三角形的内角和与外角和
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B
80 ˚
A
C D ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚ （三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵ ∠B=∠BAD（已知）
1 B 80 40（等量代换） 2
（ 2） ∵∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 ˚
（三角形的内角和为180 ˚ ）
∴∠ C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC = 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚
学习目标：
1. 熟练运用三角形的内角和定理 2.理解并掌握三角形的外角性质 3. 熟练运用三角形的外角和定理
预习导视：
1. 三角形的内角和是多少度？ 2.三角形的外角与不相邻的内角 有什么关系？ 3. 什么是三角形的外角和？ 4.三角形的外角和是多少度？
活动一：
撕一撕
拼一拼
0 三角形的内角和是180 。
34 °
E
63 °
D
如图,某同学把一块三角形的玻璃打 碎成三片,现在他要到玻璃店去配一 块形状完全一 样的玻璃,那么最省 事的办法是 ( C )
①
②
③
(A)带①去 (C)带③去
(B)带②去 (D)带①和②去
1、将一副三角板按如图方式放置，则两条 斜边所形成的钝角∠1＝______
1
挑战！！！
如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ A 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
（等式的性质）
=70 ˚
1.三角形的内角和等于多少度？
2.直角三角形的两个锐角是什么关系？
3.、三角形的外角性质：
①外角+相邻的内角=180
˚
②三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。 不相邻的内角。
③三角形的外角大于任何一个与它
4.三角形的外角和等于多少度？ 5 、在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外 角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条 件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
A
B C 解： ∠ACD+ ∠ACB =180°
∠A+ ∠B+ ∠ACB =180°
D
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
∵∠ACB是△ ABC的外角
∴∠ACB= ∠A+ ∠B
三角形的一个外角与任何一个 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？ 与它不相邻的内角之间又有什 么关系呢？
返回
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
凭 勤 奋 出 成 果
向 效 率 要 质 量
∠ACD> ∠ A
B C
D
∠ACD> ∠ B
1、外角+相邻的内角=180 ˚
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻的 两个外角中取一个，这样取得的三个外角 相加所得的和，叫做三角形的外角和。
思考：三角形的内角和等于180°， 那么三角形的外角和等于多少度？ 返回
E
B
D
C
如图，AD、AE分别是△ABC的角 平分线和高，若∠B = 46°， ∠C = 54 °，你能求出∠DAE的 度数吗？ A
B
D
E
C
一块模板如图所示，按规定AF、DE 的延长线相交成85°角，因交点不在板 上，不便测量，工人师傅连结AD，测得 ∠FAD=34°，∠ADE=63°，那么这块 模板符合不符合规定？为什么？ M F A
三角形的外角和等于360°
练习
如图：∠1＝25°，∠2＝95°，∠3＝30° 30° ，则∠4＝_______
D C
4 2
1
A E
3
B
练习
1、如图：P是△ABC内的一点，延长BP交AC 于点D,用“＜”表示∠1、∠2、∠A的大小关 ∠A＜ ∠2＜ ∠1 系______________________.
证明：PA+PB>AB (1) PA+PC>AC (2)
1 2
2
A
PB+PC>BC (3)
P
∴(1)+(2)+(3)得 C B 2PA+2PB+2PC>AB+AC+BC 1 ∴ PA+PB+PC> 2(AB+AC+BC)
在△ABC中，∠A=８０°， ∠ ＡBＣ和∠Ａ ＢC的平分线相交于Ｏ， （１）求∠ＢＯＣ的度数。 （２） 将∠A换个度数，那求出是多少？ 你能体会∠A和∠ＢＯＣ有什么关系吗？
钝角三角形（一个角为钝角） 直角三角形（一个角为直角）
三 角 形
（1）一个三角形中最多有 1 个直角？ （2）一个三角形中最多有 1 个钝角？ （3）一个三角形中至少有 2 个锐角？ （4）任意 一个三角形中，最大的一个角 的度数至少为 60° .
在△ABC中， （1）已知∠A=80°，∠B=52°， 48° 则∠C=＿＿＿＿ （2）已知∠A=80°， ∠B-∠C= 40° 30° 则∠C= ＿＿
3
1
2
3 平角：1800
三角形的内角和等于1800.
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) 辅助线的作法 ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A E 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1 2
C
B
D
0 三角形的内角和等于180 .
B 不相邻 BC是△ ABC的边
的内角
A
D BD是AB的延长线
定义:三角形的一边与另一边的延长线 所组成的角叫做三角形的外角.
