理6学案5函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
专题06 函数的奇偶性与周期性(教学案)
高考数学（文）一轮复习精品资料专题06 函数的奇偶性与周期性（教学案）1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用． 一、函数的奇偶性二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数高频考点二 函数的周期性例2、(1)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________． (2)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x ＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x ，则f(105.5)＝______.【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1f x ，则T ＝2a ，③若f(x ＋a)＝－1f x，则T ＝2a (a>0)．【变式探究】 设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝__________________________________________. 高频考点三 函数性质的综合应用例3、(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式或函数值．【变式探究】(1)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________． 考点四 函数的周期性及其应用例4、 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________． 【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期．【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______．1.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，，则= .2.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时， ；当 时，；当 时， .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )()f x ()4xf x =5()(1)2f f -+3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-A ．B ．C ．D ．【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=为偶函数，则a =（2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)（2014·湖南卷）已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．（2013·广东卷）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1y =sin y x =cos y x =x x y e e -=-xe x y +=x x y 1+=x xy 212+=21x y +=y cos x =y sin x =y ln x =21y x =+ln(x x（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．02．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)内是减函数3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( ) A ．5 B ．1 C ．－1D ．－34．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 225．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－26．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1，4)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(－1，2)7．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．48．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．9．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2， 则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________．10．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．11．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．。
学案6：5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性
5.4.2 第1课时周期性与奇偶性[目标]1.了解周期函数与最小正周期的意义；2.了解三角函数的周期性和奇偶性；3.能求简单三角函数的周期，并能判断一些函数的奇偶性．[重点]会求函数周期，会判断奇偶性．[难点] 函数周期的概念．【要点整合】知识点一周期函数[填一填](1)定义：对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期．①定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数f(x)的．②正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π.[答一答]1．是否所有的周期函数都有最小正周期？2．周期函数的周期是否唯一？知识点二正弦函数、余弦函数的周期[填一填](1)函数y＝sin x与y＝cos x的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)．最小正周期为.(2)函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为： .[答一答]3．三角函数的周期与什么量有关？若ω<0，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期公式是什么？4．函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋π6的最小正周期为 .知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性[填一填](1)正弦曲线关于 对称；是 函数(填“奇”或“偶”)；(2)余弦曲线关于 对称；是 函数．[答一答]5．函数y ＝1＋cos x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称 【典例讲练】类型一 求三角函数的周期[例1] 求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．[通法提炼]三角函数周期的主要求法方法一：定义法，利用f (x ＋T )＝f (x )；方法二：公式法，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，周期T ＝2π|ω|； 方法三：图象法，作出函数图象，通过观察图象得到周期．[变式训练1] (1)下列函数中，周期为π的函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4 (2)若函数是以2为周期的函数，且f (3)＝6，则f (5)＝ .类型二 三角函数奇偶性的有关问题命题视角1：三角函数奇偶性的判断[例2] 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin2x ；(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝sin|x |；(4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.[通法提炼]判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数.