2012中考冲刺训练——四边形综合题
2012年四边形中考题
四边形1． 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3 B ．3.5 C ．2.5 D ．2.8 .. 2． 如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（ ）A ．（2，2-） B ．（2-，2） C ．（ D ．（3，3-）3． 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG 的面积之比为（ ）A ．9：4B ．3：2C ．4：3D ．16：94． 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ ）A12厘米 B ． 16厘米 C ． 20厘米 D ． 28厘5． 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）AB ． 2C ． 3D ．6． 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ） A ． 8B ． 4C ． 8D ． 67． 如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于（ ） A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48． 点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A ． 75B ． 60°C ． 45°D ． 30°9． 如图（3）所示，矩形纸片A B C D 中，6A B cm =，8BC cm =，现将 沿E F 对折，使得点C 与点A 重合，则A F 长为（ ）A. 258cmB. 254cmC. 252cmD. 8cm10． 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形11． ）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是（ ）A ． 7B ． 8C ． 9D ． 1012． 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x 轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x 轴的距离是（ D ． ）D(C)AB CE FD图（3）A．B．C．D．二.填空题1．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是．2. 如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4 ②S2+S4= S1+ S3③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.3．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
【备战2012】中考数学 四边形精华试题汇编(300套) 人教新课标版
备战2012中考：四边形精华试题汇编（300套）一、选择题1.（某某市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等C.在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等答案：B2.（某某市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A3.（某某市秀洲区模拟）把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=︒，则∠1=（ ） A.50° B .55° C .60° D .65° 答案 A4.（2010学年度某某市九年级复习备考数学测试试卷16）如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABEADC S S ∆∆=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ）A ．①②④B. ②③④C ．①③④D ．①②③④（第3题图）1EF答：D5.（2010年某某市中考模拟数学试题（26））已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ）A. ①②③④B.①②C. ①③D.①②④ GFEDCBA答：D6.（2010年某某市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB＝4 BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AF 、GD 所夹的锐角为45°；③；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4.其中正确的结论个数有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个MH GF ED CBA答：DＡＢＥＯＤＣ第4题图14ABCD S7．（2010年某某二模）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A ．50°B．55°C．60°D．65° 答案：A8.（2010年某某二模）．把长为8cm ，宽为2cm 的矩形按虚线对折，按图中的斜线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）A ．)13210(+cmB ．)1310(+cmC ．22cmD ．18cm 答案：A9.（2010年某某中考模拟试卷）一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是( )A 正三角形B 正四边形C 正五边形D 正六边形 答案：B10.（2010年某某中考模拟试卷6）如图将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝600，则∠CFD ＝（ ） A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 答案：B11．(2010年青浦区)下列命题中真命题是 （ ） A.有一组邻边相等的四边形是菱形；B.四条边都相等的四边形是菱形；．答案：B12.(2010年青浦区)边长为2的正六边形的边心距为 （ ） A.1；B.2；C.33．答案：C13.（2010年某某市中考模拟）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若∠1=50︒，则∠AEF = ( )A ．110︒B ．115°C ．120°D ．130°答案：B14.（2010年普陀区中考模拟）两条对角线互相垂直平分的四边形是 （ ）. A.等腰梯形；B.菱形；C.矩形； D.平行四边形. 答案：B15.（2010 浦东新区中考模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，a AB =，b AD =，那么ba 2121+等于 （ ） A.AO ；B.AC ；C.BO ；D.CA ． 答案：A16.（2010静安区模拟）下列命题中，真命题是 （ ） A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 答案：A17．（2010某某模拟）如图，已知正方形ADBF ，点E 在AD 上，且ABCDO （第15题∠AEB=0105，EC//DF 交BD 的延长线于C ，N 为BE 延长线上一点，BN 交AC 于M ，且CE=2MN ，连结AN 、，下列结论：①AC ⊥BN ； ②△NCE 为等边三角形；③BF=2AM ；④BE+2DE=DF ，其中正确的有：（ ） A 、①②③ B 、①②④C 、①③④D 、②③④答案：B18．（2010某某模拟）如图，正方形ABCD ，以D 为圆心，DC 为半径画弧与以BC 为直径的⊙O 交于点P ，⊙O 交AC 于E ，CP 交AB 于M ，延长AP 交⊙O 于N ，下列结论：①AE=EC ；②PC=PN ；③EP ⊥PN ；④ON//AB 。
中考数学复习《四边形》专题综合训练题含答案试卷分析解析
届初三数学中考复习 四边形 专题复习综合训练题1. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点(点M 不与B 、C 重合)，CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连结OM 、ON 、MN .下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等A ．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B ．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连结EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( )A ．4B ．4 6C ．47D ．286．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D.37. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF8. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____，面积是____．9. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于____cm.10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是____．11. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5 cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝____cm.12. 如图：在ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.13. 已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。
