数列前N项和求法PPT课件

合集下载

高三数学等差数列前N项和公式PPT教学课件

数列前n项和与通项公式的关：系
an
S1 Sn
Sn1
(n 1) ( n 1)
数列通项公式?
当 n1时 ,不一定a满 nSn足 Sn： 1
探索
一般地，如a果 n的一 n前项个和数 :Sn为列 p2 nq n r 其p中、 q、 r为常数 p， 0,那且么这a 个 n一数定列是的等
当 n 1 时 a n S n S n 1 ， ( n 2 1 2 n ) [ n 1 ) 2 ( 1 2 ( n 1 ) 2 n ] 1 2
当 n1 时a 1， S 12 3 满a 足 n2n1 2
所以a数 n的列通项公 an2 式 n1 2为：由此题,如何通过数列 an是以 23为首2项为，公差的等差数数列列前。 n项和来求
能不能把一此般结情论 an 况推为：广等如到差
sk,s2ksk,s3ks2k也成等差 k Z)数列。
公差为原来公差的k 2倍
本节课学习的主要内容有： 1、如何利用数列的前n项和求通项公式
2、等差数列前n项和最值求解
3、等差数列简单性质.
2.已知 an 1024lg21n， (lg20.301)， 0nN,问：
1、利Sn用：Snd2n2(a1d2)n.借助二次函数最 2、利 an：用借助a通 n的项正公负式 n情项S况和 n的与变化情 an0况且 an1 ， 0
二 . 等 a 差 n 的 a 1 数首 0 ,公 d 列 0 时项差前n项，和Sn有最小值
1、利Sn用：Snd2n2(a1d2)n.借助二次函数最 2、利 an：用借助a通 n的项正公负式 n情项S况和 n的与变化情 an0况且 an1 ， 0

《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n

等差数列的前n项和 -PPT课件

(2) an Sn Sn1 ，n≥2； (3)验证 S1 a1 ,是否满足上式的 an
课堂小结
知识上： 1，已知 Sn ，求 an ； 2，求 Sn 的最值问题思想方法上：
运用了函数的思想方法
当堂检测
1，
an
3 2n
n 1
n2
2，当 n 7时，Sn 取得最大值，Sn 77
作业Байду номын сангаас
课本第45页2,3题
∵ 当n=11时，a11 0
∴ 当n=10或者n=11时取的最小值
由公式解得
Sn
na1
nn 1d
2
S10 S11 110
探究展示二
已知数列 an 的前n项和为 Sn ，
Sn n2 2 ,求这个数列的通项公
式。第一组展示
第八组点评
解：由题意可知 Sn n2 2
∴ Sn1 n 12 2 n 2
Sn1 n2 2n 3 n 2
an Sn Sn1 n 2
an n2 2 n2 2n 3 n 2
an 2n 1 n 2
当 n 1 时 S1 a1 3 不符合上式
∴数列 an 的通项公式为
a 3 n 1
n
2n 1 n 2
归纳提升
等差数列前n项和的最值问题有两种方法
谢谢大家！
(2)问题1缺少n≥2,关系式没写出来 (3)问题2的第3问存在问题比较多，
探究展示一
已知等差数列 an ，a1 20, d 2
求当n为何值时 S n 取得最小值,并求
出最小值为多少.
第三组展示
第六组点评
解：由题意可知 a1 20, d 2 得等差数列 an
为递增数列

等比数列的前n项和_优质PPT课件

条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为( )

等差数列前n项和的公式 PPT

(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855）德国著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？
一二
4+10=14 5+9=14
三四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答：等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件

等差数列的前n项和课件

(2)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1. ∵a1＝1不适合an＝2·3n－1.
∴an＝12·3n－1
n＝1， n≥2.
[点评] 利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an 时，要注意a1是否也满足由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式来表示．
nn－1
2
d
.
类型一等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
Hale Waihona Puke 009a1＋a2 2009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
[分析] 本题是考查前n项和Sn与an之间关系的问题，

等差数列前n项和PPT优秀课件

n 个 2 S （ a a ) （ a a ) （ a a ) n 1 n 1 n 1 n
n （ a a ) 1 n
n （ a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n （ a 1 a n) S n 2 n （ n 1 ) S na d n 1 2
解：由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课堂小练
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得： n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得： ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2

第四节数列求和课件(共48张PPT)

－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式；（2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋（ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1.公式法：直接运用等差数列、等比数
列求和公式
归纳：公式法： (1)判断是__否__是__等_差__或__等__比__数_列_________ (2)运用求_和__公__式__，_等__比__时__注__意_q_是__否__为__1_ (3)化简结果。
2.裂项相消法：将数列的通项分解成两项
之差，正负相消剩下首尾若干项。
24 8
8

