江苏高一数学下学期期末考试试题苏教版

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2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷(苏教版 2019)02(必修二解析版)

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（苏教版 2019）02试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】 (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=+--=--．故选：A ．2．已知复数z 满足1iz i =-(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，可得对应点的坐标，从而可得答案.【详解】因为1iz i =-，所以()()()111i i i z i i i i ---===---，则z 在复平面内对应点的坐标为()1,1--，所以z 在复平面内对应的点在第三象限，3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2D ．4【答案】A【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值是（）A ．500B ．1000C ．10000D ．25000【分析】根据频率分布直方图可得在[50,75)中的频率，进而可得n .【详解】由图可得在[50,75)中的频率为0.004250.1⨯=，所以10010000.1n ==，故选：B.5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（）A ．12πB ．16πC ．485πD ．1445π 【答案】C【分析】先判断所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，Rt ABC 中通过等面积法计算底面半径BO ，再利用圆锥体积之和求所得几何体的体积即可.【详解】依题意，所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示， Rt ABC 中，4,3,5AB BC AC ===，由Rt ABC 的面积1122S AB BC AC BO '=⋅=⋅，得431255AB BC BO AC ⋅⨯===，即圆锥底面面积214425S BO ππ=⋅=，又上面圆锥体积为113V S AO =⋅，下面圆锥体积为213V S OC =⋅，故几何体的体积()122111144485333255V V V V S AO OC S AC ππ=+==⋅+=⋅=⨯⨯=. 故选：C.6．已知α∈（2π，π），并且sin α+2cos α25=，则tan （α4π+）＝（） A ．1731- B ．3117- C ．17- D ．﹣7【答案】A【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cos α﹣2sin α115=-，再结合已知等式作商可求得tan α，由两角和与差的正切公式计算即可得解．【详解】由sin α+2cos α25=，得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α425=，所以（1﹣cos 2α）+4sin αcos α+4（1﹣sin 2α）425=，整理得cos 2α﹣4sin αcos α+4sin 2α12125=，所以（cos α﹣2sin α）212125=，因为α∈（2π，π），所以sin 0cos 0αα⎧⎨⎩＞＜，所以cos α﹣2sin α115=-，又sin α+2cos α25=，所以7cos 25α=-，24sin 25α=，所以tan α247=-，所以tan （α4π+）241tan 1177241tan 3117αα-++===--+．故选：A ．【点睛】关键点点睛：由sin α+2cos α25=推出cos α﹣2sin α115=-是本题的解题关键. 7．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A B C ．23 D ．34【答案】C【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG 的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+, 120,2A AB AC ∠=⋅=-，根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-, 设,AB x AC y ==，则4AB AC xy ⨯==， 2211233AG AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22112443x y xy =+-≥-=，当且仅当x y =，即AB AC =，△ABC 是等腰三角形时等号成立.综上可得AG 的最小值是23. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设a ，b ，c 为ABC 中的三边长，且a +b +c =1，则a 2+b 2+c 2+4abc 的取值范围是（）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc ，再根据三角形边长性质可以证得f (a ，b ，c )12<.再利用不等式和已知可得ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，再利用求导根据单调性可以推得a 2+b 2+c 2+4abc 1327，继而可以得出结果. 【详解】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )=2(c +ab )2﹣2a 2b 2﹣2(ab +c )+1=2[c +ab ﹣12]2﹣2a 2b 2+121112()()222c ab ab c ab ab =+-++--+ 1112(2)()222c ab c =+--+ 1112(12)()222a b ab c =--+--+ 1112(2)()222a b ab c =--+-+ 1114()()42222a b ab c =--+-+ =4(c ﹣12)(a ﹣12)(b ﹣11)22+，又a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以1﹣2a >0，1﹣2b >0，1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )12<. 另一方面f (a ，b ，c )=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )，由于a >0，b >0，所以ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，不妨设a ≥b ≥c ，且a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以0<c <13. 令y =321122c c -+，则y ′=3c 2﹣c =c (3c ﹣1)≤0，所以y min =127﹣2111232⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1327，从而1327<f(a,b,c)<12. 当且仅当a =b =c =13时取等号. 故选：B.【点睛】本题主要考查了解三角形，考查导数求函数的最值，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（） A ．