(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《四边形的综合》专题训练(含答案解析)
《四边形的综合》专题训练一．选择题1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AO＝CO B．AD＝BC，AO＝OCC．AD＝BC，CD＝AB D．S△AOD＝S△COD＝S△BOC2．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AD于点E，sin D＝，AE＝2，则AC的长为（）A．8B．2C．2D．23．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A ＝134°，则∠BEC的大小为（）A．23°B．28°C．62°D．67°4．在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC 向右平移得到△DEF．若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离等于（）A．2B．3C．2D．46．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，将这个纸片沿直线DE剪去一个角后变成一个四边形ABED，则图中∠1+∠2的度数为（）A．180°B．90C．270°D．315°7．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（2，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O 逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020次旋转结束时，点F2020的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，﹣2）8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD 于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1B．C．2D．9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（）A．2B．C．2D．411．如图，已知菱形ABCD的顶点A（0，﹣1），∠DAC＝60°．若点P从点A 出发，沿A→B→C→D→A…的方向，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标为（）A．（2，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（0，1 ）12．如图，点M是矩形ABCD的边BC，CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP．若AB＝6，AD＝4，则DP的长的最小值为（）A．2B．C．4D．5二．填空题13．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O）为60°，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是．14．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为．15．如图，▱ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE、DE，若AE＝AD，ED ＝EC＝6，tan∠DEC＝2tan∠C，则AE的长为．16．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是AB边上的一点，且AM＝2，点P在矩形ABCD所在的平面上，且∠BPD＝90°，则PM的最大值为．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝a，点E，F在对角线BD上，且∠ECF＝∠ABD，将△BCE绕点C旋转一定角度后，得到△DCG，连接FG．则下列结论：①∠FCG＝∠CDG；②△CEF的面积等于；③FC平分∠BFG；④BE2+DF2＝EF2；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三．解答题20．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3．动点P从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA匀速向终点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB匀速向终点B运动，以PC、PQ为邻边构造平行四边形PQMC，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．（1）求线段AB的长．（2）当PQ与△ABC的边平行或垂直时，求t的值．（3）设平行四边形PQMC与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式．（4）以PC为边向左侧做正方形PCEF，当正方形PCEF和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t的取值范围．22．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG 的顶点C重合，点E在对角线AC上．【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为．23．问题探究：（1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是三角形．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：△ABC的面积．问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC ＝60°，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN 在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不存在，请说明理由．24．【感知】如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，连结MN，易证：MN＝（AB+BC+AC）（不需要证明）．【探究】如图②，若BD、CE分别是△ABC的两个内角的平分线，且AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，连结MN．试猜想MN与边AB、AC和BC之间的数量关系，并证明你的结论．【应用】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，射线BE平分∠ABC，AM⊥BE于点M，连结MD，延长BC至F，若∠DCF＝∠ACD＝75°，AB＝2，直接写出MD的长度．参考答案一．选择题1．解：若∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，且AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△COB（AAS）∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；若AD＝BC，CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；若S△AOD＝S△COD＝S△BOC，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；故选：B．2．解：∵sin D＝，设EC＝4x，CD＝5x，由勾股定理可得：ED＝，∵菱形ABCD，∴AD＝CD，即AE+ED＝CD，可得：2+3x＝5x，解得：x＝1，∴AD＝DC＝5，由勾股定理可得：AC＝，故选：D．3．解：∵菱形ABCD，∠A＝134°，∴∠ABC＝180°﹣134°＝46°，∴∠DBC＝，∵CE⊥BC，∴∠BEC＝90°﹣23°＝67°，故选：D．4．解：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∵▱ABCD的周长为20cm，∴AD+DC＝10cm，∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，故选：D．5．解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝3，∴AB＝＝＝3，∵将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．∴AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵四边形ACFD的面积等于6，∴CF×AB＝6，故选：A．6．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠A+∠B+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故选：C．7．解：∵点B（2，0），∴OB＝2，∴OA＝2，∴AB＝OA＝2，∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB＝2，∴点F（2，2），由题意可得每次8旋转一个循环，∴2020÷8＝252…4，∴点F2020的坐标与点F坐标关于原点对称，∴点F2020的坐标（﹣2，﹣2）故选：D．8．解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，∵EF⊥AC，设DE＝x，则CE＝AE＝6﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝；故选：D．