复化两点Gauss-Legendre公式及其误差分析

合集下载

7-2-数值积分-Gauss

7
sin x 例 : 用Romberg方法计算积分I dx , 0 x 的近似解,要求精确到六位小数.
1
T1
T2 S2 S4
S8
T4
T8
C4
C8 R8
4T2 n Tn S2 n 3 16 S2 n Sn C2n 15
8
解:
1 T1 [ f (0) f (1)] =0.9207355 2 1 1 T2 T1 f (0.5) =0.9397933 2 2
34p25715161935将区间等分有如下eulermaclaurin公式节点间距离为复化梯形值将区间等分节点间距离为复化梯形值表明复化梯形公式的收敛速度是romberg算法的理论依据自学36序列收敛速度是37序列值38型求积公式当时收敛于定积分值三gauss型求积公式的误差自学39插值多项式4052几种常用的gauss型求积公式gausslegendre求积公式上权函数为的高斯型求积公式高斯点为gausslegendre多项式的零点41高斯点求积系数一点高斯勒让德求积公式为
§4 Romberg求积公式
2 I ( f ) T O ( h ) Tn为区间n等分的复化梯形值， n
T2n为区间2n等分的复化梯形值，
2 I Tn Mf (1 )hn , I Tn 2 由 2 得， I T2 n 2 I T2 n Mf ( 2 )h2 n
1 2 1 1 1

3 3 3 x 3 x 3 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3
x x
4
4 4 4 x 4 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3 1 1 5 5 5 x 5 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3 1

GAUSSION计算常见错误及解决方案

【原创】GAUSSION计算常见错误及解决方案★★★★★★★★★★fegg7502(金币+3,VIP+0):thank you very much! 9-22 23:49zeoliters(金币+2,VIP+0):谢谢分享！9-22 21:56dongdong3881(金币+3,VIP+0):感谢10-28 14:04luoqiquan(金币+2,VIP+0):很好很强大12-23 22:35初学Gaussian03常见出错分析最初级错误1. 自旋多重度错误2. 变量赋值为整数3. 变量没有赋值4. 键角小于等于0度，大于等于180度5. 分子描述后面没有空行6. 二面角判断错误，造成两个原子距离过近7. 分子描述一行内两次参考同一原子,或参考原子共线运行出错1. 自洽场不收敛 SCFa. 修改坐标，使之合理b. 改变初始猜 Guessc. 增加叠代次数SCFCYC=Nd. iop（5/13=1）2. 分子对称性改变a. 修改坐标，强制高对称性或放松对称性b. 给出精确的、对称性确定的角度和二面角c. 放松对称性判据 Symm=loosed. 不做对称性检查iop(2/16=1)3. 无法写大的Scratch文件RWFa. 劈裂RWF文件%rwf=loc1,size1,loc2,size2,……..,locN,-1b. 改变计算方法MP2=Direct可以少占硬盘空间c. 限制最大硬盘maxdisk=N GB4. FOPT出错原因是变量数与分子自由度数不相等。

可用POPT 或直接用OPT5. 优化过渡态只能做一个STEP 原因是负本征数目不对添加iop（1/11）=16. 组态相互作用计算中相关能叠代次数不够，增加叠代次数QCISD（Maxcyc=N）Default.Rou设置•在Scratch文件夹中的Default.Rou文件中设置G03程序运行的省缺参数：• -M- 200MW•-P- 4•-#- MaxDisk=10GB•-#- SCF=Conventional or Direct•-#- MP2=NoDirect or Direct•-#- OPTCYC=200•-#- SCFCYC=200•-#- IOPs 设置如iop（2/16=1）Default.Rou设置中的冲突•Default route: MaxDisk=2GB SCF=Direct MP2=Direct OPTCYC=200 SCFcyc=100 iop(2/16=1) iop(5/13=1)• ------------------• # ccsd/6-31G** opt• ------------------• L903/L905 and L906 can only do MP2.问题在于，ＭP2=Direct！去掉这个设置，CCSD的作业就能进行了。

