2013届高考数学第一轮专项复习教案40.doc
高考数学第一轮复习教案
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2013届高考数学第一轮数列专项复习教案2
2.1 等差数列(一)课时目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d 表示． 2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的__________，并且A ＝________.3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝____________.4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为______数列；若公差d <0，则数列{a n }为________数列．一、选择题1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－32．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．524．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．66．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n}的通项公式是() A．a n＝2n－2 (n∈N＋) B．a n＝2n＋4 (n∈N＋) C．a n＝－2n＋12 (n∈N＋) D．a n＝－2n＋10 (n∈N＋) 二、填空题7．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项是__________．8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则d1d2的值为________．10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．三、解答题11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4a n－1(n≥2)，令b n＝1a n－2.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．能力提升13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N ＋时，有a n －1a n＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .§2 等差数列 2．1 等差数列(一)答案知识梳理1．等差 公差 2等差中项 a ＋b2 3.a 1＋(n －1)d 4．递增 递减作业设计1．C 2.B 3.D 4．C[⎩⎨⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13.]5．B [设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.] 6．D [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎨⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎨⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)×(－2)，得a n ＝－2n ＋10.] 7.38．a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1. 9.43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 10.83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎨⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3.11．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎨⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎨⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N ＋)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N ＋.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 13．B [由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．]14．(1)证明 当n >1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a na n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5. (2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N ＋.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145. 令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．2.1 等差数列(二)课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m≠n )，则a m －a nm －n＝____.3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为______________．一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3C ．－33 D ．－3 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35 5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－826．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q2二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝_____________________________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝___________________________.10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为()A．18 B．9C．12 D．1514．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…，{b n}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？2．1等差数列(二)答案知识梳理1．d 2.d 3.a m＋a n＝a p＋a q作业设计1．C [由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.] 2．D [由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.]3．B [由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0， ∴m ＝8.]4．C [∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]5．D [a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82.]6．B [∵d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q ＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.] 7．24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24. 8．1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35. ∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99. ∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1. 9.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.10.12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.11．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5. 又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3； 若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .13．D [设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3. 故a 4＝3＋4×3＝15.]14．解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m3－1. ∵m 、n ∈N ＋，∴m ＝3k (k ∈N ＋)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．2.2 等差数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做____________________________．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝__________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝____________.3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为________．(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a nb n＝S 2n －1T 2n －1.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( ) A.12 B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－1二、填空题7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S nT n＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________． 9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五2．2 等差数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d 3．(1)d 2 作业设计1．C [S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.] 