三角形的外角与相邻内角互为补角。
∠ ４ 与∠１+∠ ２的大小 有什么关系？
发现： ∠１＋∠２＝∠４
思考：如何说明
A
∠ACD= ∠B+ ∠
A
B
C
D
结论：三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和。
B 12 C D E （三角形的外角等于与它 不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C
=∠1+∠2+∠C =180°
思考题
如图,P为△ABC内任一点 . 1 试说明PA+PB+PC> (AB+BC+AC)
求证： ∠A＜∠1
若∠ABP=20°∠ACP=30° ∠A=51°, 求∠1的度数？
B
A
51° 20° 1
P
D
2 ° 30
C
在△ABC 中, ∠A=
1 1 ∠B= ∠C , 6 2
求该三角形的形状。
做一做 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分线， DE是△ADC的高线，∠B＝60° ，∠C＝45° ， 求∠ADB和∠ADE的度数 A
∠A+ ∠B = 180O -∠C
做一做
1、n=____ 27
81 72 n
122 x x
59 x=_______ y=_______ 29
y 31
2、在直角三角形中,∠C是直角， 则∠A与∠B的和是多少？
结论
直角三角形的两个锐角互余。
返回
三角形按角大小分类： 斜三角形 锐角三角形（三个角为锐角）
E
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) B ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
A
C
三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180度。
几何语言：
A
在△ABC中
∠A+ ∠B+ ∠C=180O
B
C
∠A=180O –(∠B+ ∠C)
A
∠ＢＯＣ＝９０ ° +
１
２
∠Ａ
Ｏ １
C
２
B
2、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线， CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。 你能找出∠E与∠A有什么关系吗？
A
E
B
C
D
例1 如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点， ∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ˚ ， ∠BAC=70˚. 求： （1） ∠ B的度数；（2） ∠ C的度数。 解 ：(1)∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知)
（3）已知∠A +∠B =100°， ∠C =2∠A， 能否求∠A 、∠B、∠C的度数？ （4）已知∠A ：∠B ： ∠C =1：3：5，能 否求∠A 、∠B、∠C的度数？
Hale Waihona Puke Baidu
如图,如果你从A走到B,再转向C走,能画 出你转弯的角吗? 你能说出∠CBD C 相邻的 三角形的 不相邻 内角 的边与△ 外角 ABC的 的内角 边的关系吗?
三角形外角和
2
A
∠1+ ∠ACB = 180 ° ∠2+ ∠BAC = 180 °
1
B
3
C
∠3+ ∠ABC = 180 °
三式相加可以得到
∠1+ ∠2+ ∠3+∠ACB +∠BAC +∠ABC = 540 ° .
而 ∠ACB +∠BAC +∠ABC= 180 ° 所以：∠1+ ∠2+ ∠3= 360 ° 归纳结论：
80 ˚
A
C D ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚ （三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵ ∠B=∠BAD（已知）
1 B 80 40（等量代换） 2
（ 2） ∵∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 ˚
（三角形的内角和为180 ˚ ）
∴∠ C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC = 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚
学习目标：
1. 熟练运用三角形的内角和定理 2.理解并掌握三角形的外角性质 3. 熟练运用三角形的外角和定理
预习导视：
1. 三角形的内角和是多少度？ 2.三角形的外角与不相邻的内角 有什么关系？ 3. 什么是三角形的外角和？ 4.三角形的外角和是多少度？
活动一：
撕一撕
拼一拼
0 三角形的内角和是180 。
34 °
E
63 °
D
如图,某同学把一块三角形的玻璃打 碎成三片,现在他要到玻璃店去配一 块形状完全一 样的玻璃,那么最省 事的办法是 ( C )
①
②
③
(A)带①去 (C)带③去
(B)带②去 (D)带①和②去
1、将一副三角板按如图方式放置，则两条 斜边所形成的钝角∠1＝______
1
挑战！！！
如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ A 解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
（等式的性质）
=70 ˚
1.三角形的内角和等于多少度？
2.直角三角形的两个锐角是什么关系？
3.、三角形的外角性质：
①外角+相邻的内角=180
˚
②三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。 不相邻的内角。
③三角形的外角大于任何一个与它
4.三角形的外角和等于多少度？ 5 、在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外 角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条 件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
A
B C 解： ∠ACD+ ∠ACB =180°
∠A+ ∠B+ ∠ACB =180°
D
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
∵∠ACB是△ ABC的外角
∴∠ACB= ∠A+ ∠B
三角形的一个外角与任何一个 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？ 与它不相邻的内角之间又有什 么关系呢？
返回
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
凭 勤 奋 出 成 果
向 效 率 要 质 量
∠ACD> ∠ A
B C
D
∠ACD> ∠ B
1、外角+相邻的内角=180 ˚
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻的 两个外角中取一个，这样取得的三个外角 相加所得的和，叫做三角形的外角和。
思考：三角形的内角和等于180°， 那么三角形的外角和等于多少度？ 返回
E
B
D
C
如图，AD、AE分别是△ABC的角 平分线和高，若∠B = 46°， ∠C = 54 °，你能求出∠DAE的 度数吗？ A
B
D
E
C
一块模板如图所示，按规定AF、DE 的延长线相交成85°角，因交点不在板 上，不便测量，工人师傅连结AD，测得 ∠FAD=34°，∠ADE=63°，那么这块 模板符合不符合规定？为什么？ M F A
三角形的外角和等于360°
练习
如图：∠1＝25°，∠2＝95°，∠3＝30° 30° ，则∠4＝_______
D C
4 2
1
A E
3
B
练习
1、如图：P是△ABC内的一点，延长BP交AC 于点D,用“＜”表示∠1、∠2、∠A的大小关 ∠A＜ ∠2＜ ∠1 系______________________.