[变式训练2] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0 B.π4 C.π2D ．π命题视角2：三角函数的对称性[例3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴是________，对称中心是________． [通法提炼][变式训练3] 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 类型三 函数周期性与奇偶性的应用[例4] 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(1)证明：f (x )是周期函数；(2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[－6，－2]时，f (x )的解析式．[通法提炼]证明或判断抽象函数的周期性，是一种题型，解题的关键是找出其周期，一般要在题设条件下通过尝试变形来解决.求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周期将其调节到已知区间，从而将它转化为已知区间内的函数解析式.[变式训练4] 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3等于( ) A ．－12B.12 C ．－32 D.32【课堂达标】1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期是( ) A ．4πB ．2πC ．πD.π2 2．下列函数中是偶函数的是( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝－sin xC ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin x ＋13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2 4．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝ .5．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求f (－176π)的值．【课堂小结】——本课须掌握的两大问题1．对周期函数的正确理解(1)关于函数周期的理解应注意以下三点：①存在一个不等于零的常数T；②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域；③满足f(x＋T)＝f(x)．(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用．【参考答案】【要点整合】知识点一 周期函数[填一填](1)非零常数 f (x ＋T )＝f (x )(2)①最小正周期[答一答]1．提示：不是．如f (x )＝C (C 为常数，x ∈R )，所有的非零实数T 都是它的周期，不存在最小正周期．2．提示：不唯一．若f (x ＋T )＝f (x )，则f (x ＋nT )＝f (x )(n ∈N )．知识点二 正弦函数、余弦函数的周期[填一填](1) 2π(2) T ＝2πω[答一答]3．提示：三角函数的周期只与ω有关，而与A ，φ无关，若ω<0，则函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期公式是T ＝2π|ω|. 4．答案：5π知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性[填一填](1)原点奇 (2) y 轴 偶[答一答]5．答案：B解析：y ＝1＋cos x 是偶函数，其图象关于y 轴对称．【典例讲练】类型一 求三角函数的周期[例1][解] (1)方法一(定义法)：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，∴自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π. 方法二(公式法)：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3中，ω＝2，∴T ＝2π|2|＝π. (2)方法一(定义法)：∵f (x )＝|sin x |，∴f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |＝f (x )，故f (x )的最小正周期为π.方法二(图象法)：作出y ＝|sin x |的图象如图：由图象易知y ＝|sin x |的周期为π.[变式训练1]答案：(1)C (2)6解析：(1)利用周期公式T ＝2πω，可知C 中函数周期T ＝2π2＝π.故选C. (2)∵函数是以2为周期的函数，∴f (5)＝f (3＋2)＝f (3)＝6.故填6.类型二 三角函数奇偶性的有关问题命题视角1：三角函数奇偶性的判断[例2][解] (1)显然x ∈R ，f (－x )＝2sin(－2x )＝－2sin2x ＝－f (x )，所以f (x )＝2sin2x 是奇函数．(2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4， 所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，所以函数f (x )＝sin|x |是偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1， ∴函数的定义域为{x |x ＝2k π，k ∈Z }，定义域关于原点对称．当cos x ＝1时，f (x )＝0，f (x )＝±f (－x )．∴f (x )＝1－cos x ＋cos x －1既是奇函数又是偶函数．[变式训练2]答案：C解析：由题意得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1.因φ∈[0，π]，所以φ＝π2.故选C. 命题视角2：三角函数的对称性[例3][解析] 要使sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝±1，必有2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，即对称轴所在直线方程为x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )． 而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象与x 轴的交点即为对称中心． 令y ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝0，∴2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，即x ＝k 2π－π6(k ∈Z )． 故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )． [答案] x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z ) [变式训练3]答案：D解析：由函数的最小正周期为π可排除选项A 、B.对于选项C ，x ＝π12时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，显然x ＝π12不是它的对称轴．故选D. 类型三 函数周期性与奇偶性的应用[例4][解] (1)证明：由已知f (－x )＝f (x )，f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立． f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )．故f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当x ∈[－6，－2]时，x ＋4∈[－2,2]．∴f (x )＝f (x ＋4)＝－(x ＋4)2＋1＝－x 2－8x －15.[变式训练4]答案：D解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 【课堂达标】1．答案：C解析：T ＝2π2＝π. 2．答案：C解析：A 为奇函数，B 为奇函数，D 为非奇非偶函数，C 为偶函数，选C.3．答案：C解析：三角函数在对称轴处取得最值，将x ＝－π4代入f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4得f (x )＝－1，取得函数的最小值，因此，直线x ＝－π4是对称轴． 4．答案：2解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 5．解：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1，∴f (－17π6)＝－1.。