2．A [由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.]3．D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.] 4．B [数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.]5．B [因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.] 6．B [由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.]7．15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24， 即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.9．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10. 10．210解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m . 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 11．解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎨⎧n ＝5a 1＝3或⎩⎨⎧n ＝7，a 1＝－1.12．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎨⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .13．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190. 当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]14．D [a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.]2.2 等差数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝______________. 3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组________ 确定；当a 1<0，d >0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有________值；当d <0时，S n 有________值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．64．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18 D.195．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.126．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题7．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2－n，(n∈N＋)，则通项a n＝________.8．在等差数列{a n}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和S n的最大值是________．9．在等差数列{a n}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.10．等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n 项和S n取到最小值，则k的值是________．三、解答题11．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.能力提升13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N ＋)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 1 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N ＋都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况能否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N ＋，结合二次函数图像的 对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．2．2 等差数列的前n 项和(二)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.n (a 1＋a n )2na 1＋n (n －1)2d 3．(1)最大 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0 最小⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)最小 最大 作业设计1．D2．B [等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ， ∴λ＝－1.] 3．B[由a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.]4．A [方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d＝310.方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.]5．A [由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1.]6．C [由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5.] 7．2n －2 8．169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n2(n －1)×(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值． S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， 而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0， 故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169. 9．10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n2＝155，得n ＝10. 10．10或11解析 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎨⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1， 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a 1·n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小． 但n ∈N ＋，故n ＝10或11时S n 取得最小值． 11．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12.解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N ＋)． (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎨⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).13．C[由a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ， ∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0. ∴na 1>S n >na n .]14．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
2013届高考数学第一轮专项复习教案50
4.10 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系. ●点击双基1.已知sin x +cos x =51，0≤x ≤π，则tan x 等于A.－34或－43B.－34C.－43D.34或43解析：原式两边平方得2sin x cos x =－2524⇒－2sin x cos x =2524⇒1－2sin x cos x =2549⇒sin x －cos x =57， 可得sin x =54，cos x =－53.∴tan x =－34.答案：B2.（2001年春季北京）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A.∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.∴P 在第二象限. 答案：B3.（2004年北京西城区一模题）设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是A.sin2α＞sin αB.cos2α＜cos αC.tan2α＞tan αD.cot2α＜cot α解析：由0＜|α|＜4π，知0＜2|α|＜2π且2|α|＞|α|， ∴cos2|α|＜cos|α|.∴cos2α＜cos α. 答案：B4.（2003年上海）若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________.解析：∵x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，∴2cos （3π+α）=1，即cos （3π+α）=21.又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，3π7）.∴3π+α=3π5.∴α=3π4.答案：3π45.（2004年北京西城区二模题，理）函数y =sin x ·（sin x +3cos x ）（x ∈R ）的最大值是____________.解析：原式=sin 2x +3sin x cos x =22cos 1x +23sin2x =23sin2x －21cos2x +21=sin （2x －6π）+21，其最大值为1+21=23. 答案：23●典例剖析【例1】 化简cos （313+k π+α）+cos （313-k π－α）（k ∈Z ）.剖析：原式=cos （k π+3π+α）+cos （k π－3π－α）=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］.解：原式=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］=2cos kπcos （3π+α）=2（－1）k （cos 3πcos α－sin 3πsin α）=（－1）k （cos α－3sin α），k∈Z .【例2】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值.