2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质理

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质理一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为 ( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－3. 答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )．A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3 C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2. 答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos xsin x ≥cos x ，sin x sin x <cos x .画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 10．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0， 即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)．12．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． ∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8 ＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 14．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。