高斯误差传递公式

高斯误差传递公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯误差传递公式（Gaussian error propagation formula）是一种用于预测多个变量之间误差传递的数学工具，常用于物理学、化学、工程等领域的实验数据处理中。

它通过对多个变量之间的误差进行逐步传播计算，得出最终结果的误差范围，帮助人们更准确地评估测量结果的可靠性和准确性。

高斯误差传递公式得名于德国数学家高斯，他首次提出了误差传递的概念，并给出了计算不同变量误差在计算结果中传递的方法。

在实际应用中，当我们测量多个变量并通过这些变量计算出一个结果时，通常会存在一定程度的测量误差，而高斯误差传递公式可以帮助我们估算这些误差在最终结果中的影响。

在讨论高斯误差传递公式之前，我们首先需要了解一些基本概念。

对于一个有若干个变量的函数，其误差传递的方法可以概括为以下几个步骤：1. 首先计算各个变量的偏导数。

对于函数f(x1, x2, ..., xn)，分别求关于各个变量x1, x2, ..., xn的偏导数，得到∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ...,∂f/∂xn。

2. 计算各个变量的误差。

若已知各个变量的测量值和误差，即x1±Δx1, x2±Δx2, ..., xn±Δxn，其中Δx1, Δx2, ..., Δxn分别为各个变量的误差，那么对应的函数值的误差为：δf = sqrt[(∂f/∂x1 * Δx1)^2 + (∂f/∂x2 * Δx2)^2 + ... + (∂f/∂xn * Δxn)^2]其中sqrt代表平方根。

3. 最终计算结果。

最终的结果为f±δf，即函数值f在误差范围内的确定性。

以一个简单的实例来说明高斯误差传递公式的应用：假设我们要计算一个矩形的面积，其长和宽分别为x和y，而长和宽的测量值分别为x±Δx和y±Δy。

根据矩形的面积公式S=x*y，我们可以计算出面积的偏导数：∂S/∂x = y, ∂S/∂y = x然后代入误差公式，得到面积的误差：δS = sqrt[(y*Δx)^2 + (x*Δy)^2]最终得到面积的值为S±δS，即在长和宽的误差范围内确定的面积。

第四节高斯公式

分析：由于 p( x) ( x)是次数不高于 2 n 1的多项式，因而高斯公式准确成立。有

1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立

－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为

1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式

1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为

1

Gauss-Legendre积分公式

数值逼近实习题目二重积分的复化梯形公式专业信息与计算科学班级计算092学号3090811072学生薛藏朋指导教师秦新强2011 年一、实验目的1.利用Gauss-Legendre 公式计算积分2.比较计算误差与实际误差二、数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=++≈⎰∑-=),(),(12)(][)]()(2)([2)(''211b a f h a b f R b f x f a f h dx x f n b a n k k ηη 三、算法Step 1:输入等分数nStep2:输入积分上下限；Step3: 求出步长及对应个点;Step4: 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=++≈⎰∑-=),(),(12)(][)]()(2)([2)(''211b