2017_2018学年高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修320180201140
2017_2018学年高中数学第一章算法初步1_3中国古代数学中的算法案例教学案新人教B版必修3
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件分支结构、循环结构
D．该框图包括顺序结构、条件分支结构、循环结构
解析：选D 阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构，应选D.
4．如图是计算函数y＝
框图，在①②③处应别离填入的是( )
1.3
预习讲义P27～32，试探并完成以下问题
(1)如何求两个数的最大公约数？
(2)秦九韶算法的原理是什么？
1．“更相减损之术”
更相减损之术确实是关于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数组成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，现在相等的两数便为两个原数的最大公约数．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1, 当x＝3时的值时，先算的是( )
A．3×3B．0.5×35
C．0.5×3＋4D．(0.5×3＋4)×3
解析：选C 把多项式表示成如下形式：
f(x)＝((((0.5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1, 按递推方式，由内往外，先算0.5x＋4的值．
因此f(3)＝391.
[层级一 学业水平达标]
1．78与36的最大公约数是( )
A．24B．18
C．12D．6
解析：选D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6)．
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时应把f(x)变形为( )
A．x3－(3x＋2)x－11
2．在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时，操作如下：(98,56)→(56,42)→(42,14)→(28,14)→(14,14)．由此可知两数的最大公约数为( )
高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例应用案巩固提升课件新人教B版必修3
第一章 算法初步
5．m 是一个正整数，对于两个正整数 a，b，如果 a－b 是 m 的倍数，则称 a，b 对模 m 同余，用符号 a≡b(Mod m)表示， 则下列各式中不正确的为( ) A．12≡7(Mod 5) B．21≡10(Mod 3) C．34≡20(Mod 2) D．47≡7(Mod 40) 解析：选 B.逐一验证，对于 A，12－7＝5 是 5 的倍数；对于 B， 21－10＝11 不是 3 的倍数；对于 C，34－20＝14 是 2 的倍数； 对于 D，47－7＝40 是 40 的倍数，故选 B.
第一章 算法初步
12．已知多项式 p(x)＝3x5＋9x4＋x3＋kx2＋4x＋11，当 x＝3 时 值为 1 616，则 k＝________． 解析：由秦九韶算法，得 p(x)＝((((3x＋9)x＋1)x＋k)x＋4)x＋11. 则当 x＝3 时， p(3)＝(((((9＋9)×3＋1)×3)＋k)×3＋4)×3＋11 ＝(495＋3k＋4)×3＋11 ＝9k＋1 508＝1 616， 所以 k＝12. 答案：12
第一章 算法初步
解：(1)加法运算次数为 n，乘法运算次数为 1＋2＋3＋…＋n ＝n（n2＋1），所以共需 n＋n（n2＋1）＝n（n2＋3）(次)． (2)加法运算次数为 n 次，乘法也为 n 次，共需 2n 次．
第一章 算法初步
[B 能力提升] 11．若 int(x)是不超过 x 的最大整数(如 int(4.3)＝4，int(4)＝4)， 则下列程序的目的是( )
第一章 算法初步
9．求 324，243，135 的最大公约数． 解：(324，243)→(81，243)→(81，162)→(81，81)，故 81 是 324 与 243 的最大公约数． 又(135，81)→(54，81)→(54，27)→(27，27)， 故 27 是 81 与 135 的最大公约数． 所以 324，243，135 的最大公约数为 27.
高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修3
2．用更相减损之术求得 68 和 86 的最大公约数是( )
A．2
B．4
C．6
D．16
解析：选 A.由更相减损之术得，86－68＝18，68－18＝50，50
－18＝32，32－18＝14，18－14＝4，14－4＝10，10－4＝6，
6－4＝2，4－2＝2，故 68 和 86 的最大公约数是 2.
秦九韶算法的步骤
当 x＝5 时，求多项式 f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 的值． 解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 ＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7， v0＝2， v1＝2×5－5＝5， v2＝5×5－4＝21， v3＝21×5＋3＝108， v4＝108×5－6＝534， v5＝534×5＋7＝2 677. 所以 f(5)＝2 677.
