用数形结合法巧解最值问题
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
将数与形结合，提升解答与圆相关的最值问题的效率
考点透视数形结合思想是高中数学中的重要思想之一，特别是在解答与圆有关的综合问题时，将题设中所给的数量关系和图形结合起来，能有效地避免大量的代数运算，提升解题的效率.与圆有关的最值问题通常运算量较大，这让很多同学感觉“头疼”.我们不妨从图形的特点出发，结合代数关系，运用数形结合思想来解答最值问题.例1.已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点，PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.分析：本题中涉及了动点，直接求解较为困难.不妨依题意画出图形，根据圆与切线的位置关系及其性质来分析四边形PACB 面积最小时的情形.由图可知S 四边形PACB =2S △PAC ,那么只要求得S △PAC 的最小值，即可求得四边形PACB 面积的最小值.解：因为PA ,PB 是圆的切线，所以PA =PB ,S △PAC =12AC ⋅AP ,设|AC |=r ,|AP |2=|CP |2-r 2，当|CP |取最小值时，|AP |取最小.过圆心C 作直线l 的垂线，如图1所示，此时|CP |最小.由x 2+y 2-2x -2y +1=0可得(x -1)2+(y -1)2=1，则r =1.由点到直线的距离可知||CP =2，则||AP 2=||CP 2-r 2=3，所以S △PAC =12AC ⋅AP =12×1×3，可得S 四边形PACB =2S △PAC =3.在解答与圆有关的最值问题时，要善于利用题目中所给的数量关系，根据代数式的几何意义，将代数关系转化为几何关系，通过数形结合,快速求得问题的答案.例2.已知点A (0,m )，B (0,-m )(m >0),圆C :(x -3)2+(y -4)2=1上有一动点P ，且∠APB =90°，求m 的最值.分析：由∠APB =90°联想到圆的直径，于是构造以AB 为直径的圆E .点P 不仅在圆E 上，还在圆C 上，那么两圆有交点，借助图形分析两圆的位置关系，通过数形结合便可求得m 的最值.解：设以AB 为直径的圆的方程为：x 2+y 2=m 2，则圆E 的圆心为E (0,0)，半径r =m ，要使两圆有交点，需使两圆的圆心距离：||r 1-r 2≤||EC ≤||r 1+r 2，通过计算得||EC =5.||r 1-r 2=||m -1，||r 1+r 2=m +1，可得m ∈[4,6].例3.如图2，点C 为半圆：(x +1)2+y 2=1(x <0)的直径AB 延长线上的一点，||AB =||BC =2,过动点P 作半圆的切线PQ ，若||PC =2||PQ ,D 为(x +1)2+y 2=1的圆心，则△PAC 的面积的最大值是.AB CPQxyxy A PCO图2图3分析：由于点P 是动点，所以点Q 、切线PQ 都会随它改变而改变.要求得△PAC 面积的最值，需先求得△PAC 的面积.可根据题意画出图形，以点B 为原点建立平面直角坐标系，求出点P 的轨迹方程，从而求出△PAC 面积的最大值.解：由题意可知||PQ 2=||PD 2-r 2，||PC =2||PQ ,||PC 2=4||PQ 2=4(||PD 2-r 2)，可得(x -2)2+y 2=4[(x +1)2+y 2]，则点P 的轨迹是一个圆，其方程为(x +2)2+y 2=163，由图3可知，当点P 在最高点时，△PAC 的高d最大，此时S △PAC =12||AC ⋅d =2d .可见，运用数形结合思想解答与圆有关的最值问题的基本思路是：（1）挖掘题目中代数式的几何意义，如将()x +a 2+()y +b 2=r 2看作圆心为(a ,b )，半径为r 的圆，将ax +by =c 看作一条直线；（2）画出相应的几何图形；（3）借助图形，分析点、直线、圆之间的位置关系，根据圆的性质找出临界的情形；（4）求得最值.（作者单位：山东省聊城第一中学）将数与形结合，提升解答与圆相关的最值问题的效率李冰图139。
例说数形结合解决求函数最值问题
例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。
在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。
求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。
例1：求函数的值域。
分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。
解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。
作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。
评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。
例2：已知，求的最小值。
【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。
解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。
分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。
如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。
令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。
分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。
