曲线回归
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回归分析曲线拟合
线性回归
线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一、一元线性回归：
1、涉及一个自变量的回归
2、因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)
，用y表示
用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量
(independent variable)，用x表示
误差项 是随机
注(部：分线)性加部上分误反差映项了由于型x的的参变数化而引起的y的变化；误变差量项反映
了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响，它是不
能由x和y之间的线性关系所解释的变异性。
一元线性回归模型（基本假定）
1、因变量x与自变量y之间具有线性 关系
2、在重复抽样中，自变量x的取值 是固定的，即假定x是非随机的
模型拟合：复相关 系数、判定系数、
选项
调整R2、估计值的标 准误及方差分析
回归系数框 估计值：显示回 归系数的估计值 β、回归系数的 标准差、标准化 回归系数、回归 系数的β的t估 计值和双尾显著 性水平。 置信区间 协方差矩阵
R2改变量：增加或 删除一个自变量产 生的改变量 描述性统计量：变 量的均数、标准差、 相关系数矩阵、单 尾检验 部分及偏相关系数： 显示零阶相关、偏 相关、部分相关系 数 共线性诊断：显示
计或预测因变量的取值
回归分析的模型
一、分类 按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归和多元回归
二、基本的步骤
利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的？ 要看回归方程的显著性检验（F检验）
回归系数b的显著性检验(T检验)
拟合程度R2
(注：相关系数的平方，一元回归用R Square，多元回归 用Adjusted R Square)
5参数logistic回归曲线
P(y=1|x) = c + (1 - c) / (1 + exp(-k*(x - m)))
其中，P(y=1|x)表示在给定输入x的条件下，输出y=1的概率。c是一个常数，表示当x趋置。
5参数logistic回归曲线
通过引入额外的参数c、k和m，5参数logistic回归模型可以更好地拟合非线性的数据。这 使得模型能够在不同的数据集上更加灵活地适应不同的分布。
需要注意的是，5参数logistic回归模型的参数估计通常需要使用特殊的优化算法，如梯度 下降法或牛顿法等。这些算法可以通过最大似然估计或其他准则来估计模型的参数。
5参数logistic回归曲线
5参数logistic回归曲线是一种扩展的logistic回归模型，它引入了额外的参数来增加模型 的灵活性。传统的logistic回归模型有三个参数：斜率、截距和阈值。而5参数logistic回归模 型则包含了两个额外的参数。
5参数logistic回归模型的数学表达式如下：
其中，P(y=1|x)表示在给定输入x的条件下，输出y=1的概率。c是一个常数，表示当x趋置。
5参数logistic回归曲线
通过引入额外的参数c、k和m，5参数logistic回归模型可以更好地拟合非线性的数据。这 使得模型能够在不同的数据集上更加灵活地适应不同的分布。
需要注意的是，5参数logistic回归模型的参数估计通常需要使用特殊的优化算法，如梯度 下降法或牛顿法等。这些算法可以通过最大似然估计或其他准则来估计模型的参数。
5参数logistic回归曲线
5参数logistic回归曲线是一种扩展的logistic回归模型，它引入了额外的参数来增加模型 的灵活性。传统的logistic回归模型有三个参数：斜率、截距和阈值。而5参数logistic回归模 型则包含了两个额外的参数。
5参数logistic回归模型的数学表达式如下：
第八章 曲线拟合、回归和相关讲解
t
( y0 yp ) n 2
sy.x n 1 [n(x0 x)2 / sx2 ]
有n-2个自由度的t分布。由此能求得预报得总体值
得置信限
2 预报的平均值的假设检验
设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设y p记对总体而言对应x=x0的y 的预报平均值，那么统计量
y=+x。下面是与正态分布有关的一些检验：
1 假设=c的检验
为了检验假设：回归系数等于某一特定值c，使
用统计量
t b n2
sy.x / sx
它具有n-2自由度的t分布。此结论也可用于从样本 值求总体回归系数的置信区间
2 预报值的假设检验
设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设yp记对总体而言对应x=x0的y的 预报值，那么统计量
将所有点代入直线方程后相加，我们得到
y=an+bx(或 y a b x)
以及 xy=ax+bx2
这两个方程称为最小二乘的正规方程。由上 面的方程组我们可以达到a,b分别为：
a
yx2 nx2
xxy (x)2
,
b
nxy nx2
xy (x)2
, 其中b也可以写成
最小二乘法
若在近似n个数据点的集合
时，对一给定的曲线族的全
部曲线，其中有一条曲线的
性质:
d12
d
2 2
...