解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307.从而βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =713.思考讨论由①②不解sin αcos β、cos αsin β，能求βαtan tan 吗?提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试. 【例3】 求函数y =x x x x sin 42cos 3sin 1sin 2+--）（，x ∈（0，2π）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y =xx x x sin 4sin 213sin 1sin 22+---）（）（=1sin 2sin sin sin 22+++-x x x x .设t =sin x ，则由x ∈（0，2π）⇒t ∈（0，1）. 对于y =1222+++-t t t t =2212131）（）（）（+-+++-t t t =－1+13+t －212）（+t ，令11+t =m ，m ∈（21，1），则y =－2m 2+3m －1=－2（m －43）2+81.当m =43∈（21，1）时，y max =81， 当m =21或m =1时，y =0. ∴0＜y ≤81，即y ∈（0，81］.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.●闯关训练 夯实基础1.（2002年春季北京）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限. ∴α在第二、四象限.又∵cos α－sin α＜0， ∴α在第二象限. 答案：B2.（2002年春季上海）在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：∵2cos B ·sin A =sin C =sin （A +B ）⇒sin （A －B ）=0， 又A 、B 、C 为三角形的内角，∴A =B .答案：C3.（2005年启东市高三年级第二次调研考试题）在斜△ABC 中，sin A =－cos B cos C 且tan B tan C =1－3，则∠A 的值为 A.6πB.3πC.3π2D.6π5解析：由A =π－（B +C ），sin A =－cos B cos C 得sin （B +C ）=－cos B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =－cos B cos C . ∴tan B +tan C =－1.又tan （B +C ）=CB CB tan tan 1tan tan -+=3tan tan C B +=31-=－33，∴－tan A =－33，tan A =33. 又∵0＜A ＜π，∴A =6π.答案：A4.函数y =sin x －cos x 的图象可由y =sin x +cos x 的图象向右平移_______个单位得到.解析：由y 1=sin x +cos x =2sin （x +4π），得x 1=－4π（周期起点）.由y 2=sin x －cos x =2sin （x －4π），得x 2=4π（周期起点）.答案：2π5.函数y =21sin （4π－32x ）的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.解析：y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）.故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间.答案：［3k π－8π3，3k π+8π9］（k ∈Z ）；［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）6.已知0≤x ≤2π，则函数y =42sin x cos x +cos2x 的值域是________.解析：可化为y =3sin （2x +ϕ），其中cos ϕ=322，sin ϕ=31，且有ϕ≤2x +ϕ≤π+ϕ.∴y max =3sin 2π=3，y min =3sin （π+ϕ）=－3sin ϕ=－1.∴值域是［－1，3］. 答案：［－1，3］ 培养能力7.设a =（sin x －1，cos x －1），b =（22，22）.（1）若a 为单位向量，求x 的值；（2）设f （x ）=a ·b ，则函数y =f （x ）的图象是由y =sin x 的图象按c 平移而得，求c .解：（1）∵|a |=1，∴（sin x －1）2+（cos x －1）2=1，即sin x +cos x =1，2sin （x +4π）=1，sin （x +4π）=22，∴x =2k π或x =2k π+2π，k ∈Z .（2）∵a ·b =sin （x +4π）－2.∴f （x ）=sin （x +4π）－2，由题意得c =（－4π，－2）.8.求半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值.解：设∠BAC =θ，周长为P ，则P =2AB +2BC =2（2R cos θ+2R sin θ）=42R sin（θ+4π）≤42R ，当且仅当θ=4π时，取等号.∴周长的最大值为42R .探究创新9.（2004年北京东城区高三第一次模拟考试）在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .（1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ， ∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2B A -.在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π.∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ，（1－2sin 22C ）cos 2C =0.∴（1－2sin 22C ）=0或cos 2C =0（舍）.∵0＜C ＜π，∴∠C =2π.（2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A .∴△ABC 的内切圆半径r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1）=22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-. ●思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.●教师下载中心 教学点睛1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点.拓展题例【例1】 已知cos B =cos θ·sin A ，cos C =sin θsin A . 求证：sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin 2B 、sin 2C 都统一成角A 的三角函数.证法一：sin 2A +sin 2B +sin 2C =sin 2A +［1－（cos θsin A ）2］+［1－（sin θsin A ）2］=sin 2A +1－cos 2θsin 2A +1－sin 2θsin 2A =sin 2A （1－sin 2θ）+1－cos 2θsin 2A +1 =sin 2A cos 2θ－sin 2A cos 2θ+2=2. ∴原式成立.证法二：由已知式可得cos θ=AB sin cos ，sin θ=AC sin cos .平方相加得cos 2B +cos 2C =sin 2A ⇒22cos 1B ++22cos 1C +=sin 2A⇒cos2B +cos2C =2sin2A －2.1－2sin 2B +1－2sin 2C =2sin 2A －2，∴sin 2A +sin 2B +sin 2C =2. 【例2】 函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，（1）求g （a ）；（2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值.解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）=2cos 2x －2a cos x －1－2a=2（cos x －2a）2－22a －2a －1.若2a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a）2－22a －2a －1=1；若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1；若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a aa a aa（2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a－1=21或1－4a =21.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5.∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。
高中一轮复习教案数学
高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
2013届高考数学第一轮专项复习教案33
7.6直线与圆的位置关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d =21m+，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=21（m －1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6B.225 C.1D.5 解析：圆心到直线的距离为22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6.答案：A3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0D.x －3y +2=0 解法一：x 2+y 2－4x =0y =kx －k +3⇒x 2－4x +（kx －k +3）2=0. 该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k =33. ∴y －3=33（x －1），即x －3y +2=0. 解法二：∵点（1，3）在圆x 2+y 2－4x =0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为（2，0），∴1230--·k =－1. 解得k =33，∴切线方程为x －3y +2=0. 答案：D4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.解析：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2）， ∴由垂径定理得圆心在y =－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上，y =－3， 2x －y －7=0.∴圆心为（2，－3），半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5. ∴所求圆C 的方程为（x －2）2+（y +3）2=5. 答案：（x －2）2+（y +3）2=55.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k =－2●典例剖析 【例1】已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ =－1，问题可解.