16.某农户计划种植莴笋和西红柿，种植⾯积不超过30亩，投⼊资⾦不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿4.5吨0.5万元0.4万元那么，该农户⼀年种植总利润(总利润=总销售收⼊?总种植成本)的最⼤值为__________．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.某快递公司收取快递费⽤的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不⾜1kg，按1kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直⽅图如下图所⽰(同⼀组数据⽤该区间的中点值作代表)．(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费⽤中抽取5元作为前台⼯作⼈员的⼯资和公司利润，剩余的作为其他费⽤．已知公司前台有⼯作⼈员3⼈，每⼈每天⼯资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？(3)⼩明打算将A(0.9kg)，B(1.3kg)，C(1.8kg)，D(2.5kg)四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他⽀付的快递费为45元的概率．18.已知等差数列{a n}满⾜a3=7，a5+a7=26．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(?1)n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项的和S2n．19.如图，在四棱锥P?ABCD中，底⾯ABCD为平⾏四边形，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平⾯PAB⊥平⾯PAD；(2)若AD=√2PA=√2PD=√2AB.且四棱锥的侧⾯积为6+2√3，求该四棱锥P?ABCD的体积．20. 已知从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上⼀点P 向x 轴作垂线，垂⾜恰为左焦点F 1.⼜点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB//OP ，|F 1A|=√10+√5． (Ⅰ)求椭圆C 的⽅程；(Ⅱ)在椭圆C 中，求以点D(?2,1)为中点的弦MN 所在的直线⽅程．21. 已知函数．(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线⽅程;(2)若⽅程f (x )=g (x )+m 有唯⼀解，试求实数m 的值．22. 在直⾓坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标⽅程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的⾯积的最⼩值．23. 已知a >0，b >0，函数f(x)=|x +a|+|x ?b|的最⼩值为4．(1)求a +b 的值；(2)求a 2+14b 2的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代⼊(z ?1)i =1+i ，根据复数相等即可．【解答】设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代⼊(z ?1)i =1+i得(a ?1+bi)i =1+i ，即?b +(a ?1)i =1+i ．根据复数相等可得{?b =1a ?1=1得a =2,b =?1，所以复数z =2?i ．故选C ．2.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}；∴A ∩B ={3,5}．故选：B ．可解出集合B ，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，⼀元⼆次不等式的解法，交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独⽴事件概率乘法公式的合理运⽤．利⽤相互独⽴事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在⼀起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测⼀件产品，检测后不放回，∴第⼀次检测出的是次品且第⼆次检测出的是正品的概率为：p =35×24=310．故选B ．4.答案：D解析：解：向量a ? =(?2,?1)，b ? =(2,?2)，a ? ?b ? =(?4,1)，a ? +2b ? =(2,?5)，则(a ? ?b ? )?(a ? +2b ? )=?8?5=?13．故选：D ．求出相关向量，利⽤向量的数量积运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，考查计算能⼒，属于基础题．5.答案：C解析：解：(x?1)2+y2=4的圆⼼坐标为(1,0)，半径为2，由曲线y=|x?1|与(x?1)2+y2=4所围成较⼩扇形的⾯积是圆的⾯积的四分之⼀，∴⾯积是14×π×22=π．故选：C．根据所给的⽅程可以看出两个图形⼀个是半径为2的圆⼀个是⼀条折线，围成较⼩的⾯积是圆的⾯积的四分之⼀，得到结果．本题考查扇形的⾯积公式，解题的关键是从图形中看出要求的函数的图形是圆的四分之⼀，是⼀个基础题．6.答案：B解析：解：∵曲线x2m +y21?m=1表⽰焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准⽅程，得y21?m ?x2m=1，由此可得1?m>0且?m>0，解得m<0．故选：B将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准⽅程，得y21?m ?x2m=1，由此建⽴关于m的不等式组，解之可得m<0．本题已知曲线表⽰焦点在y轴上的双曲线，求参数m的范围．着重考查了圆锥曲线与⽅程、双曲线的标准⽅程等知识，属于基础题．7.答案：C解析：解：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共⾯，正确；②若m、l是异⾯直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，利⽤线⾯垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l//α，α//β，α//β，则l与m不⼀定平⾏，不正确；④若l?α，m?α，l∩m=A，l//β，m//β，利⽤⾯⾯平⾏的判定定理可得：α//β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．①利⽤异⾯直线的定义即可判断出正误；②利⽤线⾯垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不⼀定平⾏，即可判断出正误；④利⽤⾯⾯平⾏的判定定理可得：α//β，即可判断出正误．本题考查了线⾯平⾏与垂直的判定定理、异⾯直线的定义，考查了推理能⼒，属于中档题．8.答案：A解析：解：模拟执⾏程序框图，可得程序的功能是计算y={1.2x x≤71.9x?4.9x>7的值．∵当输⼊5<7，满⾜条件x≤7，∴y=1.2×5=6．故选：A．当输⼊5<7，满⾜条件x≤7，执⾏y=1.2x运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查对数的运算．【解答】解：函数，若a≠b,f(a)=f(b)，所以．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查等⽐数列的定义，根据定义即可求解，属于基础题．【解答】解：对于①，等⽐数列的各项都不为0，故①错误；对于②，等⽐数列的公⽐不为0，故②错误；对于③，若b2=ac，只有当a、b、c都不为0时，a，b，c才成等⽐数列，故③错误；对于④，若⼀个常数列是等⽐数列，⽽等⽐数列的公⽐不为0，则这个常数列的公⽐为1，故④正确；综上可知，正确的说法有1个．故选B．11.答案：B解析：解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°?A，，即必要性成⽴．若A=B=30°，满⾜cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成⽴，即充分性不成⽴，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．根据三⾓函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三⾓函数的诱导公式是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点与⽅程根的关系，利⽤导数求出函数单调性进⽽求出函数零点，属于基础题．【解答】解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)?x，f′(x)=1x+11，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒⼩于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最⼤值，最⼤值为f(0)=0，x=0是⼀个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的⼀元⼆次⽅程，令f(x)=0，解得x=?1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=?1和x=0两个零点，故选C．13.答案：11003解析：解：由三视图可知⼏何体是下部为长⽅体底⾯边长为10的正⽅形，⾼为2，上部是4个四棱锥，底⾯边长为5的正⽅形，⼀条侧棱垂直底⾯的⼀个顶点，⾼为：5，⼏何体的体积为：10×10×2+4×13×5×5×5=11003.(mm3).故答案为：11003．判断⼏何体的形状，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积即可．本题考查⼏何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能⼒以及计算能⼒．14.答案：12解析：解：当x=2时，y=?6；当x=0或4时，y=?2．即m∈[2,4]时，函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]，则所求概率为P=4?25?1=12，故答案为：12．找出函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]时对应的区域长度的⼤⼩，再代⼊⼏何概型的计算公式进⾏解答．本题主要考查了⼏何概型、⼆次函数的性质．⼏何概型的概率估算公式中的“⼏何度量”只与“⼤⼩”有关，⽽与形状和位置⽆关解．15.答案：?π6或π2解析：【分析】本题考查利⽤正弦函数的图象与性质求闭区间上的最值，属于基础题．求出的范围，结合正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：因为x∈[?π6,π2 ]，所以，可得，所以当，即时，取最⼩值?1，故答案为?π6或π2．16.答案：43万元解析：【分析】本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和⽬标函数，同时考查了作图的能⼒，属于基础题．设种植莴笋和西红柿的种植⾯积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建⽴关于x与y的约束条件，得到⽬标函数，利⽤线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．【解答】解：设种植莴笋和西红柿的种植⾯积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，由题意可知{x +y ≤30x +0.5y ≤25x ≥0,y ≥0，⼀年的种植总利润为z =0.5×5x +0.4×4.5y ?x ?0.5y =1.5x +1.3y ，作出约束条件如下图阴影部分，由{x +y =30x +0.5y =25，解得A(20,10)，平移直线1.5x +1.3y =0，当过点A(20,10)时，⼀年的种植总利润为z 取最⼤值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------(2分)【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为160×(50×6+150×6+250×30+350×12+450×6)=260】设中位数为x ，易知x ∈(200,300)，则0.001×100×2+0.005×(x ?200)=0.5，解得x =260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------(4分)(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5?3×100=1000(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------(7分)(3)设四件礼物分为⼆个包裹E 、F ，因为礼物A 、C 、D 共重0.9+1.8+2.5=5.2(千克)，礼物B 、C 、D 共重1.3+1.8+2.5=5.6(千克)，都超过5千克，------------------(8分)故E 和F 的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50(单位：元)------------------------------(10分)故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------(12分)解析：(1)根据频率分布直⽅图，将每⼀组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．(2)根据(1)中得到的平均值，求出每天的费⽤，减去300元的前台⼯作⼈员⼯资即可．(3)将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg ，共有5种分法，其中快递费⽤为45的有3种，可得概率．本题考查了⽤频率分布直⽅图估计平均值，考查频率公式，频率分布直⽅图的应⽤，古典概型的概率求法．属于基础题．18.答案：解：(1)等差数列{a n }满⾜a 3=7，a 5+a 7=26．设⾸项为a 1，公差为d ，则：{a 3=7a 5+a 7=26， {a 1+2d =72a 1+10d =26，解得：a 1=3，d =2．所以：a n =a 1+(n ?1)d =2n +1．(2)由于：b n =(?1)n a n a n+1=(?1)n (2n +1)(2n +3)，则：S 2n =b 1+b 2+b 3+?+b 2n ，=(?3)×5+5×7?7×9+??(4n ?1)(4n +1)+(4n +1)(4n +3)，=4[5+9+13+?+4n +1]，=4×[5n +n(n?1)2×4]， =8n 2+12n ．解析：(1)直接利⽤等差数列建⽴⽅程组，求出数列的通项公式．(2)利⽤数列的通项公式，进⼀步利⽤分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应⽤，分组求和在数列中的应⽤．19.答案：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°．∴AB ⊥AP ，CD ⊥PD ，∵四边形ABCD 是平⾏四边形，∴AB//CD ，∴AB ⊥PD ，⼜PA ∩PD =P ，PA ?平⾯PAD ，PD ?平⾯PAD ，∴AB ⊥平⾯PAD ，⼜AB ?平⾯PAB ，∴平⾯PAB ⊥平⾯PAD ．(2)解：取AD ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，MN ，PN ，由(1)知AB ⊥平⾯PAD ，故AB ⊥AD ，AB ⊥PM ，∴MN =AB ，MN//AB ，∴BC ⊥MN ，∵PA =PD ，M 是AD 的中点，∴PM ⊥AD ，∵平⾯PAD ∩平⾯ABCD =AD ，PM ?平⾯PAD ．∴PM ⊥平⾯ABCD ，⼜∵BC ?平⾯ABCD ，∴PM ⊥BC ．⼜∵PM ∩MN =M ．∴BC ⊥平⾯PMN ，且PN ?平⾯PMN ，故BC ⊥PN ．设AB =PA =PD =x ，则AD =√2x ，PM =√22x ，MN =x ，∴PN =√MN 2+PM 2=√62x ，∴四棱锥P ?ABCD 的侧⾯积为12x 2×2+12×√2x ×√22x +12×√2x ×√62x =6+2√3，解得x =2，即AB =2，∴AD =2√2，PM =√2，∴四棱锥的体积V=13S矩形ABCDPM=13×2×2√2×√2=83．解析：本题考查了⾯⾯垂直的判定，棱锥的表⾯积与体积计算，属于中档题．