高等数学2期末考试总复习教学教材
15-16《高等数学二(2)》期末复习大纲
2015/2016《高等数学二（2）》期末复习大纲一、题型：填空题、计算题、证明题、应用题 二、 复习大纲：第八章1．了解多元函数的概念，了解多元函数的极限与连续的定义。
2．掌握偏导数的定义，会计算函数的偏导数。
3．掌握全微分的定义，会计算函数的全微分。
4．掌握偏导数存在与连续及可微之间的关系。
5．掌握复合函数的链式求导法则，会计算多元复合函数的导数。
6．掌握隐函数的求导方法，会计算隐函数的导数。
7．掌握条件极值的求解方法，会用拉格朗日乘数法解决一些实际问题。
第九章1．了解二重积分的定义。
2．掌握二重积分的性质及其几何意义，会用几何意义求解简单的重积分。
3．掌握二重积分在直角坐标系下的求解方法，会交换积分次序。
4．掌握简单的极坐标系下的二重积分的计算方法。
第十章1．了解微分方程的相关基本概念。
2．掌握一阶微分方程的求解方法，会计算一阶线性非齐次微分方程。
3．掌握二阶常系数非齐次微分方程的解法，会计算二阶常系数非齐次微分方程通解。
4．了解差分方程相关基本概念，会求函数的一阶、二阶差分。
5．掌握一阶、二阶常系数非齐次差分方程的求解方法。
第十一章1． 了解级数的定义，掌握级数收敛与发散的定义。
2． 掌握正项级数敛散性的判别法，会选取合适的方法判断正项级数的敛散性。
3． 了解交错级数的定义，掌握其收敛的判别法：莱布尼兹定理。
4． 了解函数项级数的定义，会求幂级数的收敛半径与收敛域。
5． 掌握简单的幂级数的和函数的求解方法。
6． 知道常见的函数的幂级数展开式，掌握将函数展开成泰勒级数的间接方法。
三、 复习题（微积分练习册下）P 3§8.1一、2 ；P 4§8.2一、2,3；P 5二；P6§8.3一、1，二；P 7§8.4二、1,2,4；P8三；P 9§8.5二，三，五；P 12§8.6五，六；P 14§9.2一、1（2），二、1；P15三、3,5；P16 6,7 ，四、1；P18 §10.2二；P19六、1,2； P 23§10.5四、1；P24五、1六、1；P 25§10.6一、2；P 26§10.7一、2,3,4；P 32§11.3二、1,2,3；P 33§11.4一、2,3，二、1；P34三、1；将21()(1)f x x =+展开成x 的幂级数； 求=y y x '''+经过（1,0）且在此点的切线与23y x =-垂直的积分曲线。
(整理)秋《高等数学(2)》期末复习应考指南.
2010秋《高等数学（2）》期末复习应考指南（成专）第一部份 课程考核说明1．考核目的通过本次考试，了解学生对本课程的基本内容、重点和难点的掌握程度，以及运用本课程的基本知识、基本方法和基本理论分析和解决实际问题的能力。
同时还考察学生在平时的学习中是否注意了理解和记忆相结合，理解和运用相结合。
2．考核方式本课程期未考试为开卷笔试，考试时间为90分钟。
3．适用范围、教材本复习指导适用于成人教育专科电子信息技术、建筑工程技术和机械制造与自动化等专业的课程《高等数学(2)》。
本课程考试命题依据的教材采用由柳重堪主编,中央电大出版的《高等数学（下册）》和《高等数学（上册第二分册）》。
4．命题依据本课程的命题依据是《高等数学(2)》课程教学大纲、教材、实施意见。
5．考试要求本次考试主要考学生掌握基本概念、基本计算方法和应用能力。
在能力层次上，从了解、理解、掌握三个角度来要求。
了解要求学生对本课程相关知识有所了解，考试不作要求；理解要求学生对有关抽象概念和运算过程较复杂题目的方法理解；要求学生能对基本概念、基本计算方法技能及运用所学知识解决实际问题的技能的掌握。
6、考题类型及比重考题类型及分数比重大致为：填空题(24%)；单项选择题(24％)；计算题(32％)；积分应用题 (20％)。
第二部份 期末复习要求第7章 无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）一、重点掌握周期为π2或定义在],[ππ-上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性。
二、一般掌握定义在],0[π上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性。
第9章：空间解析几何与向量代数一、重点掌握1．平面的点法式方程，平面的一般方程，会求点到平面的距离；2．空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）；3．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程。
高等数学2知识点总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
高等数学总复 习
知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；
a
b
|
a
||
b
|
cos
(其中
为a
与b
的夹角)
(1)
a
a
|
a
|2
.
