扬州市2016-2017学年度第二学期高一数学期末调研试卷

扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题高 一 数 学2017．6（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．22cos 15sin 15︒-︒= ▲ ．2．不等式2230x x --<的解为 ▲ ．3．ABC ∆中，3,4,60AB BC B ===︒，则AC = ▲ ．4． 已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ▲ ．5．已知(,0)2x π∈-，3cos 5x =，则tan2x = ▲ ．6． 设变量,x y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值为▲ ．7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，352a a +=-，则使得n S 取最大值时的正整数n = ▲ ．8．已知α，β，γ是三个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥；②如果m n ⊥，m α⊥，那么//n α； ③如果αβ⊥，//m α，那么m β⊥；④如果//αβ，m αγ=，n βγ=，那么//m n ．其中正确的命题有 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）9．已知02πθ≤≤且1sin()63πθ-=，则cos θ= ▲ ．10．若数列1{}(1)n n +的前n 项和为n S ，若134n n S S +⋅=，则正整数n 的值为▲ ．11．已知正数,a b满足14a b+=ab 的最小值为 ▲ ． 12．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．C M从A 点测得60NAM ∠=︒，∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得 ∠MCA ＝60°；已知山高BC ＝300米，则山高MN ＝ ▲ 米． 13．在数列{}n a 中，21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+对任意*n ∈N 成立，其中常数0t >．若关于n 的不等式21n a ++>的解集为*{|4,}n n n ≥∈N ，则实数m 的取值范围是 ▲．14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若4ab =，则的最小值是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知：sin()2sin()044ππαα++-=．（1）求tan α的值；（2）若1tan()43πβ-=，求tan()αβ+的值．16．（本题满分14分）已知：三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF ．（第12题）F E DC B A17．（本题满分14分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且235a a a =，4210S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本题满分16分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos b c Ca A-=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积ABC S ∆=b c +的值； （3）若函数()2sin cos()6f x x x π=+，求()f B 的取值范围．19．（本题满分16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a （14a ≤≤且a R ∈）个单位的营/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b 个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：对于任意*n N ∈且2n ≥时，121n n a a n λ-+=+，14a =．（1）若13λ=-，求证：{3}n a n -为等比数列；（2）若1λ=-．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N 25为数列{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题高一数学参考答案2017．61．2．(1,3)-34．16π5．2476．4-7．3 8．①④910．611．4 12．450 131415．解：（1）sin()2sin()044ππαα++-=)0αααα+-=，∴1tan3α=............6分（2）∵1tan()43πβ-=∴1tan11tan3ββ-=+，解得：1tan2β=...........10分∴11tan tan32tan()1111tan tan132αβαβαβ+++===--⨯............14分16．证：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC............6分（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD............9分∵AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥............11分∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E=∴AD⊥平面CEF．............14分17．解：（1）设正项等比数列{}na的公比为q，若1q=，则41214,2S a S a==，不符合题意；............2分FEDCBA则1q ≠ ∴421114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ⎧=⋅⎪⎨--=⋅⎪--⎩ ，0n a >解得：13a q == ............5分∴1333n n n a -=⨯= ............7分 （2）23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①234+13133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ② ...........9分①-②得：23113332132(333)(21)323(21)313n n n n n T n n ++-⨯-=⨯++++--⨯=⨯---⨯-1(22)36n n +=--⨯- ...........13分 ∴1(1)33n n T n +=-⨯+ ...........14分18．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin sin cos sin cos B C CA A-=2sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B ∴=+= ∵(0,)B π∈ ∴sin 0B >∴1cos 2A =∵(0,)2A π∈ ∴3A π= ...........4分（2）∵11sin 22ABC S bc A bc ∆=== ∴12bc = ...........6分∵222222cos 13a b c bc A b c bc =+-=+-= 222()31331249b c b c bc bc ∴+=+-+=+⨯=∵0b c +> ∴7b c += ...........9分 （3）()2sin cos()2sin (cos cos sin sin )666f x x x x x x πππ=+=-112(1cos2)sin(2)262x x x π=--=+- ∴1()sin(2)62f B B π=+- ...........12分 ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，又23C B π=- ∴62B ππ<< ...........14分∴72266B πππ<+<∴1sin(2)126B π-<+< ∴()f B 的取值范围为1(1,)2-．...........16分19．（1）∵营养液有效则需满足4y ≥，则或254(5)4x x <≤⎧⎨-≥⎩，解得04x ≤≤，所以营养液有效时间可达4天． ...........6分（2）设第二次投放营养液的持续时间为x 天，则此时第一次投放营养液的持续时间为(3)x +天，且02x ≤≤；设1y 为第一次投放营养液的浓度，2y 为第二次投放营养液的浓度，y 为水中的营养液的浓度； ∴12[5(3)]42y x x =-+=-，244xy b x+=⋅-， 124(42)44xy y y x b x+=+=-+⋅≥-在[0,2]上恒成立 ..........10分∴424xb x x-≥⋅+在[0,2]上恒成立 令4,[4,6]t x t =+∈，322()24b t t≥-++， ..........13分所以b答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b..........16分20．（1）当13λ=-时，1121(2,*)3n n a a n n n N -=++≥∈且131a -=∴1111111213(33)31333(1)33333n n n n n n a n na n a n a n a n a n -----++--+-===---+-+为常数∴{3}n a n -为等比数列 ........3分 （2）①当1λ=-时，121(2,*)n n a a n n n N --=+≥∈ ∴1221n n a a n ---=- 2323n n a a n ---=-………… 215a a -=∴21(1)(215)(21)(21)5232n n n a a n n n n -++-=++-++==+-(2,*)n n N ≥∈∵14a = ∴2221(1)(2,*)n a n n n n n N =++=+≥∈又14a =满足上式，所以2(1)(*)n a n n N =+∈． ............8分② 假设存在满足条件的k 25m a =， ∴2(21)(22)25(1)k k m +++=+ （*）∴222(21)(21)(22)(1)25(22)k k k m k +<++=+-<+ ............10分 ∴2222(1)(21)25(1)(22)25m k m k ⎧+-+>⎨+-+<⎩即(22)(2)25(1)(23)(21)25(2)m k m k m k m k ++->⎧⎨++--<⎩ 由（1）得20m k ->且,*m k N ∈ ∴21m k -≥ ∴210m k --≥ 若210m k --=，代入（*），解得：232k =（舍） ............13分 ∴210m k -->即211m k --≥ ∴2325m k ++< ∴22222k m k +≤<- ∴22222k k +<- ∴5k < ∵*k N ∈ ∴k 可取1,2,3,4 代入（*）检验，解得：3,8k m ==∴存在3k =满足题意． ............16分。