《函数的奇偶性与周期性》教案
《函数的奇偶性与周期性》教案教案：函数的奇偶性与周期性一、教学内容本节课主要内容为函数的奇偶性与周期性。
1.函数的奇偶性概念及判断方法；2.函数的周期性概念及判断方法；3.综合应用题。
二、教学目标1.理解函数的奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断方法；3.了解函数周期的概念，掌握函数周期的判断方法；4.能够应用函数的奇偶性与周期性解决综合问题。
三、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问与学生交流，引出函数的奇偶性与周期性的概念，比如“大家了解什么是函数的奇偶性吗？可以举几个例子来说明一下。
”“函数的周期性是什么意思呢？”等等。
2.讲解（25分钟）通过投影仪展示PPT，讲解函数的奇偶性与周期性的概念。
1)函数的奇偶性概念及判断方法：函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=-f(x)；函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=f(x)；判断奇偶性的方法为将函数代入定义进行验证。
2)函数的周期性概念及判断方法：函数f(x)的周期为T，当且仅当对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)；判断函数周期的方法为找出函数的一次性表达式，并将其化简为f(x+T)=f(x)。
3)综合应用题解析：通过一些例题的解析，让学生能够运用奇偶性和周期性的知识解决问题。
3.锻炼与拓展（20分钟）举一些例题进行训练，可以分小组进行讨论与比赛，以增加学生的参与度。
1)设f(x)是定义域为R的周期函数，且f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=-1，f(4)=-2，f(5)=-4，求f(2005)的值。
2)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=3，f(4)=-1，求f(x)的表达式。
3)设f(x)=x^3-3x，则f(x)是奇函数还是偶函数?。
4.巩固与评价（10分钟）布置一些练习题，要求学生自主完成，并互相批改答案，提升学生的综合应用能力。
1)设f(x)为周期函数，且f(x)=2x^2-x+1，周期为T，求T的值。
高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性
高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性高考数学知识点精讲：函数的奇偶性与周期性在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是非常重要的知识点，理解并掌握它们对于解决函数相关问题具有关键作用。
接下来，咱们就一起来详细探讨一下这两个重要的概念。
一、函数的奇偶性1、奇函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
比如说，常见的奇函数有 y ＝ sin x ，y ＝ x 等。
我们以 y ＝ x 为例来直观地理解一下奇函数的特点。
当 x 取某个值时，比如 x ＝ 3 ，那么 f(3) ＝ 3 ；而当 x 取－3 时，f(－3) ＝－3 ，也就是 f(－3) ＝ f(3) ，这就体现了奇函数的性质。
奇函数的图象关于原点对称。
这意味着，如果我们知道了函数在原点一侧的图象，就可以通过原点对称的方式得到另一侧的图象。
2、偶函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
像 y ＝ cos x ，y ＝｜x| 等都是偶函数。
以 y ＝｜x| 为例，当 x ＝3 时，f(3) ＝ 3 ；当 x ＝－3 时，f(－3) ＝ 3 ，即 f(－3) ＝ f(3) ，这符合偶函数的定义。
偶函数的图象关于 y 轴对称。
同样，如果知道了函数在 y 轴一侧的图象，通过 y 轴对称就能得到另一侧的图象。
判断一个函数是奇函数还是偶函数，通常有以下几种方法：（1）定义法：就是根据奇函数和偶函数的定义，分别计算 f(x) 和f(x) 或者 f(x) ，看是否相等。
（2）图象法：通过观察函数的图象是否关于原点对称（奇函数）或者关于 y 轴对称（偶函数）来判断。
二、函数的周期性1、周期函数的定义对于函数 y ＝ f(x) ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，那么就把函数 y ＝ f(x) 叫做周期函数，周期为 T 。
函数的奇偶性学案
函数的奇偶性学案【课前我能行——未闻先知】【学习目标】1、掌握函数奇偶性的定义及其图象的基本特点。
2、学会根据图象判断函数的奇偶性及其根据函数的奇偶性定义论证函数的奇偶性。
3、理解函数的奇偶性是对函数的内部的对称性的研究，要注意将它和两个不同函数之间的对称性相区别。
4、通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，从特殊到一般的概括能力，渗透数形结合的数学思想方法。
【基础知识】函数的奇偶性1. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫偶函数。
偶函数的图象关于 对称。
2. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫奇函数。
奇函数的图象关于 对称。
3.由奇、偶函数的定义可知，奇、偶函数的定义域在数轴上表示的区间关于 对称。
若奇函数的定义域中有零，其图象必过 ,即0)0(=f .4.在公共定义域内，（1）奇函数与奇函数之积是 。
（2）奇函数与偶函数之积是 。
（3）偶函数与偶函数之积是 。
答案提示：1、2见课本，3.原点，原点4.（1）偶函数（2）奇函数(3)偶函数课堂讲练：例1：求证：函数2432)(x x x f -=是偶函数。
证明：函数2432)(x x x f -=的定义域为R. =---=-2432)(）（）（x x x f 2432x x -=)(x f ,所以，)(x f 为R 上的偶函数。
例2：求证：函数5)(x x f =是奇函数。
证明：函数5)(x x f =的定义域为R.()x f x x x f -=-=-=-55)(）（,所以f(x)为R 上的奇函数。
点评：1、奇函数和偶函数的几何意义：关于原点中心对称的函数是奇函数，反之，奇函数的图象关于原点对称； 关于y 轴对称的函数是偶函数，反之，偶函数的图象关于y 轴对称。
2、 证明函数奇偶性的一般步骤？（1）先判断函数的定义域，观察是否关于原点对称；（2）若关于原点对称，在判断f(-x)和f(x)的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数。
函数的奇偶性与周期性教案
函数的奇偶性与周期性教案教案标题：函数的奇偶性与周期性教案教学目标：1. 理解函数的奇偶性与周期性的概念；2. 掌握判断函数奇偶性和周期性的方法；3. 能够应用函数的奇偶性和周期性解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、教学实例；2. 学生准备：笔记本、教科书、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，回顾函数的定义和基本性质；2. 提问学生是否了解函数的奇偶性和周期性。
二、概念解释与讲解（15分钟）1. 介绍函数的奇偶性的概念：奇函数和偶函数的定义；2. 介绍函数的周期性的概念：周期函数的定义；3. 通过图像和数学表达式的比较，让学生理解奇函数、偶函数和周期函数的特点。
三、判断函数的奇偶性（20分钟）1. 引导学生通过函数图像的对称性来判断函数的奇偶性；2. 指导学生通过函数表达式的特点来判断函数的奇偶性；3. 给出一些实例，让学生通过观察函数图像或计算函数表达式的值来判断函数的奇偶性。
四、判断函数的周期性（20分钟）1. 介绍周期函数的概念和周期的定义；2. 引导学生通过观察函数图像来判断函数的周期性；3. 指导学生通过计算函数表达式的值来判断函数的周期性；4. 给出一些实例，让学生通过观察函数图像或计算函数表达式的值来判断函数的周期性。
五、应用与拓展（15分钟）1. 给出一些实际问题，让学生应用函数的奇偶性和周期性解决问题；2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索函数的奇偶性和周期性的应用场景。
六、总结与评价（10分钟）1. 总结函数的奇偶性和周期性的概念和判断方法；2. 检查学生对函数的奇偶性和周期性的掌握情况，提供必要的补充和指导。