3n 4 2n1
5. 倒序相加法：适用于首末两端等“距
离”的两项的和相等或等于同一常数的数列例5 求和：
12
12 102

22 22 92

32 32 82

102 102 12
.
5. 倒序相加法：适用于首末两端等“距
离”的两项的和相等或等于同一常数的数
THANK YOU
2019/7/30
3.分组求和法：把通项分解成几项，从而
出现几个等差数列或等比数列进行求和
例3(1)已知数列{an}的通项为 an = 2n + 2n
– 1,求该数列前n项的和S．n=2n+1+n2-2
例3(2)求数列数列的和
1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22+…+2n-1)
练习：
(1)1 1 1
1

1 2 1 23
1 2 3 ... n
(2) 1 1
1

1 2 2 3
n n 1
22 (3)

42

(2n)2

13 35
(2n 1)(2n 1)
正本：
课外思考题： 1、
2、
3.an
1 1

n
1
2

3 4

2

n
2n
1
3 n

2
.
例4：已知等差数列an满足：a3 7, a5 +a7 26,
an的前n项和为Sn
(1)求an和Sn
（2）令bn

an
1 2
1
,
求数列bn
的前n项和Tn
2.裂项相消法：将数列的通项分解成两项
之差，正负相消剩下首尾若干项。
练习：求Sn
11 3

2
1 9

3
1 27

(n

1 3n
)
变形1：Sn=7+77+777+…+7 7… 7． n
变形2：Sn=0.9+0.99+0.999+…+0. 9 9… 9 n
总结：①求和先看这是什么数列； ②再看求几项的和； ③把通项公式分解为几个熟悉的数列．
4.错位相减法：
5
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1)
在等差数列 an 中，a1 3, d 2, Sn
是其前n项的和，求：S 1 1 1
解：
S1 S2
Sn
Sn

3n
n(n 1) 2
2

nn

2
1 Sn

1
nn 2

1 2

1 n

1 n 2
归纳：
错位相减法：
(1)特征：等差、等比相乘或相除得到的新数列；
(2) 步骤：① 写Sn；②算qSn ； ③错位相减
(1)Sn

1 a

3 a2

5 a3

2n 1 an
(2)Sn

1 2

2 4

3 8

n 2n
变式：
数列1,4 1 ,7 1 ,10 1 ,..的 . 前n项的和为
当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn} 或 {an / bn} 的前n项和适用错位相减法.
例4(1) 求 1 2 2 22 3 23 n2n
例4(2) 求数列1, 3a, 5a2, 7a3, ,(2n 1)an1
的和。
4.错位相减法：
当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn} 或 {an / bn} 的前n项和适用错位相减法.
列
例6
设f
(x)

4x 4x
，求和 2
S f ( 1 ) f ( 2 ) ... f ( 2001)
2002
2002
2002
6. 并项求和法：将相邻n项合并为一项求
和例7 求和：
1002 992 982 972 22 12
例8 求和：
等比数列求和公式：
Sn

a1
(1

q
n
)
1q
(q
1)
或Sn

a1 an q 1 q
(q 1) .
na 1 (q 1)
na 1 (q 1)
1.公式法：直接运用等差数列、等比数
列求和公式
例1
若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn

3 2
an
-3，

S 1 1 1
S1 S2
Sn
=
1 2
1
1 3

1 2

1 4

1 3

1 5

n
1
2

1 n

1 n 1

1 n 1

1 n

n
1
2

=
1 2
1

1 2

n
回顾：等差数列与等比数列的求和方法
1.等差数列的前n项和公式是采用
_倒__序__相_加__法__推导的，
2.等比数列的前n项和公式是采用
_错__位__相_减__法__推导的.1.公式法：直接运来自等差数列、等比数列求和公式
等差数列求和公式：
Sn

n(a1
2
an
)
或 Sn

na1

n(n 1)d 2
则数列的前n项和Sn等于( A )
A.3n1 3 B.3n 3 C.3n1 3 D.3n 3
变：求数列1，3+4，5+6+7,7+8+9+10，
9+10+11+12+13,…前n项和
。
变式：数列1,4 1 ,7 1 ,10 1 ,..的. 前10项的和为
24 8
答案：145551112
，求前n项和
归纳：常见裂项公式
(1) 1 n(n 1)
(2) 1 n(n k)
(3)
1

(2n 1)(2n 1)
(4) 1 a b
1 1 n n 1
1 k

1 n

n
1
k

1 2

1 2n 1

1 2n 1

1 a b
ab
SUCCESS
例2 求和：1 1 1
1 2 23
n(n 1)
改式1：求和：1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 n(n 2)
变式2：求和：1 1 1
1
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1)
变式3：求和：5 5 5