数形结合法
八、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设命题甲：0<x<5；命题乙：|x －2|<3，那么甲是乙的_____。
（90年全国文） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 若log a 2<log b 2<0，则_____。
(92年全国理)
A. 0<a<b<1
B. 0<b<a<1
C. a>b>1
D. b>a>1 3. 如果|x|≤
π4
,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是_____。
(89年全国文) A.
212- B. －212+ C. －1 D. 122
-
4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。
(91年全国)
A.增函数且最小值为－5
B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5
D.减函数且最大值为－5 5. 设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}，集合M ＝{(x,y)|
y x --32
＝1}，N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}，那么
M N ∪等于
_____。
(90年全国)
A. φ
B. {(2,3)}
C. (2,3)
D. {(x,y)|y ＝x ＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos
θ2－sin θ2＝1-sin θ,那么
θ2
是_____。
A.第一象限角
B.第三象限角
C.可能第一象限角，也可能第三象限角
D.第二象限角
7. 已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ≤2π}，F ＝{θ|tg θ<sin θ}，那么E ∩F 的区间是_____。
A. (
π2,π) B. (π4,34π) C. (π, 32π) D. (34π,54π) （93年全国文理）
8. 若复数z 的辐角为56
π，实部为－2
3，则z ＝_____。
A. －23－2ｉ
B. －23＋2ｉ
C. －23＋23ｉ
D. －23－23ｉ
9. 如果实数x 、y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x
的最大值是_____。
(90年全国理)
A. 12
B. 33
C. 32
D. 3
10. 满足方程|z ＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z 是_____。
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。
Ⅱ、示范性题组： 例1. 若方程lg(－x 2
＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。
【解】 原方程变形为 30332->-+-=-⎧⎨⎩x x x m x 即：30
212
->-=-⎧⎨⎩x x m
()
设曲线y 1＝(x －2)2 , x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示。
由图
可知：① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m ≤0,
∴ m ＝1或－3<m ≤0
【注】 方程解、不等式解集、函数性质等的讨论，借助于图像直观解决，简单明了。
此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x 值）。
例2. 设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12
的值。
【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】 如图，设z 1＝、z 2＝后，则z 1＝、z 2＝如图所示。
由图可知，|z z 12
|＝52
，∠AOD ＝∠BOC ，由余弦定理得：cos ∠AOD
＝5213252
222
+-()³³＝45
∴ z z 12
＝52(45±35ｉ)＝2±32
ｉ
【注】 复数问题可利用几何意义而几何化。
也可设复数的代数形式、三角形式转化成代数问题或三角
问题，还可直接利用复数性质求解。
例3. 直线L 的方程为：x ＝－
p 2 (p>0),椭圆中心D(2＋p 2
,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。
问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等
于该点到直线L 的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(
p 2
,0)，设椭圆与双曲线 y px x p y 22
222241=-++=⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪[()]…… 【注】 判别式法（注意解的范围）、定义法、数形结合法、转化思想、方程思想等知识综合运用。
例4. 设a 、b 是两个实数，A ＝{(x,y)|x ＝n ，y ＝na ＋b} （n ∈Z ），B ＝{(x,y)|x ＝m ，y ＝3m 2
＋15} (m ∈Z)，C ＝{(x,y)|x 2＋y 2
≤144}，讨论是否存在a 、b ，使得A ∩B ≠φ与(a,b)∈C 同时成立。
(85年高考)
【解】 由A ∩B ≠φ得：na ＋b ＝3n 2
＋15 ;
设动点(a,b)在直线L ：nx ＋y ＝3n 2＋15上，且直线与圆x 2＋y 2
＝144有公共点，
所以圆心到直线距离d ＝||3151
2
2
n n ++＝3(n 21+＋
41
2
n +)≥12
∵ n 为整数 ∴ 上式不能取等号，故a 、b 不存在。
【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法研究。
此题也属探索性问题用数形结合法解。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知5x ＋12y ＝60，则x y 22+的最小值是_____。
A.
