高中数学 2.2等差数列(二)课件 新人教A版必修5
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高中数学 2.2等差数列(第2课时)课件1 新人教A版必修5
2Aab A a b
2
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信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
，
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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6
信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
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12
反思小结，观点提炼
求数列{ a n } 的通项公式.
解： a1a7 2a4
a1a4a73a415
， 由此得到
a4 5
又 a2a4a6 45 a2a6 9
即（ a42d)a (42d)9 （ 52d)5 (2d)9
得 d2
当 d 2 时， a n a 4 (n 4 )d 2 n 3
当 d-2 时，a n a 4 (n 4 )d 1 3 2 n
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信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
，
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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信息交流，揭示规律
2.等差数列的性质
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
性质1：若数列{ a n }是等差数列，公差为 d 若 d >0,则 { a n }是递增数列；
若 d<0,则 { a n }是递减数列；
若 d=0,则{ a n }是常数列.
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变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
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反思小结，观点提炼
求数列{ a n } 的通项公式.
解： a1a7 2a4
a1a4a73a415
， 由此得到
a4 5
又 a2a4a6 45 a2a6 9
即（ a42d)a (42d)9 （ 52d)5 (2d)9
得 d2
当 d 2 时， a n a 4 (n 4 )d 2 n 3
当 d-2 时，a n a 4 (n 4 )d 1 3 2 n
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人教A版高中数学必修五教学课件：2.2等差数列 (共23张PPT)
人教版数学必修5
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
人教A版高中数学必修五课件2.2等差数列(二).pptx
诱思探究2
(等差数列性质 ）
诱思探究3
(等差数列判定 ）
例题剖析4
在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
例题剖析5
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课堂小结
等差数列要理解掌握的主要内容： 1. 定义： 2.等差中项： 3. 通项公式： 4.性质：
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授课人 张朝祯
温故知新
1.等差数列的定义： 2.等差中项：
3.等差数列的通项公式：
例题剖析3
已知数列 的通项公式为
，其中p,q
为常数，且
，那么这个数列一定是等差数
列吗？
解：取数列
中的任意相邻两项
则
它是一个与n无关的数，所以 是等差数列
例题剖析2
某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元 ，即最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果某人 乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅 通，等候时间为0，需要支付多少车费？
●
当p不为零时，等差数列的图象是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p是零时，等差数列的图象是平行于x轴的直 线（或x轴）上的均匀分布的一群孤立的点。
结论：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的 一次函数， 那么这个数列一定是等差数列
an=pn+q的图象其实就是一次函数y=px+q当x在正 整数范围内取值时相应的点的集合，斜率p是等差数列 的公差。
解：设需要支付的车费构成数列 ，由题意得 ：
人教新课标版数学高二A必修5课件2.2等差数列二
∴|m－n|＝12.
明目标、知重点
探究点二 等差数列与一次函数的关系
思考 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d整理成an 关于n的函数后，其相应的一次函数图象的斜率及在y轴上 的截距各是什么？ 答 等差数列{an}的通项公式变形为an＝dn＋a1－d，其图 象为一条直线上孤立的一系列点，d为直线的斜率，在y轴 上的截距为a1－d.
探要点·究所然 情境导学 在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式 an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的 通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们继续探讨.
明目标、知重点
探究点一 等差数列通项公式的推广
{c·an} {an＋an＋k}
公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an} 为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列.
明目标、知重点
明目标、知重点
小结 (1)等差数列的第二通项公式：an＝am＋(n－m)d； (2)对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等 差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.
明目标、知重点
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公 差及通项公式. 解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
明目标、知重点
高中数学 2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
ppt精选
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∴an＝2n－3 或 an＝13－2n，n∈N*.
点评：等差数列的运算常用两条思路：①根据已知条件，寻找、栏
目
列出两个方程，确定
a1、d，然后求其他；②利用性质巧解，其中
m
链 接
＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am＋an＝ak＋al＝2as.