(2)
ab 0
ab.
a b axbx a yby azbz
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
c a b ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
| c | 102 52 5 5,
c0 c
|c |
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k , 2
知识点2：平面及其方程（三种形式）
平面旳点法式方程: A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
a
b
；
解
(1) a b 1 1 1 (2) (4) 2 9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
1 , 2
3 .
4
例2
求与a
3i
2
j
成人高考专升本《高等数学二》复习教程
成人高考专升本《高等数学二》复习教程高等数学是成人高考专升本考试的重要科目之一，也是考生们普遍觉得较为困难的科目之一、本文将为大家提供一个《高等数学二》的复习教程，帮助考生们更好地备考。
1.复习大纲首先，要明确复习的大纲和重点。
成人高考专升本的《高等数学二》主要涉及到三大部分内容：常微分方程、级数和多元函数。
要仔细研读考纲，明确重点、难点和考点。
2.备考资料准备一本《高等数学二》的教材和相关的辅导资料是必不可少的。
教材是主要的学习材料，逐章进行系统地学习。
辅导资料可以帮助补充和巩固知识，同时提供一些例题和习题等训练。
3.知识概念梳理在学习的过程中，要将每个知识点的概念和公式整理出来，形成一份详细的笔记。
可以将概念和公式写在纸上，然后做一些例题，巩固记忆和理解。
同时，还要注意一些常见的特殊情况和性质，以及一些经典的解题方法。
4.题目分类在备考过程中，要将各个知识点的题目进行分类整理。
可以按照章节进行划分，也可以按照题目类型进行分类。
这样有助于系统地学习和复习，同时也可以发现一些重点和难点。
5.练习题做题是检验学习和理解程度的重要途径。
通过做题可以帮助巩固知识，发现知识点的不足和问题。
可以从教材和辅导资料中选择一些典型的例题和习题进行练习。
同时，还要注重对错题的整理和分析，找出错误的原因和解题方法。
6.重点难点攻克在复习的过程中，可能会遇到一些重点和难点。
可以选择一些典型的例题和习题进行重点攻克和深入理解。
可以寻求老师和同学的帮助，进行讨论和交流。
也可以在网上查找一些相关的讲解视频和资料进行学习。
7.模拟考试在复习结束之前，可以进行一些模拟考试。
可以选择一些真题进行练习，模拟考试的形式和流程，帮助考生们适应考试环境和时间。
模拟考试还可以检验自己的复习情况和考试策略，找出问题和不足。
8.多做题、多总结在复习过程中，要多做题、多总结。
通过做题可以巩固知识和提高解题能力，通过总结可以梳理知识点和理清思路。
大学高等数学第二册复习资料
大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。
为此，引入了极限的概念。
在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。
1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。
1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。
这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。
2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。
这些都是导数计算的一些扩展应用。
3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。
3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。
第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。
1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。
2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。
2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。
3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。
高等数学2-总复习-第17周
石家庄科技职业学院教案首页
章节课题：总复习课时:2 书写时间:2018.6.19 授课时间:教师：李静本章节在教学过程中的地位作用及前后关系：
总复习对本学期教学有着至关重要的作用，可以帮助学生解决疑惑，也可以巩固学生所学的知识点，并帮助学生把所学的知识点串联起来学会综合运用。
知识、技能传授目标要求：
1.复习第六章、第七章、第八章、第九章、第十章的知识点。
2.串讲各章节习题。
教学重点与难点及解决方法：
重点：知识点汇总；习题讲解。
难点：知识点综合运用
解决办法：习题讲解，总结归纳
教学手段实施设计：
讲授法、板演
作业辅导计划：
总结知识点。
《高数2复习资料》课件
3. 典型例题解析
例题1 例题2 例题3
解析解题思路和步骤 解析解题思路和步骤 解析解题思路和步骤
4. 常见考点详解述高数2的二级考点，包括
相关公式和应用技巧。
3
一级考点
深入分析高数2的一级考点，解释 与其他知识点的关联。
三级考点
解释高数2的三级考点，帮助您理 解更复杂的问题和题目。
计算题
给出一些需要计算的题目，并详细解析每道题的步骤和答案。
7. 总结和答疑
复习总结
总结重点内容，并提供复习 建议和备考注意事项。
答疑解惑
回答学生的疑问，确保他们 对重点知识有充分的理解。
团队合作
鼓励学生之间的团队合作， 分享复习心得和答案解析。
课件采用清晰的结构， 使您能够有条不紊地 复习各个部分。
课件将重点放在考试 可能涉及的知识点上， 帮助您高效地备考。
2. 重点知识点回顾
导数定理
积分技巧
回顾导数的基本定理，并解 释如何应用它们来求解问题。
复习不同的积分方法，包括 换元积分法和分部积分法。