9．解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB＝BC，BE＝AB，∴tan A＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝2CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，∴AE＝a，EF＝a，tan∠CFE＝2，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；∵BC＝CD，BC＝2CE＝4CF，∴CF＝CD，故③错误；作EG⊥AF于点G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG+GF，∴AF＝AB+CF，故④正确，由上可得，②④正确，正确的个数为2，故选：B．10．解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，∴AC＝2，∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝，∴OP′＝1，当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值＝2OP′＝2．故选：A．11．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，OD＝OB，AC⊥BD，∵A（0，﹣1），∴OA＝1，在Rt△AOD中，∵∠AOD＝90°，∠DAC＝60°，∴∠ADO＝30°，∴OD＝OA＝，AD＝2OA＝2，∴OB＝，∴B（，0），∵点P的运动速度为0.5单位长度/秒，∴从点A到点B所需时间＝＝4（秒），∴沿A→B→C→D→A所需的时间＝4×4＝16（秒），∵＝126…4，∴移动到第2020秒和第4秒的位置相同，当P运动到第4秒时点P在点B处，即点P的坐标为（，0），故选：B．12．解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝AB＝3，OD＝＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．二．填空题（共7小题）13．解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝a，EB＝2a，则AB＝a，∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，∴∠ECB＝180°，∴E、C、B共线，在Rt△AEB中，sin∠ABC＝＝＝．故答案为：．14．解：由题意得：正八边形的每个内角都等于135°，正五边形的每个内角都等于108°，故∠BAC＝360°﹣135°﹣108°＝117°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣117°）÷2＝31.5°．故答案为：31.5°．15．解：过点A作AN⊥BC于N，过点D作DF⊥BC于F，如图所示：则四边形ADDFN是矩形，∴AN＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠C＝∠ABN，在△ABN和△DCF中，，∴△ABN≌△DCF（AAS），∴BN＝CF，∵tan∠DEC＝2tan∠C，∴＝2，∴FC＝2EF，∵EC＝6，∴EF＝2，FC＝4，∴AN＝DF＝＝＝4，设AE＝AD＝BC＝x，则BE＝x﹣6，NE＝4+x﹣6＝x﹣2，在Rt△AEN中，AN2+NE2＝AE2，即（4）2+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝9，∴AE＝9，故答案为：9．16．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°∴tan∠ACB＝，∴BC＝＝AD，如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴△EBF∽△ECH，∴，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴tan∠ABD＝，∴AD＝3，故答案为：3或．17．解：∵A（，0），∴OA＝，∵四边形OADB是平行四边形，∴BD＝OA＝，BD∥OA，∵B（1，1），∴D（+1，1），故答案为：（+1，1）．18．解：如图，连接BD，以BD为直径作⊙O，则点P在⊙O上，作OE⊥AD 于E，连接OM，PM，OP．∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝4，∵OB＝OD，AE＝DE，∴OE＝AB＝3，∵AM＝2，∴EM＝AE﹣AM＝2，∴OM＝＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝8，∴BD＝＝＝10，∴OP＝OB＝OD＝5，∵PM≤OM+OP，∴PM≤+5，∴PM的最大值为+5，故答案为+5．19．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECF＝∠ABD＝45°，∴∠BCE+∠FCD＝45°，∵将△BCE绕点C旋转一定角度后，得到△DCG，∴∠CBE＝∠CDG＝45°，BE＝DG，CE＝CG，∠DCG＝∠BCE，∴∠FCG＝∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠CDG＝45°，故①正确，∵EC＝CG，∠FCG＝∠ECF，FC＝FC，∴△ECF≌△GCF（SAS）∴EF＝FG，∠EFC＝∠GFC，S△ECF＝S△CFG，∴CF平分∠BFG，故③正确，∵∠BDG＝∠BDC+∠CDG＝90°，∴DG2+DF2＝FG2，∴BE2+DF2＝EF2，故④正确，∵DF+DG＞FG，∴BE+DF＞EF，∴S△CEF＜S△BEC+S△DFC，∴△CEF的面积＜S△BCD＝，故②错误；故答案为：①③④三．解答题（共5小题）20．证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）如图，∵AB＝8，AF＝AE＝EC＝10，∴BE＝＝＝6，∴BC＝16，∴AC＝＝＝8，∵AO＝CO，∠ABC＝90°，∴BO＝AC＝4．21．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6；（2）当PQ⊥AB时，∵∠BAC＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠APQ＝90°﹣∠BAC＝30°，由题意得：AQ＝2t，PC＝t，∴AP＝3﹣t，∴3﹣t＝2×2t，解得：t＝；当PQ∥BC时，∠AQP＝∠ABC＝30°，∠APQ＝∠ACB＝90°，∴AQ＝2AP，∴2t＝2（3﹣t），解得：t＝；综上所述，当PQ与△ABC的边平行或垂直时，t的值为秒或秒；（3）分两种情况：①当0＜t≤时，作QG⊥AC于G，如图1所示：则AG＝AQ＝t，QG＝AG＝t，∴S＝平行四边形PQMC＝PC×QG＝t×t＝t2；即S＝t2（当0＜t≤）②当＜t≤3时，如图2所示：∵四边形PQMC是平行四边形，∵PC⊥BC，∴QM⊥BC，∵∠ABC＝30°，∴QH＝BQ＝（6﹣2t）＝3﹣t，∴S＝直角梯形PCHQ的面积＝（3﹣t+t）×t＝t；即S＝t（＜t≤3）；（4）分两种情况：①当PQ∥BC时，正方形PCEF和平行四边形PQMC重叠部分的图形是正方形PCEF，轴对称图形，如图3所示：则∠AQP＝∠ABC＝30°，∠APQ＝∠ACB＝90°，AQ＝2AP，∴2t＝2（3﹣t），解得：t＝；②当正方形PCEF和平行四边形PQMC重叠部分的图形是等腰直角△CPF 时，是轴对称图形；则∠CPF＝45°，作QD⊥AC于D，如图4所示：则AD＝AQ＝t，QD＝AD＝t，∵PQ∥CM，∴∠QPD＝45°，∴△QPD是等腰直角三角形，∴PD＝QD＝t，∵AD+PD+∠PC＝AC，∴t+t+t＝3，解得：t＝6﹣3；综上所述，当正方形PCEF和平行四边形PQMC重叠部分的图形是轴对称图形时，t的取值为或6﹣3．22．【问题发现】解：AE＝BF，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，∴∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE＝CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴＝＝，∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；【类比探究】解：上述结论还成立，理由如下：连接CE，如图2所示∵∠FCE＝∠BCA＝45°，∴∠BCF＝∠ACE＝45°﹣∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，CE＝CF，CA＝CB，∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴＝＝，∴AE＝BF；【拓展延伸】解：如图3所示：连接CE交GF于H，∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，∴AB＝BC＝4，AC＝AB＝4，GF＝CE＝CF，HF＝HE＝HC，∵点F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，GF＝CE＝2，HF＝HE＝HC＝，∴AH＝＝＝，∴AG＝AH+HG＝+；故答案为：+．23．解：（1）如图1中，△OP1P2是等腰直角三角形．理由：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠EAC＝∠BAC＝15°，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝15°，∴∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，设CD＝BD＝x，则EC＝EA＝2x，DE＝x，∵AD＝2+，∴2x+x＝2+，∴x＝1，∴BC＝2CD＝2，∴S△ABC＝•BC•AD＝×2×（2+）＝2+．