9.1.2 三角形的内角和与外角和
9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
三角形的外角和（2）【目标要求】1、复习巩固三角形的外角的性质、三角形的外角和定理；2、能熟练地运用三角形外角的性质、三角形的外角和进行计算和说理. 【重点】：三角形外角的性质、三角形外角和定理的应用；【难点】：灵活运用三角形的外角性质和外角和定理.【自主探究】自学教材第78页知识点一：三角形的外角和的推导1．如图示填空：（1）B∠____∠A+ACD∠（2）A∠_______ACD∠ACD∠∠______，B(3) =A∠BACB++∠∠2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢?二、探究合作、展示1、如图示：思考∠1＋∠2＋∠3＝ ?∵∠1＋______________=180°,∠2+_______________=180°,∠3+_______________=180°.三式相加可以得到∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1 ）又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，（2）∴∠1＋∠2＋∠3＝°结论：三角形的外角和是知识点二：三角形的外角和的应用例1、如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.图9.1.11 解（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴∠ADC ＝∠B ＋∠ ＝80°又 ∠B ＝∠BAD （已知），∴ ∠ ＝80°×21＝40°（等量代换）. （2）在△ABC 中，∵∠B ＋∠ ＋∠C ＝180°（三角形的内角和等于180°），∴ ∠C ＝180°－∠ －∠ （等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°例2、如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.【小试牛刀】1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.3.如图1所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.图1【专题提升】如右图，AC ∥DE,BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70°,∠E=50°,求∠D ，∠A 的度数【整理评价与反思】1 整理今天所学内容，展示 次，质疑 次，参与 次。
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质三角形是初中数学中重要的概念之一，在三角形的学习中，了解三角形的内角和与外角性质十分重要。
本文将对初中数学中与三角形的内角和与外角性质相关的知识进行归纳总结。
一、内角和的性质1. 三角形内角和定理三角形的内角和为180°。
这是三角形的基本性质，对于任意一个三角形而言，它的三个内角之和恒定为180°。
2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形的两个底角（底边上的两个角）相等，而顶角等于两个底角之和的一半。
3. 直角三角形的内角性质直角三角形的两个锐角之和为90°。
4. 锐角三角形的内角性质锐角三角形的三个内角都是锐角。
5. 钝角三角形的内角性质钝角三角形的其中一个内角是钝角。
二、外角的性质1. 外角和内角的关系三角形的外角等于其对应的两个内角的和。
即一个三角形的外角与其非相邻的两个内角形成一条直线。
2. 三角形外角和的性质一个三角形的所有外角和等于360°。
三、实例应用1. 设某三角形的一个内角为60°，则其余两个内角的度数分别为多少度？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知一个内角为60°，设其余两个内角分别为x和y，则x + y + 60 = 180，整理得到x + y = 120。
因此，另外两个内角的度数分别为120°。
2. 若三角形的两个内角分别为30°和60°，求第三个内角的度数。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知两个内角分别为30°和60°，设第三个内角的度数为x，则30 + 60 + x = 180，整理得到x = 90。
因此，第三个内角的度数为90°。
3. 在一个三角形中，一个内角为120°，另外两个内角是什么？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
三角形的内角和与外角和的关系总结
三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条线段组成，其中每两条线段的交点被称为顶点。
三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题，本文将对其进行总结和探讨。
1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个内角的度数之和始终为180度。
这一性质被称为"三角形的内角和定理"，是几何学中的基本定理之一。
数学的证明过程较为复杂，这里不做详述，但可以通过实际测量和计算来验证。