复数
回顾复数的概念和操作，以 及它们在图形上的表示。
5. 复习技巧和方法
创造记忆点
学习时使用联想和记忆点 来帮助记忆关键知识。
分组复习
将相关的知识点组合在一 起复习，帮助您更好地理 解和记忆。
经典习题
重复做经典习题，熟悉不 同类型的问题和解决方法。
6. 练习题和答案解析
选择题
提供一系列选择题，并解析每道题的答案和解题思路。
填空题
给出填空题的练习题目，并提供详细的答案和解析。
《高数2复习资料》PPT课 件
这个PPT课件将帮助您复习高数2的重要内容，包括知识点回顾、例题解析、 常见考点详解、复习技巧和方法，以及练习题和答案解析。让我们一起来掌 握高数2的精髓！
高数二下学期复习课
(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
两个基本问题 :
F(x,y,z)0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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13
二次曲面
三元二次方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
设消空去间z 得曲投线影C柱的面一H 般(方x,程y)为0 GF,((xx,,
y,z) y,z)
0 0
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
y
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x
19
C
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
2019/10/30
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32
定义1 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lim f(x0
x 0
x, y0)f(x x
0
, y0)
存在, 则称此极限为函数 z f(x ,y )在 点 (x 0 ,y 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0
,
y0
);
f x
(x0,
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fxzx G H x I y z J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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2
P 1
与路径无关，并求当P1，P2分别为(0 , 0) , (1 , 1) 时此积分的值.
解：令 P ( x ,y ) [ e x f ( x ) y ,] Q ( x ,y ) f ( x ) ,
要曲线积分与路径无关，必须 P Q ,
y x
即 exf(x)f(x).
由此得 f(x) 满足的微分方程： f(x)f(x)ex.
(2sinx3y)dxd0y.
x2y2a2
又 x2dxdyy2dxd 1y (x2y2)dxd
x2y2a2
x2y2a2
2x2y2a2
1 2d ar3d ra4.
20
0
4
4dxdy4a2. 故Ia44a2 .
x2y2a2
4
4． 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
2011级高数（下）复习重点
配合《高等数学（下）》使用 微分方程、级数、空间解析几何、
多元微分学和多元积分学
第7章 微分方程
1.熟练掌握一阶微分方程的解法
2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构
( 1 )( 3 x 2 2 x y ) d e ( 3 x y 2 x 2 e y ) d 0 y
D
x 2y2 d x 2y2 d x 2y2 d
D
D 1
D 2
2
d 0
02r2d r 32 d
2cors2dr
0
2
1632 1(632).
3 99
(04数三)
注:对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为
两个或三个简单区域来简化计算.
*8.
设f(x)为连续函数，F(t)
又x3时,
(1)n1
n1
1收 n
敛.
收敛域(3
,
3].
s(x) (1)n1
n1
xn 3n1n,
显然 s(0)0,
s(x)13x3x22
3 3
x
,
(3x3)
x
两边积分得 s(t)dt3ln3(x) 0
即 s (x ) s (0 ) 3 ln 3 x ( ) s(x)3ln 3 (x),
n 1(1)n13n xn 1n3ln3 (x). (3x3)
a2收敛 n2
n1
所以原级数绝对收敛
3.设级数 un 收敛，则必收敛的级数为
n1
( A ) ( 1) n u n .
( B ) u n 2 .
n1
n1
(C ) ( u 2 n 1 u 2 n ). n1
( D ) u n u n 1 .
n1
解：因为收敛的级数加括号后仍然收敛.
6. 求 z4x2 5y2 在限制条件 2x2 y2 1 时的最大值
和最小值。
第11章 重积分 20%
1.熟练掌握二重积分的极坐标
2.会改变二重积分的积分次序
3.熟练掌握用对称性计算重积分
4.熟练掌握三重积分柱坐标
1.设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4 , 则 f(x2 y2)dxdy
（2，1）的方向导数.
4. 求下列函数的一阶偏导数：
zu2lnv,ux,v3x2y y
lim (xsin1ysin1)
(x,y)(0,0)
y
x
5. 求 z x2 y2 ，在(1,1)处的梯度gradient。
求 F x3isin (y2 1 )jz2k在（1，1，1）处的
散度divergence 。
解：n 1n22(n n 1 1)2
(n1)2n2
n1
n2(n1)2
故部分和为
Sn 1(n11)2 1
3n2 3n 1
ex. 求级数
n1
n3 (n 1)3
的和.
6.
求级数
(1)n1
n1
xn 3n1n
的收敛域及和函数.