复习课件
高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必 修国古代数学中的算法案例课 件新人教B版必修3
第一章 算法初步
1．3 中国古代数学中的算法案例
第一章 算法初步
1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法． 2. 掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤．
v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397. 所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
再求 49 与 133 的最大公约数： 133－49＝84， 84－49＝35， 49－35＝14， 35－14＝21， 21－14＝7， 14－7＝7. 所以 147，343，133 的最大公约数是 7. 所以每瓶最多装 7 g.
2018版高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例学案新人教B版必修3(含答案)
1.3 中国古代数学中的算法案例学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序．知识点一更相减损术更相减损术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是，用____约简；若不是，执行__________．第二步，以________的数减去________的数，接着把所得的差与________的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．知识点二割圆术S1 假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为S n，边长为x n，边心距为h n，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6×34；S2 利用公式S2n＝S n＋n·12·x n(1－h n)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积．因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．2．割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”知识点三秦九韶算法思考衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？梳理秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算________________一次多项式的值，即v1＝________________，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝__________________，v3＝__________________，…v n＝__________________，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求__________________的值．类型一更相减损术例1 试用更相减损术求612、396的最大公约数．反思与感悟用更相减损术的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步，d＝m－n.第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2k d(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数．跟踪训练1 用更相减损术求261和319的最大公约数．类型二秦九韶算法的基本思想例2 已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．反思与感悟秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．跟踪训练2 用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A．10 B．9C．12 D．82．已知f(x)＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值．3．用更相减损术求1 734和816的最大公约数．。
高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例秦九韶算法素材新人教B版必修3
1.3 中国古代数学中的算法案例秦九韶算法
中国数学名家－秦九韶
秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。
,有记载则说秦九韶自称鲁郡(现山东滋阳、曲阜一带)人，幼年时随父亲在四川巴州居住。
青少年时饱受战乱，成年后离开四川，在湖北、安徽、江苏、浙江、广东等地做官，任过县尉、通判、州守等职，死于梅州(今广东梅县)。
秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：
（1）“大衍求一术”。
即为一次同余式组解法。
西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。
他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。
(2)线性方程组解法。
他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。
他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。
(3)高次方程数值解法。
他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。
他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。
西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。
(4)“三斜求积”。
他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。
这与西方的海伦公式是等价的。
- 1 -。
高中数学 第一章算法1.3中国古代数学中的算法案例教案 新人教B版必修3
1．3中国古代数学中的算法案例一、教学目标：1、了解中国古代数学中求两个正整数的最大公约数的算法、割圆术算法及秦九韶算法2、通过对三种算法的学习，更好的理解将要解决的问题算法化的思维方式，并注意理解推导割圆术的操作步骤二、教学重点和难点：教学重点：了解“更相减损术”、“割圆术”算法及秦九韶算法教学难点:体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题三、教学方法和手段：教师指导学生学习，以学生自学为主四、教学过程：1、引导学生对学过的知识进行回顾，使学生理清知识网络，并指明中国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，有自己的鲜明特色2、求两个正整数的最大公约数的算法——辗转相除法，更相减损之术（等值算法）例1求78和36的最大公约数法一辗转相除法步骤：计算出78÷36的余数为6，再将前面的余数36作为新的被除数，36÷6=6余数为0，则此时除数6即为78和36的最大公约数理论依据：a=nb+r→r=a-nb，得a、b与b、r有相同的公约数即（78，36）→（6，36），36能被6整除，余数为0。
法二更相减损之术（等值算法）指导学生阅读书p27-28页，总结步骤，归纳出算法：S1输入两个正整数a、b（a）b）；S2如果a≠b，执行S3，否则执行S5；S3将a-b赋予r；S4若b〉r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把r赋予a，重新执行S2；S5输出最大公约数b。
程序：a=input（“a=”）；b=input（“b=”）；while a<>bif a>b；a=a-b；elseb=b-a；endendprint（%io（2），a，b）总结：辗转相除法步骤较少；更相减损之术（等值算法）虽然有些步骤较长，但运算简单，易懂。
练习：用等值算法求下列两数的最大公约数，并用辗转相除法验证3、割圆术——估计圆周率的近似值阅读书p28-29页步骤：第一，从半径为l的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形。
2017-2018学年高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 求f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8当x=5时的
函数值.