2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。
外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去，与另外两条边的非共边构成的角。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个外角的度数之和始终为360度。
这一性质也是几何学中的基本定理之一。
3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。
根据三角形的内角和定理和外角和的定义，可以得出如下结论：内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。
这也被称为"三角形内外角和关系定理"。
通过数学的证明，可以得到这个结论。
4. 应用举例通过内角和与外角和的关系，我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。
例如，已知一个三角形的一个内角和一个外角，可以通过计算得到其他两个内角的度数，或者已知两个内角，可以通过计算得到第三个内角的度数。
此外，可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。
如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度，那么这个图形就不是一个三角形。
总之，三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。
它们揭示了三角形内外角度数之间的联系，对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。
在实际应用中，我们可以根据这些定理进行计算和验证，进一步深入理解和应用三角形的性质。
七年级数学下册第九章多边形9.1三角形2三角形的内角和与外角和作业课件新版华东师大版
10．(3分)若一个三角形外角的度数之比为2∶3∶4, 则与之对应的三个内角的度数之比为( ) B A．4∶3∶2 B．5∶3∶1 C．3∶2∶4 D．3∶1∶5
11．(3分)如图,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____度5．40
一、选择题(每小题4分,共16分) 12．(2018·宿迁)如图,点D在△ABC边AB的延长线上,DE∥BC. 若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是( )B A．24° B．59° C．60° D．69°
13．如图,在△ABC中,∠ABC＝50°,∠ACB＝60°, 点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD 相交于点D,连结AD,下列结论中不正确的是( )B A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
解：∠ACB＞∠B.∵∠ACB＞∠1,AD平分∠CAE, ∴∠1＝∠2,∴∠ACB＞∠2,又∵∠2＞∠B,∴∠ACB＞∠B
19．(12 分)(上蔡期末)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高， AE 是∠BAC 的平分线． (1)若∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE 的度数；
(2)请说明：∠DAE＝12(∠B－∠C)． 解：(1)∠DAE＝15° (2)∠DAE＝12∠BAC－∠BAD， ∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)，∠BAD＝90°－∠B，
解：(1)∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝ 180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A (2)∠P＝∠PCE－∠PBE＝12(∠ACE－∠ABC)＝12∠A
三角形的内角和与外角和-课堂练习-2021-2022学年华东师大版数学七年级下册
9.1.2三角形的内角和与外角和-课堂练习一、单选题1．锐角ABC 中，12B C ∠=∠，则B 的范围是（ ） A ．1020 B ︒<∠<︒B ．2030B ︒<∠<︒C ．3045B ︒<∠<︒D ．4560B ︒<∠<︒2．如图，已知在△ABC 中，△C ＝90°，BE 平分△ABC ，且BE△AD ，△BAD ＝20°，则△AEB 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°3．小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中△C ＝△F ＝90°，△A ＝45°，△D ＝30°，则△a +△β等于（ ）A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°4．已知ABC 中，70A ∠=︒，50B ∠=︒，BCA ∠的角平分线CD 交边AB 于点D ，则BCD ∠=（ ） A ．30 B ．60︒ C ．45︒ D ．120︒5．已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A ．60°,90°,75°B ．48°,72°,60°C ．48°,32°,38°D ．40°,50°,90°6．