数形结合

数形结合思想方法应用
【摘要】: 数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。

数形结合既是一种重要的教学思想，也是一种重要的教学方法。

把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。

【关键词】：数学思想 数形结合 应用
引言：
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法
一、数形结合的思想介绍
数是数量关系的体现，而形是空间形式的体现，数学中两大研究对象数与形的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。

数学中数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

二、数形结合的优越性
几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。

而且一些纯代数问题结合图形来解，显得特别容易，“脑中有图象，直观又形象”。

数形结合方法作为一种策略思想，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果。

综上所述，数形结合的优越性可以概述为以下三点：1 、能够直接导出结果。

2、 易于寻找解题思路。

3 、能避免复杂的计算和推理，简化解题过程。

总之，它以解题的直观性和简捷性被广泛使用，特别是作为高考中重要数学思想方法考查以来，各类题解使用的深度和广度逐渐升级，形成热点。

三、数形结合的途径
1、函数与数形结合
1）一次函数与数形结合
例、：知1,1,1<<<c b a ，求证：1)2(;2)1(->++++>+ca bc ab c b a abc 分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。

把a 看成变元，c b ,看成常数，构造一次函数2)1()(+---=c b x bc x f
而)1)(1(42)1()1(++-=+----=-c b c b bc f
0)1(4)1)(1(0210,2101,1>-⇒<++<⇒<+<<+<∴<<f c b c b c b
又0)1)(1(21)1(>--=+---=c b c b bc f
0]1,1[)(上恒大于在-∴x f 又02)1(0)(,1>+--->∴<c b a bc a f a 即
c b a abc ++>+∴2
（2）令1)()(+++=bc x c b x g 同理可得0)1(,0)1(>>-g g
从而0]1,1[)(上恒大于在-x g 01)(0)(,1>+++>∴<bc a c b a g a 即
即1->++ca bc ab
2）二次函数与数形结合
例2：若方程02)13(722=--++-a a x a x
，212<<x 求a 的取值范围解：令2)13(722--++-=a a x a x y
⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧>-<-->--0308202222a a a a a a ⇒ 12-<<-a 或3<a<4
评析:本题对学生的要求高多了,它要求
学生在深入观察数式的特征下,由“数”构“形”,再由“形”构“式”。

3）三角函数与数形结合
已知γβα,,为锐角，且1=cos +cos +cos 222γβα，
求证:22≥tan •tan •tan γβα
分析：题目中出现了三个角，看似复杂，但如果有数形转换意识，由已知三个角γβα,,的余弦的平方和等于1，就会与原有经验中的知识类比联系，这种数式的特点与长方体1111-D C B A ABCD 的对角线与从A 出发的相邻三条棱的交角相类比，于是设长方体三条棱为c b a ,,，便有以下证明：
22=2•2•2≥+a •+c •+=tan •tan •tan 222222c
ab b ca a bc c b b a a c b γβα 4）反函数与数形结合
、方程3log ,322=+=+x x x x 的实根分别为21,x x ，则21x x +=
分析：本题21,x x 不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，
以数助形可巧妙求解
令x y x y y x -===3,log ,23221
21,y y 互为反函数，其图象关于x y =对称，设
)3,(),3,(2211x x B x x A --
213x x -=∴ 即321=+x x
2、函数不等式与数形结合
已知u v ≥≥11，且()()()()()log log log log a a a a u v au av a 2222
1+=+>，求
()l o g a uv 的最大值和最小值。

解析：令x u y v a a ==log log ，，
则已知式可化为 ()()()x y x y -+-=≥≥1140022
，， 再设()()
t uv x y x y a ==+≥≥log 00，，由图3可见，则当线段y x t =-+ ()x y ≥≥00，与圆弧()()()x y x y -+-=≥≥1140022，相切时，截距t 取最大值
t max =+222（如图3中CD 位置）
；当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值t min =+13（如图中AB 位置）。

因此log ()a uv 的最大值是222+，最小值是13+。

3、解析几何中的数形结合
(06上海卷)若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 。

解析：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨
-+<⎩
的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；
4导数与数形结合
、（06天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个
解析：函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。

四、运用数形结合的注意事项
数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质；数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性。

数形结合的思想，其应用包含两点：
1．“形”中觅“数”；很多数学问题，已知图形已经作出或容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，即将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．
2．“数”上构“形”；很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征．由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化为几何问题，使问题获解。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。

数和形是数学中最基本的两大概念，是整个数学发展进程中的两大支柱。

数和形在客观世界中又是不可分割地联系在一起的。

所以在数学教学中利用好数形结合的方法定能起到很好的教学效果。

参考文献：
[1]罗新兵.数形结合的解题研究:表征的视角[D].华东师范大学.2005
[2]葛梅芳.关于高中生数形结合思想理解的研究[D].华东师范大学.2009
[3]胡顺添. 浅谈高中数学教学中"数形结合"思想的应用[J]. 数学学习与研究.教研版.2008
[4]杨旭霞.数形结合思想方法在中学数学教学中的应用。