（3）如图3中，不存在．理由：∵点P关于AB，BC的对称点分别为M，N，∴PB＝BM＝BN＝10，∠PBA＝∠ABM，∠PBC＝∠CBN，∵∠ABC＝60°，∴∠MBN＝2（∠ABP+∠PBC）＝120°，∴△BNM是顶角为120°，腰长为10的等腰三角形，∴MN为定值，∵PM+PN≥MN，∴当点P落在AB或BC上时，PM+PN＝MN＝定值，此时△PMN不存在，∴△PMN的周长不存在最小值．24．解：【感知】如图①中，设AN的延长线交BC的延长线于K，AM的延长线交CB的延长线于J．∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMJ＝90°，∵∠ABM＝∠JBM，∠ABM+∠CAM＝90°，∠JBM+∠J＝90°，∴∠BAM＝∠J，∴BA＝BJ，同法可证：CA＝CK，∴AM＝MJ，AN＝NK，∴MN＝JK＝（JB+BC+CK）＝（AB+BC+AC）．【探究】如图②中，结论：MN＝（AB+AC﹣BC）．理由：延长AM交BC于F，延长AN交BC于G．∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMJ＝90°，∵∠ABM＝∠FBM，∠ABM+∠BAM＝90°，∠FBM+∠BFM＝90°，∴∠BAM＝∠BFM，∴BA＝BF，同法可证：CA＝CG，∴AM＝MF，AN＝NG，∴MN ＝FG ＝（BF+CG﹣BC ）＝（AB+AC﹣BC）．【应用】如图③中，延长AM交BC于J，延长AD交BC的延长线于K．由题意∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠DCF＝30°，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4，BC ＝AB＝2，同法可证DM JK ＝（AC+BC﹣AC ）＝（4+2﹣2）＝1+．- 31 -。
人教版数学中考冲刺压轴题《四边形综合》专题训练
中考数学压轴题强化训练：四边形综合1、如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点 F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．2、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：B M=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．5、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(l)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．(2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2cm，BC＝5cm，量得木条CD＝5cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）．(3)若固定一根木条 AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条 CD ＝ 5cm ．如果木条 AD ， BC的长度不变，当点 D 移到 BA 的延长线上时，点 C 也在 BA 的延长线上；当点 C移到 AB 的延长线上时，点 A ，C ，D 能构成周长为 30cm 的三 角形，求出木条 AD ， BC 的长度．6、如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处。
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB=6，AC=10，求四边形 AECF 的面积。
中考数学总复习《四边形》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《四边形》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题：1.如图，在▱ABCD中AB=5,AD=3√ 2,∠A=45°．(1)求出对角线BD的长；(2)尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕.(不写作法，保留作图痕迹)2.如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧AE=BD,BE=CD．(1)求证：△ABE≌△BCD；(2)连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形．3.如图，在矩形ABCD中BE⊥AC,DF⊥AC垂足分别为E、F.求证：AF=CE．4.如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；(2)若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．5.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF=CE．6.如图A、D、B、F在一条直线上，DE//CB，BC=DE，AD=BF．(1)求证：△ABC≌△FDE；(2)连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．7.如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．8.操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.连结AN，易知△ABN的形状是______．论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．9.如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；(2)若□AMCN的面积为4，求□ABCD的面积．10.如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=√ 2AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．游戏1折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G.展开后得到图①，发现点F恰为BC 的中点．游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H 处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．11.如图，在□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．12.如图，在▱ABCD中BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．(1)求证：BE//DG，BE=DG；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积．13.如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．(1)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形?请说明理由．14.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m(如图)．(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？15.如图，矩形ABCD中AB=4，AD=3点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM=AB；(2)当AE=3√ 2时，求CF的长；(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．16.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．(1)求证：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．17.在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形______“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图在四边形ABCD中边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=4√ 2OA=5BC=12连接AC求AC的长；(3)在四边形EFGH中EH//FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”求OF的值．OG18.如图1矩形ABCD中AB=5AD=3将△ABC绕点A旋转到△AB′C′位置设AC′交直线CD于点M．(1)当点B′恰好落在DC边上时求△AB′C′与矩形ABCD重叠部分的面积；(2)如图2当点C B′C′恰好在一直线上时求DM的长度．19.操作：第一步：如图1对折长方形纸片ABCD使AD与BC重合得到折痕EF把纸片展开．第二步：如图2再一次折叠纸片使点A落在EF上的N处并使折痕经过点B得到折痕BM同时得到线段BN.连接AN(1)易知△ABN的形状是______．(2)论证：如图3若延长MN交BC于点P试判定△BMP的形状请说明理由．答案和解析1.【答案】解：(1)如图所示连接BD过D作DH⊥AB于H∵∠A=45°∠AHD=90°∴∠ADH=45°=∠A∴△ADH是等腰直角三角形又∵AD=3√ 2∴AH=DH=3∴BH=AB−AH=5−3=2∴Rt△BDH中BD=√ 32+22=√ 13；(2)如图所示AG即为所求．【解析】(1)连接BD过D作DH⊥AB于H依据等腰直角三角形以及勾股定理即可得到BD的长；(2)以A为圆心AB的长为半径画弧交CD于E；分别以B E为圆心适当的长为半径画弧两弧交于点F；作射线AF交BC于G则AG即为折痕．本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键．