7机械振动习题思考题
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机械原理思考题参考答案机械原理思考题0-51.何谓机器？何谓机构？何谓机械？何谓构件？何谓零件？机器是执行机械运动的装置，用来变换或传递能量、物料、信息。
机器有三个特征：⑴是人为的实物的组合；⑵各部分之间具有确定的相对运动；⑶用来变换或传递能量、物料、信息。
用来传递运动和力的、有一个构件为机架的、用构件间能够相对运动的连接方式组成的构件系统称为机构。
机构有两个特征：⑴是人为的实物的组合；⑵各部分之间具有确定的相对运动。
机械是机器和机构的总称。
构件是运动的单元。
一个构件可以包括一个或若干个零件。
零件是制造的单元。
2.何谓通用零件？何谓专用零件？在各种机械中经常用到的零件称为通用零件。
只在某些机械中用到的零件称为专用零件。
3.何谓平面机构？何谓空间机构？所有构件都在相互平行的平面内运动的机构称为平面机构，否则称为空间机构。
4.何谓自由度？一个作平面运动的自由构件有几个自由度？构件相对于参考系的独立运动称为自由度。
一个作平面运动的自由构件有3个自由度。
5.何谓运动副？何谓低副？何谓高副？两构件直接接触并能产生一定相对运动的连接称为运动副。
两构件通过面接触组成的运动副称为低副。
两构件通过点或线接触组成的运动副称为高副。
6.何谓机架？何谓原动件？何谓从动件？7.机架是机构中相对不动的构件。
原动件是运动规律已知的活动构件。
在机构运动简图中，通常要用箭头标明原动件的运动方向。
从动件是机构中随着原动件的运动而运动的其余活动构件。
8.转动副、移动副、高副各约束几个自由度？保留几个自由度？转动副约束2个自由度，保留1个自由度。
移动副约束2个自由度，保留1个自由度。
高副约束1个自由度，保留2个自由度。
9.机构具有确定运动的条件是什么？若此条件不满足，将会产生什么结果？机构具有确定运动的条件是F＞0，且F等于原动件数。
F＞0时，如原动件数目少于自由度数，则运动不能确定；如原动件数目多于自由度数，则机构不能满足所有原动件的给定运动。
机械振动学试题与答案与试卷分析
2010-2011学年第一学期期末考试试题（A 卷）机械振动学使用班级：08010741一、填空题（共20分，每空1分）1.机械运动是一种特殊形式的运动，在这种运动过程中，机械系统将围绕 作 运动。
2.从能量的角度看，惯性是保持 的元素，恢复性是贮存 的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
3.一个质点在空间作自由运动，决定其位置需要 个独立的坐标，自由度数为 ,而由n 个相对位置可变的质点组成的质点系，其自由度数为 ，当系统收到r 个约束条件时，系统的自由度数是 。
4.阻尼对抑制系统 近旁的运动有决定作用，而对系统在非共振频率的运动影响不大。
5.加在系统上的初始扰动可以是 或 。
6.求无阻尼振动系统固有频率的重要准则 。
7.对于线性系统，叠加原理成立，即各激励力共同作用所引起的系统稳态响应为各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应的 。
8.通常情况下，两自由度系统的质量矩阵[]M 与刚度矩阵[]K 都是 矩阵，即有[][]TM M , [K]=9.两自由度系统有 个固有模态，n 自由度系统有 个固有模态，即系统的固有模态数＝10.描述一个两自由度系统的运动，所需要的独立坐标数是确定的，唯一的，就是 ；但为描述系统运动可选择的坐标不是唯一的，且选取不同的坐标描述系统的运动，不会影响到 ，其固有特性不变。
得分二、请将正确的选项添入下列表格内（共20分）1 2 3 4 56 7 8 9 10（1.）单选题（共10分，每题2分）1.下列图1中振动系统的固有频率n＝（）（图1）A.kmB.2kmC.2kmD.0.5kmE.2km2.对于单自由有阻尼振动系统，下面那个图像是该系统发生振动时位移随时间变化的图像（）( A ) ( B )（C ）( D )3.计算图2系统的自由度数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.下图图3两自由度系统中，由质量2m 和弹簧2k 组成的辅助系统叫做吸振器，则由质量1m 和弹簧1k 组成的系统叫做（ ）（图2）（图3）A.位移传感器B.速度传感器 C 加速度传感器 D.主系统 5机械导纳矩阵也叫做（ ）A ．动柔度矩阵 B.阻抗矩阵 C.机械阻抗矩阵D 动刚度矩阵(2)多选题（共10分，每题2分，漏选得1分，错选不得分）6.一个单自由度系统都可以用这样一个理论模型来描述：它是由以下哪三个基本元件组成（ ）A.理想的弹簧kB.理想的阻尼cC.理想的质量mD.理想的固有频率n ωE.理想的阻尼比ξ7.线性系统自由振动的频率n ω只与以下哪些因素有关( )A.系统的质量mB.系统的弹簧kC.系统的阻尼系数 cD.系统振动的初速度0vF.系统振动的初始加速度0a E.系统振动的初始位移0x 8.对于机械系统有三种典型的强迫振动的情况（ ）A.系统本身的不平衡引起的强迫振动B.简谐激励力作用下强迫振动C.基础运动引起的强迫振动 D 支承运动引起的强迫振动 9.构成系统的基本元素有（ ）A.惯性 B 运动特性 C.周期性 D 阻尼 E 恢复性10.对于两自由度系统，从一般的广义坐标变换成其主坐标，不是可以任意确定的，它和以下哪些因素有关（ ）A.系统的物理参数B.表征系统自由振动特性的固有频率C.表征系统自由振动特性的振型向量D.系统的静平衡位置E.系统发生振动的初始条件三、判断题（共15分，每题1.5分）1. 广义坐标必须能完整地描述系统的运动。
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
机械工程测试技术思考题(含答案)
思考题0. 测试的概念与测试的目的。
概念：测试包括测量和试验两反面的含义，是指具有试验性质的测验或测量与试验的综合目的：提供被测对象的质量依据；提供机械工程设计、制造、研究所需要的信息1．动态测试系统一般有哪几部分组成（画出框图）？各部分的作用？试验装置：是被测对象处于预定状态下，并将其有关方面的内在联系充分显露出来，以便进行有效测量的一种专门装置。
测量装置：把被测量通过传感器变成电信号，经过后接仪器的变换、放大、运算，变成易于处理和记录的信号的装置。
数据处理装置：将被测装置输出的信号进一步处理，以排除干扰和噪声污染，并清楚的估计测量数据的可靠程度。
显示记录装置：将被测对象所测得的有用信号及其变化过程显示或者记录下来的装置。
2．动态测试主要应用在机械工程的哪些领域，简单说明其原理。
产品质量检测，性能评价；生产过程监控；设备状态监控与故障诊断；科学研究，探索未知世界。
3．信号分为那几类？各类信号有何特点？按实际用途分：广播信号，电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，遥感信号按信号所具有的时间函数特性分：确定性信号与非确定性信号、能量信号与功率信号、时限信号与频限信号、连续时间信号与离散时间信号等4．本课程学习的主要的信号分析的方法有那些？函数分析，时域统计分析，幅值域分析5．信号的时域描述、频域描述有何意义？说明频谱分析的物理意义。
