北京市东城区普通校高三数学3月联考试题 理 新人教A版(1)

北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（理科）本试卷共150分，考试用长120分钟。

第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合(){}ln 1A x y x ==-,集合{}2B y y x ==,则A B =IA.[)0,1 B. []0,1 C. (],1-∞ D.(),1-∞2. 函数2()log f x x =与11()()2x g x +=在同一直角坐标系中的图象是A B C D3. 已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象A. 关于点(,0)4π对称 B. 关于直线8x π=对称C. 关于点(,0)8π对称D. 关于直线4x π=对称4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是 A.3 B. 13 C. 3- D. 13-5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. 6>k B. 5>k C. 4>k D. 3>k6. 设a ∈R ，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为A.3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x =7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.71B.61C.51D.418. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为m ；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有n 对，则m n ，的取值分别为 A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48 第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。

9. 在251(2)x x -的二项展开式中，x 的系数为 。

10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列， 则cos B =________；若同时边a ，b ，c 成等比数列，则cos2A =________。

11.若实数,x y 满足 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,23x yz +=,则z 的取值范围是 。

12．已知圆:cos ,1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与直线:(cos )2l sin r q q +=， 则直线l 截圆C 所得的弦长为 。

13. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为主视图，侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为 。

14. 关于曲线42:1C x y +=，给出下列说法： ①关于坐标轴对称； ②关于点(0,0)对称； ③关于直线y x =对称； ④是封闭图形，面积大于π.则其中正确说法的序号是 .（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本题满分13分）已知4sin(),0,52ππαα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求2sin 2cos 2αα-的值；（Ⅱ）求函数51()cos sin 2cos 262f x x xα=-的单调递增区间.16.（本题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(Ⅰ) 若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率；（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和X 的数学期望.17.（本题满分14分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=o,AC BD O =I .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =，得到三棱锥B ACD -. (Ⅰ)若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =，并证明你的结论.18.（本题满分13分）已知函数21()(21)2ln (0)2f x ax a x x a =-++≥.(Ⅰ)当 0a =时，求()f x 的单调区间； (Ⅱ)求()y f x =在区间(0,2]上的最大值. 19.（本题满分13分）已知直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，且与圆22(1)1y x -+=相切. （Ⅰ）求直线l 在y 轴上截距的取值范围；（Ⅱ）设F 是抛物线的焦点，且0FA FB ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程.20.（本题满分14分）在数列{}n a 和{}n b 中，nn a a =，(1)n b a n b=++，1,2,3,n =L ，其中2a ≥且a ∈Z ，b ∈R . （Ⅰ）若11a b =，22a b <，求数列{}n b 的前n 项和；（Ⅱ）证明：当2,2a b =={}n b 中的任意三项都不能构成等比数列；（Ⅲ）设123{,,,}A a a a =L ，123{,,,}B b b b =L ，设C A B =I .当1b =时，求出相应的集合C .北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模） 数学理参考答案一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.（若有两空，第一空3分；第14题多选、错选得0分，少选得3分）9. -40 10. 12；12-11. 9][1， 13. 2189+ 14. ①②④ 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 解：（1）因为sin()sin παα-=，所以4sin 5α=， （2分）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==， （4分）2sin 2cos 2αα-=1cos 2sin cos 2ααα+-（6分）=241325210--=425 （7分）（2）3cos 5α=Q5111()cos sin 2cos 2sin 2cos 26222f x x x x xα∴=-=- （8分） =)24x π- （10分） 令222,()242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得3,()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， （12分） 所以单调递增区间为[3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. （13分）16. 