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B ．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C ．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D ．至少一个黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A ，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A 正确. 对于B ，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B 正确.对于C ，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C 错误.对于D ，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D 正确.故选：ABD.10．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ．由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos 13a b a b a b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确；对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os 3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ， c OC =的最大值为1+222+A bBO MC a M +==<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【分析】A ．根据条件分析出1A 到平面PMN 的距离的取值范围，即可进行判断；B ．根据空间中点、线、面的位置关系，结合线段比例关系，作出过P ，M ，1D 三点的截面，并进行判断；C ．根据1BD 与平面1BC D 的位置关系，以及平面PMN 与平面1BC D 的位置关系进行判断； D ．先利用平行关系作出截面α，然后根据长度关系求解出截面六边形的周长并进行判断.【详解】A ．连接1111111,,,,,,AC BC AB BDCD A D B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知11//,//,//MN BD NP C D MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为11A BC D -为正四面体，所以1A 到平面1BC D3=，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ，同理可得11C D AC ⊥，且111BCC D C ⋂=，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC ，所以1A 到平面PMN 的距离∈⎝43<< B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '，因为CP CM =，且1//,//CP DD CM AD ，则1CP CM CQ DD DA DQ =='，所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ，所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知111//,//MP BC BC AD ，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ，所以1//BD 平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形，根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为：)31x ⎤-=⎦故选：ABD.【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13【答案】BCD【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得233c =，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c =2222(1)2(1)m n m n -+=++，化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动，所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确；对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin 32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以2343,33c b ==，所以ABC 的周长为223+，所以C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343c b ==，所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB的面积为11122cr ⎛=-= ⎝⎭ 所以D 正确，故选：BCD【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________.【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+，故答案为：12i +．14．棱长均为1的正四棱锥，该正四棱锥内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R 的值为______.【分析】对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O ，外接球球心到各顶点距离相等列出关于2R 的方程可得2R ，利用“体积法”可得1R ，进而可得结果.【详解】如图所示，对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O，12PO =，则22222R R ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22R =，内切球半径1R满足1111141113232R ⎛⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯ ⎝⎭，解得1R =，于是1212R R ==，故答案为：12.15．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为__________.【答案】6【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+，整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac -=-+⇒=，因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫≤⇒≤ ⎪⎝⎭，所以2S a故答案为：6【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.16．