6．周期信号、非周期信号的频谱以及离散信号的频谱有何特点？周期信号的频谱：离散的；每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是各高次谐波分量频率的公约数；各频率分量的谱线高度表示该次谐波的的幅值和相位角。
非周期信号用幅值谱密度、相位/能量谱密度描述是连续的。
7．用图形表达FT中时间比例性、时移特性、频移特性。
8．几种典型信号的频谱及数学表达式，用图形及公式表达δ（t）与其他函数的卷积。
P77，图2.3.49．互相关函数的物理意义。
自相关函数互相关函数有何特点？信号分析中，相关表述两个信号（或一个信号的不同时刻）之间的线性关系或相似程度。
机械振动习题集与答案
《机械振动噪声学》习题集1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。
(a) 振动；(b) 周期振动和周期；(c) 简谐振动。
振幅、频率和相位角。
1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。
1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。
1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。
即：A cos ωn t +B cos (ωn t + φ) =C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。
其中ε << ω。
如发生拍的现象，求其振幅和拍频。
1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ]2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。
已知周期的变化∆τ＝0.1 s。
求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。
2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。
2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。
机械振动总结复习习题及解答
1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。
试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。
若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ⋅⨯=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。
另一边cm b 5=。
试求固有频率。
解：弹性势能 2)(21θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --=总势能 mgl mgl kb U U U g k -+=+=θθcos 2122 代入0==i x x dxdU可得 可求得0=θ满足上式。
再根据公式022>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件：即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。
系统的动能为 2210θ•=I T代入0)(=+dtU T d 可得 由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为： 固有频率代入已知数据，可得2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。
解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为∆=r （1－cos θ）=2rsin 22θ取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg ∆=2mg r sin 22θ≈ 21mgr 2θ （a ）I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ）bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ）而柱体的动能为 T=21I b •θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21m[L 2＋（R －r ）2]•θ2 （d ） 根据能量守恒定理，有21m[L 2＋（R －r ）2]•θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L 2＋（R －r ）2]••θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
机械振动学(参考答案).docx
机械振动学试题（参考答案）一、判断题：（对以下论述，正确的打“J”，错误的打“X”，每题2 分，共20分）1、多自由度振动系统的运动微分方程组中，各运动方程间的耦合，并不是振动系统的固有性质，而只是广义坐标选用的结果。
（丁）2、一个单盘的轴盘系统，在高速旋转时，由于盘的偏心质量使轴盘做弓形回旋时，引起轴内产生交变应力，这是导致在临界转速时，感到剧烈振动的原因。
（X）3、单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定，与初始条件无关。
（丁）4、当激振力的频率等于单自由度线性阻尼系统的固有频率时，其振幅最大值。
（X）5、一个周期激振力作用到单自由度线性系统上，系统响应的波形与激振力的波形相同，只是两波形间有一定的相位差。
（X）6、当初始条件为零，即*产；=0时，系统不会有自由振动项。
（X）7、对于多自由度无阻尼线性系统，其任何可能的自由振动都可以被描述为模态运动的线性组合。
（丁）8、任何系统只有当所有自由度上的位移均为零时，系统的势能才可能为零。
（X ）9、隔振系统的阻尼愈大，则隔振效果愈好。
（X）10、当自激振动被激发后，若其振幅上升到一定程度并稳定下来，形成一种稳定的周期振动，则这种振幅自稳定性，是由于系统中的某些非线性因素的作用而发生的。
（J）二、计算题：1、一台面以f频率做垂直正弦运动。
如果求台面上的物理保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？（分）解：台面的振动为：x = X sin（tyZ - cp）x = —a>2X sin（or —cp）最大加速度：无max = "X如台面上的物体与台面保持接触，贝U ：九《=g （9・81米/秒2）。
所以，在f 频率（/=仝）时，最大振幅为：2nX max =x< g/4^72= 9.81/4* 严（米）2、质量为ni 的发电转子，它的转动惯量J 。
的确定采用试验方法：在转子经向Ri 的 地方附加一小质量mi 。
试验装置如图1所示，记录其振动周期。
机械振动学习题解答1
2－7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略）
