中考复习精品讲义 二次函数的定义与性质(含答案)
初三数学上册《二次函数》讲义第1讲二次函数的概念图象和性质（1）（有答案）
初三数学上册《⼆次函数》讲义第1讲⼆次函数的概念图象和性质（1）（有答案）第1讲⼆次函数的概念、图象和性质⼀般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的⼆次函数注意：⼆次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于⾃变量x 的⼆次式，x 的最⾼次数是，按、、依次排列2、强调⼆次项系数a 01、⼆次函数基本形式：（1）.2y ax =的性质：a 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。
（2）. 2y ax c =+的性质：上加下减。
（3）. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
（4）. ()2y a x h k =-+的性质：2、⼀般式：2y ax bx c =++ 3、顶点式：2()y a x h k =-+ 4、交点式：12()()y a x x x x =--5、平移：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”1.⼆次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是⼀条，其顶点坐标为，对称轴式2.在抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)中： 1.当a>0时，y ⼝向，当x<-2ba时，y 随x 的增⼤⽽，当x 时，y 随x 的增⼤⽽增⼤2、当a<0时，开⼝向，当x<-2ba时，y 随x 增⼤⽽，当x 时，y 随x 增⼤⽽减⼩注意：注意⼏个特殊形式的抛物线的特点1.y=ax 2 ,对称轴；顶点坐标2.y= ax 2 +k ，对称轴；顶点坐标3.y=a(x －h) 2对称轴；顶点坐标4.y=a(x －h) 2 +k 对称轴；顶点坐标考点1、⼆次函数定义例1、如果y=（a-1）x2-ax+6是关于x的⼆次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠1且a≠0 D．⽆法确定例2、在下列关系式中，y是x的⼆次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0例3、下列函数关系中，可以看作⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在⼀定距离内，汽车⾏驶的速度与⾏驶的时间的关系B．我国⼈⼝的⾃然增长率为1%，这样我国总⼈⼝数随年份变化的关系C．矩形周长⼀定时，矩形⾯积和矩形边长之间的关系D．圆的周长与半径之间的关系例4、若是⼆次函数，则m的值是．例5、已知正⽅形的⾯积为y（cm2），周长为x（cm）．（1）请写出y与x的函数关系式．（2）判断y是否为x的⼆次函数．例6、已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．（1）若这个函数是⼀次函数，求m的值；（2）若这个函数是⼆次函数，则m的值应怎样？1、下列各式中，y 是x 的⼆次函数的是（） A ．21xyB ．y=2x+1C ．y=x 2+x-2D ．y 2=x 2+3 2、⼆次函数y=2x （x-3）的⼆次项系数与⼀次项系数的和为（） A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4 3、下列函数关系中，是⼆次函数的是（）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离⼀定时，⽕车⾏驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三⾓形的周长C 与边长a 之间的关系D ．圆⼼⾓为120°的扇形⾯积S 与半径R 之间的关系4、已知抛物线y=（m-1）x 2，且直线y=3x+3-m 经过⼀、⼆、三象限，则m 的范围是．5、已知y=（m+1）是⼆次函数，求m 的值．考点2、⼆次函数图象例1、在平⾯直⾓坐标系中，与抛物线y=x 2关于直线y=x 对称的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2、如图，平⾯直⾓坐标系中的⼆次函数图象所对应的函数解析式可能为（）例3、如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象回答，当ax2+bx+c＜1时，x的取值范围是（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．x＜－1 D．x＞3例4、当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图像⼤致是（）例5、如图所⽰四个⼆次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的⼤⼩关系为．例6、如表给出了⼀个⼆次函数的⼀些取值情况：请在坐标系中画出这个⼆次函数的图象，并根据图象说明：（1）当y随x的增⼤⽽增⼤时⾃变量x的取值范围；（2）当0≤y＜3时x的取值范围．1、下列为四个⼆次函数的图形，哪⼀个函数在x=2时有最⼤值3（）A ．B ．C ．D ．2、苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满⾜s=2gt 2（g 是不为0的常数），则s 与t 的函数图象⼤致是（）A ．B ．C ．D ．3、已知函数y=-x 2+2x+c 的部分图象如图所⽰，若y≤0，则x 的取值范围是（） A ．－1＜x ＜3 B ．－1≤x≤3 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．x≤－1或x≥34、已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所⽰，则函数y=ax+b 的图象是（）5、在同⼀直⾓坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（）6、在正⽅形的⽹格中，抛物线y 1=x 2+bx+c 与直线y 2=kx+m 的图象如图所⽰，请你观察图象并回答：当－1＜x ＜2时，y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”号）．考点3、⼆次函数的性质例1、若是⼆次函数且图象开⼝向下，则m 的值是（）A ．－2B ．1C ．1或－2D ．2或－1 例2、下列函数中，在全体实数范围内，y 随x 的增⼤⽽增⼤的是（）A ．y=2x 2B ．x-= C ．y=-2 D ．y=-2+例3、已知⼀个函数具有以下条件：①该函数图象经过第⼆象限；②当x ＜0时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；③该函数图象不过原点，请写出⼀个符合上述条件的函数关系式：．例4、有⼀次函数y 1=kx+m 和⼆次函数y 2=ax 2+bx+c 的⼤致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）（1）不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是______；kx+m ＞ax 2+bx+c 的解集是______．（2）当x=______时，y 1=y 2．（3）要使y 2随x 的增⼤⽽增⼤，x 的取值范围应是______．例5、已知⼆次函数y=x 2+2x-3，解答下列问题：（1）⽤配⽅法将该函数解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式；（2）指出该函数图象的开⼝⽅向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．例6、将⼆次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的图象解析式为y=a（x-h）2+k．（1）求出a，h，k的值．（2）对于函数y=a（x-h）2+k，当x取何值时，y随x的增⼤⽽减⼩？该函数的顶点是什么？1、下列说法正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c的图象⼀定是抛物线B．抛物线y=ax2⼀定在x轴上⽅（顶点在x轴上）C．⼆次函数图象的对称轴是y轴D．⼆次函数图象的顶点⼀定在其对称轴上2、已知函数y=-ax+b（a≠0）的图象经过⼀、三、四象限，则函数y=-ax2+bx的图象不经过的象限是（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3、⼆次函数y=2（x+2）2的开⼝向，顶点坐标为，对称轴为，当x 时，y随x的增⼤⽽增⼤．4、已知⼆次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＞0），关于这个⼆次函数的图象有如下说法：①图象的开⼝⼀定向上；②图象的顶点⼀定在第四象限；③图象与x轴的交点⾄少有⼀个在y轴的右侧．以上说法正确的是．5、已知函数y=3x 2-6x-24．（1）通过配⽅，写出抛物线的开⼝⽅向、对称轴和顶点坐标；（2）利⽤对称性作出这个函数的图象；（3）分别求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．1、下列函数中，是⼆次函数的为（） A ．y=2x+1 B ．y=（x-2）2-x 2 C ．22x yD ．y=2x （x+1） 2、⼆次函数y=x 2+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是（） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－53、已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所⽰，根据图象提供的信息，可得y≤1时，x 的取值范围是（）A ．x≥－3B ．－3≤x≤1C ．－1≤x≤3D ．x≤－1或x≥34、抛物线y=x 2与y=-x 2的图象的关系是（） A ．开⼝⽅向不同，顶点相同，对称轴相同 B ．开⼝⽅向不同，顶点不同，对称轴相同 C ．开⼝⽅向相同，顶点相同，对称轴相同 D ．开⼝⽅向相同，顶点不同，对称轴不同5、如图，⼆次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此⼆次函数的说法正确的是（）A ．y 的最⼤值⼩于0B ．当x=0时，y 的值⼤于1C ．当x=-1时，y 的值⼤于1D ．当x=-3时，y 的值⼩于06、函数y=ax和y=ax2+b同⼀坐标系中的⼤致图象是（）A．B．C．D．7、如图，⼆次函数y1=ax2+bx+c与⼀次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，-3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．-3＜x＜1 D．x＜-3或x＞1第7题第8题8、已知⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所⽰，给出以下结论：①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③⽅程ax2+bx+c=0的两根是－1和3．④x ＜1时，y随x的增⼤⽽增⼤．其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09、当a 时，函数y=（a－1）x2+bx+c是⼆次函数．10、已知y=是y关于x的⼆次函数，则m= ，此函数图象与x轴的交点坐标是，其图象的对称轴是．11、如图是⼆次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和⼀次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．12、把函数y=3-4x-2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开⼝⽅向、顶点坐标和对称轴．13、抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上⽅？（4）x取什么值时，y的值随x值的增⼤⽽减⼩？14、函数y=（m+2）是关于x的⼆次函数，求：（1）满⾜条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x 的增⼤⽽增⼤？（3）m为何值时，函数有最⼤值？最⼤值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增⼤⽽减⼩．1、如图，是⼀次函数y=kx+b与⼆次函数y=的图象，则关于x的⽅程kx+b=的解为（）A．x l=-1，x2=2 B．x l=1，x2=-2C．x l=0，x2=2 D．x l=0，x2=-22、如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三⾓形所得阴影部分的⾯积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）1、若y=（m-1）+mx+3是⼆次函数，则m的值是（）A．1 B．－1 C．±1 D．22、在平⾯直⾓坐标系中，函数y=-x+1与y=－（x-1）2的图象⼤致是（）A．B．C．D．3、根据图象判断下列说法错误的是（）A．函数y2的最⼤值等于4 B．x＞2时，y1＞y2C．当-1＜x＜2，y2＞y1 D．当x为-1或2时，y1≠y24、已知y=（a+1）x2+ax是⼆次函数，那么a的取值范围是．5、⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则当y＞0时x的取值范围是．6、⼆次函数y=x2-2x-3的开⼝⽅向向，对称轴为，顶点坐标为，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．7、根据下⾯的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为⼆次函数：（1）如果两个数中，⼀个⽐另⼀个⼤5，那么，这两个数的乘积p是较⼤的数m的函数；（2）⼀个半径为10cm的圆上，挖掉4个⼤⼩相同的正⽅形孔，剩余的⾯积S（cm2）是⽅孔边长x（cm）的函数；（3）有⼀块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁⾦⾹，那么郁⾦⾹的种植⾯积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．8、已知函数y=21x 2+2x+1，解答下列问题：（1）写出抛物线的开⼝⽅向，顶点坐标及对称轴；（2）作出函数图象，并观察图象，写出x 为何值时，y 随x 的增⼤⽽增⼤？x 为何值时，y 随x 的增⼤⽽减⼩？（3）函数的最值是多少？参考答案第1讲⼆次函数的概念图象和性质考点1、⼆次函数定义例1、B例2、C例3、C例4、例5、例6、1、C2、D3、D4、5、考点2、⼆次函数图象例1、B例2、D例3、A例4、B例5、例6、解：（1）如图所⽰，y随x的增⼤⽽增⼤时⾃变量x的取值范围为x＞2；（2）如图，当0≤y＜3时0＜x≤1或3≤x＜4．1、A5、D6、考点3、⼆次函数的性质例1、A例2、D例3、例4、例5、例6、解：（1）因为⼆次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到⼆次函数y=2（x+2）2-3，所以a=2，h=2，k=-3；（2）对于y=2（x+2）2－3，抛物线的对称轴为直线x=-2，因为a=2＞0，所以当x＜－2时，y随x的增⼤⽽减⼩；抛物线的顶点坐标为（-2，3）．4、5、。