(1)根据AB⊥AP，AB⊥PD可得AB⊥平⾯PAD，于是平⾯PAB⊥平⾯PAD；(2)根据侧⾯积计算AB的长和棱锥的⾼，再计算棱锥的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知：P(?c,b2a),A(a,0),B(0,b)，故k AB=?ba ,k OP=?b2ac，即?ba=?b2ac，解得b=c，⼜a+c=√10+√5,a2=b2+c2，解得a=√10,b=c=√5，故椭圆C的⽅程为C：x210+y25=1；(Ⅱ)因为点D(?2,1)在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的⽅程为y=k(x+2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，代⼊椭圆⽅程得(2k2+1)x2+(8k2+4k)x+8k2+8k?8=0，故x1+x2=?8k2+4k2k2+1=?4，解得k=1，故直线MN的⽅程为y=x+3．解析：本题考查椭圆的标准⽅程，直线与椭圆的位置关系，直线⽅程，考查计算能⼒，属于中档题．(Ⅰ)易求点P坐标，由k OP=k AB，由斜率公式可得b，c关系，进⽽可得a，c关系，由|F1A|=√10+√5，可求得c，进⽽可得a，b；(Ⅱ)故设直线MN的⽅程为y=k(x+2)+1，代⼊椭圆⽅程，根据韦达定理即可求出．21.答案：解：(1)因为f′(x)=2x?8x，所以切线的斜率k=f′(1)=?6，⼜f(1)=1，故所求切线⽅程为y?1=?6(x?1)，即y=?6x+7．(2)原⽅程等价于，令，则原⽅程即为?(x)=m.因为当x>0时原⽅程有唯⼀解，所以函数y=?(x)与的图象在y轴右侧有唯⼀的交点，?′(x)=4x?8x ?14=2(x?4)(2x+1)x且x>0，所以当x>4时，?′(x)>0；当0即?(x)在(4,+∞)上递增，在(0,4)上递减．故?(x)在x=4处取得最⼩值，从⽽当x>0时原⽅程有唯⼀解的充要条件是．解析：本题主要考查切线⽅程、⽅程的解，解答本题的关键是掌握相关知识，逐⼀分析解答即可．(1)因为f′(x)=2x?8x，所以切线的斜率k=f′(1)=?6，⼜f(1)=1，故所求切线⽅程为y?1=?6(x?1)，即y=?6x+7．(2)原⽅程等价于，令，则原⽅程即为?(x)=m.根据当x >0时原⽅程有唯⼀解，求实数m 的值22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，转化为直⾓坐标⽅程为：x 2+y 2=4x ，直线l 的极坐标⽅程为ρcos(θ+π4)=2√2，即，转化为直⾓坐标⽅程为：x ?y ?4=0，联⽴{x 2+y 2=4x x ?y =4，解得：{x =2y =?2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,?2)或(4,0)，所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直⾓坐标为(2,?2)，(4,0)，|AB|=√(2?4)2+(?2)2=2√2，因此，△PAB 的⾯积取得最⼩时也就是P 到直线l 的距离最⼩的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =√2=√5sin(θ?α)+4|√2，当sin(θ?α)=?1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4?√5．解析：本题考查的知识要点：参数⽅程和极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的转化，三⾓函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应⽤．(1)直接把参数⽅程和极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程进⾏转化．(2)利⽤点到直线的距离公式和三⾓函数的关系式的恒等变换求出三⾓形的⾯积．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x +a|+|x ?b|≥|(x +a)?(x ?b)|=a +b ，当且仅当?a ≤x ≤b 时，等号成⽴，所以f(x)的最⼩值为a +b =4．(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式得(a 2+14b 2)(12+22)≥(1?a +2?12b)2=16．即a 2+14b 2≥165，当且仅当a 1=12b 2，即a =45，b =165时，等号成⽴．所以a 2+14b 2的最⼩值为165．解析：本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运⽤，属于中档题．(1)利⽤绝对值不等式，结合条件求a +b 的值；(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式求a 2+14b 2的最⼩值．。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x|x<5}，集合A={x|x−2≤0}，则∁U A=()A. {x|x≤2}B. {x|x>2}C. {x|2<x<5}D. {x|2≤x<5}2.已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1−z2|=√3，则|z1+z2|等于()A. 2B. √3C. 1D. 33.下列函数中为偶函数的是()A. y=√xB. y=xC. y=x2D. y=x3+14.双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()A. x±2y=0B. 2x±y=0C. √3x±y=0D. x±√3y=05.执行如图所示的程序框图，若输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为()A. 4，7B. 4，56C. 3，7D. 3，566.已知α∈(π2 , π),cosα=−45，则tan(α+π4)=()A. 17B. 7 C. −17D. −77.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. 12B. 13C. 16D. 1128.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC=CA=2CC1，则BD1与AF1所成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和a m(0<a<12)，不考虑树的粗细。
现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD。
设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f(a)的图像大致是()A. B. C.D.10.设函数f(x)=√2sin(ωx+ϕ+π4)(ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增11.在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=12，则△ABC的面积为()A. √3B. 12C. √32D. 112.已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式不一定成立的是A. ae a>be bB. alnb>blnaC. alna>blnbD. be a>ae b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，则|2a⃗−3b⃗ |=______ ．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≥12x−y≤4，则z=x2+(y+2)2的最小值为_______．15.已知点M(0,2)，过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF=π2，则点B坐标为______．16.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，a1+a2=4，a3−a2=6．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若ka n，S n，−1成等差数列对于n∈N+都成立，求实数k的值．18.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=CD=4，AD1=5，M是B1D1的中点．(1)求证：BM//平面D1AC；(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).当l⊥x轴时，△ABM的面积为√22．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM、BM的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2=0．20.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中1道多选题，2道单选题.得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．(1)通过分析可以认为学生初试成绩X 服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=66，σ2=144，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为23，多选题的正答率为12，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9974．21. 已知f(x)=e x +ln x ．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式f(x)>e +m(x −1)对任意x ∈(1,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =sinα(α为参数)，将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 1.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1的极坐标方程；(2)设M ，N 为C 1上两点，若OM ⊥ON ，求1|OM|2+1|ON|2的值．23. 若关于x 的不等式|x −1|−|x +m|≥a 有解时，实数a 的最大值为5，求实数m 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≤2}，U={x|x<5}；∴∁U A={x|2<x<5}．故选：C．先解出集合A={x|x≤2}，然后进行补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的模及运算，属于基础题.根据题目可知求|z1+z2|需要得到z1,z2的模长及z1·z2的值即可.根据|z1−z2|=求得z1·z2从而求解．【解答】解：根据题意，∵|z1|=|z2|=1，|z1−z2|=，∴|z1|2−2z1z2+|z2|2=3，∴2z1z2=2−3=−1；∴|z1+z2|=√(z1+z2)2=√z12+z22+2z1·z2=√1+1−1=1．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．判断每个选项函数的奇偶性即可．【解答】解：对于A，函数y=√x的定义域为[0,+∞)，所以A不正确；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，但f(−x)=−x=−f(x)，故该函数为奇函数，所以B 不正确；对于C，函数的定义域为R，定义域关于原点对称，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，故为偶函数，所以C正确；对于D，函数的定义域为R，其定义域关于原点对称，但f(−x)=−x3+1≠f(x)，故y=x3+1不是偶函数，所以D不正确．故选C．4.答案：C解析：解：由已知，双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2，∴√a2+b2a =2，∴ba=√3．该双曲线的渐近线方程为：y=±√3x，即：√3x±y=0．通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．5.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，属于基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k，m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：如果输入m=168，n=112，k=0;k=1，m=84，n=56;k=2，m=42，n=28;k=3，m=21，n=14;d=7，m=14，n=7;d=7，m=7，n=7;故输出k，m值为3，7．故选C．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数和两角和差公式．【解答】由题意得：sinα=35，tanα=−34，tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−34+11+34=17，故选A.7.答案：B解析：【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属基础题．分别找出基本事件总数与事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含的基本事件数，直接利用公式即可得到最后结果．【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组，共有3种分法，分别是：(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，乙丙)，事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含一个基本事件，所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为13．故选B．8.答案：D解析：取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D ，AD ，由D 1B//DF ，知∠DF 1A 就是BD 1与AF 1所成角，由此能求出BD 1与AF 1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 【解答】解：取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D ，AD ， ∴D 1F 1= //12B 1C 1,BD = //12B 1C 1，∴四边形BDF 1D 1为平行四边形， ∴D 1B//DF 1，∴∠DF 1A 就是BD 1与AF 1所成角， 设BC =CA =2CC 1=2，∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BCA =90°， 点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴AD =√4+1=√5，AF 1=√1+1=√2， DF 1=BD 1=√1+(√4+42)2=√3，在△DF 1A 中，cos∠DF 1A =3+2−52×√2×√3=0． ∴∠DF 1A =90°．故选：D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的实际应用，解决本题的关键是将S 的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出S 的解析式． 【解答】解：设AD 长为x ，则CD 长为16−x ， 又因为要将P 点围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12则矩形ABCD 的面积为x(16−x)，当0<a ≤8时，当且仅当x =8时，u =64 当8<a <12时，u =a(16−a) u ={64,0<a ≤8a(16−a),8<a <12，分段画出函数图形可得其形状与C 接近， 故选B ．10.答案：A解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于中档题．根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ．【解答】解：由于f(x)=√2sin(ωx+ϕ+π4)(ω>0,|ϕ|<π2)，由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4．