2.【答案】证明：(1)∵B是AC的中点∴AB=BC在△ABE与△BCD中{AE=BD BE=CD AB=BC,∴△ABE≌△BCD(SSS)；(2)∵△ABE≌△BCD∴∠ABE=∠BCD∴BE//CD∵BE=CD∴四边形BCDE为平行四边形．【解析】(1)根据线段中点的定义得到AB=BC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠BCD根据平行线的判定定理得到BE//CD根据平行四边形的判定定理即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质平行四边形的判定熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD AB//CD∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC DF⊥AC∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE．【解析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF可得AE=CF即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定与性质熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．4.【答案】解：(1)∵点E F G H分别是平行四边形ABCD各边的中点∴AH//CF AH=CF∴四边形AFCH是平行四边形∴AM//CN同理可得四边形AECG是平行四边形∴AN//CM∴四边形AMCN是平行四边形；(2)如图所示连接AC∵H G分别是AD CD的中点∴点N是△ACD的重心∴CN=2HN∴S△ACN=23S△ACH又∵CH是△ACD的中线∴S△ACN=13S△ACD又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线∴S平行四边形AMCN =13S平行四边形ABCD又∵▱AMCN的面积为4∴▱ABCD的面积为12．【解析】(1)依据四边形AFCH是平行四边形可得AM//CN依据四边形AECG是平行四边形可得AN//CM进而得出四边形AMCN是平行四边形；(2)连接AC依据三角形重心的性质即可得到S△ACN=23S△ACH再根据CH是△ACD的中线即可得出S△ACN=13S△ACD进而得到S平行四边形AMCN=13S平行四边形ABCD依据▱AMCN的面积为4即可得出结论．本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．5.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD AB=CD∵点E F分别是边AB CD的中点∴AE=CF又∵AE//CF∴四边形AECF是平行四边形∴AF=CE．【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质灵活运用平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质可得AB//CD AB=CD由中点的定义可得AE=CF即可证四边形AECF是平行四边形进而可证明AF=CE．6.【答案】证明：(1)∵AD=BF∴AD+DB=DB+BF∴AB=FD∵DE//CB∴∠ABC=∠FDE∵BC=DE∴△ABC≌△FDE(SAS)(2)如图：由(1)知△ABC≌△FDE∴∠CAB=∠EFD AC=EF∴AC//EF∴四边形ABCD为平行四边形．【解析】(1)由SAS可证△ABC≌△FDE；(2)结合(1)用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．7.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD AB//CD∴∠ABD=∠CDB在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知△ABE≌△CDF∴AE=CF∠AEB=∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE//CF∵AE=CF AE//CF∴四边形AECF是平行四边形．【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质全等三角形的判定和性质掌握平行四边形的对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD AB//CD根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB利用SAS 证明△ABE≌△CDF；(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF∠AEB=∠CFD推出∠AEF=∠CFE根据平行线的判定定理证明AE//CF再根据平行四边形的判定定理证明结论．8.【答案】解：操作：如图2∵直线EF是AB的垂直平分线∴NA=NB由折叠可知BN=AB∠NBM=∠ABM∠BAM=∠BNM=90°∴AB=BN=AN∴△ABN是等边三角形故答案为：等边三角形；论证：△BMP是等边三角形理由如下：如图3∵△ABN是等边三角形∴∠ABN=60°∴∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°∵∠NBP=∠ABP−∠ABN=30°∠BNP=90°∴∠BPM=∠MBP=60°∴△BMP是等边三角形．【解析】本题考查了翻折变换等边三角形的性质矩形的性质直角三角形的性质灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．操作：由折叠的性质可得NA=NB=AB可得△ABN是等边三角形；论证：由直角三角形的性质可求∠BPM=∠MBP=60°可得△BMP是等边三角形．9.【答案】(1)证明：∵点E F G H分别是平行四边形ABCD各边的中点∴AH//CF AH=CF ∴四边形AFCH是平行四边形∴AM//CN同理可得四边形AECG是平行四边形∴AN//CM∴四边形AMCN是平行四边形；(2)解：如图所示连接AC∵H G分别是AD CD的中点∴点N是△ACD的重心∴CN=2HN∴S△ACN=23S△ACH又∵CH是△ACD的中线∴S△ACN=13S△ACD又∵AC是□AMCN和□ABCD的对角线∴S▫AMCN=13S▫ABCD又∵□AMCN的面积为4∴□ABCD的面积为12．10.【答案】(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD∴∠AGB=90°∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=90°∴∠BAG=∠ADB=∠GBF∵AD=√ 2AB设AB=a则AD=√ 2a BD=√ 3a∴sin∠BAG=sin∠ADB即BGAB =ABBD∴BGa=√ 3a解得BG=√ 33a根据勾股定理可得AG=√ 63acos∠GBF=cos∠BAG即BGBF =AGAB∴√ 33aBF=√ 63aa．解得BF=√ 22a∵BC=AD=√ 2a∴BF=12BC∴点F为BC的中点．(2)解：∠AGH=120°理由如下：连接HF如图：由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH BF=HF∴∠FBH=∠FHB∴∠GBH=∠BHF∴BD//HF∴∠DGH=∠GHF 由(1)知AF⊥BD可得AF⊥HF∴∠AGD=90°设AB=a则AD=√ 2a=BC BF=HF=√ 22a∴BG=√ 3 3a∴GF=√ 6 6a在Rt△GFH中tan∠GHF=GFHF=√ 66a√ 22a=√ 33∴∠GHF=30°∵BD//HF∴∠DGH=30°∴∠AGH=∠AGD+∠DGH=90°+30°=120°．【解析】(1)由折叠的性质可得AF⊥BD根据题意可得∠BAG=∠ADB=∠GBF再设AB=a然后表示出AD BD再由锐角三角函数求出BF即可；(2)由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH BF=HF从而可得出∠GBH=∠BHF进而得到BD//HF∠DGH=∠GHF由(1)知AF⊥BD可得AF⊥HF在Rt△GFH中求出∠GHF的正切值即可解答．本题考查矩形的性质折叠的性质勾股定理锐角三角函数熟练掌握以上知识是解题关键．11.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD AB//CD∴∠ABD=∠CDB在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知△ABE≌△CDF∴AE=CF∠AEB=∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE//CF∵AE=CF AE//CF∴四边形AECF是平行四边形．【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质全等三角形的判定和性质掌握平行四边形的对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD AB//CD根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB利用SAS 证明△ABE≌△CDF；(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF∠AEB=∠CFD推出∠AEF=∠CFE根据平行线的判定定理证明AE//CF再根据平行四边形的判定定理证明结论．12.【答案】(1)证明：在▱ABCD中AD//BC∠ABC=∠ADC∴∠DAC=∠BCA AD=BC∵BE DG分别平分∠ABC∠ADC∴∠ADG=∠CBE∵∠DGE=∠DAC+∠ADG∠BEG=∠BCA+∠CBE∴∠DGE=∠BEG∴BE//DG；在△ADG和△CBE中{∠DAG=∠BCE AD=CB∠ADG=∠CBE,∴△ADG≌△CBE(ASA)∴BE=DG；(2)解：过E点作EH⊥BC于H∵BE平分∠ABC EF⊥AB∴EH=EF=6∵▱ABCD的周长为56∴AB+BC=28∴S△ABC=12AB⋅EF+12BC⋅EH=12EF(AB+BC)=12×6×28=84．