二次函数概念、图象及性质讲义(含答案)
二次函数初探——表达式、图象及性质一、知识点睛1． 一般的，形如_____________________________________的函数叫做x 的二次函数．2． 二次函数的一般式：________________________________； 二次函数的顶点式：________________________________；二次函数的一般式常用来 ，因为有 个未知数，故一般需要知道 点坐标，分别代入得到 个方程，组成方程组求解；二次函数的顶点式常用来 ，记住口诀： ．3． 二次函数的图象是 ，是 图形，对称轴是 ，顶点坐标是 ．4． 二次函数中，a 的符号决定了抛物线开口的方向，当 时，开口向 ，当______时，开口向 ；c 是图象与_ 交点的______；b 的符号判断方法是：与a ．5． 二次函数中，当a 时，函数有最 值，是 ；当a 时，函数有最 值，是 ；当a 时，图象以对称轴 为界，左侧y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ；当a 时，图象以对称轴 为界，左侧y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ．二、精讲精练1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有 ．① 2132y x x =--；②2123y x x =-+；③2132y x =-+； ④222y x =+；⑤2y x =-；⑥231252y x x =-+；⑦215s t t =++ ； ⑧ 220x y -+=． 2. 函数72)3(--ax a y =为二次函数，则a =（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．53. 通过配方把221213y x x =-+写成k h x a y +=2)(-的形式（ ）A ．2(3)5y x =--B ．2(3)5y x =+-C ．22(3)5y x =-+D ．22(3)5y x =--4.抛物线21323y x x=-+-与2yax=的形状相同，而开口方向相反，则a=（）A．13-B．3 C．-3 D．135.抛物线5)3(2+=-xy的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．开口向上；直线3x=-；（-3，5）B．开口向上；直线3=x；（3，5）C．开口向下；直线3=x；（-3，-5）D．开口向下；直线3x=-；（3，-5）6.（2011湖南永州）由二次函数22(3)1y x=-+，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线3x=-C．其最小值为1D．当3x<时，y随x的增大而增大7.（2011广东肇庆）二次函数522-+=xxy有（）A．最大值5-B．最小值5-C．最大值6-D．最小值6-8.二次函数221(0)y kx x k=++<的图象可能是（）x xA B C9.反比例函数xky=的图象如图，则二次函数222kxkxy+-=的图象为（）x xA BxC D10. （2011安徽芜湖）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A B C D11. 在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx ²+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能．．是（ ）D12. （2011重庆江津）将抛物线y =x 2－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．13. 抛物线y = (x +2)²-3可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是( ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位14. 抛物线2y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（ ）xA ．b =2，c =3B ．b =2，c =6C ．b =-2，c =-1D ．b =-3，c =215. 已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）． A ．22(2)2y x =-+ B ．22(2)2y x =+- C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++16. 已知抛物线2115322y x x =---，将它配成顶点式为 ，图象的对称轴是直线 ，当______时， y 随x 的增大而减小，顶点坐标为________，当x = 时，y 有最 值，是 ．17. 抛物线y=2(x+m )2+n (m ，n 是常数)的顶点坐标是 ；c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；2241y x x =-++顶点坐标是 ，对称轴是 ．18. 抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是(-1，-2)，则b 与c 的值分别是 、 ．19. 要使二次函数y =mx 2 +2m 的图象开口向上，则m ；抛物线2112y x =-开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，有 值，是 ．20. 已知二次函数的图象经过点A （12，0），B （0，2），C （1， -1），求此二次函数的解析式.【练习】已知二次函数的图象经过点A （2，0），B （-8，152-），C （－1，3），求此二次函数的解析式.21. 二次函数图象顶点坐标是(1，-3)，且过(3，-15)．求二次函数解析式．22. 已知抛物线2145333y x x =-++.（1）把它配方成2()y a x h k =-+形式； （2）写出它的顶点M 的坐标、对称轴和最值；（3）求出图象与x 轴的交点A 、B （A 在B 点的左侧）的坐标，与y 轴的交点C 的坐标；（4）作出函数图象，根据图象指出x 取什么值时y ＞0； （5）求△AMB 的面积．x讲义答案：一、 知识点睛1.2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)2.2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；224()24b ac b y a x a a-=++；求表达式；3；3；平移；左加右减，上加下减 3.抛物线；轴对称；2b x a=-；24(,)24b ac b a a -- 4.0a >；上；0a <；下；y 轴；纵坐标；左同右异5. 0a >；小；244ac b a -；0a <；大；244ac b a -；0a >；直线2b x a=-；减小；增大；0a <；直线2bx a=-；增大；减小 二、精讲精练1.①③⑤⑦⑧2.A3.D4.D5.B6.C7.D8.C9.D 10.D 11.D12.21027y x x =-+ 13.B 14.B 15.B16.21(3)32y x =-+-；3x =-；3x >-；()3,3--；-3；大；-317. (,)m n -；24(,)24b ac b a a--；()1,3；直线1x =18.4，0 19.>0；下；y 轴或直线0x =；(0,1)；最大；120.2252y x x =-+；2135442y x x =--+ 21.2366y x x =-+-22.(1)21(2)33y x =--+ (2) M ()2,3 ；直线2x =；max 3y = (3)A ()1,0-；B ()5,0；C 50,3⎛⎫⎪⎝⎭(4)15x -<< (5)9 作业：1．已知点（a ，8）在二次函数y ＝ax 2的图象上，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．2．若y =(2-m)23m x -是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ）A． B ．CD ．03．已知h 关于t 的函数关系式为h =12gt 2（g 为正常数，t 表示时间），则函数的图象为（ ）A B C D 4．抛物线y ＝x 2＋2x -2的图象最低点的坐标是（ ）A ．（2，-2）B ．（1，-2）C ．（1，-3）D ．（-1，-3）5．（2011江苏无锡）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点（0，1）的是（ ）A ．y = (x − 2)2 + 1B ．y = (x + 2)2 + 1C ．y = (x − 2)2 − 3D ．y = (x + 2)2 – 3 6．二次函数226y x x =+-有（ ）A ．最大值-6B ．最小值-6C ．最大值-7D ．最小值-77．小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的六条信息：① a ＜0，②c =0，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >，⑥对称轴是直线x =2．你认为其中正确的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．认真观察图象，下面给出的四个结论你认为错误的是（ ）A ．图象开口向下B ．抛物线与y 轴交点为（0，6）C ．当x =1时，函数值有最小值8D ．对称轴是直线x=1xx第8题图 第9题图9．二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．000><>c b a ，，B ．a b c <<>000，，C ．a b c <><000，，D ．a b c <>>000，， 10．（2011四川凉山州）二次函数函数a y x=与2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例正比例函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）xxxA B C D11．在同一平面直角坐标系中，函数y =kx +k 和函数y =-kx 2+4x +4（k 是常数，且k ≠0）的图象可能是（ ）D12．（2010甘肃兰州）抛物线y =ax 2+bx +c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b ,c 的值为（ ） A. b =2，c =2 B. b =2，c =0 C. b = -2，c =-1 D. b = -3，c =213．函数y =9-4x 2，当x ____时，y 随x 的增大而增大，当x =_____时有最大值________．14．函数21213y x x =-++，当x ____时，y 随x 的增大而减小．15．抛物线22y x bx c =-++的顶点坐标是（-1，4），则b 与c 的值分别是 、 ．16．用配方法求下列函数图象的对称轴、顶点坐标；求与x 轴的交点坐标．（1）y =4x 2+24x +35； （2）y =-3x 2+6x +2；（3）y =x 2-x +3； （4）y =2x 2+12x +18．17．用公式法求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标、最值．（1）221213y x x =-+； （2）2580319y x x =-+-；（3）21212y x x =--； （4）2(2)(4)y x x =---．18．根据二次函数图象上的三个点的坐标，求出函数的解析式：（1）（-1，3），（1，3），（2，6）； （2）（-1，-1），（0，-2），（1，1）； （3）（1，2），（3，0），（-2，20）．19．二次函数的顶点坐标是（-2，-3），且过点（1，9），求二次函数的解析式．20．（2010广东广州）已知抛物线y ＝-x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内 描点画出该抛物线的图象；（31122满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．x21．（2010山西）已知二次函数y＝x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A,B,C,D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）说出抛物线y＝x2-2x-3可由抛物线y＝x2如何平移得到；（3）求四边形OCDB的面积．作业答案：1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.D8.C9.D 10.B 11.D 12.B 13.<0，0，9 14.>3 15.-4、216．（1）对称轴为直线x=﹣3，顶点坐标（﹣3，-1），交点坐标5(,0)2A-，7(,0)2B-（2）对称轴为直线x=1，顶点坐标（1，5），交点坐标(1A+，(1B（3）对称轴为直线12x=，顶点坐标111(,)24，与x轴没有交点（4）对称轴为直线x=﹣3，顶点坐标（﹣3，0），交点坐标（﹣3，0）17．（1）对称轴为直线x=3，顶点坐标（3，﹣5），最小值为﹣5（2）对称轴为直线x=8，顶点坐标（8，1），最大值为1（3）对称轴为直线x=2，顶点坐标（2，﹣3），最小值为﹣3（4）对称轴为直线x=3，顶点坐标（3，2），最大值为218．（1）y=x2+2 （2）y=2x2+x-2 （3）y=x2-5x+619．42233y x=+-（）41672333y x x=++或20．（1）直线x=1，（1，3）（2）略（3）y1<y2 21．（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）D（1，-4）（2）先向右平移一个单位，再向下平移4个单位（3）152第 11 页共 11 页。