因此，f(x)=√2sin(2x+π2)，若x∈(0,π2)，则2x+π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减，若x∈(π4,3π4)，则2x+π2∈(π,2π)，此时函数f(x)不是单调的，故B,C,D都错，故选A．11.答案：C解析：解：△ABC中，∵AC=2，BC=1，cosC=12=BCAC，B=π2，∴AB=√AC2−BC2=√3，∴△ABC的面积为12AB⋅BC=12×√3×1=√32，故选：C．由条件可得cosC=12=BCAC，故有B=π2，勾股定理求得AB=√AC2−BC2的值，可得△ABC的面积为12AB⋅BC的值．本题主要考查直角三角形中的边角关系，判断B=π2，是解题的关键，属于基础题．12.答案：B解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属中档题．设f(x)=lnxx (x>1)，则f′(x)=1−lnxx2，研究单调性，比较大小．【解答】解：设f(x)=lnxx (x>1)，则f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)>0，解得1<x<e，令f′(x)<0，解得x>e，故f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以alnb，blna的大小不确定，故选B．13.答案：√53解析：解：∵向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，∴a⃗2=5，b⃗ 2=1，a⃗⋅b⃗ =−2+0=−2，∴|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=√53，故答案为√53．求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，由|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2求得结果．本题考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，是解题的关键．14.答案：92解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点C(0,−2)的距离的平方，则由图象可知，当z=x2+(y+2)2所表示的圆与直线x+y−1=0相切时，距离最小，即C(0,−2)到直线x+y−1=0的距离d=√2=√2，所以z=d2=92，故答案为92．15.答案：(14,−1)解析：【分析】本题考查了抛物线与直线的位置关系，属于中档题；直线AM 的方程为：y =12x +2，联立抛物线方程⇒A(4,4)可得直线AB 的方程为4x −3y −4=0，联立y 2=4x 可得y 2−3y −4=0⇒B(14,−1)【解答】解：根据题意，点M(0,2)，F(1,0)，∵∠AMF =π2，则直线AM 的方程为：y =12x +2 由{y =12x +2y 2=4x⇒A(4,4) 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线AB 的方程为4x −3y −4=0联立y 2=4x 可得y 2−3y −4=0⇒B(14,−1)故答案为(14,−1)． 16.答案：2√6解析：【分析】本题考查了平面的基本性质以及应用，直接由平面的基本性质求解即可．【解答】解：如图，取AB ，C 1 D 1的中点E ，F ，连接A 1 E ，A 1 F ，EF ，则平面A 1 EF //平面BPC 1． 在△A 1EF 中，A 1F =A 1E =√5，EF =2√2，S △A 1EF =12×2√2×√(√5)2 −(√2)2 =√6， 从而所得截面面积为2S △A 1EF =2√6．故答案为2√6．17.答案：解：(Ⅰ)等比数列{a n }的公比q >0，a 1+a 2=4，a 3−a 2=6，可得a 1+a 1q =4，a 1q 2−a 1q =6，解得a 1=1，q =3，则a n =a 1q n−1=3n−1，n ∈N ∗；(Ⅱ)若ka n ，S n ，−1成等差数列对于n ∈N +都成立，可得2S n =ka n −1，当n =1时，2×1=k −1，即k =3，可得2S n =3a n −1，由a n =3n−1，S n =1−3n1−3=3n −12，可得2S n =3a n −1恒成立，则k 的值为3．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． (Ⅰ)等比数列{a n }的公比q >0，由等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程可得所求通项；(Ⅱ)由等差数列中项性质，可令n =1求得k ，再由等比数列的通项公式和求和公式，检验可得k 的值．18.答案：【解答】证明：(1)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中∵AD =4，AD 1=5，∴DD 1=√AD 12−AD 2=3以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，设AC 的中点为N ，连结ND 1，根据题意得A(4,0，0)，B(4,4，0)，C(0,4，0)，D(0,0，0)，B 1(4,4，3)，D 1(0,0，3)，B 1D 1的中点为M(2,2，3)，AC 的中点为N(2,2，0)．∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,3)，ND 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,3)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //ND 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM//ND 1．∵BM ⊄平面D 1AC ，ND 1⊂平面D 1AC ，∴BM//平面D 1AC ．解：(2)DD 1=(0,0，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4，0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0，3)，设平面D 1AC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 根据已知得{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +4y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +3z =0， 取x =1，得n⃗ =(1,1，43)是平面D 1AC 的一个法向量， ∴cos <DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3417， ∴直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值等于2√3417．解析：【分析】(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能证明BM//平面D 1AC ．(2)求出平面D 1AC 的一个法向量和平面D 1AC 的一个法向量，利用向量法能求出直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)依题意得c 2=a 2−b 2=1，即b 2=a 2−1，所以当x =1时，解得y =±a 2−1a，当l ⊥x 轴时，|AB|=2(a 2−1)a ， 因为|MF|=1，所以S △ABM =12|AB|×|MF|=a 2−1a =√22，解得a =√2， 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件，当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k(x −1)(k ≠0)，设点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，把l 的方程代入x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1， 因为k 1+k 2=y 1x 1−2+y 2x 2−2=2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)， 而2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =2k(2k 2−2)2k 2+1−3k−4k 22k 2+1+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0，所以，k 1+k 2=0．解析：(1)由已知条件得b 2=a 2−1，利用通径公式得出|AB|的表达式，再由△ABM 的面积得出有关a 的方程，求出a 的值，可得出椭圆C 的标准方程；(2)对直线l 与x 轴垂直、与y 轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论．在前两种情况下可直接进行验证；在第三种情况下，设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出结论成立．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于难题．20.答案：解：(1)因为μ=66，σ2=144，所以μ+2σ=66+2×12=90，所以P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12(1−0.9544)=0.0228，所以估计初试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114(人)；(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，则P(Y=0)=12×13×13=118，P(Y=2)=C21×23×13×12=418=29，P(Y=3)=13×13×12=118，P(Y=4)=23×23×12=418=29，P(Y=5)=C21×23×13×12=418=29，P(Y=7)=23×23×12=418=29，Y所以数学期望E(Y)=0×118+2×29+3×118+4×29+5×29+7×29=256．解析：本题主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差和正态曲线及其性质，属于基础题．(1)由题意得P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12(1−0.9544)，即可估计初试成绩不低于90分的人数;(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，故可得Y的分布列，即可求得数学期望．21.答案：解：(1)由f(x)=e x+lnx，则f′(x)=e x+1x,f′(1)=e+1，切点为(1,e)，所求切线方程为y−e=(e+1)(x−1)，即(e+1)x−y−1=0．(2)由f(x)=e x+lnx，原不等式即为e x+lnx−e−m(x−1)>0，记F(x)=e x+lnx−e−m(x−1),F(1)=0，依题意有F(x)>0对任意x∈(1,+∞)恒成立，求导得F′(x)=e x +1x −m,F′(1)=e +1−m,设g(x)=F′(x)=e x +1x −m ，g′(x)=e x −1x 2，当x >1时，g′(x)>0，则F′(x)在(1,+∞)上单调递增，有F′(x)>F′(1)；若m ≤e +1，则F′(x)>F′(1)≥0，得F(x)>F(1)=0，若m >e +1，则F′(1)<0，又，故存在x 1∈(1,lnm)使F′(x)=0，当1<x <x 1时，F′(x)<0，得F(x)在(1,x 1)上单调递减，得F(x)<F(1)=0，综上，实数m 的取值范围是(−∞,e +1]．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．(2)由f(x)=e x +lnx ，原不等式即为e x +lnx −e −m(x −1)>0，记F(x)=e x +lnx −e −m(x −1)，通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，转化求解m 的范围即可．22.答案：解：(1)直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =sinα(α为参数)，将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 1．则：{x =αy 2=sinα(α为参数)， 转换为直角坐标为：x 2+y 24=1．转换为极坐标方程为：ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ4=1． (2)不妨设M(ρ1,θ)、N(ρ2,θ+π2)，则：ρ12cos 2θ+ρ12sin 2θ4=1， ρ22cos 2(θ+π2)+ρ22sin 2(θ+θ2)4=1， 则：1ρ12=cos 2θ+sin 2θ4，1ρ22=sin 2θ+cos 2θ4， 则：1|OM|2+1|ON|2=1ρ12+1ρ22=sin 2θ+cos 2θ4+cos 2θ+sin 2θ4=54．解析：(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用三角函数的关系式的变换和极径求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换．23.答案：解：令f(x)=|x −1|−|x +m|，由|x−1|−|x+m|≤|(x−1)−(x+m)|=|m+1|，可得f(x)的最大值为|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|．又实数a的最大值为5，则|m+1|=5，解得m=4或−6．解析：本题主要考查绝对值不等式的性质及解法，令f(x)=|x−1|−|x+m|，求出其最大值|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|，进而求出m．。
2019年春季湖北省重点高中联考协作体高三期中考试
2019 年高考（350）湖北省重点高中联考协作体2019 届高三期中考试2019 年春季湖北省重点高中联考协作体高三期中考试语文试卷考试时间：2019年4月1日上午9：00—11：30 试卷满分：150 分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第1 卷（阅读题，共70 分）一、现代文阅读（35 分）（一）论述类文本阅读（本题共3 小题，9 分）阅读下面的文字，完成1~3 题。
城市是多样异质文明空间化聚集、结构化整合的结果，城市与文明共生。
文明多样性主要指以城市为场域为核心的社会领域与社会功能的专业化分划及其空间共在，即专门化、专业化的管理、宗教、谋利、交易等功能在城市中或者以城市为中心的多样共存。
城市的重要功能是满足人的多样需要，一个成功的城市，首先是能够全面满足人的安全、发展、宗教等需要的所在。
在科特金看来，考察成功的城市，“有三个关键因素决定了这些城市的全面健康发展，即地点的神圣、提供安全和规划的水平、商业的激励作用。
在这些因素共同存有的地方，城市文化就兴盛；反之，在这些因素式微的地方，城市就会淡出，最后被历史抛弃”。
一方面，人的多样需要会催生多样的城市、多样的文明；另一方面，多样的文明、多样的城市又会进一步生成人的多样需要。
文明多样性对城市的生成和发展具有重要作用。
城市是对已有多样文明的聚集，多样文明在城市中会发生碰撞、竞争、融合、整合，并可能进一步多样化。
韦伯认为，多样性是城市之所以成为城市的一个重要条件。
