高数B(二)期末参考复习资料
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
高等数学B2复习(讲稿)
经济数学（Ⅱ）复习考试范围：教材6－10章第六章： 空间解析几何初步1．主要内容：（1）空间直角坐标系，空间两点间的距离公式。
（2）向量的坐标、模、方向角与方向余弦；向量的运算；向量平行和垂直的充要条件． （3）平面及其方程：点法式、一般式和截距式，特殊平面的方程；两平面的夹角；点到平面的距离公式。
（4）空间直线及其方程：点向式、一般式和参数式，且要理解三种方程之间的关系和互化；两直线及直线与平面的夹角。
（5）曲面及其方程，二次曲面；熟悉球面，柱面，椭球面，锥面，双曲面，旋转面方程。
2．重点：建立平面及空间直线的方程。
3．典型例题与习题（1）§6-1 例题1 习题1-4（2）§6-2 例题1-3 习题1，2，4，8-11 （3）§6-3 例题1-6 习题1，2，4，6 （4）§6-4 例题1-4 习题1-6 （5）§6-5 例题1-3 习题1-4 4．典型方法（1）向量平行和垂直的充要条件：设{,,}x y z a a a =a ，{,,}x y z b b b =b ，则①//k ⇔=a b b a 0⇔⨯=a b y x zx y za a ab b b ⇔==②0⊥⇔⋅=a b a b 0x x y y z z a b a b a b ⇔++=例1 求{3,2,1}=a ，{6,4,}k =b ，若//a b ，则k = ；若⊥a b ，则k = 。
例2 求与{1,2,1}=-a 及=++b i j k 都垂直的单位向量。
（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：设{,,}x y z a a a =a ，{,,}x y z b b b =b ，则向量的模：=a方向余弦：0{,,}{cos ,cos ,cos }a a a αβγ===a a a方向角：根据方向余弦来求，注意方向角的范围0,,αβγπ≤≤ 向量的夹角：cos θ⋅=a b a b例1已知两点1}M =和2{3,0,2}M =，试求向量12M M 的模、方向余弦及方向角。
高等数学b2大一知识点
高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。
在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。
本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。
一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。
在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。
1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。
导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。
导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。
2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。
例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。
对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。
此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。
3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。
例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。
在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。
二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。
在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。
1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。
其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。
不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。
2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。
例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。
三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。
此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。
3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。
例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
高数B(2)期末复习
期末复习
内容提要与典型例题
一、不定积分
1.原函数、不定积分的基本概念.
例1、 (1) 若f ( x) cos x , 则 f ( x) _____. (2) 若f ( x) cos x , 且 f (0) 1 , 则 f ( x) _______. (3) 若f ( x) x , 则 f ( x) dx _______.
x dx 1 x
4. 分部积分法
例3、(1) x e dx
2 x
(2)
x ln x dx
二、定积分
1. 定积分的定义，几何意义 .
例1、 1 x 2 dx _________.
0
1
2. 变上限积分求导公式.
例2、(1) lim
x 0
x
0
cos t dt sin x
2
(2) lim
2. 理解多元函数概念，会求定义域和极限.
1 sin( xy ) 例2、(1) lim ( x , y )(2,0) x
xy (2) lim ( x , y ) (0,0) 1 xy 1
三、多元函数
3. 偏导数的计算（复合函数、隐函数偏导计算）
例3、(1) f ( x, y ) (1 2 x) y , 求 f x(2,1), f y(2,1). z z (2) 设z e v , u x y, v x y , 求 , . x y
(1)试求当产量由30台增加到40台时利润的变化量； (2)已知固定成本为100万元， 求总利润函数.
三、多元函数
1. 掌握平面方程与球面方程的基本形式.
例1、(1) 设一平面过点(1,0,0) , (0,2,0) ,(0,0,3) , 求该平面方程. (2) 求球心在(1,0,0) , 且通过点(0,2,0)的球面方程.