解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
动能
势能
U
1 2
k1
r2 a
b
2
1 2
k2
r2
2
m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和
k2静变形的势能。
由能量守恒原理 d (U V ) 0
dt
化简得
J Mr22 m1r12
所以，圆频率 n 2 fn 20
振幅 A xmax 0.072734 m
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
xmax n2 A n xmax 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？
dP dt
cx2
dt
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
解：（力法）静平衡时有：
mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r
F
F’
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆
盘沿逆时针方向转过x/r角
F
质量m mx mg F
k x
圆盘M Mr2 x Fr k(x )r
2 2
2
动能 V 1 J2 1 mL2 2
2
23
由能量守恒原理 d (U V ) 0
θ
dt
kL2 mg L sin mL2 0
2
2
3
化简得 m mg k 0
3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤
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习题7-1. 原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。
（g 取9.8）解：振动方程：cos()x A t ωϕ=+,在本题中，kx mg =，所以9.8k =； ω===振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m 时为物体的平衡位置，以向下为正方向。
所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1，当t=0时，x=-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以：0.1cos x π=+） 即 )x =-7-2. 有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m .0=t 时，小球正好经过rad 06.0-=θ处，并以角速度rad/s 2.0=∙θ向平衡位置运动。
设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g 取9.8）（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。
解：振动方程：cos()x A t ωϕ=+ 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频率： 3.13/rad s ω===，频率：0.5Hz ν=== ，周期：22T s ===（2）根据初始条件：Aθϕ=0cos象限）象限）4,3(02,1(0{sin 0<>-=ωθϕA 可解得：32.2088.0-==ϕ，A所以得到振动方程：0.088cos 3.13 2.32t θ=-（）7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方cm 0.10处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。
解：（1）由题知 2A=10cm ，所以A=5cm ；1961058.92=⨯=∆=-x g m K 又ω=14196==m k ,即 ππν721==m k （2）物体在初始位置下方cm 0.8处，对应着是x=3cm 的位置，所以：03cos 5x A ϕ== 那么此时的04sin 5v A ϕω=-=± 那么速度的大小为40.565v A ω==7-4. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。
当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。
求：（1）振动表达式；（2）s 5.0=t 时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于cm 6-=x ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：由题已知 A=12×１０-2m ，T=2.0 s∴ ω=2π/T=π rad ·s -1又，t=0时，cm x 60=，00 v ∴由旋转矢量图，可知：30πφ-=故振动方程为）（3cos12.0ππ-=t x(2)将t=0.5 s 代入得0.12cos 0.12cos 0.10436x t m πππ=-==（）0.12sin 0.12cos 0.188/36v t m s ππππ=--==-（） 222/03.16cos 12.03cos 12.0s m t a -=-=--=πππππ）（方向指向坐标原点，即沿x 轴负向．(3)由题知，某时刻质点位于cm 6-=x ，且向x 轴负方向运动即x ０=-A/2，且v ＜0，故φt =2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以： ∴t=Δφ/ω=(π/3)／(π) =1/3s7-5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。
当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时，另一个质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动。
求这两个质点的位相差。
解：由旋转矢量图可知：当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时， 相位为π/3，而质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动， 相位为4π/3 。
所以它们的相位差为π。
7-6. 质量为m 的密度计，放在密度为ρ的液体中。
已知密度计圆管的直径为d 。
试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。
并计算周期。
解：平衡位置： 当F 浮=G 时，平衡点为C 处。
设此时进入水中的深度为a ：mg gSa =ρ可知浸入水中为a 处为平衡位置。
