2016-2017年广东省惠州市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是（）A．∀x∈R，sinx＞1 B．∃x∈R，sinx≤1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx≥1 2．（5分）命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知函数y=xsinx，则y'=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx+xcosx D．sinx﹣xcosx4．（5分）“α=30°”是“sinα=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．86．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a+b=（）A．0或﹣7 B．0 C．﹣7 D．1或﹣67．（5分）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（）A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.98．（5分）函数f（x）=lnx﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．1410．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），则相对于x、y、z，这101个月收入数据（）A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变C．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变D．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大11．（5分）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．9612．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x3﹣2x+1的图象在点x=1处的切线方程是．14．（5分）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=．15．（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为．16．（5分）向边长分别为5，5，6的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a∈R，p：关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不等实根；q：方程表示双曲线．若p∨q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若过点P（3，2）的直线l与轨迹E相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，求直线l的方程．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+x（a，b∈R），且f（1）=0，f'（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．20．（12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx （a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若a=1时，对于∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．22．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e=﹒（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是（）A．∀x∈R，sinx＞1 B．∃x∈R，sinx≤1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx≥1【解答】解：命题：“∀x∈R，sinx≤1”为全称命题，全称命题的否定是特称命题，即∃x∈R，sinx＞1，故选：C．2．（5分）命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若a＞2，则a＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若a＞1，则a＞2，为假命题．，当a=1.5时，满足a＞1，但a＞2不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B．3．（5分）已知函数y=xsinx，则y'=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx+xcosx D．sinx﹣xcosx【解答】解：∵函数f（x）=xsinx，∴f′（x）=sinx+xcosx．故选：C．4．（5分）“α=30°”是“sinα=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为sin30°=，而sinα=时，可得α=30°+k•360°，k∈Z，或者α=150°+k•360°，k∈Z，则“α=30°”是“sinα=”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a+b=（）A．0或﹣7 B．0 C．﹣7 D．1或﹣6【解答】解：由f（x）=x3+ax2+bx+a2，得f′（x）=3x2+2ax+b，，即，解得或（经检验应舍去），a+b=4﹣11=﹣7，故选：C．7．（5分）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（）A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9【解答】解：∵射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，∴此射手在一次射击中超过8环的概率为0.2+0.3=0.5，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1﹣0.5=0.5．故选：A．8．（5分）函数f（x）=lnx﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵（x＞0）∴（x＞0）则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=；故选：B．9．（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…≥时k的值，由于：S=+++…=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=，所以：由≥，解得：k≥12，所以：当时，输出的k的值为12．故选：B．10．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），则相对于x、y、z，这101个月收入数据（）A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变C．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变D．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），∴相对于x、y、z，这101个月收入数据平均数大大增大，中位数由变为x51，∴中位数可能不变，方差变大，故选：D．11．（5分）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．96【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF 2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为故选：C．12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞，或e＜﹣，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x3﹣2x+1的图象在点x=1处的切线方程是x﹣y﹣1=0．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2，所以x=1，f′（1）=3﹣2=1，即函数y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线斜率是1，所以切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即x﹣y﹣1=0．故答案为x﹣y﹣1=0．14．（5分）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=10．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为3+2=5，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×5=10．故答案为：10．15．（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为=1.10x+4.60．【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4，=×（7+8+9+12）=9，b==1.10，且回归直线过样本中心点（，），∴a=9﹣1.10×4=4.60，故所求的回归直线方程为：=1.10x+4.60．故答案为：=1.10x+4.60．16．（5分）向边长分别为5，5，6的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为1﹣．【解答】解：如图，∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，∴三角形ABC的面积S==12，该点距离三角形的三个顶点的距离均大于1，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为1，则阴影部分的面积为S1=12﹣，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为1﹣．故答案为：1﹣．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a∈R，p：关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不等实根；q：方程表示双曲线．若p∨q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真，则△=4﹣4a＞0，解得：a＜1 …（2分）若q真，则（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3 …（4分）因为p∨q为假，则p与q都为假…（6分）即，解得a≥3 …（8分）综上a的取值范围为a≥3 …（10分）18．（12分）从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若过点P（3，2）的直线l与轨迹E相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D （x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线上，所以y02=16x，即4y2=16x，所以y2=4x，所求点M轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，因为A、B两点都在抛物线E上，则代入作差可得k===1 …（10分）∴直线l的方程为：x﹣y﹣1=0 …（12分）19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+x（a，b∈R），且f（1）=0，f'（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax3+bx2+x，得：f′（x）=3ax2+2bx+1，又f（1）=0，f′（1）=0，解得：a=1，b=﹣2，所以f（x）=x3﹣2x2+x，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，），（1，+∞）递增，在（，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x），f′（x）的变化情况如下表：（﹣∞，，∴x=时，f（x）有极大值，且极大值为f（）=，当x=1，f（x）有极小值，且极小值为f（1）=0．20．（12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为1﹣（0.06+0.08+0.16+0.38）=0.32，所以价格在[16，17﹚内的地区数为50×0.32=16，…（2分）设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，解得：x≈15.7（元）估计该商品价格的中位数为15.7．（5分）（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为50×0.06=3，记为x、y、z，价格在[17，18）的地区数为50×0.08=4，记为A、B、C、D，若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz 3种情况，若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况，若m，n分别在[13，14）和[17，18）内时，共有12种情况．（10分）所以基本事件总数为21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种，∴事件“|m﹣n|＞1”的概率P（|m﹣n|＞1）=．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx （a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若a=1时，对于∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（Ⅰ）f'（x）=a﹣=，当a≤0时，f'（x）在x＞0上恒小于0，f（x）在x＞0上单调递减，此时f（x）没有极值点．当a＞0时，f'（x）在（0，）上为负，在（，+∞）上为正，f（x）在x=处取得极小值，此时f（x）有一个极值点．综上知：当a≤0时，f（x）在定义域内的极值点的个数为0，当a＞0时，在定义域内f（x）的极值点的个数为1．（Ⅱ）a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，对于任意x＞0，f（x）≥bx﹣2恒成立，即为：b≤=1+在x＞0上恒成立．令g（x）=1+，则g'（x）=0得：x=e2．∴g（x）在（0，e2）上为减函数，在（e2，+∞）上为增函数，则g（x）在x=e2时取得最小值为g（e2）=1﹣，∴b≤1﹣．22．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e=﹒（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），由已知得：2c=2，=，b2=a2﹣c2，联立解得c=1，b=1，a=．∴椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）符合条件的点M存在，其坐标为．证明如下：假设存在符合条件的点M（m，0），又设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2．①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，∴x1+x2=，x1•x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[﹣（x1+x2）+x1•x2+1]=﹣．∴=，对于任意的k值，上式为定值，所以2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=，此时=﹣为定值．②当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=﹣．由m=，得=1﹣2×+﹣=﹣为定值．综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。