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2．在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则 a8＋a9＋a10 的值为( )
分析：求等差数列的通项公式只要求 a1、d 两个量即可．
解析：方法一 由题意 aa58＝＝aa11＋＋47dd＝＝151，⇒ad1＝＝－192，⇒
栏 目 链 接
an＝19＋(n－1)×(－2)，
故数列的通项公式为 an＝21－2n(n∈N*)．
方法二 a8－a5＝5－11＝3d⇒d＝－2，
a5＝a1＋4d⇒a1＝19，
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即 a1＋8d＝20.
a8＋a9＋a10＝a1＋7d＋a1＋8d＋a1＋9d＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝
60.故选 B.
栏
目
方法二 可以应用等差数列的性质：
链
接
若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq，所以有
a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故 a8＋a9＋a10＝60.故选 B.
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栏 目 链 接
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的通项公式．
解析：方法一 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
栏 目
链
∴a4＝5.
2.2等差数列2-高中数学人教A版必修5课件(共13张PPT)
余杭高级中学高一数学组
课堂小结
三.{an}是公差为 d 的等差数列，其具有的其他性质如下 (1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)． (2)下标成等差数列，则数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等 差数列，公差为 kd(m，k∈N*)． (3)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b 为非零常数) 也为等差数列．
(1)证明数列 an 等差，（2）求an
练习：已知数列an , 满足anan1
an1
an , a1
1, a2
1 2
（1）证明数列
1 an
等差，（2）求a
n
课堂小结
一．等差数列的重要性质：
1.an＝am＋(n-m)d(m，n∈N*)． 2 若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 an+am＝ap＋aq. 二.等差数列的其他性质： (1)若{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2d 的等差数列． (2)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列 {pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1 +q d2 的等差数列．
(4){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列． (5)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列 {a2n}是公差为 2d 的等差数列． (6)若{kn}是等差数列，则{akn}也是等差数列
余杭高级中学高一数学组
随堂练习
1.已知数列{an }为等差数列，且a8 22, a16 46,则a32
课堂小结
三.{an}是公差为 d 的等差数列，其具有的其他性质如下 (1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)． (2)下标成等差数列，则数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等 差数列，公差为 kd(m，k∈N*)． (3)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b 为非零常数) 也为等差数列．
(1)证明数列 an 等差，（2）求an
练习：已知数列an , 满足anan1
an1
an , a1
1, a2
1 2
（1）证明数列
1 an
等差，（2）求a
n
课堂小结
一．等差数列的重要性质：
1.an＝am＋(n-m)d(m，n∈N*)． 2 若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 an+am＝ap＋aq. 二.等差数列的其他性质： (1)若{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2d 的等差数列． (2)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列 {pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1 +q d2 的等差数列．
(4){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列． (5)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列 {a2n}是公差为 2d 的等差数列． (6)若{kn}是等差数列，则{akn}也是等差数列
余杭高级中学高一数学组
随堂练习
1.已知数列{an }为等差数列，且a8 22, a16 46,则a32
高中数学必修五课件：2.2-2(2) 《等差数列(二)》(人教A版必修5)
数)也是________数列．
答案：等差
自主探究
1．如果等差数列 an 中，m＋n＝2w(m，n，w∈ N*)，那么 am＋an＝2aw 是否成立？
答案：如果等差数列的项的序号成等差数列，那 么对应的项也成等差数列． 事实上，若m＋n＝2w(m，n，w∈N*)，则 am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d]
4．等差数列 an 中，每隔相同的项抽出来的项按 照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数 列． 但剩下的项按原来的顺序排列， 构成的新数列不 一定是等差数列．
2．等差数列 an 中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap. 特别注意：“数列 an 中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的． 3．等差数列 an 中，若公差 d＞0，则数列 an 为递 增数列；等差数列 an 中，若公差 d＜0，则数列 an 为递 减数列．
是常数列，对于一般数列，常利用相邻两项作差或作商 判断数列的单调性．
2．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2 ＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．1或2 解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝ (a－c)2≥0，故选D. 答案：D
误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】 等差数列 an 的首项为 1，且 an 从第 9 项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
人教A版数学必修5-2.2等差数列(2)课件新
a b Ａ－ａ＝ｂC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( B ). A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】依题意得 A+C=2B,又 A+B+C=180°,∴ B=60°.
a
2.一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则b 等于( C ). A.