解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0，得5y 2－20y +12+m =0.设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件y 1+y 2=4，y 1y 2=512m+.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3－2y 1，x 2=3－2y 2，∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2.∴m =3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－21，3），半径r =25.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.∴解得【例2】求经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组 （x +3）2+y 2=13，x 2+（y +3）2=37由圆心在直线x －y －4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0，再由圆心在直线x －y －4=0上，定出参数λ，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点， 所以设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0.展开、配方、整理，得（x +λ+13）2+（y +λλ+13）2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为（－λ+13，－λλ+13），代入方程x －y －4=0，得λ=－7. 故所求圆的方程为（x +21）2+（y +27）2=289.评述：圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，若圆C 1、C 2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1）+λ（x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2）=0（λ∈R 且λ≠－1）.它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程. 【例3】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0，x =3，x +y －4=0，y =1，即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21，∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？●闯关训练 夯实基础1.若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］得圆上两∵m ∈得解析：数形结合法解. 答案：A2.（2003年春季北京）已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得22|00|b a c b a ++⋅+⋅=1，即c 2=a 2+b 2，∴由｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜构成的三角形为直角三角形.答案：B3.（2005年春季北京，11）若圆x 2+y 2+mx －41=0与直线y =－1相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为____________.解析：圆方程配方得（x +2m ）2+y 2=412+m ，圆心为（－2m，0）.由条件知－2m<0，即m >0.又圆与直线y =－1相切，则0－（－1）=412+m ，即m 2=3，∴m =3.答案：34.（2004年福建，13）直线x +2y =0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于____________.解析：由x 2+y 2－6x －2y －15=0，得（x －3）2+（y －1）2=25. 知圆心为（3，1），r =5.由点（3，1）到直线x +2y =0的距离d =5|23|+=5.可得21弦长为25，弦长为45. 答案：455.自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.解：圆（x －2）2＋（y －2）2＝1关于x 轴的对称方程是（x －2）2＋（y ＋2）2＝1. 设l 方程为y －3＝k （x ＋3），由于对称圆心（2，－2）到l 距离为圆的半径1，从而可得k 1＝－43，k 2＝－34．故所求l 的方程是3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.6.已知M （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=r 2（r >0）内异于圆心的一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心O （0，0）到直线x 0x +y 0y =r 2的距离为d =20202y x r +.∵P （x 0，y 0）在圆内，∴220y x +<r . 则有d >r ，故直线和圆相离. 培养能力7.方程ax 2+ay 2－4（a －1）x +4y =0表示圆，求a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）∵a ≠0时，方程为［x －a a )1(2-］2+（y +a 2）2=22)22(4a a a +-，由于a 2－2a +2＞0恒成立，∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆.（2）r 2=4·2222aa a +-=4［2(a 1－21)2+21］， ∴a =2时，r min 2=2.此时圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=2.8.（文）求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x +3y －26=0相切于（8，6）的圆的方程.解：设圆为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，依题意有方程组 3D －E =－36， 2D +4E －F =20， 8D +6E +F =－100. D =－11，E =3，F =－30.∴圆的方程为x 2+y 2－11x +3y －30=0.（理）已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，定点Q （4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程.解：（1）设PQ 中点M （x ，y ），则P （2x －4，2y ），代入圆的方程得（x －2）2+y 2=1.（2）设R （x ，y ），由||||RQ PR =||||OQ OP =21， 设P （m ，n ），则有 m =243-x ，n =23y ，代入x 2+y 2=4中，得（x －34）2+y 2=916（y ≠0）. 探究创新9.已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.∴解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有||||PN PM =2，即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-，整理得x 2+y 2－6x +1=0. ①因为点N 到PM 的距离为1，|MN |=2，所以∠PMN =30°，直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y =±33（x +1）. ②将②代入①整理得x 2－4x +1=0.解得x 1=2+3，x 2=2－3.代入②得点P 的坐标为（2+3，1+3）或（2－3，－1+3）；（2+3，－1－3）或（2－3，1－3）.直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1. ●思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例 【例1】已知圆的方程为x 2+y 2+ax +2y +a 2=0，一定点为A （1，2），要使过定点A （1，2）作圆的切线有两条，求a 的取值范围.解：将圆的方程配方得（x +2a ）2+（y +1）2=4342a -，圆心C 的坐标为（－2a ，－1），半径r =4342a -，条件是4－3a 2＞0，过点A （1，2）所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，即22)12()21(+++a ＞4342a -.化简得a 2+a +9＞0.4－3a 2＞0， a 2+a +9＞0，由－332＜a ＜332， a ∈R .∴－332＜a ＜332.故a 的取值范围是（－332，332）.【例2】已知⊙O 方程为x 2+y 2=4，定点A （4，0），求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P （x ，y ），因为动圆过定点A ，所以|PA |即动圆半径. 当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |=|PA |+2； 当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |=|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||=2.将此关系式坐标化，得|22y x +－22)4(y x +-|=2.化简可得（x －2）2－32y =1.解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系 ||OP |－|PA ||=2，即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（2，0），实半轴长a =1，半焦距c =2，虚半轴长b =22a c -=3，所以轨迹方程为（x －2）2－32y =1.解。