如图，△ABC 中，△ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若△A ＝25°，则△BDC 等于（ ）A ．44°B ．60°C ．67°D ．70°二、填空题 7．如图，AD△BC ，△C =30°， △ADB:△BDC= 1:2，则△DBC 的度数是_______.8．如图，一轮船在海上往东行驶，在A 处测得灯塔C 位于北偏东60︒，在B 处测得灯塔C 位于北偏东25︒，则ACB =∠________︒．9．己知：如图，CE AB ⊥于E ，AD BC ⊥于D ，30A ∠=︒，则B ∠=________，C ∠=_________．10．在ABC 中，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于点O ，连结AO ，若25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，则OAC ∠=_____．11．如图，△ABC 中，△A ＝40°，△B ＝72°，CE 平分△ACB ，CD △AB 于D ，DF △CE ，则△CDF ＝_________度．12．如图，ABC 中，7565A B ∠=︒∠=︒，，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，若120∠=︒，则2∠的度数是_____________.13．如图，△ACD =△A ，△BCF =△B ，则△A +△B +△ACB 等于______ ．三、解答题14．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，65A ∠=︒，求F ∠的度数．15．已知：如图，在△ABC 中，△A△△ABC△△ACB=3△4△5，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的高，BD ，CE 相交于H ，求△BHC 的度数．答案第4页，共1页。
原七年级数学下册9.1.2三角形的内角和与外角和第2课时三角形的外角和习题课件(新版)华东师大版
第四页，共22页。
4．(2017·资阳模拟(mónǐ))如图，AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A 的度数为( ) C
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．(2015·宜宾)如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，若∠B＝35°，∠D＝ 45°，则∠AEC＝_______．
80°
第二十二页，共22页。
第五页，共22页。
6．如图，∠B＝65°，∠ACB＝76°，∠AED＝46°，则∠BDF＝ ____8_5_°_____．
知识点❷ 三角形的外角(wài jiǎo)和
7．若一个三角形的三个外角(wài jiǎo)的度数之比为2∶3∶4，则与之
对应的三个内角的度数之比B为(
)
A．4∶3∶2 B．5∶3∶1
解 ： 延 长 CD 交 AB 于 E ， 所 以 ∠ DEB ＝ ∠ A ＋ ∠ C ＝ 122° ， 因 为 ∠ CDB ＝ ∠DEB＋∠B＝143°，而∠CDB＝148°，所以断定这个零件(línɡ jiàn)不合格
第十四页，共22页。
16．(复习(fùxí)14变式)如图，点P是△ABC内的任意一点，试说明∠BPC＞∠A. 解：延长BP交AC于点D.因为∠BPC＞∠PDC.又因为∠PDC＞∠A，所以∠BPC ＞∠A
数是( )
A
A．15° B．25° C．30° D．10°
10．如果(rúguǒ)三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角的和为180°，
那么这个外角的度数为(
)
C A．30° B．60° C．90° D．120°
第九页，共22页。
11．(1)如图①所示，则∠α＝______9_5；°
(2)如图②所示，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数(dù shu)为
三角形的内角和与外角和的计算
三角形的内角和与外角和的计算三角形是几何学中的基本图形，由三条边组成，每个角落对应着一个角。
三角形的内角和与外角和是我们学习三角形性质时常常涉及的重要概念。
本文将详细介绍三角形内角和与外角和的计算方法。
一、三角形的内角和计算方法对于任意一般三角形ABC，我们可以用角度的方式来描述这个三角形。
设三角形的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，我们有以下定理：定理1：三角形的内角和等于180°。
也就是说，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这个定理是非常重要的，因为只要知道三个内角中的任意两个角度，就可以通过计算得到第三个角度的值。
例如，如果我们已知∠A = 30°，∠B = 45°，那么根据定理1，我们可以计算出∠C的值：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。
由此可见，三角形的内角和是固定的，不受三角形大小和形状的影响。
无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，它们的内角和都是180°。
二、三角形外角和计算方法三角形的每个内角都有一个对应的外角，它们之间的关系如下：定理2：三角形的一个内角的对应外角等于其他两个内角的和。