d
2 n
达最小值，则称该曲线为给 定曲线族中的最佳拟合曲 线。 有这样性质的一条曲线称为 在最小二乘意义上对数据的 拟合，该曲线称为最小二乘 回归曲线
曲线回归
x
(四) 双曲关系曲线
x ˆ y a bx
a bx ˆ y x 1 ˆ y a bx
y
y
1 b
a>0,b<0
a>0,b>0
0
x
0
a b
x
(五) S型曲线
最著名的曲线是Logistic生长曲线，它最早由比 利时数学家P.F.Vehulst于1838年导出，但直至20世 纪20年代才被生物学家及统计学家R.Pearl和 L.J.Reed重新发现，并逐渐被人们所发现。目前它已 广泛应用于多领域的模拟研究。
x 3.37 4.12 4.87 5.62 6.37 7.12 y 349 374 388 395 401 397
7.87
384
从散点图看。呈单峰趋势，没有明显的凹凸变化，故 预期可用二次式配合。
1 3.37 11.3569 1 4.12 16.9744 X 1 7.87 61.9369
至此即获得了二元线性回归方程：
ˆ 2 165.03532698 y 74.89269841 x1 5.96825397 x2
二、多项式回归的假设检验
（一）多项式回归关系的假设检验
（三）各次分量项的假设检验源自 ae4.5948
98.965
0.39833 x ˆ y 98.965e
二、幂函数曲线方程的配置
ˆ ax y
当x、y都大于0时，
b
ˆ ln a b ln x ln y
ˆ , x ln x 令y ln y
y ln a bx
如果：
ryx
SPyx SS y SS X
ˆ a b1 x b2 x y
6.3-第六章-多项式回归-响应面
在响应面分析中，首先要得到回归方：
y ˆf(x1， x2， ， xl)
然后通过对自变量 x1，x2， ，xl 的合理取值，求
得使 y ˆf(x1， x2， ， xl)最优的值，这就是响应 面分析的目的。
[例13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为 每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施 磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35， 42kg 7个水平，共49个处理组合，试验结果列于表 13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
理配置直线回归方程，并作显著性测验。 3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并
对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法
应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点： (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，
需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小(的y当 yˆ选)2。 (2) 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多 项式逼近， (3) 当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小 二乘法拟合。
a bx
y
1y
b
a＞， 0b＜0
a＞ 0，b＞ 0
x
a x
图11.4 方程 yˆ 的x图象
b
a bx
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故
又称生长曲线。
y
Logistic曲线方程为：
ln a
b
yˆ
1
k aebx
k
k 2
k 1 a
x
第二节 曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序 二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置 三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置
逻辑曲线(Logistic回归)
逻辑回归的参数解释
β0
截距，表示当所有解释变量x都为0时， logit P的估计值。
β1, β2, ..., βp
斜率，表示各解释变量对logit P的影 响程度。
逻辑回归的假设条件
线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变 量的变化可以被自变量的线性组合所解释。
误差项同分布
假设误差项服从同一分布，通常是正态分布。
评估指标
根据任务类型选择合适的评估指标，如准确率、召回率、F1分数等。
模型比较
将新模型与其他同类模型进行比较，了解其性能优劣。
04 逻辑回归的优缺点
优点
分类性能好
逻辑回归模型在二分类问题上 表现优秀，分类准确率高。
易于理解和实现
逻辑回归模型形式简单，参数 意义明确，方便理解和实现。
无数据分布假设
总结词
在某些情况下，逻辑回归可能不是解决回归问题的最佳选择，此时可以考虑其他替代方 案。
详细描述
当因变量是连续变量，且自变量和因变量之间的关系非线性时，线性回归可能不是最佳 选择。此时可以考虑使用其他回归模型，如多项式回归、岭回归、套索回归等。另外， 当自变量和因变量之间的关系不确定时，可以考虑使用支持向量回归等模型进行预测。
06 总结与展望
总结
应用广泛
逻辑回归模型在许多领域都有广泛的应用，如医学、金融、市场 营销等，用于预测和解释二元分类结果。
理论基础坚实
基于概率和统计理论，逻辑回归模型能够提供可靠的预测和解释， 尤其是在处理小样本数据时。
灵活性和可解释性
模型参数可以解释为对结果概率的影响程度，这使得逻辑回归成为 一种强大且易于理解的工具。
在二分类问题中，逻辑回归通过将线性回归的输出经过逻辑函数转换，将连续的预测值转换为概率形式，从而实 现对因变量的二分类预测。逻辑函数的形式为1 / (1 + e ^ (-z))，其中z为线性回归的输出。