证明：PA+PB>AB (1) PA+PC>AC (2)
1 2
2
A
PB+PC>BC (3)
P
∴(1)+(2)+(3)得 C B 2PA+2PB+2PC>AB+AC+BC 1 ∴ PA+PB+PC> 2(AB+AC+BC)
在△ABC中，∠A=８０°， ∠ ＡBＣ和∠Ａ ＢC的平分线相交于Ｏ， （１）求∠ＢＯＣ的度数。 （２） 将∠A换个度数，那求出是多少？ 你能体会∠A和∠ＢＯＣ有什么关系吗？
钝角三角形（一个角为钝角） 直角三角形（一个角为直角）
三 角 形
（1）一个三角形中最多有 1 个直角？ （2）一个三角形中最多有 1 个钝角？ （3）一个三角形中至少有 2 个锐角？ （4）任意 一个三角形中，最大的一个角 的度数至少为 60° .
在△ABC中， （1）已知∠A=80°，∠B=52°， 48° 则∠C=＿＿＿＿ （2）已知∠A=80°， ∠B-∠C= 40° 30° 则∠C= ＿＿
3
1
2
3 平角：1800
三角形的内角和等于1800.
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) 辅助线的作法 ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A E 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1 2
C
B
D
0 三角形的内角和等于180 .
B 不相邻 BC是△ ABC的边
的内角
A
D BD是AB的延长线
定义:三角形的一边与另一边的延长线 所组成的角叫做三角形的外角.
三角形的外角与相邻内角互为补角。
∠ ４ 与∠１+∠ ２的大小 有什么关系？
发现： ∠１＋∠２＝∠４
思考：如何说明
A
∠ACD= ∠B+ ∠
A
B
C
D
结论：三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和。
B 12 C D E （三角形的外角等于与它 不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C
=∠1+∠2+∠C =180°
思考题
如图,P为△ABC内任一点 . 1 试说明PA+PB+PC> (AB+BC+AC)
求证： ∠A＜∠1
若∠ABP=20°∠ACP=30° ∠A=51°, 求∠1的度数？
B
A
51° 20° 1
P
D
2 ° 30
C
在△ABC 中, ∠A=
1 1 ∠B= ∠C , 6 2
求该三角形的形状。
做一做 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分线， DE是△ADC的高线，∠B＝60° ，∠C＝45° ， 求∠ADB和∠ADE的度数 A
∠A+ ∠B = 180O -∠C
做一做
1、n=____ 27
81 72 n
122 x x
59 x=_______ y=_______ 29
y 31
2、在直角三角形中,∠C是直角， 则∠A与∠B的和是多少？
结论
直角三角形的两个锐角互余。
返回
三角形按角大小分类： 斜三角形 锐角三角形（三个角为锐角）
E
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) B ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
A
C
三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180度。
几何语言：
A
在△ABC中
∠A+ ∠B+ ∠C=180O
B
C
∠A=180O –(∠B+ ∠C)
A
∠ＢＯＣ＝９０ ° +
１
２
∠Ａ
Ｏ １
C
２
B
2、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线， CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。 你能找出∠E与∠A有什么关系吗？
A
E
B
C
D
例1 如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点， ∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ˚ ， ∠BAC=70˚. 求： （1） ∠ B的度数；（2） ∠ C的度数。 解 ：(1)∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知)
（3）已知∠A +∠B =100°， ∠C =2∠A， 能否求∠A 、∠B、∠C的度数？ （4）已知∠A ：∠B ： ∠C =1：3：5，能 否求∠A 、∠B、∠C的度数？
Hale Waihona Puke Baidu
如图,如果你从A走到B,再转向C走,能画 出你转弯的角吗? 你能说出∠CBD C 相邻的 三角形的 不相邻 内角 的边与△ 外角 ABC的 的内角 边的关系吗?
三角形外角和
2
A
∠1+ ∠ACB = 180 ° ∠2+ ∠BAC = 180 °
1
B
3
C
∠3+ ∠ABC = 180 °
三式相加可以得到
∠1+ ∠2+ ∠3+∠ACB +∠BAC +∠ABC = 540 ° .
而 ∠ACB +∠BAC +∠ABC= 180 ° 所以：∠1+ ∠2+ ∠3= 360 ° 归纳结论：