中考备考数学总复习第12讲二次函数(含解析)
第12讲 二次函数[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.[导学必备知识]知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：(1)一般形式：____________________________；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．二、二次函数的图象及性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向 开口向上 开口向下对称轴 直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a增减性 当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大 当x ＜－b 2a时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h )2＋k (a ≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.自主测试1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－32. 如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2-4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2－7＋4是二次函数．4．(上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．5．(广东珠海)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．[探究重难方法]考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b 2a＝－－62×(－3)＝－1， 4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A ．(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法总结1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－b2a ，顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)． (2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值． 触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．[品鉴经典考题]1．(湖南株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1,0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(－2,0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2 2．(湖南郴州)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是( )A ．(－1,2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1,2)3. (湖南娄底)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1x 2＝12.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．4．(湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40－x ，25≤x ≤30，25－0.5x ，30<x ≤35(年获利＝年销售收入－生产成本－成本)．(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并说明的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．5. (湖南湘潭)如图，抛物线y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．[研习预测试题]1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( )A ．(3，－4)B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由． 参考答案【知识梳理】一、ax 2＋bx ＋c (1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) (2)(h ，k )二、小 大三、y 轴 左 右四、形状六、2.横坐标 4.－b a c a导学必备知识自主测试1．C2．D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0；与y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c ＜1，∴(2)错；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∵a ＜0，∴2a ＜b ，∴2a －b ＜0； 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故选D.3．－3 由题意，得m 2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.4．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)．∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0.由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13， ∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0； 由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0. 又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3.A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4.解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3. ∴m ＝6.(2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)． 触类旁通5.解：(1)(10＋7x ) (12＋6x )(2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x .(3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4，∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元． 品鉴经典考题1．A 点A 到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为－3，所以另一个交点坐标为(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m .∵1x 1＋1x 2＝12，即x 1＋x 2x 1x 2＝12， ∴m 2－2－2m ＝12， 解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，y ＝x 2＋x －2，得A (－2,0)，B (1,0)；当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去．∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2＋x －2.(2)由(1)得A (－2,0)，B (1,0)，C (0，－2)．假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC ，根据平移知识可得P (－1,2)，经验证P (－1,2)在直线y ＝x ＋3上，故在直线y ＝x ＋3上存在一点P (－1,2)，使四边形P ACB 为平行四边形．4．解：(1)当x ＝28时，y ＝40－28＝12.所以，产品的年销售量为12万件．(2)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20)－25－100＝－x 2＋60x －925＝－(x －30)2－25，故当x ＝30时，W 最大为－25，即公司最少亏损25万元；②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20)－25－100＝－12x 2＋35x －625＝－12(x －35)2－12.5，故当x ＝35时，W 最大为－12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20－1)－12.5－10＝－x 2＋61x －862.5， 令W ＝67.5，则－x 2＋61x －862.5＝67.5，化简得x 2－61x ＋930＝0，x 1＝30，x 2＝31，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x ＝30.②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20－1)－12.5－10＝－12x 2＋35.5x －547.5， 令W ＝67.5，则－12x 2＋35.5x －547.5＝67.5， 化简得x 2－71x ＋1 230＝0，x 1＝30，x 2＝41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x ≤35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x ≤35.5．解：(1)将点B (4,0)代入y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)中，得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2. (2)∵当12x 2－32x －2＝0时，解得x 1＝4，x 2＝－1， ∴A 点坐标为(－1,0)，则OA ＝1.∵当x ＝0时，y ＝12x 2－32x －2＝－2，∴C 点坐标为(0，－2)，则OC ＝2.在Rt △AOC 与Rt △COB 中，OA OC ＝OC OB ＝12， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴∠ACO ＝∠CBO .∴∠ACB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠CBO ＋∠OCB ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫32，0.(3)连接OM .设M 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，12x 2－32x －2，则S △MBC ＝S △OBM ＋S △OCM －S △OBC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋32x ＋2＋12×2×x －12×2×4 ＝－(x －2)2＋4.∴当x ＝2时，△MBC 的面积有最大值为4，点M 的坐标为(2，－3)．研习预测试题1．A 2.C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D.4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2， ∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y 取得最大值，②错误． 7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b －2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧ a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t . ∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295. ∴10－t ＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x ＝2或顶点的横坐标为2；都经过A (1,0)，B (3,0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，∴kx 2－4kx ＋3k ＝8k ，∵k ≠0，∴x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴EF ＝x 2－x 1＝6，∴线段EF 的长度不会发生变化．。