6.3-第六章-多项式回归-响应面
1 X
x12
x22
xk21
x12
x122
x1k2
1 x1n x2n xkn 1 x1n x12n x1kn
和
y 1
Y
y2
y n
求得 XX、XY和( XX)-1，并由
b=( XX)-1( XY)获得相应的多项式回归统计数。
(四) 多项式回归方程的估计标准误
y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：
曲线回归分析方法的主要内容有：
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律；
② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如 回归参数、极大值、极小值和渐近值等；
③ 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足 时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点
一、指数函数曲线 二、对数函数曲线 三、幂函数曲线 四、双曲函数曲线 五、S型曲线
F
Qk
Uk /k /[n(k 1
)]
(11·24)
可测验多项式回归关系的真实性。
相关指数：Ry·x，x2， ，，kxk次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X
的多项式的相关密切程度。
Ry· x，x2， ，xk Uk /SSy
(11·25)
决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
6 216.4 276.7 295.9 325.3 320.5 286.9 219.9
氮肥 9
274.7 342.8 363.3 336.3 353.7 322.5 278.0
12 274.3 343.4 361.7 381.0 369.5 345.9 319.1
求解回归曲线最大值
求解回归曲线最大值回归曲线最大值，是指在回归分析中，利用一组数据点来创建最佳拟合曲线，然后找到这条曲线的最高点。
回归分析是一种广泛应用的统计方法，常用于预测和建模。
在回归分析中，我们首先要收集一组数据，并确定研究的因变量和自变量。
因变量是我们想要预测或解释的变量，而自变量则是用来预测因变量的变量。
回归分析通过拟合一条曲线或函数来找到自变量和因变量之间的关系。
为了找到回归曲线的最大值，我们需要用合适的数学模型来描述数据之间的关系。
常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、指数回归等。
其中，线性回归是最简单且最常用的回归模型，通过一条直线来拟合数据。
多项式回归则可以用多项式函数来拟合数据。
指数回归则适用于自变量和因变量之间呈指数关系的情况。
当我们使用合适的回归模型找到了最佳拟合曲线后，就可以通过求导来寻找回归曲线的最大值。
求导可以给出曲线在某一点处的斜率，通过设置导数为零的方程，我们可以找到曲线的极值点。
当导数为零时，代表曲线在该点的斜率为零，即曲线可能达到最高点或最低点。
然而，寻找最大值并不仅仅依赖于导数为零，我们还需要检查导数的二阶导数（即图像的曲率）以确定该点是否是最大值。
如果二阶导数为负，那么曲线在该点是凸的，即该点是最大值。
反之，如果二阶导数为正，那么曲线在该点是凹的，即该点是最小值。
为了更好地理解回归曲线的最大值，我们可以通过一个具体的案例来说明。
假设我们正在研究一个城市的人口增长情况。
我们收集了过去十年的数据，其中自变量为时间（以年为单位），因变量为该城市的人口数量。
我们希望通过回归分析来预测未来几年该城市的人口增长。
我们可以使用多项式回归模型来拟合这组数据，因为人口增长通常不是线性的。
在拟合了最佳曲线后，我们可以使用求导的方法来找到该曲线的最大值。
如果找到的最大值对应于一个特定的时间点，那么这个时间点就是预测人口最多的时刻。
通过分析这个时间点附近的数据，我们还可以了解到其他相关因素，例如是否有一场重要的事件或政策改变导致人口的增长。
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mode 3
计算器将出现如下画面：
Lin Log Exp 12 3
>
<
Pwr Inv Quad 12 3
1 （Lin） 线性回归： yˆ a bx
2 （Log）对数回归： yˆ a b ln x 3 （Exp）指数回归： yˆ aebx > 1 （Pwr）幂函数回归： yˆ axb
> 2 （inv） 双曲线回归： yˆ a b 1 x > 3 （Quad）抛物线回归：yˆ b0 b1x b2x2
曲线配合的一般步骤： 1、确定回归关系的类型：线性
非线性（曲线形状） 2、确定回归关系的参数、相关指数、估计标准误 3、对所得回归方程作显著性检验
曲线方程可分为两种： 可直线化的曲线方程 不可直线化的曲线方程（多项式）
因此，首先应确定两变量的曲线关系是哪一种
第二节 曲线类型及其方程
本章仅讨论可以直线化的曲线方程
ln
k
1.3 1.3
a
b
ln
k
6.8 6.8
a
5b
ln
k
9.5 9.5
a
9b
解这一三元一次方程组，消去 a、b，得：
N0N2 k N1 2 N12 k N0 k N2
则
k1 0
k2 N1
2N0 N2 N0 N1 N1N2 N0 N2 N12
N1 2N0N2 N1 N0 N2 N0 N2 N12
n9 t 5 Y 0.6089
或将时间 t 和 Y 值输入计算器，或数据库
则
45 5.48
70.07
b
9 285 452
0.7112
9
a 0.6089 5 0.7112 2.9469
将
k、a、b
代入方程，即得： Nˆ
9.78 1 e2.94690.7112t
或：
Nˆ
9.78 1 19.0468e0.7112t
在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一 周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具 体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可