a f h a b f R b f x f a f h dx x f n b a n k k ηη计算积分结果 Step5:将积分结果输出；四、程序#include<iostream>using namespace std;#include"math.h"#define N 10double f(double x){double z;z=cos(x);return(z);}int main(){int i, n,m;double X[N],A[N],F=0;cout<<"请输入代数精度n"<<endl;cin>>n;m=(n+1)/2;switch(m){case 1:X[1]=0;A[1]=2; break;case2:X[1]=0.5773502692;X[2]=-X[1];A[1]=A[2]=1;break ;case3:X[1]=0.77459666920;X[2]=-X[1];X[3]=0;A[1]=A[2] =0.5555555556;A[3]=0.8888888889;break;case4:X[1]=0.8611363116;X[2]=-X[1];X[3]=0.3399810436; X[4]=-X[3];A[1]=A[2]=0.3478548451;A[3]=A[4]=0.6521451549; break;case5:X[1]=0.9061798459;X[2]=-X[1];X[3]=0.5384693101 0;X[4]=-X[3];X[5]=0;A[1]=A[2]=0.2369268851;A[3]=A[4]=0.4786286705;A[5]=0.5688888889; break;case6:X[1]=0.9324695142;X[2]=-X[1];X[3]=0.6612093865 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.12386191816;X[6]=-X[5];A[1]=A[2]=0.1713244924;A[3]=A[4]=0.3607615730;A [5]=A[6]=0.4679139346; break;case7:X[1]=0.9491079123;X[2]=-X[1];X[3]=0.7415311856 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.40584515140;X[6]=-X[5];X[7]=0;A[1]=A[2]=0.1294849662;A[3]=A[4]=0.2797053915;A [5]=A[6]=0.3818300505;A[7]=0.4179591834; break;case8:X[1]=0.9602898565;X[2]=-X[1];X[3]=0.7966664774 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.5255324099;X[6]=-X[5];X[7]=0.1 834346425;X[8]=-X[7];A[1]=A[2]=0.1012285363;A[3]=A[4]=0.22 23810345;A[5]=A[6]=0.3137066459;A[7]=A[8]=0.362 6837834; break;default:printf("error\n");}for(i=1;i<=m;i++){F=F+f(X[i])*A[i];}cout<<"具有"<<n<<"次精度的高斯—勒让德积分F(x)="<<F<<endl;return 0;}五、数值算例六、参考文献[1]秦新强，数值逼近，西安：西安理工大学印刷厂，2010.[2]秦新强，数值逼近学习指导，西安：西安理工大学印刷厂，2010.。