二次函数的图象和性质(含详细参考答案10页)
2013年中考数学专题复习 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向 ，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向 当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2+k ，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x2-7x+152，若自变量x分别取x1，x2，x 3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【聚焦中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-38．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）20 50 70 80 90所用燃气量（升）73 67 83 97 115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞33．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤34．（2012•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1）C．（2，-1） D．（-2，1）5．（2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-26．（2012•西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A.当x=0时，y的值大于1B.当x=3时，y的值小于0C.当x=1时，y的值大于1D.y的最大值小于06．（2012•巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-17．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜19．（2012•扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-210．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）11．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题12．（2012•玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．13．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．14．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．15．（2012•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．16．（2012•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．17．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．18．（2012•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．19．（2012•贵港）若直线y=m （m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．19．（2012•广安）如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题20．（2012•柳州）已知：抛物线y=34（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．21．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi0 1 2 3 4 5 …yi0 1 4 9 16 25 …y i+1﹣yi1 3 5 7 9 11 …由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，∴y3＞y2＞y1．故选B．1．（2012•衢州）解：∵二次函数y=12-x2-7x+152，∴此函数的对称轴为：x=2ba-=7712()2--=-⨯-，∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x 的增大而减小，∴函数的对称轴x=-22m --≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22m--≥1，即m ≥1，故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x 2+2x-3，当y=0时，得x 2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x 1=1，x 2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=420082+=1006，则22m--=1006，m=1006，原函数可化为y=x 2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）． 对应训练2．（2012•河北）解：①∵抛物线y 2=12（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，故本小题正确；②把A （1，3）代入，抛物线y 1=a （x+2）2-3得，3=a （1+2）2-3，解得a=23，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y 1=a （x+2）2-3过原点，当x=0时，y 2=12（0-3）2+1=112，故y 2-y 1=112，故本小题错误；④∵物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），∴y 1的对称轴为x=-2，y 2的对称轴为x=3，∴B （-5，3），C （5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC ，故本小题正确．故选D ． 考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=2ba-=1，∴2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b a -=2，∴x 1+x 2=ba-=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 对应训练3．（2012•重庆）解：A 、∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴2ba-＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x=2b a -=12-，∴a=b ，故本选项错误；C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x=12-，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2，∴当x=-2时，4a-2b+c ＜0，即4a+c ＜2b ，故本选项正确．故选D ． 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）解：∵A 在直线y=x 上，∴设A （m ，m ），∵OA=2，∴m 2+m 2=（2）2，解得：m=±1（m=-1舍去），m=1，∴A （1，1），∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，故选：C ． 对应训练4．（2012•南京）解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．故答案为：①③．【聚焦中考】1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ． 2．解：A 、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y 的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C 、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y 的值小于x=-1时，y 的值1，即当x=-1时，y 的值小于1；故本选项错误；D 、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y 的值小于0；故本选项正确．故选D ． 3．解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=2ba-＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数ay x=位于第二四象限，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ． 4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A ′是（0，y 1），那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ． 6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，选项①正确；又对称轴为直线x=1，即2ba-=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误；∵-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误；∵-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ），联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ，∴a ：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确，则正确的选项有：①④．故选D ． 7．A8．解：（1）若设y=kx+b （k ≠0），由7320 6750k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1577k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以y=15-x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；若设k y x =（k ≠0），由73=20k ，解得k=1460，所以y=1460x，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；若设y=ax 2+bx+c ， 则由7340020 67250050 83490070a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1 508 597a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以y=150x 2-85x+97（18≤x ≤90），把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．所以二次函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律； （2）由（1）得：y=150x 2-85x+97=150（x-40）2+65，所以当x=40时，y 取得最小值65．即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升） 设该家庭以前每月平均用气量为a 立方米，则由题意得：50115a=10，解得a=23（立方米），即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．