高数B(2)复习要点
高等数学B（2）复习要点
第六章定积分
1.定积分的概念和性质；
2．牛顿—莱布尼茨公式；
3．定积分与广义积分的计算；
4．定积分的应用：求平面图形的面积，求旋转体的体积。
第七章无穷级数
1.级数敛散性的定义及性质；
2.几何级数和P-级数；
3.比较判别法及极限形式；
4.比值判别法；
5.求级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；
6.函数间接展开为幂级数。
第八章多元函数
1．求一阶、二阶偏导数及全微分，包括复合函数，隐函数，抽象函数；
2．极值的应用，求最值问题，判别式及拉格朗日乘数法；
3．直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。
第九章微分方程
1．一阶线性微分方程及应用；
2．二阶常系数线性微分方程。
《高等数学B2》期末复习
第七章微分方程 例2 微分方程
dy 1 x y 2 xy 2的通解是（ dx
dy 1 y 2 (1 x)dx
）
dy (1 x)(1 y 2 ) dx
（可分离变量类型）
x2 arctany x c 2 x2 y tan( x c) 为通解 2
x 2 [ x cos x cos xdx c]
x [ x cos x sin x c]
cos x sin x 2 c x x
2
由 y x
2
4
2
c 0,
微分方程的特解为
cos x sin x y 2 x x
例7 求微分方程 y y 2 y 2e x 的通解 解 对应的齐次线性微分方程为 y y 2 y 0
特征方程为 r 2 r 2 0 , (r 2)(r 1) 0 特征方程的根为 r 1 , r 2 齐次线性微分方程的通解为 Y ( x) c1e x c2e2 x 因 1 不是特征方程的根，所以令原方程特解 y* ( x) aex , 代入，得 a 1 , y* ( x) e x , 所求的通解为 y Y ( x) y ( x) c1e c2e e (c1 , c2 R)
2 dx x
2
2 sin x P( x) , Q( x) x x
2
sin x x dx [ e dx c] 通解为 y e x sin x 2 ln x 2 ln x e [ e dx c] x 2 [ x sin xdx c] x
x 2 [ x sin xdx c] x 2 [ xd cos x c]
高等数学(二)期末复习
第四章 不定积分
一. 不定积分
1. 原函数与不定积分的定义
f ( x ) 在区间 I F ′ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ I
设函数 则称 记作
上有意义， 上有意义，若存在 或
F ( x) 是 f ( x)
F ( x ) 使得 dF ( x ) = f ( x ) dx ∀x ∈ I
f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分在几何上表示由曲线 y = f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积. x = b, y = 0 所围成的曲边梯形的面积
函数
和直线
x = a,
5.关于函数可积的三个定理 关于函数可积的三个定理 定理1. 定理 如果函数 定理2. 定理 如果函数 在区间 上可积. [a, b]上可积
比较容易计算时， 那么可以利用公式把计算前者转化为计算后者. 比较容易计算时， 那么可以利用公式把计算前者转化为计算后者 (4) 利用分部积分公式时 关键是把被积函数中的一部分看成 利用分部积分公式时,
v′, 并和dx凑成微分
dv, 从而把被积表达式改写成 udv的形式就可.
（5）一般说来，根据不同的被积函数，我们是按照以下的顺序 ）一般说来，根据不同的被积函数，我们是按照以下的顺序: 依次考虑取作
b a
∫ f ( x ) dx = f ( c )( b − a )
ak ( k = 1, 2,L , n )
设函数 (8) 定积分的线性性质: 设 f k ( x ) 定积分的线性性质 为任意常数， 为任意常数，则
上连续， ( x ) 在[ a, b] 上连续， 则∃c ∈ [ a,
b ] , 使得
一、 定积分的概念 上有界， = f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上有界，将区间 [ a, b ] 任意分成 个小区间，分点 任意分成n个小区间 个小区间， 依次为 a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b, 在每一个小区间 [ xi −1 , xi ]上任意取一点 ci , 设y 作乘积 f ( ci ) ∆xi 分法如何， 分法如何， 1. 定积分的定义