6013 B. 135 C. 1312
D. 1 2. 已知集合P ＝{(x,y)|y ＝92-x }、Q ＝{(x,y)|y ＝x ＋b}，若P ∩Q ≠φ，则b 的取值范围是____。
A. |b|<3 B. |b|≤32 C. －3≤b ≤32 D. －3<b<32 3. 方程2x
＝x 2
＋2x ＋1的实数解的个数是_____。
A. 1
B. 2
C. 3
D.以上都不对 4. 方程x ＝10sinx 的实根的个数是_______。
5. 若不等式m>|x －1|＋|x ＋1|的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________。
6. 设z ＝cos α＋
12
ｉ且|z|≤1,那么argz 的取值范围是____________。
7. 若方程x 2－3ax ＋2a 2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______。
8. sin 2
20°＋cos 2
80°＋3sin20°²cos80°＝____________。
9. 解不等式： --x x 22>b －x
10. 设A ＝{x|<1x<3}，又设B 是关于x 的不等式组x x a x bx 22
20
250
-+-+⎧⎨⎪⎩⎪≤≤的解集，试确定a 、b 的取值范围，使得A ⊆B 。
（90年高考副题）
11. 定义域内不等式2-x 〉x ＋a 恒成立，求实数a 的取值范围。
12. 已知函数y ＝()x -+112＋()x -+592，求函数的最小值及此时x 的值。
13. 已知z ∈C ，且|z|＝1，求|(z ＋1)(z －ｉ)|的最大值。
14. 若方程lg(kx)＝2lg(x ＋1)只有一个实数解，求常数k 的取值范围。
数形结合数学思想方法
数形结合数学思想方法小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。
为初中数学学习打好基础，如确实位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。
下面小编给大家整理了关于数形结合数学思想方法，希望对你有帮助!1数形结合数学思想方法“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辨证关系。
数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。
它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的。
它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，觖决数学问题能起到促进和深化的作用。
2数形结合数学思想方法用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。
“数形结合”可以借助简单的图形(如统计图)、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。
以数解形：有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。
而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系(如算式等)，以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。
它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。
助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力。
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。
表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。
小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透-最新文档
⼩学数学“数形结合”思想⽅法在教材中的渗透-最新⽂档⼩学数学“数形结合”思想⽅法在教材中的渗透⼀、数形结合思想⽅法简述数形结合是⼩学数学中常⽤的、重要的⼀种数学思想⽅法。
数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化,把抽象的数量关系,通过形象化的⽅法,转化为适当的图形,从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系,解决数量关系的数学问题,这是数形结合思想在⼩学数学中最主要的呈现⽅式。
另外,数形结合思想在关于⼏何图形的问题中,⽤数量或⽅程等表⽰,从它们的结构研究⼏何图形的性质与特征,这是另⼀种呈现⽅式。
应⽤数形结合思想⽅法解题,从抽象到直观,再由直观到抽象,既能培养学⽣的形象思维能⼒,⼜能促进逻辑思维能⼒的发展。
通过数形结合,有助于学⽣对数学知识的记忆,训练学⽣数学直觉思维能⼒,培养学⽣的发散思维能⼒和创造性思维能⼒。
⼆、数形结合思想⽅法在教材中的渗透1.数形结合帮助学⽣建⽴起数学基本概念,形成整个数学知识体系。
数学是思维的阶梯。
纵观整个⼩学数学教材,从⼀年级到六年级,⽆不充分体现数与形的有机结合,帮助学⽣从直观到抽象,逐步建⽴起整个数学知识体系,培养学⽣的思维能⼒。
在⼀年级上册中,学⽣刚学习数学知识时,教材⾸先就是通过数与物(形)的对应关系,初步建⽴起数的基本概念,认识数,学习数的加减法;通过具体的物(形)帮助学⽣建⽴起初步的⽐较长短、多少、⾼矮等较为抽象的数学概念;通过图形的认识与组拼,在培养学⽣初步的空间观念的同时,也初步培养学⽣的数形结合的思想,帮助学⽣把数与形联系起来,数形有机结合。
在⼆年级上册学习乘法与除法的意义时,通过数与物(形的)对应结合,帮助学⽣理解掌握乘法与除法的意义,并抽象地运⽤于整个数学学习中。
在三年级上册分数的初步认识中,通过具体的形的操作与实践,让学⽣充分理解“平均分”,⼏分之⼀,⼏分之⼏等数学概念,掌握运⽤分数⼤⼩的⽐较,分数的意义,分数的加减等,使数形紧密地结合在⼀起,把抽象的数学概念直观地呈现在学⽣⾯前,帮助学⽣理解掌握分数的知识。
数形结合思想方法(新课标)
数形结合思想方法一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.2230 13x x kx k k ++=-若关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围。
分析：2()23f x x kx k x =++令，其图象与轴交点的横坐标就是方程()0f x =()13y f x =-的解，由的图象可知，要使二根都在，之间， (1)0f ->只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<同时成立. 10(10)k k -<<∈-解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩2020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
小学数学数形结合的思想方法浅谈
1.以形助数的思想方法
“以形助数”就是借助题目中已经给出的图形或者是自己画图，借助图形找出图中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。在教学中学生都是从直观、形象的图形入门学习数学的。从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子，贝壳记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。和我们学习数学的过程有着很大的相似之处。都是从具体的物体逐步向抽象逻辑思维过渡。如讲解《长方体的认识》，利用多媒体课件动态演示“点动成线，线动成面，面动成体”让学生通过演示直观的体会到几何基本要素之间的联系，并感受到它们的产生过程，在知识的传授中，教师有效地利用了长方体的图形，从体由面组成，面面相交形成线，线线相交形成点，借助图形让学生形成逻辑思维，让学生在不知不觉中构建几何知识体系。
小学数学数形结合的思想方法浅谈