【备考真题过关】1．C 2．D 解：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图：所以若|ax 2+bx+c|=k （k ≠0）有两个不相等的实数根，则k ＞3，故选D ．3．B 解：∵当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c ≤0②，①②联立解得：c ≥3，故选B ． 4．B 5．C6.解：由图可知，当x ＞﹣1时，函数值y 随x 的增大而减小，A 、当x=0时，y 的值小于1，故本选项错误；B 、当x=3时，y 的值小于0，故本选项正确；C 、当x=1时，y 的值小于1，故本选项错误；D 、y 的最大值不小于1，故本选项错误．6．C 解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，A 、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确； D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．故选C ． 7．B 解：根据图象可得：a ＞0，c ＜0，对称轴：2bx a=-＞0，①∵它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴2ba-=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a ＞0，∴b ＜0，∵c ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③∵a-b+c=0，∴c=b-a ，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a ）=2b-3a ，又由①得b=-2a ，∴a-2b+4c=-7a ＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y ＞0，∴16a+4b+c ＞0，由①知，b=-2a ，∴8a+c ＞0；故④正确；故正确为：③④两个．8．B 解：∵二次函数y=ax 2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（-1，0），∴易得：a-b+1=0，a ＜0，b ＞0，由a=b-1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b=a+1＞0得到a ＞-1，结合上面a ＜0，所以-1＜a ＜0②，∴由①②得：-1＜a+b ＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t ＜2．故选：B ． 9．B 10．D 11．B 解：当x=0时，y=-6，故函数与y 轴交于C （0，-6），当y=0时，x 2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A （-2，0），B （3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2． 二、填空题12．7 解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，94），当y=0时，-（x-2）2+94=0，解得x 1=12，得x 2=72．可画出草图为：（右图）图象与x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．13．解：∵抛物线y=a （x-3）2+k 的对称轴为x=3，且AB ∥x 轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC 的周长=3×6=18．故答案为：18． 14．①②③ 解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0，对称轴：x=2b a -=1，2b a=-1，b=-2a ，∵a ＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ，由图象可以看出当x=-1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，故②正确；∵b=-2a ，∴a-（-2a ）+c ＜0，即：3a+c ＜0，故③正确；由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③． 15．y 1＞y 2 解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞． 16．37解：∵x 2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴[-2（a-1）]2-4a （a-3）＞0，∴a ＞-1，将（1，0）代入y=x 2-（a 2+1）x-a+2得，a 2+a-2=0，解得（a-1）（a+2）=0，a 1=1，a 2=-2．可见，符合要求的点为0，2，3．∴P=3 7 ．故答案为37． 17．y=x 2+x-2 18．y=-（x+1）2-2 解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故答案为：y=-（x+1）2-2．18 解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值范围为0＜m ＜2，故答案为：0＜m ＜2．19．272解：如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （-6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，得出二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h ，将（-6，0）代入得出：0=12（-6+3）2+h ，解得：h=92-，∴点P 的坐标是（-3，92-），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=|-3|×|92-|=272．故答案为：272．三、解答题20．解：（1）抛物线y=34（x-1）2-3，∵a=34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1； （2）∵a=34＞0，∴函数y 有最小值，最小值为-3； （3）令x=0，则y=34（0-1）2-3=94-，所以，点P 的坐标为（0，94-），令y=0，则34（x-1）2-3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，点Q 的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P （0，94-），Q （-1，0）时，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，则940b k b ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得9494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线PQ的解析式为y=94-x94-，当P（0，94-），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n ，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得3494mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，直线PQ的解析式为y=34x94-，综上所述，直线PQ的解析式为y=94-x94-或y=34x94-．3．（2012•佛山）解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。
中考复习精品讲义二次函数的定义与性质(含答案)
第一讲 二次函数(一) : 二次函数的定义与性质二次函数的概念形如2y ax bx c =++( ,,a b c 是常数, 0a ≠)的函数, 叫做二次函数.注: (1) 等号左边是函数, 右边是关于自变量x 的二次式(x 的值范围是全体实数);(2) ,,a b c 是常数, a (0a ≠)是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项, ,b c 可以为零. 知识点二: 二次函数的基本形式1、二次函数基本形式: 2y ax =的性质:2、2y ax c =+的性质: 上加下减.3、y a x h =-的性质: 左加右减. 4、y a x h k =-+的性质:(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+, 确定其顶点坐标()h k ，; (2) 保持抛物线2y ax =的形状不变, 将其顶点平移到()h k ，处, 注: 概括成八个字“左加右减, 上加下减”.知识点四: 二次函数2y ax bx c =++的性质1、当0a >时, 抛物线开口向上, 对称轴为2bx a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时, y 随x 的增大而减小; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时, y 有最小值244ac ba-.2、当0a <时, 抛物线开口向下, 对称轴为2b x a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而减小; 当2bx a=-时, y 有最大值244ac b a -.:① 一般地, 自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: ________________, 则称y 为x 的二次函数.② 二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.③ 二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y 轴(即直线x ＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b ＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x 轴上.④ 二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a 决定抛物线的__________和__________. 当a ＞0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. 当a ＜0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. |a |越大, 则抛物线的开口越________.(2) 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置: 当a 与b 同号时(即ab ＞0), 对称轴在y 轴______; 当a 与b 异号时(即ab ＜0), 对称轴在y 轴______. (左同右异) (3) 常数项c 决定抛物线与y 轴的交点, 抛物线与y 轴交于________. (答案: (0, c ) ) ⑤ 抛物线与坐标轴的交点 (1) 抛物线与x 轴的交点:当__________时, 抛物线与x 轴有两个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴有一个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴没有交点. (2) 抛物线与y 轴的交点坐标是__________.⑥ 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有解x 1, x 2, 则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x 轴无交点时, 一元二次方程无实数根.2、已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x ＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x ＜3时, y 随x 的增大而减小. 则其中说法正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到, 则下列平移过程正确的是( ) A . 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位 B . 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位 C . 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位 D . 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点. 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式.5、如图, 点A(－2, 0)、B(4, 0)、C(3, 3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上, 点D在y轴上, 且DC⊥BC, ∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.