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10.5二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于A.29B.49C.39D.1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.48解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为·22=24.C24答案：C1）7的展开式中常数项是3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－xA.14B.－14C.42D.－42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r-7（－x1）r =C r72r -7·（－1）r·x)7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14. 答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数和为128， ∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x 23）r-7·（x 31-）r=C r 7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.答案：355.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11 ●典例剖析 【例1】如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8.设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r21·x4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .【例2】求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6.设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3.∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(x x -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例3】设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1-n =qq n --11.于是A n =qq --11C1n+qq --112C2n+…+qq n--11C n n=q-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =q-11［2n －（1+q ）n ］.（2）nn A 2=q-11［1－（21q+）n ］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q+|<1. 所以lim ∞→n nn A 2=q-11.●闯关训练 夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1. 答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x －xa）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r .令8－2r =0，∴r =4.∴（－a）4C48=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－x1）8展开式中x5的系数为_____________.解析：设展开式的第r+1项为T1+r =C r8x8－r·（－x1）r=（－1）r C r8x238r-.令8－23r=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C28=28.答案：284.（2004年湖南，理15）若（x3+xx1）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.解析：T1+r =C rn（x3）n－r·（x23-）r=C rn·x rn293-.令3n－29r=0，∴2n=3r.∴n必为3的倍数，r为偶数.试验可知n=9，r=6时，C rn =C69=84.答案：95.已知（x x lg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.解：由题意C2-nn ＋C1-nn＋C nn=22，即C2n ＋C1n＋C0n=22，∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.∴C36（x x lg）3=20000，即x3lg x=1000.∴x=10或x=101.培养能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得a0+a1+a2+…+a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+…－a11=0.②①+②得a0+a2+…+a10=21（－26+0）=－32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（ax m+bx n）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围.解：（1）设T1r =C r12（ax m）12－r·（bx n）r=C r12a12－r b r x m（12－r）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即ba≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a≤49.8.在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0，解得n =8或n =1（舍去）.T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r8·r21·x434r -.∵4－43r ∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x －2.评述：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r ∈N.∴探究创新 9.有点难度哟！求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）.证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1+C 2n （n1）2+…+C nn （n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nnn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C n n ×nn 1>2.所以2<（1+n1）n <3.●思悟小结1.在使用通项公式T 1+r =C r nr n a -br时，要注意：（1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同. （3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .2.证明组合恒等式常用赋值法. ●教师下载中心 教学点睛1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例【例题】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C310a3C47·（－2b）4C33（－3c）3=C310C47C4332（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为－C310C47×16×27.。
2013届高考数学第一轮数列专项复习教案5
习题课(1) 课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1 ， n ≥2. 2．若数列{a n }为等差数列，则有：(1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________.3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________．(2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为()A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于()A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________.9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是()A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 345 6789101112131415……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n (n －1)d 2 n (a 1＋a n )23.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)S 3k －S 2k作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.]4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5.∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0，∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80，∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.]5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n <12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.]7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80.8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a .∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q )＝a (－b a )2＋b (－b a )＝b 2a －b 2a ＝0.9．5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)．∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21. 11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0， S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11， ∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11，∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0. 又∵d ＝a 11－a 10>0.∴S n >0 (n ≥20)．]14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2＋3.。
2013届高考数学第一轮例题专项复习教案7