在他看来，以持续发展的分工为特点的经济多样性，是推动城市全面发展的重要力量，也是推动社会从道德社会、礼俗社会向理性社会、法理社会转换的重要力量。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i2.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为()A. 16B. 310C. 35D. 564.已知向量a⃗=(−2,−1)，b⃗ =(2,−2)，则(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )等于()A. 7B. −6C. −10D. −135.设圆的方程为(x−1)2+(y+3)2=4，过点(−1,−1)作圆的切线，则切线方程为()A. x=−1B. x=−1或y=−1C. y+1=0D. x+y=1或x−y=06.若曲线x2m +y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为()A. m<1B. m<0C. −12<m<0 D. 12<m<17.设l、m、n是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是()A. 若l⊥α，l//β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC. 若l⊥n，m⊥n，则l//mD. 若α⊥β，l⊂α，n⊂β则l⊥n8.根据如图程序框图，当输入5时，输出的是()A. 6B. 4.6C. 1.9D. −3.99.函数f(x)满足当x⩾4时，f(x)=(12)x，当x<4时，f(x)=f(x+1)，则为()A. 124B. 112C. 18D. 3810.已知3,a,12成等比数列，则a=()A. 6B. ±6C. −6D. 7.5 11. 在△ABC 中，“C =π2”是“sinA =cosB ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 12. 若函数f (x )={ln (x +1)−x,x ≥0,2x 2+2x,x <0,则函数f (x )的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为______．14. 若直线y =x +b 在x 轴上的截距在[−3,3]范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是______．15. 已知函数y =acos(2x +π3)+3，x ∈[0,π2]的最大值为4，则正实数a 的值为______ ．16. 已知实数x ，y 满足{x ≥y,x ≤2y,x +y −6≤0,则z =2x +y 取得最大值的最优解为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w应至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18.在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−2，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，DB=2√2，(1)证明PA//平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√2,1)，且离心率为√22． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON(O 为坐标原点)的斜率之积为−12，若动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究，是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标，若不存在，请说明理由．21. 已知函数．(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若方程f (x )=g (x )+m 有唯一解，试求实数m 的值．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22． (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23.若关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解时，实数a的最大值为5，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代入(z −1)i =1+i ，根据复数相等即可．【解答】设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代入(z −1)i =1+i得(a −1+bi)i =1+i ，即−b +(a −1)i =1+i ．根据复数相等可得{−b =1a −1=1得a =2,b =−1，所以复数z =2−i ．故选C ．2.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}；∴A ∩B ={3,5}．故选：B ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p =35×24=310．故选B ．4.答案：D解析：解：向量a ⃗ =(−2,−1)，b ⃗ =(2,−2)，a ⃗ −b ⃗ =(−4,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(2,−5)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=−8−5=−13．故选：D．求出相关向量，利用向量的数量积运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，考查计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：∵圆的方程为(x−1)2+(y+3)2=4，故圆心为(1,−3)，半径等于2，如图：故过点(−1,−1)作圆的切线，则切线方程为x=−1或y=−1，故选B．根据圆的方程，求出圆心和半径，结合图形写出切线方程．本题考查直线和圆的位置关系，求圆的切线方程，体现了数形结合的数学思想，求出圆心和半径是解题的关键．6.答案：B解析：解：∵曲线x2m +y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准方程，得y21−m −x2−m=1，由此可得1−m>0且−m>0，解得m<0．故选：B将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得y21−m −x2−m=1，由此建立关于m的不等式组，解之可得m<0．本题已知曲线表示焦点在y轴上的双曲线，求参数m的范围．着重考查了圆锥曲线与方程、双曲线的标准方程等知识，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查了空间位置关系的判定、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．A.利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理即可判断出；B.由α⊥β，l⊂α，推不出l⊥β；C.由l⊥n，m⊥n，可得l//m、相交或为异面直线都有可能；D.由α⊥β，l⊂α，n⊂β，可得l//n、相交或为异面直线都有可能．【解答】解：A.由l⊥α，l//β，利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理可得α⊥β；B.由α⊥β，l⊂α，不一定l⊥β，不正确；C.由l⊥n，m⊥n，则l//m、相交或为异面直线，不正确；D.由α⊥β，l⊂α，n⊂β，则l//n、相交或为异面直线，不正确．故选：A．8.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算y={1.2x x≤71.9x−4.9x>7的值．∵当输入5<7，满足条件x≤7，∴y=1.2×5=6．故选：A．当输入5<7，满足条件x≤7，执行y=1.2x运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查了函数性质与对数运算，属于基础题．【解答】解：，，故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查等比数列的概念，属于基础题．【解答】解：∵3,a,12成等比数列，∴a2=36，即a=6或a=−6．故答案为B．11.答案：A解析：解：“C=π2”⇔“A+B=π2”⇔“A=π2−B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=π2，或A=π2+B，“C=π2”不一定成立，∴A+B=π2是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论．本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．【解答】解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1−1，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：20π3解析：解：几何体上部是圆锥，下部是圆柱，所以几何体的体积为：π⋅12×4+1 3×22π×2=20π3．故答案为：20π3．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14.答案：13解析：解：所有的基本事件构成的区间长度为3−(−3)=6，∵直线在y轴上的截距b大于1，∴直线横截距小于−1，∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为−1−(−3)=2，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=26=13故答案为：13求出所有的基本事件构成的区间长度；再求出“直线在y轴上的截距大于1”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N(A)N求解15.答案：2解析：【分析】由x∈[0,π2]⇒2x+π3∈[π3,4π3]，利用余弦函数的单调性，结合题意即可求得实数a的值．本题考查复合三角函数的单调性，考查转化与运算能力，属于中档题．【解答】解：∵x∈[0,π2]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，∴−1≤cos(2x+π3)≤12，当a>0时，−a≤acos(2x+π3)≤12a，∵y max=4，∴12a+3=4，∴a=2；当a<0时，12a≤acos(2x+π3)≤−a同理可得3−a=4，∴a=−1．综上所述：正实数a的值为2．故答案为2．16.答案：(4,2)解析：解：实数x，y满足{x≥y,x≤2y,x+y−6≤0,的如图所示区域，把y=−2x+z，平移，当直线经过点(4,2)时，z取最大值，最大值为z=10．故答案为：(4,2)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义得到最优解，即可．本题考查简单的线性规划的简单应用，是基本知识的考查．17.答案：解：(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)立方米内的频率的和为(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=0.85．∴用水量小于或等于3立方米的频率为0.85，又w 为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 应至少定为3．(2)当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5−3)+0.05×(4−3)+0.05×(4.5−3)]×10=7.2+1.8+1.5=10.5(元)．∴当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元．解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．(1)根据图形求出用水量在[0.5,3)立方米内的频率的和即可得结果；(2)当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5−3)+0.05×(4−3)+0.05×(4.5−3)]×10，计算即可得．18.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+d =4a 1+3d +a 1+6d =15， 解得{a 1=3d =1…(3分) ∴a n =3+(n −1)×1，即a n =n +2.…(5分)(2)由(1)知b n =2n ，∴b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=21+22+⋯+210=2(1−210)1−2=2046.…(10分)解析：(1)利用等差数列的通项公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：(Ⅰ)证明：设AC ∩BD =H ，连接EH ，在△ADC 中，因为AD =CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，从而EH//PA ，因为HE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA//平面BDE ；(Ⅱ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，由(Ⅰ)知BD ⊥AC ，PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，从而AC ⊥平面PBD ：(Ⅲ)解：在△BCD 中，DC =1，DB =2√2，∠BDC =45°得BC 2=12+(2√2)2−2×1×2√2cos45°=5，∴BC =√5．在Rt △PDC 中，PC =BC =√5，DC =1，从而PD =2，则S ABCD =2S △BCD，故四棱锥P −ABCD 的体积V P−ABCD =13S ABCD ×PD =43．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．(Ⅰ)设AC ∩BD =H ，连接EH ，说明H 为AC 的中点，证明EH//PA ，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE ；(Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD ⊥AC ，然后证明AC ⊥平面PBD ：(Ⅲ)求出S ABCD ，然后求四棱锥P −ABCD 的体积．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√2,1)，且离心率为√22， ∴{ e =c a =√222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(Ⅱ)设P(x,y)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x =x 1+2x 2，y =y 1+2y 2， ∵M ，N 都在椭圆x 24+y 22=1上，∴x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4，∴x 2+2y 2=(x 12+4x 1x 2+4x 22)+2(y 12+4y 1y 2+4y 22)=(x 12+2y 12)+4(x 22+2y 22)+4(x 1x 2+2y 1y 2)=20+4(x 1x 2+2y 1y 2)，设k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12， ∴x 1x 2+2y 1y 2=0，∴x 2+2y 2=20，∴点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点， ∴由椭圆的定义知存在点F 1，F 2，满足|PF 1|+|PF 2|=2√20=4√5为定值，又∵|F 1F 2|=2√20−10=2√10，∴F 1，F 2的坐标分别为F 1(−√10,0)，F 2(√10,0)．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查向量与圆锥曲线轨迹问题的综合，是较难题．(Ⅰ)由椭圆经过点(√2,1)，且离心率为√22，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程． (Ⅱ)由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x =x 1+2x 2，y =y 1+2y 2，由M ，N 都在椭圆x 24+y 22=1上，再结合k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12，得到点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点，由此能求出F 1，F 2的坐标． 21.答案：解：(1)因为f′(x)=2x −8x ，所以切线的斜率k =f′(1)=−6，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=−6(x −1)，即y =−6x +7．(2)原方程等价于，令，则原方程即为ℎ(x)=m.因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y =ℎ(x)与的图象在y 轴右侧有唯一的交点， ℎ′(x)=4x −8x −14=2(x−4)(2x+1)x 且x >0，所以当x >4时，ℎ′(x)>0；当0<x <4时， ℎ′(x)<0．即ℎ(x)在(4,+∞)上递增，在(0,4)上递减．故ℎ(x)在x =4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是．解析：本题主要考查切线方程、方程的解，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)因为f′(x)=2x −8x ，所以切线的斜率k =f′(1)=−6，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=−6(x −1)，即y =−6x +7．(2)原方程等价于，令，则原方程即为ℎ(x)=m. 根据当x >0时原方程有唯一解，求实数m 的值22.答案：解：(1)圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，圆C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22， 直线l 的方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2−1，即：直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0；(2)圆心C 到l 的距离为d =√2−1|√2=1，所以|AB|=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为：r +d =2+1=3，所以(S △MAB )max =12×|AB|×3=12×2√3×3=3√3，即△MAB 面积的最大值为3√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换；(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．23.答案：解：令f(x)=|x−1|−|x+m|，由|x−1|−|x+m|≤|(x−1)−(x+m)|=|m+1|，可得f(x)的最大值为|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|．又实数a的最大值为5，则|m+1|=5，解得m=4或−6．解析：本题主要考查绝对值不等式的性质及解法，令f(x)=|x−1|−|x+m|，求出其最大值|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|，进而求出m．。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三数学上学期期中试题 理