另外，在一般的通式中，我们往往以 x、y 作为自 变量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为 了更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同 的字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来 代替
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
增长倍数N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5
Y
ln
k
N N
1.88
1.71
1.02
0.54
-0.82
-1.81
-1.89
-2.59
-3.52
得一级数据：
t 45 t2 285 Y 5.48 Y 2 34.4096 tY 70.07
（三）双曲线函数 y a b
x
令：X 1
x
则 y a bX 对x求X 即可得 y a bx 中的 a、b （倒数变换，即取 x 的倒数，与 y 一起输入）
此外还有一些曲线方程：y axebx
y
1
x 2
e 2
2
下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：
曲线回归的计算器计算方法：（四）Biblioteka 型曲线 y k1 aebx
y
1
k eabx
陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细
胞的生长等都是这一模式
因此，S型曲线又称为生长型曲线、logistic曲线，
其变换形式有以下几种：
k y 1 axb
y
a
1 bex
另外还有 Gompertz 曲线： y keaebx
y aebexpkx
第十章
曲线回归
本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 曲线回归方程的拟合度
第一节 曲线回归的意义
直线回归的局限 1、两变量之间的关系不完全是直线关系 2、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 3、两变量间更普遍的关系是曲线关系 4、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 5、直线回归是曲线回归中的一部分
这些曲线方程中的 x 往往是时间单位，因此一般可 用 t 表示，而 y 往往是群体的增长量，或群体增 长倍数，所以也可以用 N 表示
我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化，其 他变换类型的方程直线化可以仿此进行
测得某类微生物在一定气温下随时间变化的平均增长量，数 据如下：
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增长倍数 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 从下面的散点图我们可以看出，可配合S型曲线：
10
g
g
8
g
g
6
g
4
g
g
2
g
g
123456789
我们采用生长曲线的一般形式
k N 1 eabt
进行配合
变换，两边取对数，得：
1 eabt
k N
a bt
ln
k N
1
并令：
Y
ln
k N
1
从数据表中取三个等距的点代入上式（一般，总取 始点、中点、末点）：（1，1.3）、（5，6.8）、 （9，9.5）
——函数型曲线方程
（一）幂函数 y axb 直线化：两边取对数： ln y ln a b ln x
令： Y ln y
A ln a
X ln x
则有：Y AbX
对 Y AbX 求 A 和 b， 并得 a ln1 A
即可得：a、b，建立方程
（双对数转换，即对 x、y 均求对数后输入）
（二）指数函数 y aebx 或 y aeb x 直线化：两边取对数：ln y ln a bx 令：Y ln y A ln a 则有 Y A bx 对 Y A bx 求 A 并得 a ln1 A 即可得 a、b，建立方程 （单对数变换，即对 y 求对数后与 x 一起输入）
其变换形式：
y kebx
y k 1 ebx
Bertalanffy 曲线：y a 1 bekx 3
在这些曲线方程中，无一例外的都有 3 个需要计算 的统计量：k、a、b
K 是当 x 趋向于 +∞时 y 所能达到的最大值，往往 是未知的，因此也是需要进行计算的
这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方
这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可
使用这一公式求得 k 值
将上式中的 N0 1.3, N1 6.8, N2 9.5代入
k2 9.78
即为 k 的解
式，得 k2
将
k=9.78
代入
Y
ln
k
N N
，可得和
t
相对应的各
个Y值
将这些 Y 值写在数据表下方对应处，用最小二乘配
置法配置直线
计算器将出现如下画面：
Lin Log Exp 12 3
>
<
Pwr Inv Quad 12 3
1 （Lin） 线性回归： yˆ a bx
2 （Log）对数回归： yˆ a b ln x 3 （Exp）指数回归： yˆ aebx > 1 （Pwr）幂函数回归： yˆ axb
> 2 （inv） 双曲线回归： yˆ a b 1 x > 3 （Quad）抛物线回归：yˆ b0 b1x b2x2
曲线配合的一般步骤： 1、确定回归关系的类型：线性
非线性（曲线形状） 2、确定回归关系的参数、相关指数、估计标准误 3、对所得回归方程作显著性检验
曲线方程可分为两种： 可直线化的曲线方程 不可直线化的曲线方程（多项式）
因此，首先应确定两变量的曲线关系是哪一种
第二节 曲线类型及其方程
本章仅讨论可以直线化的曲线方程
ln
k
1.3 1.3
a
b
ln
k
6.8 6.8
a
5b
ln
k
9.5 9.5