数形结合是小学数学中最常用的一种数学思想方法。数形结合思想的实质就是通过数与形之间的相互转化，相互渗透，把复杂难懂的的数量关系，通过图形展示的方法，降低解题难度，通过图形的结构发现数量之间存在的联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。
三、数形结合思想意义和作用
在小学数学中，形在教学中体现主要在两方面，一方面是画或课件辅助，另一方面是生活中的实物，例如小棒，小方块等，借助于这些实物，帮助学生化抽象为形象，理解抽象的概念，解题方法等。运用数形结合的思想，通过“形”把题目中的数量关系形象、简单、直观的表示出来。例如可以通过画线段图、点子图、长方体、圆柱体、数轴等，帮助学生理解抽象或难懂的数量关系，使问题简明直观，更好的解决。
一、数学教材中蕴涵的主要数学思想方法
数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。数学方法：
第1讲：数形结合法与数学建模思想(初三)
EDCBA第1讲：数形结合法与数学建模思想★1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。
在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。
★2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。
★★3 数形结合法在初中范围内的运用 ★1、代数问题通过构造几何图形给予解决【例1】当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是 ；【例2】已知0>x ，0>y ，1=+y x ,且x ＋y a ≤恒成立，则a 的最小值等于【例3】请计算：（1）、tan 015= (2)、sin 018= 【例4】如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC 、EC ，已知5AB =,1DE =,8BD =,设CD x =。
(1)用含x 的代数式表示AC CE +的长；(2)请问点C 满足什么条件时, AC CE +的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.◎ 变式议练一：1、若0a >，0b <，且0a b +<，则有理数a ，b ，a -，b 的大小关系是 ；2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时，CA+CB 有最小值。
3、_______,0,0的取值范围是成立的要使若x b a b x a x b a -=-+-<>4、函数1342222+-+++=x x x x y 的最小值是★★2、几何问题的代数解法【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图 方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．【例6】⊙O 是ABC ∆的内切圆，与边AB 、BC 、CA 的切点分别为D 、E 、F ，5AB =,6BC =，7CA =,则AD = ，BE = ，CF = 。
12.数形结合法
12.数形结合法数形结合，其实也是一种数学解题方法。
其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
【例题】例1. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
【解】原方程变形为30332->-+-=-⎧⎨⎩xx x m x即：30212->-=-⎧⎨⎩xx m ()设曲线y1＝(x－2)2 , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。
由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0,∴ m＝1或－3<m≤0此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1 , x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。
【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。
此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
例 2. 设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求zz12的值。
【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】如图，设z1＝OA、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示。
数形结合十大经典题型
数形结合十大经典题型
数形结合是一种常见的解题方法，特别适用于一些几何问题。
以下是十大经典的数形结合题型：
1. 长方形面积问题：已知长方形的周长或宽度，求最大面积。
2. 圆的问题：已知圆的周长或半径，求其面积或直面积。
3. 直角三角形问题：已知直角三角形的两条边，求第三条边的长度。
4. 正方形问题：已知正方形的对角线长度，求其边长。
5. 圆环问题：已知两个同心圆的半径，求其面积差。
6. 多边形问题：已知多边形的边长和内角个数，求其周长或面积。
7. 体积问题：已知几何体的表面积和一个尺寸，求其体积。
8. 圆柱问题：已知圆柱的底面半径或高度，求其体积或表面积。
9. 三角形面积问题：已知三角形的底边和高，求其面积。
10. 平行四边形问题：已知平行四边形的两个邻边和夹角，求其面积。
数形结合的思想方法
数形结合的思想方法每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。
因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种"结合〞，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数〞和"以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比方应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的准确性和规严密性来说明形的*些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值围。
一、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
②转化，通过分析数与式的构造特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③构造，比方构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①"由形化数〞：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形在的属性。
“数形结合”巧解小学数学思维题
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形 表示整数1，依次表示出 、 、 ……
从图中可以 ，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的 ，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：
数形结合思想