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B ⋂=（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}2x x ≥ D ．{}4x x ≤ 2．下列命题正确的是（ ）A.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C.“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D.命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”. 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2413,2n S S S a =+=，则6a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．13-4．函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1-C ．[]0,2D ．[]1,35．如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD R λμλμ=+∈，则λμ-=（ ）A ．34 B ．14 C ．14- D ．34- 6．已知数列{}n a 满足:()*111,2n n n a a a n N a +==∈+.若21log 1n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的通项公式是（ ）A ．12n B ．1n - C ．n D ．2n7．已知函数()sin 232f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于轴56x π=-对称C.可由函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到 D.可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8．已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设双曲线221x y m n+=，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =B ．2y x =±C ．y x =±D ．y = 10. 已知函数()2,0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()2g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞（11．ABC ∆中有：①若A B >，则sinA sinB >；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形；④若,23B AB π∠==，且该三角形有两解，则AC 的范围是)+∞.以上结论中正确的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边AB AC == ）A.平面ABC ⊥平面ACDB.四面体D ABC -的体积是C.二面角A BC D --D.BC 与平面ACD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()()()1,2,2,2,1,a b c λ==-=，若()//c a b +，则λ= ．14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+()sin αβ+= ．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当[)3,3x ∈-时，()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2log 12f = ．16．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a ac =+-. （1）求B ；（2）若a A =，求ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且AD CD =2BC PA ==.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.20.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足()*11212,n n n S S S n n N +-+=+≥∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员()0x x >户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为()36050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使剩下()100x -户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求()*0,x x x N >∈的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这x 户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于()100x -户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a 的最大值.10010057.7, 1.75, 1.725758===) 及 57 5822.已知动圆C 过定点()21,0F ，并且内切于定圆()221:112F x y ++=.. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，（1）中曲线上有两个点,P Q ，并且2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“”是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C.5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B. 6.C 【解析】由12nn n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C.7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=，∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ．8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ．9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确；④由画圆弧法得2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得7DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A错;②由于111(84sin120)42332D ABC A BCD BCDV V S AD --==⋅=⨯⨯=B 错;③易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 3AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C 二、填空题13.0【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=． 14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-. 16. 74【解析】设椭圆方程是2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+74=+三、解答题17.解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-===由()0,πB∈，得π=3B . （2）由cos A =，()0,πA ∈得，sin 10A ==，在ABC △中，sin sin()sin cos cos sin C B A B A B A =+=+121021020=⨯+⨯=，由正弦定理a b =得，sin sin a b B A =⋅== 所以1sin 2ABC S ab C =△12==18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD BC ===可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 又APAC A =,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥; （2）建立如图所示空间直角坐标系，则)2.则M 的坐标为),22t -设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()0220t z ⎧=⎪+-=，则可取1,n ⎛=- ⎝⎭ 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量，所以02(cos ,cos 45m n m n m n===，23t =2.3PMPD ∴=19. 解：（1）()f x的定义域为,2x xk k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 1()4tan sin()cos()4sin(cos )232f x x x x xx x ππ=-++=+22sin cos sin 2cos2)x x x x x =-=-sin 222sin(2)3x x x π=+=+所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ== (2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,易知,.312AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.20. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+ （2）由（Ⅰ）知n n n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+-333T ()3244n n n ∴=+⋅-21. 解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100xx -+≥⨯ 220032000,03x x x -≤∴<≤，又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)；（2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50xa x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100x x -+恒成立， 231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100x y x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2 1.75 1.712 5.4657100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . 22. 【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CFr=，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，1ac ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=；(2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形- 11 - PMQN的面积S = 当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得 2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++=设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩244.MN k ==+,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k =--221(1)132y x k x y⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-=设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩PQ ==四边形PMQN的面积2114(22S MN PQ k ==+= 令21k t +=,1t >,上式222()224S t t t ===--+-+++11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)S >=综上可得S ≥。
2019年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试-高三文数答案