【解析】本题主要考查平行四边形的性质角平分线的定义与性质三角形的面积全等三角形的判定与性质掌握平行四边形的性质是解题的关键．(1)根据平行四边形的性质可得∠DAC=∠BCA AD=BC由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE=∠BEG进而可证明BE//DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE=DG；(2)过E点作EH⊥BC于H由角平分线的性质可求解EH=EF=6根据平行四边形的性质可求解AB+ BC=28再利用三角形的面积公式计算可求解．13.【答案】(1)AF=12BC．14.【答案】【小题1】解：根据题意知较大矩形的宽为2x m 长为24−x−2x3=(8−x )m∴(x +2x)(8−x)=36 解得x 1=2 x 2=6 又∵0<3x ≤10∴0<x ≤103∴x =2．答：此时x 的值为2； 【小题2】设矩形养殖场的总面积是y m 2则y =(x +2x)(8−x)=−3(x −4)2+48 ∵−3<0 对称轴为x =4 ∴当x <4时 y 随x 的增大而增大∵0<x ≤103∴当x =103时 y 取最大值 最大值为−3×(103−4)2+48=1403． 答：当x =103时 矩形养殖场的总面积最大 最大值为1403m 2．15.【答案】(1)证明：如图1中 作FM ⊥AC 垂足为M∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =90° ∵FM ⊥AC∴∠B=∠AMF=90°由旋转可得∠BAC=∠EAF∴∠BAE=∠MAF 在△ABE和△AMF中{∠B=∠AMF ∠BAE=∠MAF AE=AF∴△ABE≌△AMF∴AB=AM；(2)解：当点E在BC上在Rt△ABE中AB=4AE=3√ 2∴BE=√ AE2−AB2=√ (3√ 2)2−42=√ 2∵△ABE≌△AMF∴AB=AM=4FM=BE=√ 2在Rt△ABC中AB=4BC=3∴AC=√ AB2+BC2=√ 42+32=5∴CM=AC−AM=5−4=1∵∠CMF=90∘∴CF=√ CM2+FM2=√ 12+(√ 2)2=√ 3．当点E在CD上时作FH⊥AC于点H∵AE=AF=3√ 2AD=3由勾股定理易得DE=AD=AH=FH=3∵AC=5∴CH=5−3=2在Rt△CHF中CF=√ FH2+CH2=√ 32+22=√ 13．综上所述CF的值为√ 3或√ 13;(3)解：当点E在BC上时如图2中过点D作DH⊥FM于点H．∵△ABE≌△AMF∴AM=AB=4∵∠AMF=90°∴点F在射线FM上运动当点F与H重合时DF的值最小∵∠CMJ=∠ADC=90°∠MCJ=∠ACD∴△CMJ∽△CDA∴CMCD=MJAD=CJAC ∴14=MJ3=CJ5∴MJ=34CJ=54∴DJ=CD−CJ=4−54=114∵∠CMJ=∠DHJ=90°∠CJM=∠DJH ∴△CMJ∽△DHJ∴CMDH=CJDJ∴1DH=54114∴DH=11 5∴DF的最小值为115．当点E在线段CD上时如图3中将线段AD绕点A顺时针旋转旋转角为∠BAC得到线段AR连接FR过点D作DQ⊥AR于点Q DK⊥FR于点K．∵∠EAF=∠BAC∠DAR=∠BAC∴∠EAF=∠DAR∴∠DAE=∠RAF∵AE=AF AD=AR∴△ADE≌△ARF∴∠ADE=∠ARF=90°∴点F在直线RF上运动当点D与K重合时DF的值最小∵DQ⊥AR DK⊥RF∴∠R=∠DQR=∠DKR=90°∴四边形DKRQ是矩形∴DK=QR∴AQ=AD⋅cos∠BAC=3×45=125∵AR=AD=3∴DK=QR=AR−AQ=3 5∴DF的最小值为35∵35<115∴DF的最小值为35．【解析】本题属于四边形综合题考查了矩形的判定和性质旋转的性质全等三角形的判定和性质解直角三角形等知识解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题属于中考压轴题．(1)作FM⊥AC垂足为M证明△ABE≌△AMF可得结论；(2)分两种情况：当点E在BC上时利用勾股定理求出BE=√ 2利用全等三角形的性质推出AB=AM=4FM=BE=√ 2再利用勾股定理求出CF即可；当点E在CD上时作FH⊥AC于点H易得DE=AD=AH=FH=3在Rt△CHF中利用勾股定理求CF即可；(3)分两种情形：当点E在BC上时过点D作DH⊥FM于点H.证明点F在射线FM上运动当点F与H重合时DH的值最小求出DH即可；当点E在线段CD上时将线段AD绕点A顺时针旋转旋转角为∠BAC得到线段AR连接FR过点D作DQ⊥AR于点Q DK⊥FR于点K.证明△ADE≌△ARF推出∠ADE=∠ARF=90°推出点F在直线RF上运动当点D与K重合时DF的值最小可得结论．16.【答案】解：(1)证明：已知矩形ABCD沿对角线AC折叠则AD=BC=EC∠D=∠B=∠E=90°在△DAF和△ECF中{∠DFA=∠EFC ∠D=∠EDA=EC∴△DAF≌△ECF(AAS)；(2)∵△DAF≌△ECF∴∠DAF=∠ECF=40°∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°∵∠EAC=∠CAB∴∠CAB=25°．【解析】本题考查矩形的性质全等三角形的判定和性质翻折变换等知识解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题属于中考常考题型．(1)根据AAS证明三角形全等即可；(2)利用全等三角形的性质求解即可．17.【答案】解：(1)不存在；(2)作AH⊥BO于H∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”∴△OAB≌△OCD∴AB=CD=4√ 2OA=OC=5∵BC=12∴BO=7设OH=x则BH=7−x由勾股定理得(4√ 2)2−(7−x)2=52−x2解得x=3∴OH=3∴AH=4∴CH=8在Rt△CHA中AC=√ AH2+CH2=√ 42+82=4√ 5；(3)如图∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”∴△OEF≌△OGH∴∠EOF=∠HOG OE=OG∠OGH=∠OEF∵EH//FG∴∠HEO=∠EOF∠EHO=∠HOG∴∠HEO=∠EHO∴OE=OH∴OH=OG∴OE=OF∴OFOG=1．【解析】本题是新定义题主要考查了全等三角形的性质正方形的性质勾股定理平行线的性质等知识理解新定义并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．(1)根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD则∠OAB=∠C=90°而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；(2)作AH⊥BO于H由△OAB≌△OCD得AB=CD=4√ 2OA=OC=5设OH=x则BH= 7−x由勾股定理得(4√ 2)2−(7−x)2=52−x2求出x的值再利用勾股定理求出AC的长即可；(3)根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH则∠EOF=∠HOG OE=OG∠OGH=∠OEF再由平行线性质得OE=OH从而推出OE=OH=OG从而解决问题．18.【答案】解：(1)作C′H⊥DC于H如图：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′∴AB′=AB=5B′C′=BC=3∴DB′=√ AB′2−AD2=√ 52−32=4∵∠C′B′H=90°−∠DB′A=∠DAB′∠CHB′=90°=∠D∴△C′HB′∽△B′DA∴C′H DB′=B′C′AB′即C′H4=35∴C′H=125∴S△B′C′MS△AB′M=C′HAD=1253=45∵S△AB′C′=S△B′C′M+S△AB′M=12AB′⋅B′C′=152∴S△AB′M=59S△AB′C′=256；∴△AB′C′与矩形ABCD重叠部分的面积是256；(2)作CN⊥AC′如图：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′∴AB′=AB=5AC′=AC=√ AB2+BC2=√ 34∠AB′C′=∠B=90°=∠AB′C B′C′=BC=3∴CC′=2B′C′=6∵2S△ACC′=CC′⋅AB′=AC′⋅CN∴CN=CC′⋅AB′AC′=√ 34=√ 34∵∠CMN=∠AMD∠CNM=∠ADM=90°∴△CMN∽△AMD∴CNAD=CMAM∴CN 2AD2=CM2AM2即CN2⋅AM2=AD2⋅CM2设DM=x∴(√ 34)2×(x2+32)=32(x+5)2化简得：33x2−170x+25=0解得：x=5(舍去)或x=533答：DM的长度为533．【解析】(1)作C′H⊥DC于H证明△C′HB′∽△B′DA可得C′H4=35C′H=125即得S△B′C′MS△AB′M=C′HAD=125 3=45而S△AB′C′=12AB′⋅B′C′=152故S△AB′M=59S△AB′C′=256；(2)作CN⊥AC′由△ABC绕点A旋转到△AB′C′得AB′=AB=5AC′=AC=√ AB2+BC2=√ 34∠AB′C′=∠B=90°=∠AB′C B′C′=BC=3用面积法可得CN=CC′⋅AB′AC′=√ 34证明△CMN∽△AMD有CNAD =CMAM故C N2⋅AM2=AD2⋅CM2设DM=x故(√ 34)2×(x2+32)=32(x+5)2即可得DM的长度为533．本题考查矩形的性质涉及旋转变换相似三角形的判定与旋转解题的关键是掌握旋转的旋转能熟练应用相似三角形判定定理．19.【答案】(1)等边三角形；(2)△BMP是等边三角形理由如下：如图3∵直线EF是AB的垂直平分线∴NA=NB由折叠可知BN=AB∠NBM=∠ABM∠BAM=∠BNM=90°∴AB=BN=AN∠BNP=90°∴△ABN是等边三角形∴∠ABN=60°∴∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°∵∠NBP=∠ABP−∠ABN=30°∠BNP=90°∴∠BPM=∠MBP=60°∴△BMP是等边三角形．【解析】【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．(1)操作：由折叠的性质可得NA=NB=AB，可得△ABN是等边三角形；(2)论证：由直角三角形的性质可求∠BPM=∠MBP=60°，可得△BMP是等边三角形．【解答】解：(1)△ABN是等边三角形操作：如图2∵直线EF是AB的垂直平分线∴NA=NB由折叠可知：BN=AB∴AB=BN=AN∴△ABN是等边三角形故答案为：等边三角形；(2)论证见答案．。