以水面作为坐标原点O ，以向上为x 轴，质心的位置为x ，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x 来表示，所以力()F g a x S gaS gSx kx ρρρ=--=-=-22dt x d m gSx m F a =-==ρ 令m d g m gS 422πρρω==可得到： 0222=+x dtx d ω 可见它是一个简谐振动。
周期为：gmd T ρπωπ4/2==7-7. 证明图示系统的振动为简谐振动。
其频率为：mk k k k )(212121+=πν证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：Kx x K x K ==2211和x x x =+21可得：21111K K K += 所以：2121K K K K K += 代入频率计算式，可得：mk k k k m k )(21212121+==ππν7-8. 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？E P =M K M E E E A k kx 434121212122===，）（ 当物体的动能和势能各占总能量的一半：，）（M E kA kx 2121212122==所以：0.707x A A ==±。
7-9. 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：通过旋转矢量图做最为简单。
先分析两个振动的状态：，：211πϕ=A ，：222πϕ-=A两者处于反相状态，（反相 πϕϕϕ)k (1212+±=-=∆， ,,,k 210=）所以合成结果：振幅 12A A A -=振动相位判断：当121ϕϕ=>,A A ；当221ϕϕ=<,A A ；所以本题中，，22πϕϕ-== 振动方程：）（）（22cos 12ππ--=t T A A x7-10. 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为cm 20，与第一个振动的位相差为6π。
若第一个振动的振幅为cm 310。
则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 ︒-+=30cos 2122122A A A A A=(0.173)２+(0.2)２-2×0.173×０.２×3／２=0.01∴A ２=0.1 m设角AA １O 为θ，则A ２=A ２１+A ２２-2A １A ２cos θ即cos θ=1.0173.02)02.0()1.0()173.0(22222122221⨯⨯-+=-+A A A A A =0即θ=π/2，这说明A １与A ２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/27-11. 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为cm 30=A ，经过s 101=t 后，振幅变为cm 11=A 。
问：由振幅为0A 时起，经多长时间其振幅减为cm 3.02=A ？解：根据阻尼振动的特征，)cos(00ϕωβ+=-t e A x t振幅为 teA A β-=0若已知cm 30=A ，经过s 101=t 后，振幅变为cm 11=A ，可得：β1031-=e那么当振幅减为cm 3.02=A teβ-=33.0 可求得t=21s 。
7-12. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为0T ，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求: （1）求振子在水中的振动周期T（2）如果开始时振幅100=A 厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？解：（1） 有阻尼时 2202βωπT -=02ωπT =tβe A A -=0 TβeA A -=009.0 Tβ9.0ln -=01.00014T T ==（2）7-13. 试画出)42cos(πω+=t A x 和t B y ωcos =的李萨如图形。
略，可参考书上的图形。
7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=68c o s 468c o s 4ππππt y t x（2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=658c o s 468c o s 4ππππt y t x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=328cos 468cos 4ππππt y t x 试判别质点运动的轨迹。
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。
)(sin )cos(21221222222ϕϕϕϕ-=--+Axy A y A x （1）312πϕϕϕ=-=∆则方程化为： 1222=-+xy y x ，轨迹为一般的椭圆。
（2）πϕϕϕ=-=∆12则方程化为：0221=+)A y A x (x A A y 12-= 轨迹为一直线。
（3）212πϕϕϕ=-=∆则方程化为： 1222212=+A y A x 轨迹为一圆。
7-15. 在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。
已知水平方向振动频率为z 4H 107.2⨯，求垂直方向的振动频率。
解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现它满足两方向的振动频率比3：2。
由水平方向振动频率为z 4H 107.2⨯，可得垂直方向的振动频率为z 4H 108.1⨯。
思考题7-1. 试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。
答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用22dtd +ω２ξ=0描述时，其所作的运动就是谐振动．(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．(2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为-mgsin θ，如题4-1图(b)所示．题中所述，ΔS<<R ，故θ=ΔS/R →0，所以回复力为-mg θ．式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O ′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR 22dt d θ=-mg θ 令ω２=g/R,则有 22dtd θ＋ω２θ=07-2. 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答： 简谐振动的速度：v= -A ωsin （ωｔ＋φ）；加速度：a=- A ω2cos （ωｔ＋φ）；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。