2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(文科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 BDCAA 6~10 BBCDA 11~12 DC 二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.2314.4 15.16.[2，+∞）1. B 【解析】易知{},0,1,2,3A =与{}1,2,3,B =,∴集合{}1,2,3A B =.选B .2.D 【解析】1(1)(1)3332,1(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=++-所以2z =.故选D. 3. C 【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱，其体积312(4--1)=5cm 2⨯.选C .4. A 【解析】22222(2)444412cos120412a b a b a a b b -=-=-∙+=-⨯⨯+=，223a b -=.选A .5. A 【解析】由题意0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±由于l 被抛物线24y ax =截得的线段长为8，所以8=，所以4a =.所以抛物线的焦点坐标为(4,0).选A .6. B 【解析】由题意2,c e a ===所以223,b a =所以b a =所以双曲线的渐近线方程为.y =选B .7. B 【解析】()cos sin ),4f x x x x π=-=-最小正周期是2π，对称轴由,42x k πππ-=+得3,.4x k k Z ππ=+∈对称中心由,4x k ππ-=得,.4x k k Z ππ=+∈对 称中心是(,0),.4k k Z ππ+∈当1k =-时，一条对称轴是4x π=-．选B .8.C 【解析】函数为偶函数,所以只研究(0,2)上图像;因为2x =时ln 210,4y +=>所以去掉A,D;因为223ln 112ln (),x xy x x x--''=+=所以120x e -<<时0,y '>所以去掉B,选C .9. D 【解析】连接1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C .所以130AC B ∠=，1AB BC ⊥，所以1ABC ∆是直角三角形，又2AB =，所以1BC =，14,AC =外接球半径122AC R ==，外接球体积314322.33V ππ=⨯=选D . 10. A 【解析】因为()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，所以()f x 的周期是4T =.所以1((2019))((1))()2cos 24f f f f f π=-===选A .11. D 【解析】因为sin sin (sin cos )0B A C C -+=，所以sin()sin (sin cos )A C A C C +-+0=，即cos sin sin sin 0A C A C -=，即sin (cos sin )0C A A -=，又sin 0C ≠，cos sin 0A A -=，即t a n 1,4A A π==.由正弦定理si n si n 14si n ,22c A C a π===又c a <，所以6C π=.选D .12. C 【解析】设E 是AC 的中点，M 是ABC ∆的重心，O 为球心，连接,BE DM ，,.OD BO 因为2,ABC S AB ∆==所以26,3AB BM BE ====易知DM ⊥平面ABC .所以在Rt ABC ∆中，2,OM ==所以当,,D O M 三点共线且DM DO OM =+426=+=时，三棱锥D ABC -的体积最大.三角形ABC 所在圆的半径r BM ==l 所以122S r π=圆锥侧（）l = 24π．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.23【解析】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为.a 所有可能情况有：{}{}{},,,,,x y x a y a ，共3种.合题意的有{}{},,,x a y a ，2种．所以2.3p =14. 4【解析】画出可行域，作出直线230x y +=并平移，结合图象可知，当平移的直线经过(2,0)B 时，直线23z x y =+在y 轴上截距最大，max 220 4.z =⨯+=22(1)4,x y ++=所以圆心坐标为( 1.0)-，半径2R =，圆心到直线y x =的距离d ==所以AB ===16.12b ≥【解析】由题意应有1min2min ()()f x g x ≥.2224343()1x x f x x x x-+'=--=- 2(1)(3)x x x--=-，(0,1)x ∈时，()0,f x '<()f x 单调递减，(1,2)x ∈时，()0,f x '>()f x 单调递增，所以1()f x 的最小值是(1)13 2.f =-+=22()2()1848b b g x x =-+-，对称轴4b x =，①当1,4b<即4b <时，()g x 的最小值是(1)20,g b =-由202,b -≤得18b ≥，舍;②当12,4b≤≤即48b ≤≤时，()g x 的最小值是2()18,48b b g =-由2182,8b -≤得b b ≤-≥,舍；③当2,4b≥即8b ≥时，()g x 的最小值是(2)262,g b =-由2622,b -≤得12.b ≥三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.考点：等差等比数列的基本知识与基本运算．专题：等差与等比数列的通项公式，前n 项和公式．【命题意图】等差与等比数列的通项公式，前n 项和公式；考查运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则1(1)n a a n d =+-1(1)n d =+-，111n n n b b q q --==，由225a b +=得，(1)5,d q ++=即4,d q += ……………2分（1） 由339a b +=可得，2(12)9,d q ++= ……………4分于是联立方程组得，24(12)9d q d q +=⎧⎨++=⎩，解得22d q =⎧⎨=⎩ 或40d q =⎧⎨=⎩（舍） ……………6分 所以21n a n =-，12.n n b -= ……………7分 （2）由题意可得2113,q q ++=得2120q q +-=3q =或4q =- ……………9分 ①当3q =，1d =，3, 6.n a n S ==②当4q =-，8d =，387,27.n a n S =-= ……………12分 点评：本题已知两个数列的几项和，求通项，搞清首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”，再列方程组解题．考查化归与转化思想、函数与方程思想．本题属于容易题．18. 考点：线面平行，几何体的体积计算，等积转换．专题：线线平行与线面平行的相互转化，线线垂直、线面垂直及面面垂直的相互转化，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．（1）证明：取AC 的中点G ，连接,MG DG ， ……………1分 ,,AG GC BM MC ==,G M A B ∴且12GM AB =A BD E 且11,24AB DE DN DE ==， ,D NA B ∴且12DN AB =，,GM DN GM DN ∴=∴四边形DGMN 是平行四边形.DG MN ∴ ……………4分 又GD ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，MN ∴平面ACD ； ……………6分（2）解：连接,ME 由（1）知,DE AB 从而DE 平面ABC所以N 到平面ABC 的距离等于E 到平面ABC 的距离， ……………8分 又26,BE CE AB ===所以BCE ∆是等腰直角三角形，所以BC =ME =ME BC ⊥…①又已知平面ABED ⊥平面,BCE AB BE ⊥，AB ∴⊥平面BCE AB ME ∴⊥…② 由①②及,BCAB B =得ME ⊥平面ABC∴ME 是三棱锥N ABM -的高且ME = ……………10分111(39332A BMN N ABM ABM V V S ME --∆==⋅=⋅⨯⨯=. ……………12分 点评：本题难度适中，主要考查线面平行的判定，几何体的体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力、转化归能力、运算求解能力，意在让多数考生得分.19. 考点：茎叶图，频率分布直方图及线性回归方程的求解.专题：直方图及线性回归方程，考查的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算． 解：（1）语文、历史成绩的茎叶图如图： ……………3分(说明：历史成绩同一行的个位数字的顺序也可从小到大排列)（2）语文成绩的频率分布表 ……………5分语文成绩的頻数分布表语文成绩的频率分布直方图 ……………7分（3）由已知得ˆˆ0.85,640.85869.1ba ==-⨯=- y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.859.1yx =-， ……………11分 当110x =时，ˆ93.59.184.484y=-=≈ ……………12分 ∴当该考生的语文成绩为110分时，预测该生的历史成绩为84分.点评：本题难度适中，主要考查茎叶图，频率分布直方图及线性回归方程的求解. 考查识图与读图能力、数据处理能力、运算求解能力，意在让大多数考生得分. 20. 考点：求圆的方程;斜率的计算．专题：平面几何综合题，直线和圆锥曲线的位置关系，角度的相等证明．解：（1）设圆C 的半径(0)r r >，依题意，圆心坐标为),r 2,MN =22214,r ∴=+=24r =所以圆C的方程是22((2)4x y +-= ……………5分 （2）在圆22((2)4x y +-=中，令0x =得1y =或3，即点(0,1),(0,3)M N ， ……………6分 ①当AB ⊥x 轴时，0.ANM BNM ∠=∠= ……………7分 ②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 方程为 1.y kx =+联立方程有221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2234(1)12x kx ++=，化简得22(34)880k x kx ++-= ……………9分 设直线AB 与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ……………10分 于是12121212121212332222()AN BN y y kx kx kx x x x k k x x x x x x -----++=+=+=2212161634340k kk k x x -+++== ANM BNM ∴∠=∠. ……………12分点评：求圆的方程有两种方法：（1）代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，可用标准方程222()()x a y b r -+-=，或一般方程220x y Dx Ey F ++++=求解.（2）几何法，通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，从而写出圆的方程.本题难度较大，主要考查圆的方程求解，直线和圆锥曲线的位置关系，直线的斜率，考查运算求解能力、数形结合思想、转化与化归能力，意在让少部分考生得分. 21.考点：利用导数求解函数单调区间,最值问题求解．专题：求函数单调区间，分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想;最值问题利用图象求解．解：（1）1()4ln 3,h x x x x=+-定义域是(0,)+∞22221341(31)(1)()43x x x x h x x x x x -+--'=-+-=-=- ……………2分令()0h x '<，得()h x 的单调递减区间是1(0,)3和(1,)+∞； ……………5分 （2）问题等价于12ln a x x=有唯一实根，显然0a ≠ 即关于的方程12ln x x a=有唯一实根， ……………6分 构造函数()2ln ,x x x ϕ=则()2(1ln )x x ϕ'=+ 令()0x ϕ'=得，2(1ln )0x +=，1x e∴=当1(0,)x e∈时，()0,x ϕ'<()x ϕ单调递减；当1(,)x e∈+∞时，()0,x ϕ'>()x ϕ单调递增. ……………8分 所以()x ϕ的极小值为12(),e eϕ=-作出函数()x ϕ的图象，则要使方程12ln x x a=有唯一实根， ……………10分只需要1y a=与曲线()y x ϕ=有唯一的交点，则 12a e =-或10a >，解得2ea =-或0.a > ……………12分 点评：本题难度较大，主要考查导数与函数的单调性及最值，函数的零点.考查转化与化归能力、运算求解能力、数形结合思想. 意在让少部分考生得分. 22. 考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程．【解析】（1）l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为.122=+y x 联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得l 与1C 的交点为)0,1(A,1(,2B -,则AB = ……5分 （2）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线l的距离是13cos sin 122θθ--=,由此当sin()1θϕ-=时,d 取得最大值,且最大值为142+. …………10分点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，属于容易题．23. 考点：带绝对值的函数；绝对值不等式． 专题：．计算题；不等式的解法及参数的求法；考查分类讨论能力,数形结合能力，转化与化归能力及运算求解能力，考查的数学核心是数学运算． 【解析】（1）当1a =时，由题意，得7(1)(2)1261()4124122827(1)(2)2x x x x x f x x x x x x x x ⎧+++-≤-+≤-⎧⎪⎪=-<≤=-<≤⎨⎨⎪⎪-+>-+-->⎩⎩ ……………2分可得求不等式错误！未找到引用源。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(文科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 CDBDA 6~10 BCAAD 11~12 CB二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.6- 14.015. 16.81 1.C 【解析】易知A 与B 的公共元素是1,2.∴集合{}1,2A B =.选C.2.D 【解析】12(12)(1)13111(1)(1)2222i i i z i i i i i i i i ---=+=+=--+=--++-所以2z =.故选D. 3.B 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()11f x -≤≤等价于()()()11f f x f -≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,11x ∴-≤≤ 1x ∴-≤≤1. 故选B.4.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 5.A 【解析】由题意1111()()224b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号.故选A. 6. B 【解析】337log log 312a =>=,(0,1)b =,1133log 5log 10c =<=,所以a b c >>.故选B. 7.C 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.故选C. 8.A 【解析】∵f （x ）=sin2x=cos （2x﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时,512x π=-,B 错.()03g π=，A 正确.故选A ．9.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排出B,C. 21()0,f e e e =-> 211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ． 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.C 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得 22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 12.B 【解析】作出函数的图象，不妨令，由图可知关于直线对称，所以，当时，的最小值为；当时，由333x +=-得2x =-，所以120,x -<<，故而()1234,6x x x ++∈.选B.13.6-【解析】23(3)(3)1f log a =+=,193,a ∴+=6a =-．14. 0 【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=．