解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。
例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
数形结合求最值
数形结合求最值作者：李维奇来源：《考试·高考理科版》2011年第05期关键词数形结合斜率截距距离求最值是数学中一个重要专题，而解析几何中的一些概念和公式也被广泛运用于此，方法简洁实用。
如：斜率、截距、点与点的距离公式、点到直线的距离公式，以及直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系等。
一、斜率模式当x1≠x2时，斜率k=y1－y2x1－x2，因此，对于分式的形式，视情况可以将其转化为斜率的形式。
例1 如果实数x,y满足(x－2)2+y2=3，求yx的最大值。
解：条件中的方程在解析几何中表示圆，而yx=y－0x－0，即表示圆上的点与原点的连线的斜率，如图1，易得此斜率的最值应是该直线与圆相切时取得，易得最大值为3。
如果利用选修教材中的圆的参数方程，即x=3cosθ+2y=3sinθ，就有如下变式：变式11 求函数y=3sin x3cos x+2的值域。
可变形为y=3sin x－03cos x+2－0，也可变形为y=3sin x3cos x－(－2)。
若将sin x与cos x的关系表示出来，即可得如下变式：变式12 求函数y=3•1－x23x+2的最大值。
可设x=cosθ，则有y=3sinθ3cosθ+2，即转化为变式11，但与之相区别的是θ∈［0,π］，这是后者所没有要求的。
其几何意义就不能完全用图1来表示，而是个半圆。
变式2 求函数y=2sin x－12sin x+1的值域。
函数变形为y=sin x－12sin x+12，即表示点(sin x,sin x)与点C－12,12的连线的斜率，如图2，由于sin x∈［－1,1］，可得点(sin x,sin x)是线段AB上的动点，易得经过点C的直线l1,l2的斜率分别为3和13，可知原函数的值域为(－SymboleB@ ,13］∪［3,+SymboleB@ )。
变式3 求函数y=x2+1x－1的值域。
y=x2－(－1)x－1，表示点(x,x2)与点(1,－1)的连线的斜率，而点(x,x2)是抛物线y=x2上的动点(x≠1)，如图3，直线l1与l2是抛物线的切线，设切点为(x0,x02)，则由导数知，斜率为2x0，则切线方程为y－x02=2x0(x－x0)，将点(1,－1)代入，得x0=1±2，直线l1与l2的斜率即为2±22，因此原函数的值域为(－SymboleB@ ,2－22］∪［2+22,+SymboleB@ )。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
数形结合思想——构建几何模型解决最值问题(第一课时)
数形结合思想——构建几何模型解决最值问题（第一课时）教学内容分析数形结合思想是高中数学中的一个重要的思想，它作为一种思维策略，或者说作为一种模型化方法，一直是考试的热点，重点。
为了强化重点，突出热点，提高学生的解题速度和分析问题解决问题的能力，在高三第二轮复习最后的专题复习中安排了数形结合专题，我把它分成两大块，第一块讲解“构建几何模型解决有关数学问题”，它分两个课时，第一课时利用斜率公式模型和距离公式模型求最值问题，第二课时利用单位圆模型、复数向量模型、函数模型解数学问题。
第二块讲解“数形结合思想的分类解题技巧”它又分多个课时，分别解决数形结合思想在集合问题、函数问题、方程问题、不等式问题、三角问题、几何问题、解析几何问题、极值问题、复数和向量问题、导数的几何意义问题中的应用。
本教学设计是第一块的第一课时：利用斜率公式模型和距离公式模型求最值问题。
这是系统讲解数形结合思想的第一节课，它为第二节课讲解提供了一种类比，为第二块内容讲解作铺垫。
学生学习情况分析学生基础并不太好，但经过第一轮的系统复习，对基础知识有了一定的掌握，并且在知识教学的同时渗透了数学思想的教学，又通过第二轮的知识点的专题复习，我想对数学知识进行更高层次的抽象和概括应当是顺理成章，水到渠成的事情。
但学生对数形结合的理解还比较浅显，渗透数形结合的知识点不是很明确，数形转换特别是数转形的能力较差，更重要的是运用数形结合思想方法的意识还有待强化。
设计思想整堂课采取启发式教学，通过典型例题引路，逐步展开变式教学，并利用多媒体软件——几何画板进行动态演示，使抽象变得直观，思想变得可视，难点轻松化解。
教学流程如下：教学目标掌握两种几何模型用数形结合思想求最值。
培养思维品质，强化数形结合意识。
教学重点、难点重点是用数形结合求最值，学生见“数”想形，以“形”助“数”，用“数”解“形”难点是代数式与几何意义的转换教学支持条件几何画板课件教学过程一、引入——整体把握数形结合思想师：“数”与“形”是数学研究的两个侧面，同学们请看大屏幕（显示：下面这些数、代数式、方程、文字对应的“形”是什么？（1）2012 （2）|x-2| （3）y=3x+2 （4）y 2 =2x （5）ρ=1 （6）x+y+1>0 （7）()212121y y x xx x -≠-（8 （9 （10） AB（11） 三角形ABC （12）正四面体生：它们依次为：数轴上的点，数轴上两点的距离，直线，抛物线，圆，直线的一侧，两点连线的斜率，平面上两点间的距离，点到直线的距离，有向线段，平面几何图形，立体几何图形。
巧用数形结合解最值问题
—
解得 ： ２ －
３ 。
≤ ≤
３
ｋ＋ｌ
２ ＋ 、 ／ 了， 所 以
一
的最小值 为２ 一 、 ／ 了 ， 最大值 为
Ｖ十
，
Ｉ ｙ ＋２
Ｃ Ａ 边 上分别取 一点Ｄ、 Ｅ、 Ｆ ，
设ｌ ＡＤＩ ＝ ０ ， Ｉ Ｄ Ｂｌ ＝ ｍ， Ｉ Ｂ Ｅｌ ： ｃ ． Ｂ
Ｉ ＥＣＩ －ｒ ， Ｉ Ｃ同 ＝６， Ｉ Ｉ ＝ ｎ。
‘
当 然 这 里 的ｋ 并 非 是 某 一 条直 线 的斜 率 ， 所 以 问题 比 上一题要复杂。 解： 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２ 则（ １ 一