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),B C ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭ 所以()2113339,13,0,AD AB⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 13AC ⎛=⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩所以1213λμ+=故答案为：12 13【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P=⨯=.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 18．（12分）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z +为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i + ＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+- ＝a ＋i ＋2221a i a -+ ＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0. 因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).19．（12分）已知函数2()2cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程；（2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2）1[2，3]2．【分析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案；（2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()2cos f x x x =+1cos 2222x x +=+ 1sin(2)62x π++=， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==，令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈．（2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2．【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 20．（12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin 4cos 0cos sin a A b B c C c A A B--+=．（1）求A ；（2）若a c >，求a b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(2,)+∞．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出1cos 2A =，从而可得角A ；（2）先由题中条件，得到0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由正弦定理将所求式子化为sin sin sin A B C +，进而转化为关于C 的函数，即可求出结果.【详解】（1）由条件与正弦定理可得，2224cos 0cos a b c c A b A--+=，即2224cos 0cos b c a c A b A+--=，由余弦定理得，2cos 4cos 0cos bc A c A b A-=，所以2cos 10A -=，即1cos 2A =．由0A π<<得，3A π=．（2）由a c >可知，0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由正弦定理可知，21sin sin sin sin 3222sin sin sin C C C a b A B c C C Cπ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===22cos 11cos 122sin 22sin cos 22C C C C C +==+112tan 2C =又知0,26C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2C ⎛∈ ⎝⎭，所以2a b c +>，故a b c+的取值范围为(2,)+∞．【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.21．（12分）如图，在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近点O 的一个三等分点，AD 与BC 交于点M .设OA a =，OB b =.（1）用a ，b 表示OM .（2）过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于点E ，F .设OE pa =，OF qb =，求12p q+的值. 【答案】（1）1255OM a b =+（2）125p q += 【分析】（1）设OM xa yb =+，利用A ，M ，D 三点共线和C ，M ，B 三点共线可以得出,x y 的两个方程，然后解出即可（2）利用EM ，EF 共线即可推出【详解】（1）设OM xa yb =+，则()()11AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+，∵A ，M ，D 三点共线，12AD OD OA a b =-=- ∴AM ，AD 共线，从而()112x y -=-.① 又C ，M ，B 三点共线. ∴BM ，BC 共线，同理可得()113y x -=-.②联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1255OM a b =+. （2）∵12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭， EF OF OE qb pa =-=-，且EM ，EF 共线， ∴1255p q p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得125p q +=. 【点睛】1.平面向量共线定理：若a 与b 共线且0b ≠，则存在唯一实数λ使得a b λ=2.平面向量基本定理：若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.22．（12分）在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）-【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得PE EC ==PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD 底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，PE EC ∴==取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又1,22EM AE AM ===cos 3MEA ∴∠=.所以二面角F BE A --的余弦值为【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.。

江苏省高一下学期期末考试(数学)

高一下学期期末考试（数学）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合{}{}=⋂==B A B A ,4,3,2,5,3,1 2.在等比数列{}n a 中，若===642,1,4a a a 则 3.函数164-=x y 的定义域为4.计算=+85lg4lg 2 5.在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B 】6.一个容量为20的数据样本分组后，分组与频数为：(](](](](](]个。