15. -(0,),tan 3,sin 2παααα∈=∴==cos()42παα∴+=2α-2== 16.81【解析】从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行.2018ij a =是偶数，所以它位于偶数行，将奇数除外，前行偶数共有个， 由22018n =得1009n =，所以2018ij a =是第1009个偶数，因为3132992100932331056⨯=<<⨯=， 所以2018ij a =位于第32偶数行，即第行，， 前行偶数共有个偶数，所以第偶数行的最后一个数为， 第偶数行的第一个数为，2018ij a =是第201819861172-+=个数， 即17j =.所以641781i j +=+=.三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 考点：同角三角函数关系,正、余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求角；解三角形及三角形面积的计算．【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等．解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-=== ..................................................................................... 2分 由()0,πB ∈，得π=3B . .................................................................................................... 5分（2）由cos A =()0,πA ∈得，6A π=， 在ABC △中，2C AB ππ=--=............................................................................................................... 7分由正弦定理sin sin a b A B=得，sin 2sin a b B A =⋅==...................... 8分 所以1sin ABC S ab C =△.......................................................... 10分 点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A 的大小，已知三角形面积求三角形的另两边长．着重考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属于容易题．18. 考点：三角函数的诱导公式,和差倍角公式;辅助角公式,化简三角函数式子．专题：求三角函数的周期、最值,求单调区间．解：（1）1()4sin (cos )22f x x x x =-22sin cos sin 2cos2)x x x x x =-=-sin 222sin(2)3x x x π==+ …………………. 3分 所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ== …………………. 4分 当22,32x k πππ+=+即,()12x k k Z ππ=+∈,()f x 的最大值为2; ………………. 6分(2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭, 易知,.312A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦…………………. 10分 所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. …………………. 12分点评：本题利用两角和的余弦公式及降幂公式,辅助角公式把三角函数化为一个复角的形式,再求周期、最值及单调区间．本题属于容易题．19. 考点：等差等比数列的定义及通项公式的求法;错位相减法．专题：数列综合题,数列求和问题．解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．．．．．．6分（2）由（Ⅰ）知n n n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T 1231T 2333433(1)3(1)n n n n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅23413T 2333433(1)3(2)n n n n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅ ．．．．．．．．8分 13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+- 333T ()3244n n n ∴=+⋅-. ．．．．．．．．．12分 点评：数列的通项公式及错位相减法是解决数列问题的基础; 本题属于容易题．20.考点：函数的应用题,列式,运用重要不等式;二次函数的配方.专题：数学建模,分析问题解决问题的能力,数学运算能力.解:由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1200001002y x x x=+- …………………. 3分100100x x≥-=，当且仅当1200002x x =，即200x =时取等号， ………………….6分 故该公司每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为100元.（2）设该公司月获利为S 元，则2211120(10020000)2202000022S x x x x x =--+=-+-…………………. 9分 21(220)42002x =--+ …………………. 10分又50220x ≤≤，所以220x =（吨），公司月获利max 4200S =（元）. ……….12分点评：本题第(1)问先求出每吨的平均处理成本; 第(2)问是二次函数的配方,求最值.21. 考点：考查学生对直方图、列联表的理解，独立性检验公式． 专题：认识图形，22⨯列联表数据，以及22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -K =++++，考察运算求解能力． 解：(1)设各组的频率为， 由图可知，第一组有人，第二组人，第三组人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为， ……………………………2分 所以视力在4.8以下的频率为37272461+++=人. ……………………………4分 故全年级视力在4.8以下的人数约为611000610100⨯=人. ……………………………6分 （2）由已知得，222()100(4520530)()()()()50507525n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯K ==++++⨯⨯⨯ 90012 3.84175==> ……………………………10分 因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．…………………12分点评：数据分析主要表现为收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论.将实际问题转化为数学问题，并加以解决．22. 考点：计算相关系数r ，及求解回归方程．专题：概率题型，认识折线图等图形.熟悉图形特点，会根据题中所给数据简便求解．【解析】解:(1)由题意得,7()()i it t y y r ----=∑∴0.75> ……………………………4分 所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ………6分（2）由已知得， ……………………………8分所以，关于的回归方程为：. ……………………………10分 将2019年对应的8t =代入回归方程得：ˆ0.920.1038 1.744y=+⨯=. ………………………12分 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨.点评：经典题型,学生要熟悉相关系数()()n i ix x x y r ----=∑，线性回归方程ˆy =ˆˆbx a +中121()()ˆ()n i i i n ii x x y y b x x --=-=--=-∑∑，也可写成1221ˆ()n i i i n i i x y n x y b x n x --=-=-=-∑∑两种形式，ˆˆa y b x --=-; 属于中档题．。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷及解析
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】根据集合的交集的概念易知与的公共元素是.集合. 故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.4.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，。
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学文科试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整？吉.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数()33z ii =-，则z =（ ） A. 13i +B. 13i -C. 13i -+D. 13i -- 【答案】D【解析】【分析】根据3i i =-，利用复数运算，即可求得结果 【详解】因为3i i =-，故可得()313z i i i =--=--.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.2.已知集合{}2,1,0,1A =--，{}2|40B x x =-≤，则A B =I （ ） A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}1,0,1-D. {}2,1,0,1--【答案】D【解析】【分析】 .求解一元二次不等式解得集合B ，再求交集即可.详解】集合{}2B x x =|-2≤≤，故{}2,1,0,1A B ⋂=--故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.3.产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（ ） A. 35 B. 310 C. 25 D. 23【答案】B【解析】【分析】列举出所有抽取的可能性，以及满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】不妨设5件样品为12312,,,,A A A B B ，其中12,B B 为检测过某成分含量的2件样品. 故从5件样品抽取3件样品的所有可能有如下10种：123121122131132112231232212312,,,,,,,,,A A A A A B A A B A A B A A B A B B A A B A A B A B B A B B ,其中满足题意的可能有如下3种：112212312,,A B B A B B A B B . 故满足题意的概率310P =. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题. 4.已知向量a r ，b r 满足1a b ⋅=r r ，2b =r ，则()32a b b -⋅=r r r （ ） A. 5B. -5C. 6D. 6【答案】B【解析】【分析】 根据向量的数量积运算，即可容易求得结果.【详解】根据题意可得：()23232385a b b a b b -⋅=⋅-=-=-r r r r r r . 【故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积运算，属基础题.5.函数1y x =+的图象与圆()2214x y +-=所围成图形较小部分的面积是（ ） A. 4π B. 2π C. 43π D. π【答案】D【解析】【分析】求得圆心角，根据扇形的面积公式即可容易求得. 【详解】画出函数1y x =+的图象与圆()2214x y +-=的图像，如下所示：容易知90CAB ∠=︒，半径2r =， 故可得小扇形面积1422S ππ=⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查扇形的面积计算，涉及由圆方程求圆心和半径，属综合基础题. 6.已知方程221622x y m m +=++表示焦点在x 轴的双曲线，则m 的取值范围是（ ） A. 21m -<<-B. 32m -<<-C. 12m <<D. 23m <<【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围. 【详解】因为方程221622x y m m +=++表示焦点在x 轴的双曲线，故可得620,20m m +>+<，解得32m -<<-.故选：B .【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.7.已知l ，m ，n 是三条不重合的直线，其中命题“若//l m 且l n ⊥则m n ⊥”是真命题.若把l ，m ，n 中的任意两条直线换成平面，另一条保持不变，则所得到的所有新命题中，真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可容易判断命题的真假.【详解】①l 不变，由//l α且l βαβ⊥⇒⊥；②m 不变，由//m α且m αββ⊥⇒⊥；③n 不变，由//αβ且n n αβ⊥⇒⊥；分析知①，③正确.故选：C .【点睛】本题考查线性，线面，面面的位置关系，以及命题真假的判断，属综合基础题.8.如图所示的程序框图，若输入x 的数值是19，则输出的y 值为（ ）A. -124B. 124C. 26D. 0【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】模拟执行程序框图如下： 19,13x x ==，满足0x ≥，7x =，满足0x ≥，1x =，满足0x ≥，5x =-，不满足0x ≥，()351124y =-+=-.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.9.已知()ln 1f x x =+，0a b <<，若l f =，2a b m f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()12n f a f b =+，则关于l ，m ，n 的关系式中，正确的是（ ）A. 1m n =<B. 1m n =>C. 1n m =<D. 1n m => 【答案】C【解析】【分析】利用对数运算以及均值不等式，即可容易判断.【详解】由对数运算的性质知111ln ln 122l f a b ===++， ()()()()11ln 1ln 122n f a f b a b =+=+++11ln ln 122a b =++， 所以l n =，又()f x 为增函数，0a b <<时，2a b +>m l >， 所以有l n m =<.故选：C .【点睛】本题考查利用对数运算，均值不等式比较大小，属综合基础题.10.已知非零实数a ，b ，c 不全相等，则下列说法正确的个数是（ ）（1）如果a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 能构成等差数列 （2）如果a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 不可能构成等比数列 （3）如果a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c 能构成等比数列 （4）如果a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】【分析】用列举法判断命题（1）（3），通过等比中项和等差中项的性质判断（2）（4）命题.【详解】对（1）若1,2,3a b c ===，则111,,23不能够成等差数列，故（1）错误； 对（3）若1,2,4a b c ===，则111,,24成等比数列，故（3）正确； 对（2）若,,a b c 成等差数列，故可得2a c b +=，若111,,a b c 成等比，则222()()21141b a c c a a c ⎛⎫== ⎪⎝+⎭=+， 则a c b ==，与已知矛盾，∴2111a c b ⎛⎫⨯≠ ⎪⎝⎭，故（2）正确； 对（4），若,,a b c 成等比数列，故可得2ac b =，则112a c a c ac b++=>==，即112a c b +≠，故（4）正确. 故正确的选项是（2）（3）（4）.故选：C.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，考查了推理证明的能力，属基础题.11.在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“cos 2sin sin C A B =”的（ ）A. 必要不充分B. 充要C. 