项是 –401？
练一练
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a4 15 ,
a7 27,
a10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的 项？
100 2 (n 1) 7 n 15
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
n=1时亦适合
a n a1 ( n 1) d
等差数列中a1 =1,d=2
an = 1+（n-1）×2=2n-1
关键求出a1和d
用一下
例1
an a1 (n 1)d
(1) 求等差数列8，5，2，…，的
第20项。
(2)
等差数列 -5，-9，-13，…，的第几
例2
在等差数列中,已知a5=10,a12=31,
求首项a1与公差d和 a 20
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.
a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1
a12 0
等差中项
若三个数a、A、b成等差数列，这时，Ａ叫 做a与b的等差中项 数学符号语言：
它们是等差数列吗？
【解析】依题意得 A+C=2B,又 A+B+C=180°,∴ B=60°.
a
2.一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则b 等于( C ). A.
项是 –401？
练一练
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a4 15 ,
a7 27,
a10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的 项？
100 2 (n 1) 7 n 15
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
n=1时亦适合
a n a1 ( n 1) d
等差数列中a1 =1,d=2
an = 1+（n-1）×2=2n-1
关键求出a1和d
用一下
例1
an a1 (n 1)d
(1) 求等差数列8，5，2，…，的
第20项。
(2)
等差数列 -5，-9，-13，…，的第几
例2
在等差数列中,已知a5=10,a12=31,
求首项a1与公差d和 a 20
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.
a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a9 3，求a12
a1 11, d 1
a12 0
等差中项
若三个数a、A、b成等差数列，这时，Ａ叫 做a与b的等差中项 数学符号语言：
它们是等差数列吗？
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●
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
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an=2n-4
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1
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●
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3
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an=2n-4的图像是一群孤立的点。 其实就是一次函数y=2x-4当x在正整数范围 内取值时相应的点的集合，
结论：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数， 那么这个数列一定是等差数列.an= pn + q
当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别 为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为， …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对 称项设出这个数列，则其各项和为na．
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数.
斜率p是等差数列的公差
等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 an= a1+(n-1) d an+1- an=d an+1=an+d
an= pn + q （p、q为常数）
b为a、c 的等差中项AA
2. a、b、c成等差数列
ac b 2
2b= a+c
an am nm
2.2 等差数列（二）
例2 已知数列 {an } 的通项公式为 an 3n 5，那么 这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断{an }是不是等差数列，可以利用等差数 列的定义，也就 是看 an an1 (n 1)是不是一个与n 无关的常数
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1)
从而a pq a p qd q q (1) 0.
所以a pq 0.
例：
3．等差数列通项的设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d (2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设 中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为： …,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…
3 ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2
等差数列的性质2
1. 2.
3.
设数列an 是等差数列， a p q, aq p ( p q), 试求a pq .
解：设公差为 d , 则因为a p aq ( p q)d ,
a p aq q p 所以d 1. pq pq
【说明】 3.更一般的情形，an=
am+(n - m) d ，d= am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
数列an 是等差数列，m, n, p, q N , 且m n p q, 求证：am an a p aq .
例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
an an1 (3n 5) [3(n 1) 5] 3n 5 (3n 3 5) 3
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
例3 已知数列{an } 的通项公式为 an pn q ，其 中p,q为常数，且 p 0 ，那么这个数列一定是等 差数列吗？ 分析：判断{an }是不是等差数列，可以利用等差数 列的定义，也就 是看 an an1 (n 1)是不是一个与n 无关的常数
1 1 已知数列an 中，a1 3, 5(n 2), 则an ____. an an1
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
证明：设an 的首项是a1 ,公差是d ,
则am a1 (m 1)d ,
a p a1 ( p 1)d ,
an a1 (n 1)d ,
aq a1 (q 1)d ,
am an 2a1 (m n 2)d ,
a p aq 2a1 ( p q 2)d , m n p q, am an a p aq .