个；个；个；个；个2,70,604,60,505,50,404,40,303,30,20;2,20.10则样本数据在(]5010，上的频率为7.已知α为第二象限角，且=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos ,54sin παα则 8.已知向量()()2,1,1,3==b a ，则向量b a 与的夹角=θ9.投掷一颗质地均匀的骰子两次，观察出现的点数，记下第一次的点数为m ，第二次的点数为n ，设向量()()n b m a ,3,2,==，则“向量b a 与共线”的概率为 10.计算=-40sin 160cos 140cos 200sin 11.已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx 11+的最小值 12.一个伪代码如右图所示，输出的结果是SPrint ForEnd I ×3 +S S 10 to 1 From I For 1S ←← ：13.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则()()()()=++++2009531f f f f14.已知()为常数a a 100≤≤，在区间[]100，上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足，则z 的虚部是（）3i2i z -=+A ．－i B ．iC ．－1D ．1C【分析】由已知，根据题意给出的复数z 利用复数的运算进行化简，即可直接求解出虚部.【详解】由已知得，，3i (3i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-所以z 的虚部为－1.故选：C.2．某校有50岁以上的老教师40人，的中年教师200人，35岁以下的青年教35~50师80人，为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为（）A ．50B ．40C ．30D ．20A【分析】由题意求出教师总人数，求出中年教师岁占比例，乘以样本容量即可得到答案.【详解】解：由题意可知，该校老师总人数为（人．4020080320++=)中年教师所占的人数比例为．20053208=若抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取（人．580508⨯=)故选：．A 3．已知平面向量满足，则向量的夹角为（）,a b|||1,(2)a b a a b ==⊥+ ,a bA ．B ．C ．D ．3π4π23π34πD利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.(2)0a a b ⋅+= a b ⋅ 【详解】，即，(2),(2)0a a b a a b ⊥+∴⋅+=220,1a a b a b +⋅=∴⋅=-．．cos ,||||a b a b a b ⋅∴〈〉==3,[0,],,4a b a b ππ〈〉∈∴〈〉=故选：D ．4．已知m ，n 是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是,,αβγ（）A ．若，则B ．，则,αγβγ⊥⊥αβ∥,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C ．若，则D ．，则,m αββ⊥⊥//m α,,⊂= ∥m m n αβαβm n∥D【分析】A 选项可以举反例，B 选项考查面面平行判定定理，C 选项漏了条件，D 选项即为线面平行性质定理.【详解】对于选项A ，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；对于选项B ，根据面面平行判定定理，直线m ，n 应为相交直线；对于选项C ，直线m 可能在平面内；α对于选项D ，恰好为线面平行的性质定理.故选：D.5．若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（）8,12,10,7,8,7,12,13,15,16A ．12B ．13C ．14D ．15C【分析】根据百分位数的计算公式求解即可【详解】由题意，，故第80百分位数是0010808⨯=1315142+=故选：C6．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，1325，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概14率为（）A ．B ．C ．D ．7202523710D【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为，121233311135435410⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为.3711010-=故选：D.7．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（）A ．B ．C ．海里D ．40海里20(1A【分析】分别在和中利用正弦定理计算，再在中利用余ACD △BCD △,AD BD ABD △弦定理计算即可AB 【详解】由题意可知，40,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD =∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒所以，45,60CAD ADB ∠=︒∠=︒在中，由正弦定理得，得ACD △40sin 30sin 45AD =︒︒AD =在中，因为，Rt BCD 45,90BDC BCD ∠=︒∠=︒所以，BD ==在中，由余弦定理得ABD △AB ====故选：A8．在三棱锥中，平面，且，若S ABC -SA ⊥,90ABC ABC ∠=3,4,5SA AB AC ===球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），O S ABC -O S ABC -则球的表面积为（）O A ．B ．C ．D ．169π49π3227π1681πA【分析】设球的半径为r ，由等积法得，由此O ()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ 可求得设球的半径为r ，再根据球的表面积公式可求得答案.O 【详解】解：因为平面，平面，平面，SA ⊥,90ABC ABC ∠=AB ÌABC AC ⊂ABC 平面，BC ⊂ABC 所以，，，SA AB ⊥SA AC ⊥SA BC ⊥又，,BC AB SA AB A ⊥= 所以平面，所以，BC ⊥SAB BC SB ⊥所以均为直角三角形，,,SAB ABC SAC SBC ，设球的半径为r ，则，O ()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ 而，，11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯=所以，解得，115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭23r =所以球的表面积为，O 221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲1Ω=兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班2Ω3Ω4Ω=都不选”，则（）A ．