充分不必要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】从充分性和必要性，结合余弦的和角公式，即可容易判断.【详解】假设C 为钝角，则cos 0C <，2sin sin 0A B >，显然充分性不成立，又由cos 2sin sin C A B =可知()cos 2sin sin A B A B -+=，即()cos 0A B -=，此时有2A B π-=±，即A 为钝角或B 为钝角，从而ABC V 为钝角三角形，必要性成立.故选：A .【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及余弦的和角公式，属综合基础题. 12.已知函数()()24,44,4x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，且函数()g x 满足()()45g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A. 0B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】构造函数()()()4F x f x f x =+-，根据其对称性，以及函数图像，根据图像交点判断函数零点个数.【详解】由()()54g x f x =--知()()()()45y f x g x f x f x =-=+--，令()()()4F x f x f x =+-，则()()()44F x f x f x -=-+所以有()()4F x F x -=，即()F x 的图像关于直线2x =对称.当02x ≤≤时，()()()()44444F x f x f x x x =+-=-+--=；当0x <时，()()()()24444F x f x f x x x =+-=++-- 22115424x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. 作出()F x 的图像可知，当()5F x =时，有两个零点.故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，涉及数形结合，函数对称性的判断，属综合中档题.第Ⅱ卷选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某金属零件的三视图，如图所示（单位：m ），则该零件的体积为______.【答案】643π 【解析】【分析】根据题意，还原几何体，根据圆锥和圆柱的体积计算公式即可容易求得.【详解】根据三视图，可得该零件是由两个底面半径为2，高为2的圆锥，如图：以及1个底面半径为2，高为4的圆柱构成. 故其体积为221222243ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=643π. 故答案为：643π. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥和圆柱的体积求解，属综合基础题.14.已知实数m 是区间[]0,4上的随机数，则方程23330x x m ++-=有异号两根的概率为______. 【答案】14【解析】【分析】先求得方程有异号两根的参数范围，根据几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】若要保证23330x x m ++-=有异号两根，则()94330m =-->n ，330m -<，解得1m <，故满足题意的[)0,1m ∈， 由几何概型的概率计算公式可得其概率为14P =. 故答案为：14. 【点睛】本题考查由一元二次方程根的个数求参数范围，以及几何概型的概率求解，属综合中档题. 15.已知函数()211sin sin cos 122f x x x x =++，则()f x 的最小正周期是_____，最小值是______.【答案】 (1). π (2).【解析】【分析】利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简()f x 至最简形式，即可求得其函数性质.【详解】由题意有：()2111cos 2sin 2sin sin cos 112244x x f x x x x -=++=++ ()155sin 2cos 224444x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故最小正周期为π，最小值为54-. 故答案为：π，54. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及求三角函数的最值和周期，属综合基础题.16.某制药厂生产A ，B 两种药品均需用甲，乙两种原料.已知生产1吨每种药品所需原料及每天原料的可用限额，如下表所示.如果生产1吨A ，B 产品可获利润分别为4万元，5万元，则该制药厂每天可获最大利润为__万元.【答案】553【解析】【分析】根据题意，列出不等式组，数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】设每天生产A 药品x 吨，B 药品y 吨，利润45z x y =+，则有0043152310x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩作出可行域如下图所示：数形结合可知，目标函数z在点A55,23⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值553.故答案为：55 3.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17—21题为必做题，每个试题考生必须作答，第22，23题为选做题，考生根据要求作答.）（一）必做题：共60分17.某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价.每人月用流量中不超过GBk（一种流量计算单位）的部分按2元/GB收费；超出GBk的部分按4元/GB收费.从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据.整理得到如下的频率分布直方图：（1）若k为整数，依据本次调查，为使80%以上用户在该月流量价格为2元/GB，k至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3k=时，试估计用户该月的人均流量费.【答案】（1）k至少定为3（2）5.1元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算概率，即可容易求得结果；（2）由频率分布直方图计算平均数即可容易求得.【详解】（1）由直方图可知，用户所用流量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3 内的频率依次是0.1，0.15，0.2，0.25，0.15，所以该月所用流量不超过3GB 的用户占85%，所用流量不超过2GB 的用户占45%，故k 至少定为3；（2）由所用流量的频率分布图及题意，用户该月的人均流量费用估计为： 210.12 1.50.15220.22 2.50.25⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()320.15320.540.0532140.05+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯()32 1.540.05 5.1+⨯+⨯⨯=元.【点睛】本题考查频率分布直方图的概率计算，以及由频率分布直方图计算平均数，属综合基础题. 18.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足112a b ==，2310a a +=，2418b b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）设数列{}n c 中n n n c a b =+，求和：13521n c c c c -+++⋅⋅⋅+.【答案】（1）2n a n =；12n n b -=⋅（2）2231n n +- 【解析】【分析】（1）根据基本量，即可容易求得等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用分组求和以及等差数列和等比数列前n 项和的求和公式，即可容易求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2310a a +=，所以12310a d +=，又12a =，所以2d =，即()2122n a n n =+-⨯=，设正项等比数列{}n b 的公比为q ，因为241836b b a ==即24136b q ⋅=，由12b =，0q >知q =所以12n n b -=⋅.（2）122n n n n c a b n -=+=+⋅，设2113521n n S c c c c --=++++L ，则()()()()212122623102322123n n S n --⎡⎤=+++⨯++⨯+⋅⋅⋅+-+⨯⎣⎦()()2126102212232323n n -=+++⋅⋅⋅+-++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⎡⎤⎣⎦()()()2221213213n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+- 2231n n =+-.【点睛】本题考查利用基本量求等差数列和等比数列的通项公式，以及用基本量求解等差和等比数列的前n 项和，涉及分组求和，属综合基础题.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30°，试求三棱锥M ANC -的体积.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明AM ⊥平面11BB C C ，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果.【详解】（1）证明：如图，由直三棱柱111ABC A B C -知1AM BB ⊥，又M 为BC 的中点知AM BC ⊥，又1BB BC B =I ，所以AM ⊥面11B BCC ，又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面11B BCC .（2）如图：设AB 的中点为D ，连接1A D ，CD .因为ABC V 是正三角形，所以CD AB ⊥.由直三棱柱111ABC A B C -知1CD AA ⊥.所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角.即130CA D ∠=︒，所以12242A C CD ==⨯=，所以16A D =， 在1Rt AA D △中，1AA ===11122AA NC =⨯== 三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积，所以2111433423AMC S V NC ⎛⎫⋅=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭=△. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题.20.设椭圆与两坐标轴的交点分别为(),0A a ，()0,B b ()0a b >>，点O 为坐标原点，点M 满足2BM MA =uuu r uuu r ，OM 所在直线的斜率为10. （1）试求椭圆的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，证明MN AB ⊥.【答案】（1）5e =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由2BM MA =uuu r uuu r ，用,a b 表示出M 点的坐标，利用OM 的斜率即可容易求得离心率；（2）根据N 是AC 中点，求得N 点坐标，由数量积的坐标运算，求得AB NM ⋅u u u r u u u u r ，根据（1）中所求，即可求得结果.【详解】（1）由(),0A a ，()()0,0B b a b >>，2BM MA =uuu r uuu r ，知21,33M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OM k =知210b a =.所以a =，2c b ==，所以5c e a ==. （2）证明：由N 是AC 的中点知，点,22a b N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5,66a b NM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 又(),AB a b =-u u u r ，所以()22221515666AB NM a b b a ⋅=-+=-u u u r u u u u r ， 由（1）知a =，即2250b a -=，所以0AB NM ⋅=u u u r u u u u r ， 即MN AB ⊥.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，以及由椭圆中垂直问题的证明，涉及向量的数量积运算，属综合基础题.21.已知函数()()ln f x x a x =+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +=垂直. （1）求a 的值. （2）令()2x x g x e=，是否存在自然数n ，使得方程()()f x g x =在(),1n n +内存在唯一的根？如果存在，求出n ，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =（2）存在；1n =【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，由切线斜率即可容易求得参数值；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数判断函数单调性，根据函数值零点分布，即可求得对应的参数.【详解】（1）易知切线的斜率为2，即()'12f =，又()'ln 1a f x x x=++，所以1a =； （2）设()()()()21ln x x h x f x g x x x e=-=+-， 当(]0,1x ∈时，()0h x <.又()224423ln 2ln80h e e =-=-> 所以存在()01,2x ∈，使得()00h x =.又()()21'ln 1x x x h x x x e-=+++， 所以当()1,2x ∈时，()()21111'ln 110x x x h x x x e e e-=+++->->， 当[)2,x ∈+∞时，()'0h x >即()1,x ∈+∞时，()h x 为增函数，所以1n =时，方程()()f x g x =在(),1n n +内存在唯一的根.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数由方程根的个数求参数值，属综合中档题. （二）选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1622x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=.（1）写出C e 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【答案】（1）220x y +-=（2）()6,0【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得结果；（2）利用点P 的参数坐标，结合（1）中所求，求得PC 关于t 的函数，根据函数的最值，即可容易求得结果.【详解】（1）由ρθ=知2sin ρθ=所以22x y +=，所以C e的直角坐标方程为220x y +-=.（2）由（1）知C e的标准方程为(2212x y +-=，即圆心(0,C ，设P点坐标为162t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则PC == 所以当0t =时，PC 有最小值，此时P 点坐标为()6,0.【点睛】本题考查极坐标和直角方程之间的转化，以及利用直线的参数方程，求得点距的最值，属中档题. 选修4—5：不等式选讲23.已知关于x 不等式x a b +<的解集为{}|46x x <<.（1）求实数a ，b 的值；（2.【答案】（1）51a b =-⎧⎨=⎩； （2）【解析】【分析】 （1）解不等式x a b +<可得b a x b a --<<-，即46b a b a --=⎧⎨-=⎩，然后解方程即可；（2）利用柯西不等式求最值即可.【详解】（1）由x a b +<知b a x b a --<<-，所以46b a b a --=⎧⎨-=⎩即51a b =-⎧⎨=⎩. （2）依题意知：==≤的===即13t =时等号成立，所以所求式子的最大值为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属基础题.。