教学延伸：1. 学生可以通过自主学习更多的函数奇偶性和周期性的例题，巩固所学知识；2. 学生可以尝试设计一些函数图像，通过观察图像来判断函数的奇偶性和周期性。
评估方式：1. 课堂练习：布置一些练习题，检查学生对函数奇偶性和周期性的理解和应用能力；2. 个人作业：布置一些作业题，让学生在课后进一步巩固和拓展所学知识。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。
本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。
具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。
以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。
通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。
对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。
例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。
具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。
常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。
例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。
周期函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。
周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。
结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。
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学案5 函数的奇偶性与周期性 自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____；f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于_____ ___对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为______ 函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T 2)． ②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝)(1x f 或f (x ＋a )＝－)(1x f (a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数． 自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－53．函数y ＝x －1x的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称4．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．26．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )．A ．335B ．338C ．1 678D ．2 0128．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．10.设函数f (x )＝x a x x ))(1(++为奇函数，则a ＝________.【例题讲解】例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.【训练1】 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．【训练2】已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________例3 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【训练3】定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数例4 函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【训练4】函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【例5】设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．【训练5】 （1）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )．A. －2 B ．2 C ．－98 D ．98(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则)25(-f ＝( )．A ．－12B ．－14 C.14 D.12【巩固练习】1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－122．已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则xx f )(<0的解集为 ( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－∞，－3)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－)(1x f ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)等于( ) A ．4.5 B ．－4.5 C ．0.5 D ．－0.54．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－35．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系是( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)C ．f (－1)＝f (2)D ．无法确定6．f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (6log 21)等于( )A ．－5B ．－6C ．－56D ．－127．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．38．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是 ( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫cos 2π3>f ⎝⎛⎭⎫sin 2π3 B ．f (sin 1)<f (cos 1) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6 D ．f (cos 2)>f (sin 2) 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是 ( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减10．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________11．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.13．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是________ 14．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________15．已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值；(2)判断函数f (x )的奇偶性．16．设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)(1)证明f (x )是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．17．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．。