(1) 求抛物线的解析式; (2) CF能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E的坐标.y＝x2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为()A. y＝x2－1B. y＝x2＋1C. y＝(x－1)2D. y＝(x＋1)22、二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()A. (－1, 8)B. (1, 8)C. (－1, 2)D. (1, －4)3、已知点A(x1, y1)、B(x2, y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上, 若x1＞x2＞1, 则y1________y2(填“＞”、“＝”或“＜”).4、已知下列函数: ①y＝x2; ②y＝－x2; ③y＝(x－1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号).526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________.7、二次函数y ＝2x 2－4x －1的最小值是___________________.8、二次函数y =x 2－mx +m －2的图象的顶点到x 轴的距离为25/16, 求此二次函数.9、(2014黑龙江绥化) 如图, 抛物线y=﹣x 2+3x+4与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点, 点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2.① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点.(1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.参考答案:①一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系: ________________, 则称y为x的二次函数. (答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0) )②二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.(答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0); y＝a(x－h)2＋k(a≠0);y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). )③二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y轴(即直线x＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x轴上.(答案: 抛物线; x＝－b2a; b＝0; 顶点; ⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a; y轴; b2－4ac＝0.)④二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a决定抛物线的__________和__________.当a＞0时, 抛物线开口向________, y有最______值.当a＜0时, 抛物线开口向________, y有最______值.|a|越大, 则抛物线的开口越________.(答案: 开口方向; 开口大小; 上; 小; 下; 大; 小. )(2) 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置: 当a与b同号时(即ab＞0), 对称轴在y轴______; 当a与b异号时(即ab＜0), 对称轴在y轴______. (左同右异)(答案: 左边; 右边. )(3) 常数项c决定抛物线与y轴的交点, 抛物线与y轴交于________. (答案: (0, c) )⑤抛物线与坐标轴的交点(1) 抛物线与x轴的交点:当__________时, 抛物线与x轴有两个交点; (答案: b2－4ac＞0 )当__________时, 抛物线与x轴有一个交点; (答案: b2－4ac＝0)当__________时, 抛物线与x轴没有交点. (答案: b2－4ac＜0 )(2) 抛物线与y轴的交点坐标是__________. (答案: (0, c) )⑥一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有解x1, x2, 则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x轴无交点时, 一元二次方程无实数根. (答案: (x1, 0), (x2, 0) )2、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x＜3时, y随x的增大而减小. 则其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解: 由二次函数解析式可知a＝2＞0, 所以二次函数的图象开口向上, 其图象的对称轴方程是x＝3, 顶点坐标为(3, 1), 且在对称轴的左侧, 即当x＜3时, y随x的增大而减小, 显然①②③均错误, 只有④正确. 故选A.3、抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到, 则下列平移过程正确的是( )A. 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位解: 抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2, 再向下平移3个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2－3. 故选B.4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点.求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.解: 把A (－2, －4), O (0, 0), B (2, 0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c , 得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0.解得a ＝－12, b ＝1, c ＝0. 所以所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x .5、如图, 点A (－2, 0)、B (4, 0)、C (3, 3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上, 点D 在y 轴上, 且DC ⊥BC , ∠BCD 绕点C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F . (1) 求抛物线的解析式;(2) CF 能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E 的坐标; 若不能, 说明理由;解: (1) 把(－2, 0), (4, 0), (3, 3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，0＝16a ＋4b ＋c ，3＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝65，c ＝245.∴y ＝－35x 2＋65x ＋245. (2) CF 能经过抛物线 的顶点.设此时点E 的坐标为(m , 0), 过点C 、F 的直线为y ＝kx ＋b ,由(1)知抛物线的顶点坐标为(1, 275).∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3k ＋b ，275＝k ＋b ，∴⎩⎨⎧k ＝－65，b ＝335，∴y ＝－65x ＋335.作CM ⊥x 轴,CN ⊥y 轴, 垂足分别为M 、N , 则∠FCE ＝∠NCM ＝90°,∴∠FCN ＝∠ECM .又∵∠FNC ＝∠EMC , CN ＝CM ＝3, ∵△FNC ≌△EMC . ∴FN ＝EM , 即 335－3＝3－m , ∴m ＝－35, 即CF 能经过抛物线的顶点, 此时点E 的坐标为(－35, 0).y ＝x 2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为( A ) A . y ＝x 2－1 B . y ＝x 2＋1 C . y ＝(x －1)2 D . y ＝(x ＋1)22、二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( A )A . (－1, 8)B . (1, 8)C . (－1, 2)D . (1, －4)3、已知点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上, 若x 1＞x 2＞1, 则y 1________y 2(填“＞”、“＝”或“＜”). (答案: ＞)4、已知下列函数: ①y ＝x 2; ②y ＝－x 2; ③y ＝(x －1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数 y ＝x 2＋2x －3的图象的有________(填写所有正确选项的序号). (答案: ①③)526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________. (答案: 8)2点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.解: (1)令y=0, 则﹣x 2+3x+4=﹣( x+1)( x ﹣4)=0, 得 x 1=﹣1, x 2=4.∴A(﹣1, 0), B(4, 0). 当x=3时, y=﹣32+3×3+4=4, ∴D(3, 4). 如图, 连接CD, 过点D 作DE ⊥BC 于点E. ∵C( 0, 4), ∴CD ∥AB, ∴∠BCD=∠ABC=45°. 在直角△OBC 中, ∵OC=OB=4, ∴BC=4.在直角△CDE 中, CD=3. ∴CE=ED=2,∴BE=BC ﹣DE=2. ∴tan ∠DBC==3/5;(2) 过点P 作PF ⊥x 轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°, ∴∠PBF=∠DBC, ∴tan ∠PBF=3/5. 设P( x, ﹣x 2+3x+4), 则=3/5, 解得 x 1=﹣2/5,x 2=4(舍), ∴P(﹣2/5,).)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2.① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点. (1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.。
二次函数讲义附答案
考点一：二次函数的概念（1）一般的，形式如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
例如：,等都是x 的二次函数（2）等号左边是y ，右边是x 的二次多项式，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。
（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的形式，因此我们也把这个 2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)叫做二次函数的一般式 注1：二次函数的概念及列函数关系式是中考的必考内容，也是重点考查内容。
二次函数的概念在中考题中一般出现在选择题和填空题中，难度较小，只要把握x 的最高次数是2，0a ≠这两个隐含条件即可。
注2：列二次函数关系式多出现在解答题中，难度适中，而近年的中考中还出现了一些关于二次函数的实际问题，常需要列二次函数关系式，难度较大。
列二次函数关系式时，需考虑自变量取值应使实际问题有意义考查题目1：下列函数,,,,,,中是二次函数的是__________.考点二：二次函数的图像及性质（1） 图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0）（2） 性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小（3） 抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。
注2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的草图，在尽享分析，利用了数形结合的思想 考查题目2：已知（2，（-1）两点都在函数的函数图像上，试比较,的大小 考查题目3：已知函数是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的n 的值（2） n 为何值时，抛物线有最低点，求出最低点的坐标，并求出y 随x 的增大而增大的x的取值范围（3） n 为何值时，抛物线有最高点，求出最高点的左边，并求出y 随x 的增大而增大的x的取值范围考点三：二次函数的图像及其性质（1）二次函数的图像与的图像形状相同，知识位置不同，可以经过适当的平移使之重合，当k>0时，抛物线的图像向上平移k个单位，便得到，当k<0时，抛物线的图像向下平移k个单位，便得到（2）的图像，当a>0时，函数的开口方向向上，对称轴是y轴，最小值是当x=0时，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，对称轴是y轴，最小值是当x=0是取得，在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小注：关于这类型的二次函数在中考中考查常以选择填空出现，考查的是函数的增减性，最值，顶点和求函数的关系式，也可能结合实际问题考查，一般难度不是很大。