gaussian基组重叠误差

高斯基组重叠误差是指在计算分子结构、能量和性质时，由于采用有限的高斯基组而产生的误差。

高斯基组是一种常用的量子化学计算方法，它是通过高斯函数的线性组合来描述原子和分子的电子轨道，从而计算分子的性质和行为。

然而，由于高斯基组的有限性，会导致在计算中产生一定的误差，其中最常见的误差之一就是重叠误差。

1. 高斯基组的理论基础和应用高斯基组是由密度泛函和哈特里-福克方法等理论演化而来的，它是一种在量子化学计算中被广泛应用的方法。

通过高斯函数的线性组合，高斯基组可以有效地描述电子的轨道分布和排布，并且具有较高的计算精度和效率。

在分子动力学模拟、分子能量计算、反应动力学等领域都有着重要的应用。

2. 高斯基组重叠误差产生原因在采用高斯基组进行量子化学计算时，由于基组的有限性，它无法完美描述真实电子轨道的特性，从而导致了重叠误差的产生。

具体而言，由于高斯基组的函数形式和数量都是有限的，因此在电子轨道相互重叠的区域会产生误差，进而影响到计算结果的精度和准确性。

3. 重叠误差的影响和后果重叠误差在量子化学计算中会对分子结构、键能、反应速率等多个方面产生影响和后果。

它会导致计算出的分子结构与实际情况相差较大，从而影响到后续的性质和行为的计算结果。

重叠误差还会对分子间相互作用能产生一定的影响，尤其是对于含有氢键等弱键的分子体系，重叠误差会使得其计算结果偏离真实值。

重叠误差还会影响到分子内部的电子密度分布和轨道的形状，进而影响到分子的稳定性和反应特性。

4. 减小重叠误差的方法和策略为了尽可能减小高斯基组重叠误差的影响，科研工作者们提出了一系列的优化方法和策略。

可以通过增加高斯基组的数量和扩展基组的范围来改善计算精度，例如采用多级基组计算或者采用diffuse函数来扩展基组。

使用一些先进的密度泛函和校正方法也可以有效减小重叠误差的影响，例如采用长程校正和修正势能项等方法。

还可以通过对计算模型的参数和设定进行合理的调整和优化来减小重叠误差的影响，例如采用高级的优化算法和设定合理的收敛标准。

Gauss_Legendre公式在线路坐标计算中的应用研究

2 线路曲线元任意点坐标计算公式
211 曲线元任意点坐标计算的积分通式
文献 [ 1 ] 、 [ 2 ] 已给出任意点坐标计算的积分通式 :
X = XA + Y = YA
∫ + sin α ∫
0
l
l
cos α A
A
( KA l + ( KA l +
l K ) dl 2L S AB l K ) dl 2L S AB
2
2
(1)
0
式中 , XA 、 YA 为曲线元起点 A 在线路坐标系中的坐标 ,α A 为 A 点在线路坐标系中的坐标方位角 , L S 为曲线元的长度 , KAB = KB - KA 为曲线元终点 B 与起点 A 的曲率之差 , l 为任意点到起点 A
2004 年第 2 期勘察科学技术 45
Vi = Ai
2
,
同一线路坐标计算公式用于不同的线路构形 ,必然会产生不同的计算误差 ,为此必须首先弄清线路构形与坐标计算误差的关系。(4) 式中 ,当 KA = KB = 0 时 ,坐标的计算与结点数无关 ( 因 ∑R
= 1) ,因此 ,直线元不存在计算误差问题。考虑到
1 + xi ,则有 : 2
值为 :
R1 = R4 = 011739274226 , R2 = R3 = 013260725774 V 1 = 1 - V 4 = 010694318442 , V 2 = 1 - V 3 = 013300094782
3) 线路坐标计算的 5 节点 Gauss - Legendre 公式。( 4) 式中 n = 5 即为 5 节点公式 , 其 Ri 与 V i 值为 :

利用两点gauss-legendre求积公式

利用两点Gauss-Legendre求积公式一、概述在数值分析中，求积公式是一种用数值方法来计算定积分的技术。

Gauss-Legendre求积公式是一种求积公式，它利用节点和权重的组合来逼近定积分的计算值。

而两点Gauss-Legendre求积公式则是其中一种特定的求积公式，它利用两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。

二、求积公式的基本原理Gauss-Legendre求积公式的基本原理是通过在特定的节点上取得函数值，并将这些值进行线性组合，来逼近定积分的计算值。

对于一个给定的定积分\[I = \int_{-1}^{1} f(x) dx\]Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为\[Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\]其中，\(w_i\)为权重，\(x_i\)为节点，\(n\)为节点数。

通过选择合适的节点和权重，可以使得对于特定的\(n\)，求积公式的计算值与实际定积分值非常接近。

三、两点Gauss-Legendre求积公式两点Gauss-Legendre求积公式是通过选择两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。

通常情况下，两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重可以通过一些特定的计算公式来得到，具体如下：1. 节点和权重的获取我们需要根据Gauss-Legendre求积公式的规则来选取节点和权重。

对于两点求积公式来说，节点和权重的获取可以通过以下方式进行：节点的获取：通过解Legendre多项式的根来得到节点的值。

在两点Gauss-Legendre求积公式中，节点的值通常为\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

权重的获取：通过Legendre多项式的导数来得到权重的值。

在两点Gauss-Legendre求积公式中，权重的值通常为1。

2. 求积公式的应用得到节点和权重之后，就可以利用两点Gauss-Legendre求积公式来进行定积分的逼近计算了。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