中考数学专题复习《四边形综合题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《四边形综合题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 下列给出的条件中 不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．,AB CD AD BC ∥∥B ．,AB CD B D =∠=∠C ．,AB CD AB CD =∥D ．,AB CD AD BC == 2．如图 在ABCD 中E 是CD 上一点 连结AE BE 若点F 是ABE 的重心 则:AEF ABCD S S =△（ ）A ．14B ．16C ．25D ．1123．如图 矩形ABCD 和矩形CEFG 1AB = 2BC CG == 4CE = 点P 在边GF 上 点Q 在边CE 上 且PF CQ = 连结AC 和PQ M N 分别是,AC PQ 的中点 则MN 的长为（ ）A ．3B ．6C 37D ．172 4．如图 在ABCD 中 BM 是ABC ∠的平分线 交CD 于点M 且4MC = ABCD 的周长是26 则DM 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图 平行四边形ABCD 中 E F 、是对角线BD 上不同的两点 下列条件中 不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ）A ．BE EF =B ．BE DF =C ．DAF BCE ∠=∠D ．AF CE ∥ 6．如图 点E 在正方形ABCD 的边AB 上 点F 在BC 延长线上 且AE CF = 点M 是EF 的中点 连接MC 若F α∠= 则CMF ∠的度数为（ ）A ．60α︒-B ．452α︒- C ．302α︒- D ．45α︒-7．在下列给出的条件中 不能判定四边形ABCD 一定是平行四边形的是（ ） A ．AB CD = AD BC =B ．AB CD ∥ AD BC = C ．AB CD ∥ AB CD =D ．AB CD ∥ AD BC ∥ 8．如图 在ABCD 中E 为边BC 延长线上一点 连结AE DE ．若ADE 的面积为2 则ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．5C ．3D ．6二 填空题9．如图 在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点 若P Q 、为BC 边上的两个动点 且2PQ = 则线段AP QE +的最小值为 ．10．如图 在平行四边形ABCD 中 对角线AC BD ，相交于点O 已知BOC 与AOB 的周长之差为3 平行四边形ABCD 的周长为26 则BC 的长度为 ．11．如图 在ABC 和ABD △中 90ACB ADB ∠=∠=︒ ,,E F G 分别是,,AB AC BC 的中点 若1DE = 则FG = ．12．如图 在平行四边形ABCD 中 10AB = 15BC = 面积为120 点P 是边AD 上一点 连接PB 将线段PB 绕着点P 旋转90︒得到线段PQ 如果点Q 恰好落在直线AD 上 那么线段AQ 的长为13．如图 平行四边形ABCD 的对角线交于点,10,22O AB AC BD =+= 则COD △的周长为 ．三 解答题14．如图 在ABCD 中 O 为线段AD 的中点 延长BO 交CD 的延长线于点E 连接AE BD 、 =90BDC ∠︒．(1)求证：四边形ABDE 是矩形(2)连接OC 若2AB = BD = 求OC 的长．15．如图 点C 是BE 的中点 四边形ABCD 是平行四边形．(1)求证：四边形ACED 是平行四边形(2)若AB AE = 四边形ACED 是什么特殊的平行四边形 请说明理由．16．如图所示 ABC 中 D 是BC 边上一点 E 是AD 的中点 过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F 且AF BD = 连接BF ．(1)求证：D 是BC 的中点(2)若AB AC = 试判断四边形AFBD 的形状 并证明你的结论．17．如图 在ABCD 中 过AC 中点O 的直线分别交CB AD 的延长线于点EF ．(1)求证：BE DF =(2)连接FC 若EF AC ⊥ 2DF = FDC △的周长为16 求ABCD 的周长．18．如图 在四边形ABCD 中 AB DC 5cm AD BC == 12cm AB = 6cm CD = 点P 从A 开始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动 点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动 如果点P Q 分别从A C 同时出发 当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t 秒．(1)求证：当32t =时 四边形APQD 是平行四边形(2)PQ 是否可能平分对角线BD ？若能 求出当t 为何值时PQ 平分BD 若不能 请说明理由(3)若DPQ 是以PD 为腰的等腰三角形 求t 的值．参考答案：1．B2．B3．C4．C5．A6．D7．B8．A914510．811．112．2或1413．2114．（1）证明：∵O 为AD 的中点 ∵AO DO =∵四边形ABCD 是平行四边形∵AB CD∵BAO EDO ∠=∠又∵AOB DOE ∠=∠∵()ASA AOB DOE △△≌∵AB DE =∵四边形ABDE 是平行四边形∵=90BDC ∠︒∵90BDE ∠=︒∵平行四边形ABDE 是矩形（2）解：如图 过点O 作OF DE ⊥于点F∵四边形ABDE 是矩形∵2DE AB == 12OD AD = 12OB OE BE == AD BE =∵OD OE =∵OF DE ⊥ ∵112DF EF DE === ∵OF 为BDE △的中位线∵12OF BD ==∵四边形ABCD 是平行四边形∵2CD AB ==∵3CF CD DF =+=在Rt OCF 中 由勾股定理得：OC ==即OC15．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∵AD BC ∥ 且AD BC =∵点C 是BE 的中点∵BC CE =∵AD CE =∵AD CE ∥∵四边形ACED 是平行四边形（2）解：四边形ACED 是矩形 理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形∵AB DC =∵AB AE =∵DC AE =由（1）可知 四边形ACED 是平行四边形 ∵平行四边形ACED 是矩形．16．（1）证明：AF BC ∥AFE DCE ∴∠=∠点E 为AD 的中点AE DE ∴=在AEF △和DEC 中AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DEC ∴△≌△AF CD ∴=AF BD =CD BD ∴=D ∴是BC 的中点（2）若AB AC = 则四边形AFBD 是矩形．理由如下： AEF DEC △≌△AF CD ∴=AF BD =CD BD ∴=AF BD AF BD =∴四边形AFBD 是平行四边形AB AC = BD CD =90ADB ∴∠=︒∴平行四边形AFBD 是矩形．17．（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形 AD BC ∴∥ AO CO = AD BC = OAF OCE ∴∠=∠ E F ∠=∠在AOF 和COE 中OAF OCE F EAO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOF ∴∵()AAS COEAF CE ∴=AF AD CE BC ∴-=-BE DF ∴=（2）解：连接CFEF AC ⊥ AO CO =EF ∴垂直平分ACAF CF ∴= FDC △的周长为1616DF CF CD ∴++= 即2216AD CD +++= 12AD CD ∴+=∴ABCD 的周长为()224AD CD +=．18．（1）证明：12631< ∴当4t =秒时 两点停止运动 在运动过程中3AP t = CQ t = 123BP t ∴=- 6DQ t =- 当32t =时 39622DQ =-= 39322AP =⨯= AP DQ ∴= 又四边形ABCD 为等腰梯形AP DQ ∴∴四边形APQD 为平行四边形 （2）解：PQ 能平分对角线BD 当3t =秒时 PQ 平分对角线BD ． 理由如下：连接BD 交PQ 于点E 如图1所示：若PQ 平分对角线BD 则DE BE = CD AB ∥第 11 页 共 11 页 12∴∠=∠ 34∠∠=在DEQ 和BEP △中3412DE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS DEQ BEP ∴≌DQ BP ∴=即四边形DPBQ 为平行四边形6123t t ∴-=-解得3t = 符合题意∴当3t =秒时 PQ 平分对角线BD ．（3）解：分两种情况：∵当PQ PD =时 作DN AB ⊥于N QM AB ⊥于M CE AB ⊥与E如图2所示：则DN QM = 1()32AN BE AB CD ==-= ME CQ t ==33PN AP AN t ∴=-=- 94PM BP BE ME t =--=- PQ PD =PN PM ∴=3394t t ∴-=- 解得：127t =∵当6PD DQ t ==-时 由勾股定理得：222224(94)PD DN PM t =+=+- 2224(94)(6)t t ∴+-=-整理得：21560610t t -+=解得Δ0< 方程无解综上所述：若DPQ 是以PD 为腰的等腰三角形 t 的值为127．。