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高数B（二）期末参考复习资料——工管团学联学习部整理第五章、定积分1、基本概念：划分、近似、求和、逼近几何意义2 、可积函数类：闭区间上至多有一个第一类间断点单调有界函数3、基本公式：ab(f±g)dx=∫a b fdx±∫a b gdx∫a b f(x)dx=∫a c f(x)dx+∫c b f(x)dx∫a b f(x)dx=-∫a b f(x)dx若f(x)≤g(x)，则∫a b f(x)dx≤∫a b g(x)dx Minf(x)(b-a)≤∫a b f(x)dx≤Maxf(x)（b-a）∫a b∣f(x)dx∣≤∫a b∣f(x)∣dx定积分中值定理∫a b f(t)dt，则4、积分上限函数及其导数：若g(x)=g’(x)=f(x)若g(x)=∫q(x)p(x) f(t)dt，则g’(x)=f(p(x))p’(x)-f(q(x))q’(x) 5、定积分计算方法：定义牛顿----莱布尼茨公式换元法分部积分法利用函数的周期性、奇偶性6、反常积分（广义积分）：①定义：⑴无穷限的反常积分⑵无界函数的反常积分②收敛判别法：⑴收敛定义⑵比较审敛判别法⑶极限审敛判别法例题lim (nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2)n→+∞1、求极限：lim (11n2+1+122n2+1+…+1n2n2+1)1nn→+∞解：原式=原式=limn→+∞1nk=1n11+kn2=0111+x2dx=arctanx︱01=π42、求极限：limx→+∞0x1+t2 dtx+0xsintdtx2。
解：由于limx→+∞0x1+t2 dtx=limx→+∞1+x21=1(洛必达法则)limx→+∞0xsintdtx2=limx→+∞d dx0xsintdtd dx（x2）(洛必达法则)=limx→+∞sinx2x=12故原式=1+12=323、设函数f（x）连续，且0x2-1ftdt=x,求f(8)。
解：对等式两边求导有f(x2-1)2x=1令x2-1=8.得x=3.代入得f(8)=164、设f(x)在区间[0，且满足f(x)= x2cosx+0π2ftdt.试求f(x)。
解：不妨设0π2ftdt=A。
则有f(x)= x2cosx+AA=0π2fxdx=0π2(x2cosx+A)dx=0π2x2dsinx+π2A=x2sinx︱0π220π2cosxdx+2xcosx︱0π2+π2A=π242+π2A，故A=π282（2π）所以f(x)= x2cosx+π282（2π）5、证明方程lnx=xe6、0π1-cos2xdx在区间（0，+∞）内只有两个不同的实根。
证明：令F（x）=xelnx-0π1-cos2xdx，则limx→+∞F（x）=limx→+∞x(1elnxx)- 0π1-cos2xdx=+∞limx→0+F（x）=limx→0+(xelnx-0π1-cos2xdx) =+∞又F’（x）=1e-1x=x-ee*x，当x=e的时候，F’（x）=0.当x>e时，F’（x）>0，当0<x<e时，F’（x）<0。
所以F（x）在（0，e）单调递减。
在（e，+∞）单调递增。
由于F（e）=-0π1-cos2xdx=-22<0。
由零点定理有F（x）在（0，e）和（e，+∞）分别有唯一的零点。
所以命题得证。
7、试确定常数a、b、c的值，使limx→0ax-sinxbxln(1+t3)tdt=c(c≠0)。
解：当x→0时，ax-sinx→0，若使c≠0，则必须bxln(1+t3)tdt→0x→0，从而b=0。
因为当b>0时，则ln(1+t3)t>0(t∈0，b)若b<0，则ln(1+t3)t>0(t∈b，0)，均与题意不符，故b=0。
又等式左边=limx→0ax-sinxln(1+x3)x=limx→0ax-sinxx2=c=右边。
故a=1且c=12。
8、设f(x)=0xsintπ-t dt，求0xf(x)dx。
解：由已知有f’(x)=sinxπ-x，则0xf(x)dx= f(x)x︱0π-0xxf'(x)dx=πf(π)- 0πxsinxπ-x dx=π0xsintπ-t dt- 0πxsinxπ-x dx=π0πsinxπ-x dx- 0πxsinxπ-x dx=0πsinx dx=29、设函数f(x)连续，且0xtf2x-tdt=12arctanx2，已知f1=1求12fxdx的值。
解：令μ=2x-t则dt=-dμ，0xtf2x-tdt=-2xx(2x-μ)fμdμ=2xx2xfμdμ-x2xμfμdμ从而2xx2xfμdμ-x2xμfμdμ0xtf2x-tdt=12arctanx2，两端求导有2x2xfμdμ+2x2f2x-fx-[2xf2x*2-xf(x)]=x1+x4故x2xfμdμ=x21+x4+12xfx。
令x=1，得12fxdx=12fudu=34 10、曲线C的方程y=f(x)，点（2，3）是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4）设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分03x2+xf'''xdx。
解：由已知有f(0)=0,f’(0)=2,f(3)=2,f’(3)=-2,f’’(3)=0，故原式=03x2+xdf''x=x2+xf''x︱03-031+2xf''xdx=-031+2xdf'x=-1+2xf'x︱03+203f'xdx=16+2[f(3)- f(0)]=2011、计算下列定积分。