与是互斥事件1Ω3ΩB ．与既是互斥事件也是对立事件2Ω4ΩC ．与不是互斥事件2Ω3ΩD ．与是互斥事件3Ω4ΩBC【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣1Ω=2Ω班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲3Ω兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；4Ω=所以，与不是互斥事件，故A 错误；1Ω3Ω与既是互斥事件也是对立事件，故B 正确；2Ω4Ω与不是互斥事件，故C 正确；2Ω3Ω与不是互斥事件，故D 错误.3Ω4Ω故选：BC.10．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为ABCD //AB CD 2AB CD =M N 的中点，则结论正确的是（）AB CD ，A ．B ．12AC AD AB=+ 1122CM CA CB=+C ．D ．14MN AD AB=+ 12BC AD AB=+ AB【分析】根据给定条件，可得四边形为平行四边形，再结合向量线性运算逐项AMCD 分析计算作答.【详解】对于A ，四边形为梯形，，，为中点，即ABCD //AB CD 2AB CD =M AB 有，AM CD =则四边形为平行四边形，，A 正确；AMCD 12AC AD AM AD AB=+=+对于B ，为中点，，B 正确；M AB 1122CM CA CB=+ 对于C ，为的中点，，CN CD 111224MN MA AD DN AB AD DC AD AB=++=-++=-不正确；对于D ，由选项A 知，，，D 不正确.MC AD = 12BC MC MB AD AB=-=-故选：AB11．在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）ABC A ．若，则一定是等腰三角形cos cos a A b B =ABCB ．若，，则满足条件的三角形有且只有一个AB =45B ∠=︒3AC =C ．若不是直角三角形，则ABC tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=D ．若，则为钝角三角形0AB BC ⋅<ABC BC【分析】A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；B 应用A B =2A B π+=余弦定理求即可判断；C 由三角形内角性质及和角正切公式判断；D 由向量数量积BC 定义判断.【详解】A ：由正弦边角关系有，则，则中sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =ABC 或，错误；A B =2A B π+=B ：由，可得222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅2410BC BC --=2BC =±2BC =C ：由不是直角三角形且，则ABC ()A B C π=-+ ，所以，正tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=确；D ：，即，故||||cos()||||cos 0BC BC B AB AB B A C B B π⋅=-=-< ||||cos 0B B C AB > 不一定为钝角三角形，错误；ABC 故选：BC 12．已知正三棱柱的棱长均为2，点D 是棱上（不含端点）的一个动111ABC A B C -1BB 点．则下列结论正确的是（）A ．棱上总存在点E ，使得直线平面11A C 1//B E 1ADC B ．的周长有最小值，但无最大值1ADC △C ．三棱锥外接球的表面积的取值范围是1-A DC C 2528,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππD ．当点D 是棱的中点时，二面角1BB 1A DC C --ABC【分析】对A ，在上取一点使得，从而可得判断即可；对1AC F 1∥EF AA 1EB DF ∥B ，展开侧面，根据两点之间线段最短可得的周长有最小值，结合D1ABCC D 1ADC △是棱上（不含端点）的一个动点判断最大值即可；对C ，取中点,中点1BB 11A C N AC ，连接并延长，交正方形的外接圆于，分析可得外接球直径即为M MN 11A C CA PQ 的外接圆直径.再分析最值求解即可；对D ，分别求得到平面的距离，DPQ A 1DCC h 到线段的距离，再求二面角的正切值即可A 1DC d 【详解】对A ，在上取一点使得，则，当时，1AC F 1∥EF AA 1EF BB 1EF B D =则有平行四边形，故，则直线平面，故A 正确；1EFDB 1EB DF ∥1//B E 1ADC对B ，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值，1ABCC D D 1AC 1BB 1AD DC +因为D 是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值，1BB 1AD DC +故的周长有最小值，但无最大值，故B 正确；1ADC △对C ，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球，1-A DC C 11D A C CA -取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，11A C N AC M MN 11A C CA PQ 则易得平面平面.1PQ A C ==DPQ ⊥11A C CA 根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心.由对称DPQ DPQ 性，可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小.D 1BB PDQ ∠此时sinDQP ∠=2sin DPR DQP===∠，此时外接球表面积.当在或者点时，()2225423S R R πππ===D B 1B 三棱锥外接球即正三棱柱的外接球，1-A DC C 111ABC A B C -此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形，1AA ABC 此时外接球直径，此时外接球表面积()22212823sin 3AB R AA π⎛⎫ ⎪=+=⎪ ⎪⎝⎭.因为点D 是棱上（不含端点）的一个动点，()2228423S RR πππ===1BB 故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故C 正确；1-A DCC 2528,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ对D ，设到平面的距离为，则由，A 1DCC h 11133DCC ACC S h S =即设到线段的距离，11222222h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =A 1DC d 则，11122d DC AC ⋅=解得的正切值为，故D错d =1A DC C --==误；故选：ABC 三、填空题13．五个数的平均数是，这五个数的方差是___________.2,2,3,3,a 3651.2【分析】首先根据平均数求出，再根据方差公式计算可得；a 【详解】解：依题意，解得，223335a++++=5a =所以方差为；()()()()()2222216232333335355⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故6514．若，则_______________.51sin 123⎛⎫+=⎪⎝⎭παcos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求512πθα=+226παθπ-=-解即可.