中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 二次函数的定义：形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线。
3. 二次函数的性质与图像：x 的增大而增大； 的增大而减小； 的增大而增大； 的增大而减小；①若二次函数是一般形式时，则二次函数与y 轴的交点坐标为()c ，0。
若0＞c ，则二次函数与y 轴交于正半轴；若0＜c ，则二次函数与y 轴交于负半轴。
②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。
③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。
专项练习题1．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m ．如图所示，设矩形一边长为xm ，另一边长为ym ，当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系【分析】根据题意列出y 与x 的关系式可得答案． 【解答】解：由题意得，y ＝40﹣2x ， 所以y 与x 是一次函数关系， 故选：B ．2．（2022•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣c （a ≠0），其中b ＞0、c ＞0，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C．D．【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．3．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B 、化简二次函数：y ＝﹣3x 2+3x +6， ∵a ＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下， ∴B 错误；C 、∵二次函数对称轴是直线x ＝﹣＝， ∴C 错误；D 、∵3（x +1）（2﹣x ）＝3x ， ∴﹣3x 2+3x +6＝3x ， ∴﹣3x 2+6＝0， ∵b 2﹣4ac ＝72＞0，∴二次函数y ＝3（x +1）（2﹣x ）的图象与直线y ＝3x 有两个交点， ∴D 正确； 故选：D ．4．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．21或4 B ．34或﹣21 C ．﹣34或4 D ．﹣21或4 【分析】分两种情况讨论：当a ＞0时，﹣a ＝﹣4，解得a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，9a ﹣a ＝﹣4，解得a ＝﹣．【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1， 顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ， ∵y 的最小值为﹣4， ∴﹣a ＝﹣4， ∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值， ∴9a ﹣a ＝﹣4， 解得a ＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．5．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（）A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，故选：D．6．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．7．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故A不正确；∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，故B不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故C正确，D不正确；故选：C．8．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）C．该函数有最大值，最大值是5D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．9．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：B．10．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m ＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．11．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．12．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝2C．抛物线的顶点坐标为（2，1）D．当x＜2时，y随x的增大而增大【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；故选：D．13．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．14．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．15．（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，故选：C．16．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），∵抛物线顶点在第四象限，∴m＜0，n＜0，∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，故选：D．17．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，∴当m＞0时，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；当m＜0时，2m＞4，此时m无解；由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，故选：A．18．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．19．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．【解答】解：∵b﹣a＝1，∴b＝a+1，∴a2+2b﹣6a+7＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7＝a2﹣4a+4+5＝（a﹣2）2+5，∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，故选：A．20．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a 的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点（1，﹣3），∴当y ＝﹣3时，x ＝1，当y ＝15时，2（x ﹣1）2﹣3＝15，解得x ＝4或x ＝﹣2，∵当0≤x ≤a 时，y 的最大值为15，∴a ＝4，故选：D ．21．（2022•嘉兴）已知点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3（k 为常数，k ≠0）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（ ）A ．1B ．23C ．2D ．25 【分析】由点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，可得，即得ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣，根据ab 的最大值为9，得k ＝﹣，即可求出c ＝2．【解答】解：∵点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，∴，由①可得：ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣， ∵ab 的最大值为9，∴k ＜0，﹣＝9，解得k ＝﹣，把k ＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c ，∴c ＝2，故选：C ．22．（2022•凉山州）已知实数a 、b 满足a ﹣b 2＝4，则代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14的最小值是 ．【分析】根据a ﹣b 2＝4得出b 2＝a ﹣4，代入代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵a ﹣b 2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．。
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
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第一讲 二次函数(一) : 二次函数的定义与性质二次函数的概念形如2y ax bx c =++( ,,a b c 是常数, 0a ≠)的函数, 叫做二次函数.注: (1) 等号左边是函数, 右边是关于自变量x 的二次式(x 的值范围是全体实数);(2) ,,a b c 是常数, a (0a ≠)是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项, ,b c 可以为零. 知识点二: 二次函数的基本形式1、二次函数基本形式: 2y ax =的性质:2、2y ax c =+的性质: 上加下减.3、y a x h =-的性质: 左加右减.4、y a x h k =-+的性质:(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+, 确定其顶点坐标()h k ，; (2) 保持抛物线2y ax =的形状不变, 将其顶点平移到()h k ，处, 注: 概括成八个字“左加右减, 上加下减”.知识点四: 二次函数2y ax bx c =++的性质1、当0a >时, 抛物线开口向上, 对称轴为2bx a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时, y 随x 的增大而减小; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时, y 有最小值244ac ba-.2、当0a <时, 抛物线开口向下, 对称轴为2b x a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 当2bx a <-时, y 随x 的增大而增大; 当2b x a >-时, y 随x 的增大而减小; 当2bx a =-时, y 有最大值244ac b a-.:① 一般地, 自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: ________________, 则称y 为x 的二次函数.② 二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.③ 二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y 轴(即直线x ＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b ＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x 轴上.④ 二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a 决定抛物线的__________和__________. 当a ＞0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. 当a ＜0时, 抛物线开口向________, y 有最______值. |a |越大, 则抛物线的开口越________.(2) 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置: 当a 与b 同号时(即ab ＞0), 对称轴在y 轴______; 当a 与b 异号时(即ab ＜0), 对称轴在y 轴______. (左同右异) (3) 常数项c 决定抛物线与y 轴的交点, 抛物线与y 轴交于________. (答案: (0, c ) ) ⑤ 抛物线与坐标轴的交点 (1) 抛物线与x 轴的交点:当__________时, 抛物线与x 轴有两个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴有一个交点; 当__________时, 抛物线与x 轴没有交点. (2) 抛物线与y 轴的交点坐标是__________.