1.01x4-xdx⑵14dxx1+x2.⑶01xdx2-x21-x2⑷-1212[sinx*tan2x3+cos3x+ln(1-x)]dx3.解：⑴令t=4-x，则4.原式=322（4-t2)dt=2(4t-13t3)∣32=-2(163-33)5.令x=u则6.原式=12 2uduu21+udu=212(1u-11+u)du=2lnu1+u∣12=2ln437.令x=sint，则dx=costdt8.原式=0π2sintcostdt1+cos2tc ost=-0π2d cost1+cos2t=-arctan(cost) ∣0π2=π49.由sinx*tan2x3+cos3x为奇函数，则10.原式=-1212ln(1-x) dx11.=xln(1-x) ∣-1212--1212-x1-x dx12.=[ xln(1-x)-x- ln(1-x))] ∣-1212=32ln3-ln2-113.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.第六章、定积分的应用29.定积分的应用：①求平行图形的面积30.②求体积31.③求平面曲线的弧长32.33.直角坐标系34.极坐标系35.参数方程37.A=abfxdx 38.A=ab12ρ2θdθ39._____ 36.平面图形面积41.V=πab（fx)2dx 42.43.40.旋转体体积44.平面曲线弧长45.S=ab1+[f'x]2dx 46.S=abρ2θ+ρ'(θ)2dθ47.S=abφ'(t)2+Ψ'(t)2dt48.旋转体侧面积49.A=2πabf(x)1+f'(x)2dx 50.A=2πρθsinθ51.ρ2θ+ρ'(θ)2dθ52.A=2παβyt53.x't2+y'(t)2dt54.例题55.1、求曲线x2+3y2=6y与直线y=x所谓图形的面积。
56.解：由x2+3y2=6y的交点（0，0）和y=x ( 32, 32)57.设小的一块面积为A，大的B，则58.A=0326y-3y-ydy=30321-(y-1)2dy-9859.令y-1=t，则A=3-1121-t2dt-98，令t=sinu，则60.A=3-π2π6cos2udu-98=33π-3461.B=椭圆面积-A=233π+3462.2、求由抛物线y2=x与y2=-x+4所围图形面积。
63.解：联立y2=x 得交点（2，-2）、（2，2）64.y2=-x+465.则S=-22(-y2+4-y2)dy=202(-2y2+4)dy66.=4(2y-13y3)∣02=163267.3、设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用此柱体底面的短轴且与底面成α角（0<α<π2）的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积。
68.解：由已知有底面椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形其一直角边长为a1-y2b2，另一直角边边长为a1-y2b2tanα,故此截面面积为s(y)=a22(1-y2b2)tanα。
69.楔形体的体积为V=20ba22(1-y2b2)tanαdy=2a2b3tanα70.4、已知曲线y=f(x)的方程为x2+2y2=1x>0,y>0,又曲线y=sinx在[0,π]上的弧长为l，试用l表示y=fx的弧长s。
71.解：由已知有l=20π21+cos2x dx，曲线y=f(x)的参数方程为x=cosθ (0≤θ≤π2）72.y=22sinθ73.故s=0π2sin2θ+12cos2θdθ=120π2sin2θ+1dθ，令θ=π2-t，则74.S=12π20cos2t+1(-dt)=24l75.5、曲线y=ex+e-x2与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成的曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S（t）,在x=t处的底面积为F(t),求（1）S（t）V(t)（2）极限limn→+∞S（t）F(t)76.解：（1）S（t）=0t2πy1+y'2dx77.=2π0tex+e-x21+(ex-e-x2)2dx78.=2π0t(ex+e-x2)2dx79.V(t)=π0ty2dx=π0t(ex+e-x2)2dx80.故S（t）V(t)=281.（2）F(t)=πy2︱t=π(ex+e-x2)2，82.则limn→+∞S（t）F(t)=limn→+∞2π0t(ex+e-x2)2dxπ(ex+e-x2)2=limn→+∞2(ex+ e-x2)22ex+e-x2(ex-e-x2)83.=limn→+∞ex+e-xex-e-x=limn→+∞1+e-2x1-e-2x=184.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.第七章、微分方程95.一、常微分方程的概念96.二、常微分方程解的概念：包括阶、通解、特解、初始条件。