a
9b
解这一三元一次方程组，消去 a、b，得：
N0N2 k N1 2 N12 k N0 k N2
则
k1 0
k2 N1
2N0 N2 N0 N1 N1N2 N0 N2 N12
N1 2N0N2 N1 N0 N2 N0 N2 N12
n9 t 5 Y 0.6089
或将时间 t 和 Y 值输入计算器，或数据库
则
45 5.48
70.07
b
9 285 452
0.7112
9
a 0.6089 5 0.7112 2.9469
将
k、a、b
代入方程，即得： Nˆ
9.78 1 e2.94690.7112t
或：
Nˆ
9.78 1 19.0468e0.7112t
在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一 周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具 体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可
另外，在一般的通式中，我们往往以 x、y 作为自 变量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为 了更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同 的字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来 代替
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
增长倍数N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5
Y
ln
k
N N
1.88
1.71
1.02
0.54
-0.82
-1.81
-1.89
-2.59
-3.52
得一级数据：
t 45 t2 285 Y 5.48 Y 2 34.4096 tY 70.07
（三）双曲线函数 y a b
x
令：X 1
x
则 y a bX 对x求X 即可得 y a bx 中的 a、b （倒数变换，即取 x 的倒数，与 y 一起输入）
此外还有一些曲线方程：y axebx
y
1
x 2
e 2
2
下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：
曲线回归的计算器计算方法：（四）Biblioteka 型曲线 y k1 aebx
y
1
k eabx
陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细
胞的生长等都是这一模式
因此，S型曲线又称为生长型曲线、logistic曲线，
其变换形式有以下几种：
k y 1 axb
y
a
1 bex
另外还有 Gompertz 曲线： y keaebx
y aebexpkx
第十章
曲线回归
本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以 生长型曲线为例说明曲线的直线化配合， 曲线回归方程的拟合度
第一节 曲线回归的意义
直线回归的局限 1、两变量之间的关系不完全是直线关系 2、简单相关不显著并不表示两变量间无相关 3、两变量间更普遍的关系是曲线关系 4、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式 5、直线回归是曲线回归中的一部分
这些曲线方程中的 x 往往是时间单位，因此一般可 用 t 表示，而 y 往往是群体的增长量，或群体增 长倍数，所以也可以用 N 表示
我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化，其 他变换类型的方程直线化可以仿此进行
测得某类微生物在一定气温下随时间变化的平均增长量，数 据如下：
时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增长倍数 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 从下面的散点图我们可以看出，可配合S型曲线：
10
g
g
8
g
g
6
g
4
g
g
2
g
g
123456789
我们采用生长曲线的一般形式
k N 1 eabt
进行配合
变换，两边取对数，得：
1 eabt
k N
a bt
ln
k N
1
并令：
Y
ln
k N
1
从数据表中取三个等距的点代入上式（一般，总取 始点、中点、末点）：（1，1.3）、（5，6.8）、 （9，9.5）
——函数型曲线方程
（一）幂函数 y axb 直线化：两边取对数： ln y ln a b ln x
令： Y ln y
A ln a
X ln x
则有：Y AbX
对 Y AbX 求 A 和 b， 并得 a ln1 A
即可得：a、b，建立方程
（双对数转换，即对 x、y 均求对数后输入）
（二）指数函数 y aebx 或 y aeb x 直线化：两边取对数：ln y ln a bx 令：Y ln y A ln a 则有 Y A bx 对 Y A bx 求 A 并得 a ln1 A 即可得 a、b，建立方程 （单对数变换，即对 y 求对数后与 x 一起输入）
其变换形式：
y kebx
y k 1 ebx
Bertalanffy 曲线：y a 1 bekx 3
在这些曲线方程中，无一例外的都有 3 个需要计算 的统计量：k、a、b
K 是当 x 趋向于 +∞时 y 所能达到的最大值，往往 是未知的，因此也是需要进行计算的
这是生长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的 地方
这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可
使用这一公式求得 k 值
将上式中的 N0 1.3, N1 6.8, N2 9.5代入
k2 9.78
即为 k 的解
式，得 k2
将
k=9.78
代入
Y
ln
k
N N
，可得和
t
相对应的各
个Y值
将这些 Y 值写在数据表下方对应处，用最小二乘配
置法配置直线