解:由于f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8
=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,
则v0=5,v1=5×5+2=27,v2=27×5+3.5=138.5, v3=138.5×5-2.6=689.9, v4=689.9×5+1.7=3 451.2, v5=3 451.2×5-0.8=17 255.2.
5利用秦九韶算法求当x=23时,多项式7x3+3x2-5x+11的值. ①S1 x=23;
S2 y=7x3+3x2-5x+11; S3 输出y. ②S1 x=23;
(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39). 想一想这种算法的道理.试着编写程序在计算机上实现. 剖析:辗转相除法求正整数a,b(a>b)的最大公约数的步骤是:计算
出a÷b的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数;若r≠0,则把前面的除
数b作为新的被除数,把余数r作为新的除数,继续运算,直到余数为 零,此时的除数即为a,b的最大公约数.
剖析:相同点:①都是求最大公约数的方法.②更相减损之术的理
论依据为:由m-n=r,得m=n+r,可以看出,m,n与n,r有相同的公约数; 辗转相除法的理论依据是:由m=nq+r可以看出,m,n和n,r有相同的 公约数,即二者的“算理”相似.
不同点:①更相减损之术进行的是减法运算,辗转相除法进行的 是除法运算,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.②结果上,
(新)高中数学第一章算法初步1_3中国古代数学中的算法案例教材习题点拨新人教B版必修3
高中数学第一章算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例教材习题点拨新人教B版必修3探索与研究怎样根据上面逐项求和法的算法描述写出算法步骤．答：算法步骤：S1 输入多项式次数n、最高次项的系数a n和x的值．S2 将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.S3 输入i次项的系数a i.S4 v＝vx＋a i，i＝i－1.S5 判断i是否大于或等于0.若是，则返回S3；否则，输出多项式的值v.习题1－3A1．用“等值算法”，求下列两数的最大公约数：(1)80,36；(2)294,84；(3)176,88.解：(1)(80,36)→(44,36)→(44,8)→(36,8)→(28,8)→(20,8)→(12,8)→(4,8)→(4,4)，80,36的最大公约数为4.(2)(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，294,84的最大公约数为42.(3)(176,88)→(88,88)，176,88的最大公约数为88.2．用框图和程序语句两种方法表示用“等值算法”．计算两个正整数的最大公约数．解：a＝input(“a＝”)；b＝inp ut(“b＝”)；while a＜＞bif a＞ba＝a－b；elseb＝b－a；endendprint(%io(2)，a，b)；框图如图所示：3．用框图和程序语句两种方法表示秦九韶的多项式求值算法．解：程序框图如图所示．程序：x0＝input(“x0＝”)；n＝input(“n＝”)；a(0)＝input(“a0＝”)；a(1)＝input(“a1＝”)；…；a(n)＝input(“an＝”)；i＝1；v＝a(n)；while i＜＝n；v＝v*x0＋a(n－i)；i＝i＋1；endprint(%io(2)，v)；4．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶方法计算：(1)当x＝－10，－9，…，10时相应的函数值f(x)；(2)函数f(x)的图象与x轴交点的坐标．解：(1)f(－10)＝－1 144，f(－9)＝－840，f(－8)＝－594，f(－7)＝－400，f(－6)＝－252，f(－5)＝－144，f(－4)＝－70，f(－3)＝－24，f(－2)＝0，f(－1)＝8，f(0)＝6，f(1)＝0，f(2)＝－4，f(3)＝0，f(4)＝18，f(5)＝56，f(6)＝120，f(7)＝216，f(8)＝350，f(9)＝528，f(10)＝756.(2)参照教材第32页的程序语句求得函数图象与x轴交点的横坐标为－2,1,3.习题1－3B写一篇学习中国古代数学算法案例的体会．答：请同学们根据自己的学习写体会．。
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[层级一
1．78 与 36 的最大公约数是 A．24 C．12
学业水平达标]
( B．18 D．6 )
解析：选 D (78,36)→(42,36)→(36,6)→…→(6,6)．
2． 用秦九韶算法求多项式 f(x)＝x3－3x2＋2x－11 的值时应把 f(x) 变形为 A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11) C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11 ( )
中国古代数学中的算法案例
预习课本 P27～32， 思考并完成以下问题
(1)如何求两个数的最大公约数？
(2)秦九韶算法的原理是什么？
[新知初探]
1．“更相减损之将 差和较小的数 构成一对新数，再用较大的数减去较 小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便 为两个原数的最大公约数． 2．割圆术 割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用
解析：选 D f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11.