解：收敛半径R=3，且x= 3时 n 1(1)n1(3n31)nn n 1n 1发散，
4.设有下列命题：
(1) 若 (u2n1 u2n)收敛，则 u n 收敛.
n1
n1
(2) 若 u n收敛，则 un1000 收敛.
n1
n1
(3) 若
lim un1 n un
1
，则
n1
un
发散.
(4) 若 (un vn ) 收敛，则 u n ， v n 都收敛.
n1
n1
n1
则以上命题中正确的是
0
0
422 16
*7. 求( x2y2y)d, 其中D是由圆 x2 y2 4
D
和 (x1)2y21所围成的平面区域(如图).
解:令 D 1 { x , y ) ( | x 2 y 2 4 } , D 2 { x , y ) ( | ( x 1 ) 2 y 2 1 }
由对称性 yd 0 .
解： (1) P2xey Q
y
x
所以方程为全微分方程，于是有：
x(3 x 2 2 x )d xy(3 y2 x 2 e y)d y C
0
0
即 x3x2y3x2eyx2C
所以方程通解为： x3y3x2eyC
2.已知连续函数 f (x) 满足
f(x) 3xf(t)d t e2x , 03
求 f (x)
1(1r2)rd r
(D x 12y2 1 )d1d 0 1 x0(x2y2 1 )d 8y1[x2yy3y]1 dx
D 2
0
1 x2
0
3
1x2
1[x222(1x2)2 3]dx1(x22)d x21 (1x2)2 3]dx 1 2 I
0
33
0
3 30
33
I1(1 x 2)2 3dx x sitn2c4 o td s 3 t1 3
(0,0)
解： P2xy, Qy(x),
y
xxy2d L源自xy(x)dy与路径无关，所以
y(x ) 2 x y(x ) x 2 C ,
又(0) = 0 ，所以 C=0，故 (x) = x2 .
(1,1)xy2dxy(x)dy
1
0dx
1y12dy1.
(0,0)
0
0
2
3. 已知
f(0 ) 1 ,确 f(x ) 定 使 p 2 [e x f(x )y ] d f(x )dy
t
t
dy
f(x)d
x,
则F(2)
1y
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0.
解：交换积分次序，得
(04数一)
F(t)
t
t
dy
f(x)dxt[xf(x)d]d y xtf(x)x ( 1 )dx
1y
11
1
F (t) f(t)t( 1 ), 从而有 F(2)f(2).故应选(B)
D
2
在极坐标系下先对r积分的二次积分为____4_0_2 _d_ __0
f.(
r
2
)rdr
2.若区域D为(x－1)2+y2≤1, 则二重积分 f(x2,y2)sinydxdy
的值为（ ）
D
3. 计算 I (x22sixn3y4)dx.dy x2y2a2
解：积分区域关于 x , y 轴及原点对称，所以
解得 f(x ) e d[x e xe dd x x c ] 1 e x c x e .
2
由 f(0 )1 c0, f(x)1ex
2
2
(1,1)(ex1ex)ydx1exdy
1
1
0dx
1
1
edy e.
(0,0)
2
2
0
20
2
4. 计算曲面积分 I2xzdydyzzd zzd2dxxdy 其中是由曲面 zx2y2与 z2x2y2
解：对所给方程两边求导，得
f ( x ) 3 f ( x ) 2 e 2 x f ( x ) 3 f ( x ) 2 e 2 x
为一阶线性方程，其通解为：
f(x )e3xd (x 2 e2x e 3xd dx x C ) e 3 x (2e x d x C ) C 3 x e 2 e 2 x
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0)所围的立体.
解： 采用柱面坐标
x2y2z2 z r,
D :x 2 y 2 a 2 ,
: r z a ,0 r a ,0 2 ,
I (x2y2)dxdydz2dardarr2dz
0
0
r
2ar3(ar)dr2[aa4 a5] a 5 .
ABCD x y
其中ABCD为：x y 1,
y
取逆时针方向。
B
1 1x
解： Ldx dy0dx d0y
D
Co A
D
注:(1)第一步利用了边界方程化简被积函数；
(2)第二步用格林公式。
2 . 设曲线积分 Lxy2dxy(x)dy与路径无关，其中 具有连续导数，且(0) = 0 ,计算 (1,1)xy2dxy(x)dy.
由所给方程可得 f(0 )1 C 3,所以
f(x)3e3x2e2x .
第8章 级数 20%
1.熟练掌握判别常见级数的敛散性 2.熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法 3.准确理解狄里克雷定理的内涵 4.准确理解正项级数判别法的内涵
级数绝对收敛
级数条件收敛
1.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？
所围立体表面外侧.