也就是说，对于三角形ABC，∠A的对应外角等于∠B和∠C的和，∠B的对应外角等于∠A和∠C的和，∠C的对应外角等于∠A和∠B的和。
设∠A的对应外角为∠D，∠B的对应外角为∠E，∠C的对应外角为∠F，我们有以下等式：∠D = ∠B + ∠C,∠E = ∠A + ∠C,∠F = ∠A + ∠B.三角形的外角和是指三个外角的和，即∠D + ∠E + ∠F。
根据定理2，我们可以将其表示为：∠D + ∠E + ∠F = (∠B + ∠C) + (∠A + ∠C) + (∠A + ∠B) = 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2(180°) = 360°.这意味着，无论是何种三角形，其外角和都等于360°。
三角形的内角和与外角和关系
三角形的内角和与外角和关系三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个内角组成。
研究三角形的性质时，内角和与外角和关系是一个重要的问题。
本文将就三角形的内角和与外角和关系展开论述。
一、三角形内角和的定义与性质在了解三角形内角和与外角和的关系之前，我们首先需要了解三角形内角和的定义与性质。
1. 三角形内角和定义：三角形是由三条边所围成的图形，其中每个角都位于两条边之间。
三角形的内角和定义为三个内角的度数之和，通常表示为180度。
2. 三角形内角和的性质：（1）所有三角形的内角和都等于180度。
（2）对于任意三角形ABC，我们可以用角A、角B和角C来表示他们的内角和关系，即A + B + C = 180度。
二、三角形外角和的定义与性质了解了三角形内角和的定义与性质之后，我们再来了解一下三角形外角和的定义与性质。
1. 三角形外角和定义：三角形的每个内角都对应一个外角，位于与之相邻的两条边的延长线上，而外角和定义为三个外角的度数之和。
2. 三角形外角和的性质：（1）对于任意三角形ABC，它的外角和等于360度。
（2）对于任意三角形ABC，三个内角与其相应的外角满足以下关系：角A + 外角A = 180度；角B + 外角B = 180度；角C + 外角C = 180度。
三、三角形内角和与外角和的关系在前面的阐述中，我们已经分别了解了三角形内角和和外角和的定义与性质，那么他们之间究竟是否存在一定的关系呢？通过观察三角形内角和与外角和的定义，我们可以得出以下结论：（1）三角形的内角和与外角和的关系：内角和与外角和的和为360度。
（2）三角形的内角和与外角和的关系式：角A + 角B + 角C + 外角A + 外角B + 外角C = 360度。
通过以上结论，可以发现三角形的内角和与外角和之间存在一定的数学关系。
内角和与外角和的和总是等于360度，这是由三角形内角和和外角和的定义所决定的。
结论：三角形的内角和与外角和的关系是内角和与外角和的和为360度。
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教学设计
9.1.2 三角形的内角和与外角和
（华东师大版七年级下册）
（甘肃省武山县渭北初级中学）
教学目标：
1、探索发现三角形的内角与内角,内角与外角,外交与外角之间的关系及其证明方法.
2能利用三角形内角和,外角和,以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
难点：，添加辅助线来沟通证明思路的方法。
教学过程：
一、情景引入
回顾:在小学做过的”剪下三角形的两个角，拼加到第三个角上，探索三个内角的和是180度”的规律的情景,以启发学生探索三角形的内角和定理的证明方法.
二、探究新知
(一) 探究一:
1、探索”证明三角形的内角和定理”的辅助线的做法,并进行证明(1)通过上面图形的剪拼,耐心启发学生思考：”证明三角形的内角和是180度”时
辅助线添法,并明确添加辅助线的目标和意义.
(2).分析几何文字题的证明步骤:①依题意画图；②依图写已知,求证；③写证明过程
(3) 完成第二步中的各步的过程
(4) 形成定理并熟记
(5) 以三角板为教具, 启发学生得出”直角三角形的两锐角互余”的性质
(二) 探究二:
1. 探索三角形的内外角关系
(1) 引导学生看图理解三角形的内角与外角的位置关系
(2) 外角与相邻内角的数量关系
(3) 外角与不相邻内角的数量关系
2.启发学生证明”外角与不相邻内角的数量关系”
（启发学生用多种方法证明，培养发散思维）
（三）探究三：
1.三角形的外角和定义
让学生观察三角形每个顶点处的外角关系，引导学生定义外角和，使他们彻底理解定义三角形的外角和只需从每个顶点处各取一个外角所得的三个角的和的原因，以加深对外角和定义的理解和记忆。
B
A D
A. 80˚ 120˚ 160 ˚
B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
（二）拓展延伸：
四、小结： 引导学生梳理本节课所探索出的三角形的角的关系；包括内角之
间的关系；外角之间的关系；内外角之间的关系，并以图表的形
式展现，以给学生条理清晰的印象。
五、布置作业：
1. 课本82页 习题9.1 3. 4. （全体学生做）
2. 配练53页 7. （感兴趣的同学加做）
3.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
4.三角形的三个外角之比为2:3:4，则与它们相邻的内角分别为（ ）
1、△ABC 中，BE 为∠ABC 的平分线，CE 为∠ACD 的平分线，
两线交于E 点。
你能找出∠E 与∠A 有什么关系吗？ E
D C B
A。