数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系和单位圆来定义的．数形结合在解决集合运算、函数方程、不等式、解析几何、三角、向量等问题中均有广泛运用．应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大简化代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式22(2)(1)4xy ．常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径． （3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算．特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循．（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将|a |与距离互化，将a 2与面积互化，将a ≥b ≥c ＞0且b +c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用．常见的转换途径为：1°方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题．2°利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质．3°构造几何模型．通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc 与勾股定理沟通等等．4°利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离002dA B，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质．2．数形结合的原则 （1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单．而不是去刻意追求一种固定的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法．一、引入1．函数()|log |(0a f x x a ，1)a 的单调递增区间是 A ．(0]a , B ．(0),C ．(01],D ．[1),2．方程2243xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对3．已知不等式2log 0m xx在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．01mB ．1116mC ．1mD ．1016m4．如果实数x y 、满足22(2)3x y ，则y x的最大值为A ．12B ．3C ．2D ．5．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(722), B ．(722), C ．(462), D ．(462),6．若2()f x x bx c 对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t ，则(1)f 、(3)f 、f ()4由小到大依次为___________．7．对a b R ,，记max{}.a ab a b b ab ,,,, 函数()max{|1||2|}f x x x ,的最小值是_________．8．若方程22320xax a 的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______．9．已知奇函数()f x 在(0),上是增函数，且(3)0f ，不等式()0xf x 的解集为_________．10．已知定义在[11],上的函数()f x 为增函数，则不等式11()()21f x f x 的解集为 ． 11．若关于x 的方程223320x xa 在[02],上只有一个根，则实数a 的取值范围是______． 12．讨论关于x 的方程|31|xk （k R ）根的个数．二、例题：1．方程2221xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对2．已知不等式2log 0xm x在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是 ．3．点A (2，1)在圆225x y 上，将点A 绕原点O 顺时针旋转到点B ，求B 的坐标．4．当[1)x ,时，不等式222x ax a 恒成立，求a 的取值范围．5．设关于θsin 0θθa 在区间(02)π,内有相异的两个实根α，β，求实数a 的取值范围，并求α+β的值．三、练习：1．方程sin lg x x 的根的个数有 ．2．设方程 22xx的实根为a ，2log 2xx的实根为b ，则ab．3．方程2||10xx a 有四个根，则a 的取值范围是 ．4．设a b c ,,均为正数，且122log aa ，121()log 2b b ，21()log 2c c ，则A ．ab c B ．c b a C ．c a b D ．b a c5．设函数2log (1)2()1()1 2.2xx xf x x ,,,若0()1f x ，则0x 的取值范围是 A ．(0)(2),, B ．(02), C ．(1)(3),, D ．(13), 6．若log a 2<log b 2<0，则a ，b 的取值范围是A ． 0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 7．已知0x 是函数1()21xf x x的一个零点，若10(1)x x ,，20()x x ,，则A ．12()0()0f x f x ,B ．12()0()0f x f x ,C ．12()0()0f x f x , D ．12()0()0f x f x ,8．已知01a ，则方程|||log |x a a x 的根的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个 9．方程1sin()44πxx 的实数解的个数是( ) A ． 2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对 10．函数||y a x 与y x a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A ．(1)，B ．(11)，C ．(1][1)，，D ．(1)(1)，，11．若(12)x ，时，不等式2(1)log a x x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ． [1，2]12．定义在R 上的函数()y f x 在(2)，上为增函数，且(2)y f x 是偶函数，则（ ）A ．(1)(3)f fB ．(0)(3)f f C ．(1)(3)f f D ．(2)(3)f f13．已知51260xy 的最小值是A ． 6013B ．135C ．1312D ．1 14．已知()22ππx ,，则sin x ，tan x 与x 的关系是 A ．tan sin xx x B ．tan sin x x x C ．|tan ||||sin |x x x D ．不确定15．已知函数2()11([01])f x x x ,，对于满足121x x 的任意12x x ,，给出下列结论：①1212()[()()]0x x f x f x -；②2121()()()f x f x x x -；③2121()()()22f x f x x x f ．其中正确的结论的序号是A ．①B ．②C ．③D ．①③ 16．若关于x 的方程24||5x x m 有四个互不相等的实根，则实数m 的取值范围是 ． 17．函数2222613y x x x x 的最小值为___________．18．若直线yx m 与曲线21yx 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．19．若不等式|1||1|m x x 的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________． 20．对a bR ,，记min{}.b a b a b a ab ,,,, 函数1()min{|1|2}2f x x x ,的最大值是_________． 21．求函数sin 2cos 2x y x 的值域．22．关于x 的方程2230x kx k 的两根都在1和3之间，求k 的取值范围．23．已知向量(34)OA ,，(63)OB ,，(53)OC m m ,． （1）若点A B C ,,能够成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值．。