生 问题 熟 悉 化 。
一
例３ ： 已知 ： 点Ｐ （ ， ｙ ） 是 圆 卅ｙ 的 最 大值 。
＝ ９ 上的一动点 ， 求
距。 画与直线ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 平行的 、 ７ （ 、 、１ 直线系， 问题转化为： 求直 — ＝ ＝ ＿ ７ ＿
－
、
利 用 数 形 结 合 转化 为两 点 之 间的 距 离 问题
二、 利 用 数 形 结 合 转 过
程。
Ａ
例２ ： 已知 ＋ ≤１ ， 求 型 ± 的最值 。
’ —
ｙ ＋２
分析 ： 本 题 可 以 转化 为斜 率 问题 ， 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２
解 ：构 造 边 长 为ｋ 的 等 边 三 角形 Ａ Ｂ Ｃ ， 并 在 Ｂ、 Ｂ Ｃ、
２
＼
即： ａ ｎ ＋ ｃ ｍ ＋ ｂ ｒ ＜ Ｋ ２ 。
从 以上例子可以知道 ， 使用了数形结合 的方法 ， 很多 问题便迎刃而解了。可见巧妙运用数形结合 的 思想方法 ， 解决一些抽象的数学问题 ， 可起到事半功 倍 的效果 。利用数形结合 ， 不仅使问题更 直观 ， 而且 时也大大加快 了解题的速度。所 以我们要 注意培养
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用数形结合法巧解最值问题
胡龙林
数形结合涉及两方面的问题,一是将图形性质转化成数量关系问题,二是将数量 关系问题转化成图形性质问题,都是中学数学普遍而重要的问,利用后者求函数 的最值可获得简捷解法。
现行高中数学教材解析几何中简单线性规划内容，教材重点在于图解法求解目标函数的最值,它更好地体现了数形结合的思想方法，也引发了我对数形结合这思想方法的一点思考。
数形结合不仅把抽象的问题直观 化，简化解题过程,提高学生的解题能力，而且可拓宽解题思路,提高学生思维的灵活题性和创造性。
1利用数轴上的截距解函数最值
截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[
例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值.
解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111|
12|22=+-⨯b , 可得22±=b . 于是
,22max +=b .22min -=b
例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值.
解 令⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=,
43,34222t t y t t x 有x y S -=又
).0,0(,1624433422222≥≥=+⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=y x y x t
t y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆16
242
2=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得
图1
.62,6min max -==S S
例3 求函数2310)(2-+-+=x x x x f 的最值.
解 设
整理可得
)0(,2)5(22≥=+-v v u . （1）
因此, 可看出方程（1）表示uov 平面上的一个半圆()如图1O 且它与x 轴在)0,25(-A 与)0,25(+B 处相交.
图2
进一步原函数可以写成
v u x f +=)(, （2）
方程（2）表示uov 平面上斜率为-1的直线系, ()x f 表示此直线系在u 轴上的截距,通过计算可得函数与半圆相切的直线在u 轴上的最大截距为7, 即7)(max =x f 而过)0,25(-A 直线在u 轴上的最小截距为,25- 即25)(min -=x f
u v =⎧⎪⎨=⎪⎩
2 利用两点间的距离公式解函数最值
两点间的距离公式分为平面和空间两种形式, 在平面内设1122(,),(,),A x y B x y 则
||AB =
在空间中, 可设111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则
||AB =
例4
求函数)y x R =∈的最小值.
解 如图所示
.
图3
由于
2565222++++-=x x x x y
=,
且y 是点(,0)x 到点(1,2),(3,4)A B -的距离之和, B 关于x 轴的对称点为(3,4)B '--, 因此
AB ==故
132max =y .
例5 求函数1725422++++-=x x x x z 的最小值，并求出此时的x 值.
解 将已知函数进行整理可得
.)40()1()10()2(2222++++-+-=x x z
上式表明z 是点)0,(x p 到点(2,1),(1,4)A B --的距离之和（如下图所示），
图4
要求其最小值，只需在x 轴上找到一点p ，使得p 到A , B 的之间距离之和达到最小即可. 通过进一步的求解, 有
34)41()12(||22min =+++==AB z .
并且, 可得直线AB 的方程
3
154+=+x y , 令0=y , 通过求解可得45=x ，因此此当4
5=x 时，.34min =z 由以上可以看出数形结合是把数学问题中的数量数关系与空间形式结 合起来的一种思维，它使逻辑思维与形象思维完美统一起来。
数形结合解题思想 新颖，方法直观，题过程简捷，可避免因对限制条件考虑不周而造成的失误，提 高学生的解题能力。
还利于数学各支的结合，深化思维，有利于学生解决问题及 创新能力的提高。