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( ) A ．[－π3，π3] B ．[k π－π3，k π＋π3]，k ∈Z C ．[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z D ．R 解析：由题意得cos x ≥12， ∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 答案：C2．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A ．－2，2πB ．－2,2πC ．－2，πD ．－2，π解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 答案：A3．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x 解析：因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x .答案：D4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]．答案：A5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B.[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D.[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)． ∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)． 故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．答案：C6．若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2B.12 C ．3 D.13解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合． 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案：328．设函数y ＝sin(π2x ＋π3)，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：29．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 由图象及性质可知②④正确．答案：②④三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧ 3sin2x ＝m ，λ＝m －cos2x .∴λ＝3sin2x －cos2x . 若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝33. ∵0<x <π，∴0<2x <2π.∴2x ＝π6，或2x ＝7π6. ∴x ＝π12，7π12. (2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －12cos2x ) ＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π6) ＝2sin(2x －π6)， ∴函数的最小正周期为T ＝π.即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z. ∴f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z. 11．已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2为偶函数，求θ的值． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋23·1－cos2x 2－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2， 解得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z. (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3， 根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值． 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1，∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，∴θ＝5π12. 12．已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域，并写出f (x )取得最大值时x 的值． 解：(1)由于π4是函数y ＝f (x )的零点， 即x ＝π4是方程f (x )＝0的解， 从而f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f (x )＝2sin(2x －π4)－1， 所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]， 则sin(2x －π4)∈[－22，1]， 则－1≤2sin(2x －π4)≤ 2， －2≤ 2sin(2x －π4)－1≤2－1， ∴值域为[－2，2－1]．当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 即x ＝k π＋38π时，f (x )有最大值， 又x ∈[0，π2]，故k ＝0时，x ＝38π， f (x )有最大值2－1.。
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6.6不等式的应用●知识梳理1.运用不等式求一些最值问题. 用a +b ≥2ab求最小值；用ab ≤（2ba +）2≤222b a +求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题. ●点击双基1.已知函数f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数，则实数a 的范围是A.（－∞，4］B.（－4，4］C.（0，12）D.（0，4］解析：∵f （x ）=log 21（x 2－ax +3a ）在［2，+∞）上是减函数， ∴u =x 2－ax +3a 在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤.032422a a a，∴－4＜a ≤4. 答案：B2.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A.233cm2B.4cm 2C.32cm2D.23cm2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ）cm ， 则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23.答案：D3.（理）如果0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x log a y =1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值 解析：∵log a x +log a y ≥2yx a a log log =2，∴log a xy ≥2.∴0＜xy ≤a 2.答案：B（文）已知a ＞b ＞c ＞0，若P =ac b -，Q =bc a -，则A.P ≥QB.P ≤QC.P ＞QD.P ＜Q解析：特殊值检验.a =3，b =2，c =1.P =31，Q =1，P ＜Q .答案：D4.已知实数x 、y 满足yx =x －y ，则x 的取值范围是_______.解析：由yx =x －y ，得y 2－xy +x =0.∵y ∈R ，∴Δ=x 2－4x ≥0.∴0≤x ≤4. ∵x =0时y =0不符合题意，∴0＜x ≤4.答案：0＜x ≤45.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x ，的解集是不等式2x 2－9x +a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是____________.解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-，，08603422x x x x 得2＜x ＜3.则⇒⎩⎨⎧≤≤0302）（）（f f a ≤9. 答案：（－∞，9］ ●典例剖析【例1】函数y =122++x bax 的最大值为4，最小值为－1，求常数a 、b 的值.剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R ，故可用判别式法求最值.解：由y =122++x b ax 去分母整理得 yx 2－2ax +y －b =0.①对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a ）2－4y （y －b ）≥0. ∴y 2－by －a 2≤0.又－1≤y ≤4，∴y 2－by －a 2=0的两根为－1和4.∴⎩⎨⎧-=⨯-=+-.41412a b ，解得⎩⎨⎧==32b a ，或⎩⎨⎧=-=.32b a ，评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展已知x 、y ∈R +且x2+y8=1，求x +y 的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a 、b 是正常数，a +b =10，又x 、y ∈R +， 且xa +yb =1，x +y 的最小值为18.求a 、b 的值.略解：x +y =（x +y ）（yx82+）=10+xy 2+yx 8≥10+2yxx y 82⋅=18.当且仅当yx xy 82=时取等号.由⎪⎩⎪⎨⎧==+224182x y y x ，解得⎩⎨⎧==.126y x ， ∴当x =6，y =12时，x +y 的最小值为18.同上题，x +y =（x +y ）（xa +yb ）=a +b +ybx x ay +≥a +b +2ab.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++，，10182b a ab b a 得⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，【例2】已知a ＞0，求函数y =ax a x +++221的最小值.解：y =ax +2+ax +21，当0＜a ≤1时，y =ax +2+ax +21≥2，当且仅当x =±a -1时取等号，y min =2.当a ＞1时，令t =ax +2（t ≥a ）.y =f （t ）=t +t1.f '（t ）=1－21t＞0.∴f （t ）在［a ，+∞）上为增函数.∴y ≥f （a ）=aa 1+，等号当t =a 即x =0时成立，y min =aa 1+.综上，0＜a ≤1时，y min =2； a ＞1时，y min =aa 1+.【例3】已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0且bc ≠0）. （1）若|f （0）|=|f （1）|=|f （－1）|=1，试求f （x ）的解析式； （2）令g （x ）=2ax +b ，若g （1）=0，又f （x ）的图象在x 轴上截得的弦的长度为l ，且0＜l ≤2，试确定c －b 的符号.解：（1）由已知|f （1）|=|f （－1）|，有|a +b +c |=|a －b +c |，（a +b +c ）2=（a －b +c ）2，可得4b （a +c ）=0.∵bc ≠0，∴b ≠0.∴a +c =0. 又由a ＞0有c ＜0.∵|c |=1，于是c =－1，则a =1，|b |=1.∴f （x ）=x 2±x －1. （2）g （x ）=2ax +b ，由g （1）=0有2a +b =0，b ＜0. 设方程f （x ）=0的两根为x 1、x 2.∴x 1+x 2=－ab =2，x 1x 2=ac .则|x 1－x 2|=212214x x x x -+）（=ac44-.由已知0＜|x 1－x 2|≤2，∴0≤ac ＜1.又∵a ