过程设备设计%20计算题答案[1]

又,对于圆锥壳, 第一曲率半径 R1 ， 第二曲率半径 R2 x tan 。 据 Laplace 公式， 有

pR2 x tan pc g ( H R cot x cos ) t t
据极值条件,易知：在 x x0
pc g H R cot 处，周向应力 有最大值 2 g cos
计算题 2.11 解：该圆平板的抗弯刚度为：
D
Et 3 2 105 383 ＝ 1004981685 MPa·mm3 2 2 12 1 12 1 0.3
对于周边固支、承受横向均布载荷的圆平板，其最大挠度出现在圆平板中心，其值为：
f wmax
pR 4 3 5004 ＝2.92mm 64 D 64 1004981685
0
x
2 sin 2 [ pc g ( H R cot )]x 2 / 2 g cos x 3 / 3
代入区域平衡方程
V V ' 2 xt sin cos
即
2 sin 2 [ pc g ( H R cot )]x 2 / 2 g cos x 3 / 3 2 xt sin cos
化简上式并代入相应的值，得
K
2 pi Ro
wo E
1

2 0.3 36 490 1
0.365 2 10 5
＝ 1.188
因此，据拉美公式，可得该圆筒内外壁面处应力
i pi K 2 1 36 1.188 2 1 211 .0M P a
z tan 。M 点所在截 cos
p pc g ( H R cot z )
据 Laplace 公式，有

pR2 z tan pc g ( H R cot z) t t cos
据极值条件,易知：当 z z0 (
pc H R cot ) / 2 时，周向应力 有最大值 g

计算题 2.9
max

R pc g H R cot / 3 2t cos
解：据拉美公式，易知圆筒外壁处径向应力为零，即
o 0
外壁处径向位移为 wo ，据变形几何关系，可得外壁处的周向应变为
o
Ro wo d Ro d
据此可得

tan 6t
3[ p
c
g ( H R cot )]x 2 g cos x 2
据极值条件,易知：在 x x0
3[ pc g ( H R cot )] 处，经向应力 有最大值 4 g cos
( )max
Di2 p = D
由此得

pD 4 pD t <= [ ] 4
由强度理论知 用D

K 1 K 1 Di ， Di 代入上式，经化简得 2 2
p
K 1 [ ]t 2(k 1)
由上式可得

pc Di 4[ ]t pc
计算题 2.8 解：锥壳上任意一点 M 处所承受的内压力为
即，对于该圆筒而言，其爆破压力 pb 远大于临界压力 pcr 。
计算题 2.6 解：据 Huggenberger 公式，椭球壳短半轴顶点 x 0 处应力为

pa 2 2tb
对于标准椭圆形封头，a/b＝2，即，b＝500/2＝250mm，故
p
2tb 2 10 250 50 1( MPa) a2 500 2
计算题参考答案
计算题 2.1 解：对于中面半径为 R 的圆柱壳，第一曲率半径 R1 ，第二曲率半径 R2 x tan , 代入 Laplace 方程，可得周向应力

pR t pR 2t
……①
据区域平衡方程,可得经向应力

……②
由①②两式知,圆柱壳体中在外载荷作用下所产生的周向应力和环向应力均与壳体材料力学 性能无关。
p pc g ( H R cot x cos )
在 M 点以下的壳体上，由于内压力 P 作用而产生的总轴向力为
V 2 prdr
0
rm
代入 r x sin 和 dr sindx ，得
V 2 sin 2 [ pc g ( H R cot x cos )]xdx
即，压力表 A（指示数为 1MPa）正常，压力表 B（指示数为 2MPa）已失灵。
计算题 2.7 如下图所示
答：因为球形载荷对称分布，
根据平衡条件，其轴向受的外力

4
Di2 p 必与轴向内力 D 相等。对于薄壳体，可近似
认为内直径 Di 等与壳体的中面直径 D。

4
其最大正应力为支承处的径向应力，其值为：

f r maxຫໍສະໝຸດ 3 pR 2 3 3 500 2 ＝389 .54 MPa 4t 2 4 38 2
3tan [ pc g ( H R cot )]2 16 gt cos
若 x0 R / sin ,则在 x R / sin 处 有最大值

max

R pc g H R cot / 3 2t cos
代入区域平衡方程
2 rt cos r 2 pc g H R cot z G

r pc g H R cot 2 z / 3 2t cos z tan pc g H R cot 2 z / 3 2t cos
据极值条件,易知：在 z z0
3 pc / g ( H R cot ) 4
处，经向应力 有最大值
( ) max
3 tan pc g ( H R cot ) 16 gt cos
2
若 z0 R cot ，则在 z R cot 处 有最大值
2
max
tan pc g H R cot 4 gt cos
若 x0 R / sin ,则在 x R / sin 处 有最大值
max
R pc gH t cos
方法二: 如图沿 M 点所在水平面切开,锥顶到 M 点所在水平面的距离为 z ,以 M 点以下錐体为 研究对象。对于圆锥壳，第一曲率半径 R1 ，第二曲率半径 R2 面处的压力
计算题 2.3 解：据 R.V.Southwell 提出的短圆筒临界压力简化计算公式：
4 Et R / nL t2 2 pcr n 1 ……① 2 R n2 1 12 1 dp 2 2 令 cr 0 ，并取 n 1 n ，可得与最小临界压力相应的波数 dn
pcr钢 pcr铝
2.42 2 105
4
1 0.3
4
2 3
t2 5.19 105 t 2 LD D / t LD D / t t2 1.82 105 t 2 LD D / t LD D / t
2.42 0.7 105
1 0.3
2 3
pcr铜
2.42 1.1105
a2 a2 4x2 2 R2 x 4 2
由薄膜应力计算公式得：

pR2 p a 2 4 x 2 2t 4t
R2 p a 2 4 x 2 R1 4t a2 2 a2 4x2
2
A 点应力：x=0 时， A A
ro 0M P a
计算题 2.10 解： y '
2 x a 2 y '' a
3/ 2
1 y ' 2 R1 '' y
tan x l
1 2 2 x2 a2 4x2 2 a
tan y '
故l
2 x a
a 2
pa 1 800a 16.67a (MPa ) 4t 4 12
B 点应力：x=a 时， A
5 pa 5 1 800a 37.27a （MPa)， 4t 4 12
B
9 5 pa 9 5 1 800a 67.08a （MPa） 20t 20 12
计算题 2.4 解：承受周向压力时，内径为 1000mm，厚度为 10mm 圆筒的临界长度
Lcr 1.17 D
D 1000 1.17 1000 11700mm t 10
由于 Lcr L 20m ，所以该外压圆筒为长圆筒，其临界压力
t 10 pcr 2.2 E 2.2 2 105 0.44MPa D 1000
n
7.40 1 2
4
L t D D
2 2
2
……②
将②代入①，仍取 n 1 n ，得到包含μ 的短圆筒最小临界压力近似计算式
pcr
4
2.42 Et 2
1 LD
2 3
D/t
在几何尺寸相同的情况下，三个承受周向外压短圆筒的临界压力分别为
此时，临界应力
3
3
……①
cr
pcr D 0.44 1000 22MPa s tp 2t 2 10
即，①式是适用的。 该圆筒承受内压时，其爆破压力
pb
2 2 245 1020 s 2 s ln K 245 2 7.77 MPa ln b 400 1000 3 3