⑥ 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有解x 1, x 2, 则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x 轴无交点时, 一元二次方程无实数根.2、已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x ＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x ＜3时, y 随x 的增大而减小. 则其中说法正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到, 则下列平移过程正确的是( ) A . 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位 B . 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位 C . 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位 D . 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点. 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式.5、如图, 点A(－2, 0)、B(4, 0)、C(3, 3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上, 点D在y轴上, 且DC⊥BC, ∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.(1) 求抛物线的解析式; (2) CF能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E的坐标.y＝x2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为()A. y＝x2－1B. y＝x2＋1C. y＝(x－1)2D. y＝(x＋1)22、二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()A. (－1, 8)B. (1, 8)C. (－1, 2)D. (1, －4)3、已知点A(x1, y1)、B(x2, y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上, 若x1＞x2＞1, 则y1________y2(填“＞”、“＝”或“＜”).4、已知下列函数: ①y＝x2; ②y＝－x2; ③y＝(x－1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号).526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________.7、二次函数y ＝2x 2－4x －1的最小值是___________________.8、二次函数y =x 2－mx +m －2的图象的顶点到x 轴的距离为25/16, 求此二次函数.9、(2014黑龙江绥化) 如图, 抛物线y=﹣x 2+3x+4与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点, 点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2. ① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点.(1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.参考答案:①一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系: ________________, 则称y为x的二次函数. (答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0) )②二次函数的三种表达式一般式: ____________; 顶点式: ______________; 交点式: ____________.(答案: y＝ax2＋bx＋c(a≠0); y＝a(x－h)2＋k(a≠0);y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). )③二次函数的图象是一条________, 它是轴对称图形, 对称轴是直线________, 特别地, 当______时, 抛物线的对称轴是y轴(即直线x＝0); 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的________________, 其坐标为________________, b＝0时顶点在________上, ________时, 顶点在x轴上.(答案: 抛物线; x＝－b2a; b＝0; 顶点; ⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a; y轴; b2－4ac＝0.)④二次函数的系数与抛物线(1) 二次项系数a决定抛物线的__________和__________.当a＞0时, 抛物线开口向________, y有最______值.当a＜0时, 抛物线开口向________, y有最______值.|a|越大, 则抛物线的开口越________.(答案: 开口方向; 开口大小; 上; 小; 下; 大; 小. )(2) 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置: 当a与b同号时(即ab＞0), 对称轴在y轴______; 当a与b异号时(即ab＜0), 对称轴在y轴______. (左同右异)(答案: 左边; 右边. )(3) 常数项c决定抛物线与y轴的交点, 抛物线与y轴交于________. (答案: (0, c) )⑤抛物线与坐标轴的交点(1) 抛物线与x轴的交点:当__________时, 抛物线与x轴有两个交点; (答案: b2－4ac＞0 )当__________时, 抛物线与x轴有一个交点; (答案: b2－4ac＝0)当__________时, 抛物线与x轴没有交点. (答案: b2－4ac＜0 )(2) 抛物线与y轴的交点坐标是__________. (答案: (0, c) )⑥一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有解x1, x2, 则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x 轴有交点, 则交点为____________, 当抛物线与x轴无交点时, 一元二次方程无实数根. (答案: (x1, 0), (x2, 0) )2、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法: ①其图象的开口向下; ②其图象的对称轴为直线x＝－3; ③其图象顶点坐标为(3, －1); ④当x＜3时, y随x的增大而减小. 则其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解: 由二次函数解析式可知a＝2＞0, 所以二次函数的图象开口向上, 其图象的对称轴方程是x＝3, 顶点坐标为(3, 1), 且在对称轴的左侧, 即当x＜3时, y随x的增大而减小, 显然①②③均错误, 只有④正确. 故选A.3、抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到, 则下列平移过程正确的是( )A. 先向左平移2个单位, 再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位, 再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位, 再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位, 再向上平移3个单位解: 抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2, 再向下平移3个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2－3. 故选B.4、如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4), O(0, 0), B(2, 0)三点.求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.解: 把A (－2, －4), O (0, 0), B (2, 0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c , 得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝0.解得a ＝－12, b ＝1, c ＝0. 所以所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x .5、如图, 点A (－2, 0)、B (4, 0)、C (3, 3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上, 点D 在y 轴上, 且DC ⊥BC , ∠BCD 绕点C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F . (1) 求抛物线的解析式;(2) CF 能否经过抛物线的顶点？若能, 求出此时点E 的坐标; 若不能, 说明理由;解: (1) 把(－2, 0), (4, 0), (3, 3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，0＝16a ＋4b ＋c ，3＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝65，c ＝245.∴y ＝－35x 2＋65x ＋245. (2) CF 能经过抛物线 的顶点.设此时点E 的坐标为(m , 0), 过点C 、F 的直线为y ＝kx ＋b ,由(1)知抛物线的顶点坐标为(1, 275).∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3k ＋b ，275＝k ＋b ，∴⎩⎨⎧k ＝－65，b ＝335，∴y ＝－65x ＋335.作CM ⊥x 轴,CN ⊥y 轴, 垂足分别为M 、N , 则∠FCE ＝∠NCM ＝90°,∴∠FCN ＝∠ECM .又∵∠FNC ＝∠EMC , CN ＝CM ＝3, ∵△FNC ≌△EMC . ∴FN ＝EM , 即 335－3＝3－m , ∴m ＝－35, 即CF 能经过抛物线的顶点, 此时点E 的坐标为(－35, 0).y ＝x 2的图象向下平移1个单位, 则平移后的二次函数的解析式为( A ) A . y ＝x 2－1 B . y ＝x 2＋1 C . y ＝(x －1)2 D . y ＝(x ＋1)22、二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( A )A . (－1, 8)B . (1, 8)C . (－1, 2)D . (1, －4)3、已知点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上, 若x 1＞x 2＞1, 则y 1________y 2(填“＞”、“＝”或“＜”). (答案: ＞)4、已知下列函数: ①y ＝x 2; ②y ＝－x 2; ③y ＝(x －1)2＋2.其中, 图象通过平移可以得到函数 y ＝x 2＋2x －3的图象的有________(填写所有正确选项的序号). (答案: ①③)526、抛物线y ＝2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个公共点, 则m 的值为________. (答案: 8)2点D 在抛物线上且横坐标为3.(1)求tan ∠DBC 的值; (2)点P 为抛物线上一点, 且∠DBP=45°, 求点P 的坐标.解: (1)令y=0, 则﹣x 2+3x+4=﹣( x+1)( x ﹣4)=0, 得 x 1=﹣1, x 2=4.∴A(﹣1, 0), B(4, 0). 当x=3时, y=﹣32+3×3+4=4, ∴D(3, 4). 如图, 连接CD, 过点D 作DE ⊥BC 于点E. ∵C( 0, 4), ∴CD ∥AB, ∴∠BCD=∠ABC=45°. 在直角△OBC 中, ∵OC=OB=4, ∴BC=4.在直角△CDE 中, CD=3. ∴CE=ED=2,∴BE=BC ﹣DE=2. ∴tan ∠DBC==3/5;(2) 过点P 作PF ⊥x 轴于点F.∵∠CBF=∠DBP=45°, ∴∠PBF=∠DBC, ∴tan ∠PBF=3/5. 设P( x, ﹣x 2+3x+4), 则=3/5, 解得 x 1=﹣2/5,x 2=4(舍), ∴P(﹣2/5,).)如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时, x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2, 取y 1、y 2中的较小值记为M ; 若y 1=y 2, 记M = y 1=y 2. ① 当x ＞0时, y 1＞y 2; ② 当x ＜0时, x 值越大, M 值越小;③ 使得M 大于2的x 值不存在; ④ 使得M =1的x 值是-1/2 /2. 其中正确的是( )A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④2、(2013江苏泰州)如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, 二次函数y =c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点. (1) 求该二次函数的解析式; (2) 结合函数的图像探索:当y >0时x 的取值范围.。