＾＝０
Hale Waihona Puke ＋冲＋）（）击）３，．１
的余项表达式为
（．）２３
分别具有二阶和四阶收敛性．
２２．Ｇａｓ－ｅｅｄｅｕｓｇｎｒ型求积公式ＬＧａｓ型求积公式是具有最高代数精度ｕｓ
Ｅ厂＝（（
‘ ，∈［］），（
定理３Ｉ设厂（．）∈Ｃｎ６，＝ “ ［，］ｈ
ｂ－－ａ
，
和复化的Ｓｍｐｏｉｓｎ公式ｌ（ｄ，）ｘ
≈
则复化两点Ｇａｓ－ｅｅｄｅ公式ｕｓＬｇｎｒ
≈
ｈ１（￣ｒ－
孚）
鲁，４（专，斗） ∑（ｚ＋ｆ冲）（。（）ｘ＋）
（．）１１
进行推广和复化，到了新的数值积分公式得
其中Ａ ≥ Ｏｋ，，，，一０１ … ｎ和＾ａ，］ｋ ∈ ６，一０１ … ，称为求积系数和求积节点．名的，，著
Ｎｅｏ — ｏ方法就是在节点确定时利用ｗｔｎＣｔＳ
胁ｚ霎ａ ≈ （
）
＋斗＋）（３吉）１）＇．
同时分析了它的积分误差和收敛阶．值例数
插值多项式的积分建立起来的一类方法，如
梯形公式、ｉｓｎ公式等．节点和系数都Ｓｍｐｏ对使用待定法使方法的代数精度达到最高阶的
收稿日期：０００ — ３２１ — ２０
则称求积公式Ｊ是Ｐ阶收敛的．例如，化的Ｔａｅｏ复ｒｐｚｉ式ｄ公
基金项目：肃省自然科学基金（８３ＪＡ１８资助．甘００Ｒｚ０）作者简介：晓斌（９２）男，士研究生．郭１７一，博
Ｅ— ｉ：ｏｂｎｕ．ｄ．ｎｍａｌｇｕｘ＠ｗｎｅｕｃ
５０
数学教学研究
第２卷第４期９
２１年４月００
）ｘｄ
３复化两点Ｇａｓ－ｇｎｒｕｓＬｅｅｄｅ公式的积分误
差及收敛阶
≈
∑ （（）（斗）（２厂毛＋ｆｘｔ）２）．
一
定义１设ＪＩ（ｄ，ｃ — 厂）ｘｊ是一种
复化求积公式，如果当ｈ一０时成立
Ｃ，ｃ≠ ｏ，（・）２
的零点处的差商，造了两种Ｇａｓ型求积构ｕｓ
公式．０８年，志强［构造了一种有理插２０周５值型求积公式（ＱＦ）并证明其收敛性，ＲＩｓ，该
式的节点 ∈［，］ｋ，，，ａ６，一０ｌ … 和求积系
中图分类号：２１０４
１引言
方法是Ｇａｓ求积公式在有理函数空间ｕｓ型
中的推广．本文对两点ＧｕｓＬｇｎｒ公式ａｓ— ｅｅｄｅ
１
数值积分是计算数学的基本内容，工在
程技术和科学计算中起着十分重要的作用．
第２卷第４期９
２１００年４月
数学教学研究
４９
复化两点ＧｕｓＬｇｎｒ公式及其误差分析ａｓ－ｅｅｄｅ
郭晓斌尚德泉
（．北师范大学数学与信息科学学院，肃兰州７０７；１西甘３００
一
子表明，数值计算较大区间上的定积分时，在
我们设计的方法是高效的．类方法是Ｇａｓ型公式，ｕｓ常见的有Ｇｕｓａｓ— ２预备知识Ｌｇｎｒｅｅｄｅ公式，ｕｓｈｂｓｅ公式等．Ｇａｓ— ｅｙｈｖＣ２１收敛阶．对于Ｇａｓ型求积公式，于该方法的ｕｓ鉴高精度和高效性，年来在理论和应用方面近多有研究．０７年，丽华Ⅲ 基于被积函２０曹数于第一类和第二类次ｃｅｙｈｖ多项式ｈｂｓｅ
２甘肃中医学院公共课部，甘肃兰州．７００）３００
摘
要：文对两点Ｇａｓ— ｇｎｒ本ｕｓＬｅｅｄｅ公式进行推广和复化，到了新的数值积分公式．析了其求得分
积误差和收敛阶．给出了数值例子．并关键词：值积分；敛阶；化Ｇａｓ— ｇｎｒ数收复ｕｓＬｅｅｄｅ公式；分误差积
（．）３２
的插值型求积公式．通过对形如（．）积公该方法具有四阶收敛性．１１求
证明首先求出两点Ｇａｓ— ｅｅｄｅｕｓｇｎｒＬ数Ａ＞ｏｋ，，，适当的选取，，＝０１ … ７１ｚ可使其公式的离散误差，由引理２１．代数精度达到最高的２１次．十利用特殊区
数值积分方法常见于文献［］它常常利用机１，
械求积来实现，基本思想是：其
ｒ６１ｌ
一
。
ｚ ≈ （３ｒ）（２）厂连＋ｆ１）出一＼１迮３．
Ｉ（）ｘ≈ 三０Ａｆｘ）厂ｚｄ（＾，Ｊ。