3． 已知函数 f(x)＝x3－2x2－5x＋6， 则 f(10)的值为________．
圆周率π 的方法． 的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算__________
3．秦九韶算法 把一元 n 次多项式函数 P(x)＝anxn＋an－1xn 1＋…＋a1x＋
－
a0 改写： P(x)＝anxn＋an－1xn 1＋…＋a1x＋a0
－
＝(anxn 1＋an－1xn 2＋…＋a1)x＋a0
求最大公约数
[典例]
求 261 和 319 的最大公约数．
[解]
319－261＝58，(261,319)→(261,58)→(203,58)→
(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，所以 319 与 261 的最 大公约数是 29.
“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤 第一步，给定两个正整数 m，n(m>n)． 第二步，计算 m－n 所得的差 k. 第三步，比较 n 与 k 的大小，其中大者用 m 表示，小者用 n 表示． 第四步，若 m＝n，则 m，n 的最大公约数等于 m；否则， 返回第二步．
v1＝8×2＋5＝21， v2＝21×2＋0＝42， v3＝42×2＋3＝87， v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397. 所以当 x＝2 时， 多项式的值为 1 397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的 3 个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写． (2)计算应由内向外依次计算． (3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐 次项补充．
2．225 与 150 的最大公约数是 A．15 C．45 B．30 D．75
(
)
解析：选 D 因为(225,150)→(75,150)→(75,75)，所以 225 与 150 的最大公约数是 75.
1 3．已知多项式 f(x)＝4x ＋3x ＋2x －x －x－ ，用秦九韶算法 2
5 4 3 2
－ －
＝((anxn 2＋an－1xn 3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
－ －
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， (…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k 令 vk＝
，
v0＝an ， 则递推公式为 v ＝v x＋a k k－1 n－k __________________
[活学活用]
1．用更相减损之术求 36 与 135 的最大公约数，需做减法的次数 是________．
解析：(135,36)→(99,36)→(63,36)→(36,27)→(27,9)→ (18,9)→(9,9)，故共进行了 6 次减法运算． 答案：6
2．求 378 与 90 的最大公约数．
解：法一：378－90＝288， 288－90＝198， 198－90＝108， 108－90＝18， 90－18＝72， 72－18＝54， 54－18＝36， 36－18＝18， ∴378 与 90 的最大公约数是 18. 法二：378＝90×4＋18， 90＝18×5， ∴378 与 90 的最大公约数是 18.
其中 k＝1,2，…，n.
这样求一元 n 次多项式 P(x)的值就转化为求 n 个一次多项 式的值，这种求 n 次多项式值的方法就叫做秦九韶算法．
[小试身手]
1．用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时，需做减法的次 数为 A．4 C．6 B． 5 D．7 ( )
解析：选 C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21) →(7,14)→(7,7)，∴共进行 6 次减法．
用秦九韶算法求多项式的值
[典例]
用秦九韶算法求多项式 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋
1，当 x＝2 时的值．
把多项式改写成如下形式： [解] 根据秦九韶算法， x2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ x3 ＋ 0· x4 ＋ 0· x5 ＋ 3· f(x) ＝ 8x7 ＋ 5x6 ＋ 0· ((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1. 而 x＝2，所以有 v0＝8，
求 f(－2)等于 A．－ 183 C. 2 197 2 197 B. 2 183 D．－ 2
(
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1 解析：选 A ∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－ ， 2 197 ∴f(－2)＝－ . 2
4．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总 是________π 的实际值．
解析：用割圆术法求出的是 π 的不足近似值． 答案：小于
[活学活用]
用秦九韶算法写出当 x＝3 时，f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1 的值．
解：因为 f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1， v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3 ＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391， 所以 f(3)＝391.