解：（I ）从袋中随机抽取1个球，其编号为3的倍数的概率2163P ==（2分）有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为12133116(2)()(1)3327P C =-=（6分） （II ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. （7分）33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===， 243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====所以，随机变量X 的分布列为:（11分）13319345620202022EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（13分）17. 解：（Ⅰ）因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点,所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点,所以 //OM AB . （2分）因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD . （4分）（Ⅱ）由题意,3OB OD ==,因为BD =所以90BOD ∠=o,OB OD ⊥. （5分）又因为菱形ABCD ,所以OB AC ⊥,OD AC ⊥.建立空间直角坐标系O xyz -,如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以(33,0,3),(33,3,0),AB AD =-=-u u u r u u u r（6分）设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ,则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 即：3330,3330x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =,则3,3y z ==所以n =3,3).（8分）因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD .平面BOD 的法向量与AC 平行,所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . （9分）0007cos ,717⋅〈〉===⨯n n n n n n ,因为二面角A BD O --是锐角,所以二面角A BD O --的余弦值为7. （10分）（Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点,设111(,,)N x y z ,BN BD λ=u u u r u u u r, 则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-,所以1110,3,33x y z λλ===-,、则(0,3,33)N λλ-,(33,3,33)CN λλ=-u u u r,由42CN =22279(33)42λλ++-=即29920λλ-+=, （12分） 解得13λ=或23λ=, （13分）（所以N 点是线段BD 的三等分点,2BN ND =u u u r u u u r 或2BN ND =u u u r u u u r） （14分）18. 解：（Ⅰ） 0,a =()2ln f x x x =-,22()1(0)xf x x x x -'=-=> （2分）在区间(0,2)上,()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<,故()f x 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)+∞. （5分）（Ⅱ）2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. (1)(2)()ax x f x x--'=(0)x > （7分） ①当0a =时,由（Ⅰ）知()f x 在(0,2]上单调递增, 故在(0,2]上max ()(2)2ln 22f x f ==- （9分）②当102a <≤时,12a ≥, 在区间(0,2)上,()0f x '>；故()f x 在(0,2]上单调递增 故在(0,2]上max ()(2)2ln 222f x f a ==-- （11分）③当12a >时,102a <<,在区间1(0,)a 上,()0f x '>；在区间1(,2)a 上()0f x '<,()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1[,2]a 上单调递减, （9分）故在(0,2]上max 11()()22ln 2f x f aa a ==---. （13分）19. 解： （Ⅰ）解：设直线l 的方程为y kx b =+.由直线l 与圆22(1)1y x -+=相切， 得1=，化简得222k b b =-. （2分）直线l 的方程代入24x y =，消去y ，得 2440x kx b --=.（*） （3分） 由直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，得24160k b ∆=(-)+>，即 20k b +>. 将222k b b =-代入上式，得20b b ->.解得1b >，或0b <. （5分）注意到2220k b b =-≥，从而有 2b ≥，或0b <. （6分）（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y .由（*）得124x x k+=，124x x b=-.所以 1212(1)(1)FA FB x x y y ⋅=+--u u u r u u u r . 将2114x y =，2224x y =代入上式，得 22221212121212311(1)(1)()()1442164x x FA FB x x x x x x x x ⋅=+--=+-++u u u r u u u r . （10分） 将124x x k+=，124x x b=-代入上式，令0FA FB ⋅=u u u r u u u r ，得224610b k b --+=.所以 224(2)610b b b b ---+=，即 23210b b --=. 解得13b =-， 1b = (舍去).故3k ==±.所以直线l310y ++=310y --=. （13分） 20. 解：（Ⅰ）因为11a b =,所以1a a b =++,1b =-, （1分）由22a b <,得2210a a --<,所以11a <<, （3分）因为2a ≥且a ∈*N ,所以2a =, （4分） 所以31n b n =-,{}n b 是等差数列,所以数列{}n b 的前n 项和2131()222n n n S b b n n =+=+. （5分）（Ⅱ）由已知3n b n =,假设3m +,3p +,3t 成等比数列,其中,,m p t ∈*N ,且彼此不等,则2(3(3p m t =++, （6分）所以29292p mt ++=+++, 所以22p mt n m t ⎧=⎨=+⎩, （8分） 可得m t =,与m t ≠矛盾；假设不成立.所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. （9分）（Ⅲ）当1b =时,设0m C∈,则0m A∈,且0m B∈,设0()t m a t =∈*N ,0(1)1()m a s s =++∈*N ,则(1)1ta a s =++,所以11t a s a -=+, （10分）因为,,a t s ∈*N ,且2a ≥,所以1t a -能被1a +整除.（1）当1t =时,11a s a -=∉+*N ； （11分）（2）当2()t n n =∈*N 时,222121[(1)1]1(1)(1)11n n n n a a a C a -=+--=++-++-L , 所以ta b -能被1a +整除. （12分）（3）当21()t n n =+∈*N 时, 2121211211[(1)1]1(1)(1)2n n n n a a a C a ++++-=+--=++++-L ,所以1ta -不能被1a +整除. （13分）综上, 1b =时,2{,}n C y y a n ==∈*N ； （14分）。