【详解】设，则，512πθα=+512παθ=-故，且.5266262παθππθπ-=---=1sin 3θ=则.()27cos 2cos cos 22sin 6219θππαθθ⎛⎫-==-=-=-⎪⎝⎭-故79-15．在中，，过点O 的直线分别交直线于两个不同的ABC 2BO OC =,AB AC ,M N 点，若，其中为实数，则的最小值为_________,AB mAM AC nAN ==,m n 224+m n 4.592【分析】利用表示出，再利用三点共线得到，再把,AM AN AO ,,M O N 32m n =-转化为关于的函数，即可求出最小值.224+m n n 【详解】，故， 2BO OC = 22BA AO OA AC +=+1223333m n AO AB AC AM AN∴=+=+三点共线，即，,,M O N 2133m n∴+=32m n =-()2222223932481298424n n n n n n m ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭∴+故的最小值为.224+m n 92故92四、双空题16．四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边ABCD O ABC ADC三角形，，则球的体积为___________；若，分别为线段，的BD =O P Q AO BC 中点，则___________.PQ =【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明O O ，由此可求.OA OQ ⊥PQ 【详解】因为和是边长为2的等边三角形，ABC ADC 所以，，2CD CB ==2AD AB ==又BD =所以，，222BD CB CD =+222BD AB AD =+所以，为以为斜边的直角三角形，DCB DAB DB设的中点为，则，DB O '12O A O B O C O D DB ''''====故四面体的外接球的球心为，ABCD O '又为四面体的外接球的球心，O ABCD所以为的中点，且球O BD O所以球的体积O 343V π=⨯=因为，OA OB ==2AB =所以，222OA OB AB +=所以，同理，OA OB ⊥OA OC ⊥又，平面，OC OB O = ,OC OB ⊂COB 所以平面，又平面，OA ⊥COB OQ ⊂COB 所以，OA OQ ⊥所以，PQ =因为，所以为直角三角形，OC OB ==2BC =COB 又为线段的中点，所以，Q BC 1OQ =又12OP OA ==所以，PQ =五、解答题17．已知复数，.112i z =+234i z =-(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；12+z z λλ(2)若复数为纯虚数，求的虚部.()12()=⋅+∈z z z μμR z (1)13λ<-(2)20-【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点12+z z λ的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可λμ求的虚部.z 【详解】(1)，1212i (34i)(13)(24)i +=++-=++-z z λλλλ在复平面内对应的点在第二象限，则12+z z λ.113013240132λλλλλ⎧<-⎪+<⎧⎪⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪<⎪⎩所以实数的取值范围为；λ1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2).()12(12i)(34i)38[2(3)4]i =⋅+=+⨯+-=++++-z z z μμμμ为纯虚数，则且，z 380μ++=220μ+≠所以，11μ=-此时，所以的虚部为.20i =-z z 20-18．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.n (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.2225n (1)；1325(2).10n =【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.n【详解】(1)设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一A =B =C =道灯谜丙猜对”.则，，，故，，123()205P A ==82()205P B ==()20=n P C 2()5P A =3()5P B =.()120=-n P C “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.AB AB =⋃AB AB 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.A B A B A B A B 所以.332213()(()()()()()555525=+=+=⨯+⨯= P AB AB P AB P AB P A P B P A P B 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.1325(2)设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.D =D ABC =所以.2322()1()1(1((()11552025⎛⎫=-=-=-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭n P D P D P ABC P A P B P C 解得.10n =19．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，[)40,50[)50,60[)60,70，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．[)70,80[)80,90[]90,100(1)求图中a 的值；(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？(1)；0.025(2)；71(3).88【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.0.13【详解】(1)由，解得；(0.0050.0100.01520.030)101a ++⨯++⨯=0.025a =(2)，450.05550.15650.3750.25850.15950.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故本次防疫知识测试成绩的平均分为；71(3)设受嘉奖的学生分数不低于分，x 因为，对应的频率分别为0.15，0.1，[80,90)[90,100]所以，解得，(90)0.015+0.10.13x -⨯=88x =故受嘉奖的学生分数不低于分．8820．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且P ABCD -ABCD PAD 为的中点，在上且底面.,AP AD M =PD O AD PO ⊥ABCD(1)求证：侧面；AM ⊥PCD (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角ABCD PAD P BD A --的正切值.