2012中考数学二轮复习 与四边形有关的综合题
2012中考数学二轮复习与四边形有关的综合题与四边形有关的综合题例题 1、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B. （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN 与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q 到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形Q BED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值。
巩固练习 1、如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.2、已知，在四边形OABC中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。
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(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆四边形综合题 一、选择题1. （2011重庆江津区，10，4分）如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +错误！未找到引用源。
④四边形A n B n C n D n 的面积是12n a b +错误！未找到引用源。
．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断； ②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5 的周长； ④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积． 解答：解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1 ， ∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ； ∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1， ∴四边形ABCD 是平行四边形；∴B 1D 1＝A 1C 1（平行四边形的两条对角线相等）； ∴A 2D 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝B 2A 2（中位线定理）， ∴四边形A 2B 2C 2D 2 是菱形； 故本选项错误；②由①知，四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；故本选项正确； ③根据中位线的性质易知，A 5B 5＝12错误！未找到引用源。
A 3B 3＝12×12A 1B 1＝12×12×12AB ，B 5C 5＝12错误！未找到引用源。
B 3C 3＝12×12B 1C 1＝12×12×12BC ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是2×18错误！未找到引用源。
（a +b ）＝4a b 错误！未找到引用源。
；故本选项正确；④∵四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，∴S 四边形ABCD ＝ab ；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A n B n C n D n 的面积是2nab ；故本选项错误；综上所述，②③④正确； 故选C ．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．2. （2011重庆市，9，4分）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ②④D.③④考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即可求得①错误； ②易证△AOE ≌△COF ，即可求得EO=FO ；9题图BF③根据相似三角形的判定即可求得△EAM ∽△EBN ；④易证△EAO ≌△FCO ，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．答案：解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误； ②∵AB ∥CD ， ∴∠E=∠F ，又∵∠EOA=∠FOC ，AO=CO ∴△AOE ≌△COF ， ∴OE=OF ，故②正确； ③∵AD ∥BC ，∴△EAM ∽△EBN ，故③正确；④∵△AOE ≌△COF ，且△FCO 和△CNO ， 故△EAO 和△CNO 不相似，故④错误， 即②③正确． 故选B ．点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证△AOE ≌△COF 是解题的关键．3. （2010重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得ABCD FE G 10题图AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=错误！未找到引用源。
CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴错误！未找到引用源。
F HG C=错误！未找到引用源。
E FE G，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴F HG C=错误！未找到引用源。
E FE G=25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=错误！未找到引用源。
×3×4﹣错误！未找到引用源。
×4×（错误！未找到引用源。
×3）=错误！未找到引用源。
≠3．故选C．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．4.（2011山东省潍坊，11，3分）己知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点．连接BF、DF交于点P．连接CP并延长交AB于点Q，连揍AF，则下列结论不正确．．．的是( )．A．CP平分∠BCDB．四边形ABED为平行四边形C，CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；几何综合题．【分析】本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确；易证△BCF≌△DCE （SAS），得∠FBC=∠EDC，∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正确；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；【解答】证明：易证△BCF≌△DCE（SAS），∴∠FBC=∠EDC，BF=ED；∴△BPE≌△DPF（AAS），∴BP=DP，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠BCP=∠DCP，即A正确；又∵AD=BE且AB∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；综上，选项A、B、D正确；故选C．【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．5.（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF 交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A、9cmB、14cmC、15cmD、18cm考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。
分析：延长FG交CB的延长线于点H．根据平行四边形的性质，得BC=AD=6cm，BC∥AD．根据AAS可以证明△AFE≌△BHE，则BH=AF=2cm，再根据BC∥AD，得错误！未找到引用源。
，求得CG的长，从而求得AC的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6cm，BC∥AD．∴∠EAF=∠EBH，∠AFE=∠BHE，又AE=BE，∴△AFE≌△BHE，∴BH=AF=2cm．∵BC∥AD，∴错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，则CG=12，则AC=AG+CG=15（cm）．故选C．点评：此题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理．此题中要能够巧妙构造辅助线6.（2011年湖南省湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A、平行四边形B、正方形C、等腰梯形D、矩形考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质．专题：常规题型．分析：利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．解答：解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选B．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．8.（2011黑龙江牡丹江，20，3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=错误！未找到引用源。
OA；（4）AE2+CF2=2OP•OB，正确的结论有（）个．A、1B、2C、3D、4考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。