福建省厦门市湖滨中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

厦门市湖滨中学2015---2016学年第二学期期中考高二数学（理）试卷本卷满分150分，考试时间120分钟A 卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 复数212i i-=+ A ．i B ． i C ．4355i -- D ．4355i -+ 2.物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为A ．2B ．4C ．6D ．83. 下列推理所得结论正确的是A ．由()a b c ab ac +=+类比得到log ()log log a a a x y x y +=+B ．由()a b c ab ac +=+类比得到sin()sin sin x y x y +=+C ．由()()a b c a b c ++=++类比得到()()xy z x yz =D ．由()n n n ab a b =类比得到()n n nx y x y +=+ 4. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5. 若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 的共轭复数是A ．2+ iB ． iC ． iD ． i6. 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．63<<-a B ．3-<a 或6>aC ．21<<-aD ．1-<a 或2>a7.与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程是A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．221169y x -=D ．221916y x -=8. 若3()2f x x bx =-++在(1,+)∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,3]-∞ D ．(,3)-∞9. 点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是 A ．１ B．２ D ．10. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

）11.若223)(a bx ax x x f +++=在x ＝1处有极值10，a b += .12.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是.13.函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值2，那么此函数在[]2,2-上最小值为 .14. 由曲线sin y x =和cos y x =，与直线0x =，2x π=所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积为 .三、解答题：（本大题共3个小题，共分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。

）15. （本小题满分10分）在边长为2的正方体1111ABCD A BC D - 中，E 是BC 的中点，F 是1DD 的中点，（1） 求证：CF ∥平面1A DE ； （2）求二面角1E A D A --的平面角大小的余弦值.16. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ， （1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.C 1A 1C17．（本小题满分12分）边长为10cm 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒。

（1）试把方盒的容积V ,表示为x 的函数；（2）x 多大时，方盒的容器的容积最大？并求出最大容积.B 卷四、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

）18. .（请在横线上填“<”,”>”或“=”）19.已知双曲线122=-y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且6021=∠PF F ，则=⋅||||21PF PF .20. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B两点,点O 是原点,若3AF =，则AOB ∆的面积为 .21.已知x x f lg )(=，函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<；②0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-；③;0)()(2121>--x x x f x f④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确结论的序号是 .三、解答题：（本大题共3个小题，共分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤。

） 22. （本小题满分10分）已知函数x x x f -+=)1ln()(.（1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）若1,x >-求证：ln(1)x x +≤23. （本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2(2,0)F 与x 轴垂直的直线交椭圆于点M ，且23MF =． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知点(0,1)P ，问是否存在直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AB 的垂直平分线恰好过P 点？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．.24. （本小题满分12分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．厦门市湖滨中学2015---2016学年第二学期期中考高二数学试题答案一、 选择题：二、填空题：11． -7 12. 4n+2 13. -38 14. 118. < 19. 4 20.221. ①③ 15. 解：（1）分别以DA,DC,DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A 1（2,0,2）,E(1,2,0),D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 3分则()()12,0,2,1,2,0,DA DE ==设平面A 1DE 的法向量是(),,,n a b c =则122020n DA a c n DE a b ⎧∙=+=⎪⎨∙=+=⎪⎩ ， 取()2,1,2,n =-5分 ()0,2,1CF =-, 220,CF n CF n ∙=-+=∴⊥ ,所以，CF ∥平面A 1DE 6分 (也可取A 1D 中点M ，连接MF 、ME ，证明FC ∥ME 即可)（2）()0,2,0DC =是面AA 1D 的法向量，1cos 3DC n DC n θ∙== 8分二面角1E A D A --的平面角大小的余弦值为1310分16.4分（2）当n=1时a1=2^1-1=2-1=1 6分 假设n=k 时ak=2^k-1 成立 8分 则当n=k+1时a(k+1)=2ak+1 由a(n+1)=2an+1而得 =2(2^k-1)+1 =2*2^k-2+1 =2^(k+1)-1所以当n=k+1时等式成立 10分综上所以an=2^n-1 12分17．（1）2()(102),(0,5)V x x x x =-∈ 4分 （2）所以2()32025V x x x '=-+ ， 6分令()0V x '= 得125,53x x ==（舍去） 8分当5(0,)3x ∈ 时，()0V x '> ；当5(,5)3x ∈ 时，()0V x '< 10分因此，53x = 是函数()V x 的极大值点，也是最大值点。

所以，当53x = 时，无盖方盒的容积 最大。

12分2223、解：（1）由题意可得：，解得c=2，a=4，b 2=12．∴椭圆的标准方程为． 5分（2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A ，B ，且AB 的垂直平分线恰好过P 点． 则直线l 的斜率存在，设l 方程为：y=kx+t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点N （x 0，y 0）．联立，化为（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣48=0， 7分△=64k 2t 2﹣4（3+4k 2）（4t 2﹣48）＞0， 化为：12+16k 2＞t 2．∴x 1+x 2=，x 1x 2=． 9分∴x 0==，y 0=kx 0+t=． 10分∴k PN ==，∵PN⊥l， 11分∴•k=﹣1，化为：t=﹣3﹣4k 2． 代入△＞0，可得12+16k 2＞（﹣3﹣4k 2）2． 化为16k 4+8k 2﹣3＜0，解得：，即．因此存在直线1与椭圆交于不同的两点A ，B ，且AB 的垂直平分线恰好过P 点．直线l 的斜率范围是． 12分24：（Ⅰ）220x y --=； 4分 （Ⅱ）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 5分当01a <<时，在1x a <或1x a+>上单调递增，在11x a a<<上单调递减； 6分 当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 7分 （Ⅲ）0a > 12分。