θ(1)证明见解析；【分析】（1）先证，由侧面底面证得侧面，进而AM PD ⊥PAD ⊥ABCD DC ⊥PAD 证得，即可证得侧面；DC AM ⊥AM ⊥PCD （2）连接AC ，过O 作，先证得，，则，再ON AC ∥ON BD ⊥BD PN ⊥PNO θ∠=求出，即可求解.,PO ON 【详解】(1)因为是等腰三角形且，M 为PD 的中点，所以，PAD △AP AD =AM PD ⊥因为侧面，且底面，PO ⊂PAD PO ⊥ABCD 所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面PAD ⊥ABCD DC AD ⊥DC ⊥PAD AM ⊂，所以，PAD DC AM ⊥因为DC ，侧面，且，所以侧面.PD ⊂PCD DC PD D ⋂＝AM ⊥PCD(2)连接AC ，过O 作，交于点N ，因为是正方形，所以，所ON AC ∥BD ABCD AC BD ⊥以，ON BD ⊥又因为底面，底面，所以，又PO ⊥ABCD ,BD ON ⊂ABCD ,PO BD PO ON ⊥⊥平面，，,PO ON ⊂PON PO ON O ⋂=所以平面，又平面，所以，所以，不妨设BD ⊥PON PN ⊂PON BD PN ⊥PNO θ∠=等边三角形的边长为2，PAD则，中，.PO =14ON AC =PON tan PO ON θ==21．如图，在多面体中，，，SABCD 24,BC CD AB BD AD =====3SA =平面平面是棱上一点.SBD ⊥,ABCD P SA(1)求证：；//AB CD (2)若，求证：平面；:1:2AP PS =//SC PBD (3)若平面，求直线与平面所成的角的正弦值.SA ⊥PBD BC PBD (1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）由余弦定理求得，又是等腰直角三角形，则，45ABD ∠=BCD △AB BC ⊥即可证得；//AB CD （2）由与相似得，即可证得平面；ABO CDO OP SC ∥//SC PBD （3）取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，由得即为直线与平BC AM ∥ANP ∠BC面所成的角，解三角形求得即可求解.PBD ,PA AN【详解】(1)连接AC ，交BD 于点O ，连接OP ，在中，ABD △，222cos 2AB BD AD ABD BD AB +-==⋅∠45ABD ∠= 又，可知是等腰直角三角形，且，所以222,BC CD BC CD BD =+=BCD △45DBC ∠= ，90ABC ∠= 即，又，所以；AB BC ⊥CD BC ⊥AB CD ∥(2)由（1）显然知与相似，所以，又，ABO CDO 12AO OC AB CD ==::::1:2AP PS =所以，又因为平面PBD ，平面PBD ，所以平面PBD ；OP SC ∥SC ⊄OP ⊂SC ∥(3)取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，连接PN ，则，且，所以AB CM ∥AB CM =四边形是平行四边形，ABCM则，N 为BD 中点，因为SA ⊥平面PBD ，所以直线PN 是BC AM ∥12AN BC ==直线AM 在平面PBD 内的射影，所以是直线与平面所成的角，即为直线BC 与平面PBD 所成角的平面ANP ∠AM PBD 角.过点A 作，垂足为E ，连接SE ，PE ，在等腰直角中，，所以AE BD ⊥AEB △AB =，1AE =因为平面平面ABCD ，交线为BD ，平面，所以平面SBD ，又SBD ⊥AE ⊂ABCD AE ⊥平面，SE ⊂SBD 所以，所以，在直角中，由平面，AE SE⊥SE ==SEA △SA ⊥PBD 平面，PE ⊂PBD 则，，可求得，所以所以直线BC 与PE SA ⊥AE AP SA AE =13PA=sin ANP PA AN ==∠平面PBD .22．如图，设中的角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，为的角平分线，ABC AD BAC ∠已知，，，点E ，F 分别为边，上的1AB =3144AD AB AC =+ 12||||AB AC AB AC ⋅= AB AC 动点，线段交于点G ，且的面积是面积的一半．EF AD AEFABC (1)求边的长度；BC(2)当时，求的面积．4528AG EF ⋅= AGF 【分析】（1）根据，可求得，再根据为的角平分线，结合12||||AB AC AB AC ⋅=A AD BAC ∠平面向量基本定理可求得，再根据余弦定理即可得出答案；b （2）设，，（，，），根据的面AE AB λ= AF AC μ= AG k AD = 0λ≤μ1k ≤AEF 积是面积的一半，可得，再根据，结合E ，F ，G 三点ABC 12λμ=3144AD AB AC =+ 共线，求得，再根据可求得，从而可求得，即可求得，再k 4528AG EF ⋅= ,λμAD AG 根据三角形的面积公式即可得解.【详解】(1)解：由，得，12||||AB AC AB AC ⋅= 1cos 2A =因为，所以；(0,)A π∈3A π=因为为的角平分线，所以，AD BAC ∠1BD AB DC AC b ==所以，11BD BC b =+ ，111()1111b AD AB BD AB BC AB AC AB AB ACb b b b =+=+=+-=+++++ 又，所以，得，3144AD AB AC =+314bb =+3b =因为，2222cos a b c bc A =+-所以；BC a ==(2)解：设，，（，，），AE AB λ= AF AC μ= AG k AD = 0λ≤μ1k ≤因为的面积是面积的一半，AEF ABC 所以，111||||sin ||||sin 222AE AF A AB AC A ⋅=⨯⋅所以，①12λμ=，313cos 32AB AC π⋅=⨯⨯= 由，得，3144AD AB AC =+ 13144AG AE AF k λμ=+因为E ，F ，G 三点共线，所以，即，13144k λμ=+23k μλ=+所以，3144AG k AD k AB kAC ==+又，EF AF AE AC AB μλ=-=- 所以31()44AG EF k AB kAC AC AB μλ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2233114444k AB AC k AB k AC k AB AC μλμλ=⋅-+-⋅，279124μλμλ-=+因为，所以，②4528AG EF ⋅=4528AG EF ⋅= 279124μλμλ-=+由①②解得，，12λ=1μ=所以，此时点F 与点C 重合；47k =因为，3144AD AB AC =+ 所以22223191327441616816AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅= ⎪⎝⎭ 所以AD =由得，47AG AD =AG 所以111sin 303222AGF AGC S S AG AC ==⨯⨯⨯︒=⨯=△△。

高一数学下学期期末试卷(1)苏教版

28
，至少有一件二级品的概率为
45
17
…… 12 分
45
∴ AB DC, AD BC ，且 AD DC
……………………………２分
又 AC AD DC ， BD BC CD ， ……………………………………４分
∴ BD AD DC …………………………………………………５分
∴ AC BD ( AD DC ) ( AD DC )
（ 2）设至少有一件二级品为事件 B， ………………………………………７分
则 B 是两个互斥事件：“抽取的 2 件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为 B1）”
与“抽取的 2 件产品均为二级品（ B2）”的和。 ………………８分
16
1
而 P（ B1）= ， P（B2） = ，
45
45
…………………９分
117,119 20 株； 119,121 7 株； 121,123 4 株； [123,125]2 株 .
（ 1）列出频率分布表；（ 2）画出频率分布直方图；
（ 3）据上述图表，估计数据落在 109,121 范围内的可能性是百分之几？
22. 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的
∴ f ( x) 为偶函数； ………………………………………………………４分
③ ∵ f (x ) f ( x) , ∴ f (x) 是周期为的周期函数； ……………６分
④ 当 x [0, ] 时， f ( x) = ( 1 sin x 1 sin x)2 2
x 2 2 | cos x | 2cos ，
（ 1）2 件都是一级品的概率；
（ 2）至少有一件二级品的概率。

2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】

2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、已知点M（1，6）， N（7，3），则直线MN的斜率为22、的值为3、圆的圆心坐标为4、下列命题错误的是A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面5、下列叙述正确的是A．频率是稳定的，概率是随机的B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C． 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D．若事件A发生的概率为P（A），则6、在△ABC中，已知∠B＝60°，边AB＝4，且△ABC的面积为2，则边AC的长为7、某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如下表，已知该同学的物理成绩）与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程的b的值为0．5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为А． 140B． 142C． 145D． 1488、阿基米德（Archimedes，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为A．36πB．45πC．54πD．63π9、已知直线，则下列说法正确的是A．若，则m＝－1或m＝3B．若，则m＝3C．若，则D．若，则10、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，则下列说法正确的是A．若sinB＞sinC，则B＞CB．若a＝4， b＝2， A＝，则三角形有两解C．若bcosB－ccosC＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形D．若bcosC－ccosB—0，则△ABC一定为等腰三角形11、PM2．5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2．5日均值（单位： ug/m3）的折线图，则下列关于这10天中PM2．5日均值的说法正确的是A．众数为30B．中位数是31C．平均数小于中位数D．后4天的方差小于前4天的方差12、如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是A．异面直线AC与BC1所成的角为60°B．直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°C．二面角的正切值为D．四面体的外接球的体积为二、填空题（共4题）1、已知tanα＝2，tanβ＝－1，则tan（α－β）的值为________2、过圆上一点P（1，－2）的圆的切线的一般式方程为________3、在我国，每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________4、如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A， B两点，然后在A处测得，在B处测得，由此可得旗杆CD的高度为________米三、解答题（共6题）1、已知 A（3， 2）和．（1）求过点A且与直线l平行的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点B的坐标．2、已知(1)求cosα的值；（2）求sin2α的值．3、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， A＝，________且b＝，请从这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．4、手机支付也称为移动支付（Mobile Payment），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图．(1)求x，a的值；（2）若从第1， 3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；（3）在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率5、如图，在P—ABC中，PA⊥面ABC， PA＝2， CA＝CB＝AB＝2， D为棱AB的中点，点E在棱PA上．(1)若AE＝EP，求证：PB∥平面CDE；(2)求证：平面PAB⊥平面CDE；（3）若二面角B—CD—E的大小为120°，求异面直线PC与DE所成角的余弦值．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：，过点O及点A(－2，0)的圆N与圆M外切．（1）求圆N的标准方程；（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程；（3）直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P， Q (不重合)，满足BQ＝2BP?若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．============参考答案============一、选择题1、 B2、 D3、 B4、 C5、 D6、 C7、 A8、 C9、 BD10、 ABD11、 AD12、 ACD二、填空题1、2、3、4、；三、解答题1、（1）设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线的方程为．……………………………………………4分（2）设，则由及线段的中点在直线上可得，…………………………………………………………8分解得，，所以点的坐标为．……………………………………………………10分2、（1）因为，所以，所以，由，所以，所以．………………………………………6分（2）．………………………………………12分3、情形一：若选择①，由余弦定理，……………………………………2分情形二：若选择②，则，因为，所以，……………………………………………………2分因为，所以；………………………………………………………4分情形三：若选择③，则，所以，………………………………………………………………2分因为，所以，所以，所以；………4分由正弦定理，得，……………………6分因为，，所以，………………………………8分所以，……10分所以．…………………12分4、（1）由题意可知，，…………………………………………2分所以，（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例是，则从第1组抽取的人数为，……………………………………………6分从第3组抽取的人数为．……………………………………………8分（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，则从这5人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，共有10个基本事件．………………………………………………………10分其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率．………………………………12分5、（1）由知，为棱的中点，又因为为棱的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面．………………………………………………………………2分（2）因为底面，平面，所以，在中，，为的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面．………………………………………………………5分又因为平面，所以平面平面．…………………………6分（3）由题意知，二面角的大小为，由（2）的证明可知，平面，又因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角，………………8分所以，因为底面，平面，所以，在中，，，所以．因为，所以为棱的中点，故，于是即为异面直线与所成的角．………………………………10分易知，，在中，由余弦定理知，，所以异面直线与所成角的余弦值为．………………………………12分6、（1）由题意知，圆的圆心在直线上，设，半径为，因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，所以，………………………………1分即①又，即②………………………………2分由①得，，代入②得，，解得或（舍），所以，故所求圆的标准方程为．………………………………4分（2）当的斜率不存在时，不符合题意．当的斜率存在时，设为，故的方程为，因为被两圆截得的弦长相等，所以，……………………………………………6分即，解得或，故直线的方程为或．…………………………………8分（3）设，由可知，，即，所以，即，整理得①，…………………………………………10分又直线的方程为②，…………………………………………11分由①②联立解得，，或，，由，两点不重合，故，不合题意，舍去，故存在点符合题意．………………………………………………………12分。

苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)

启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。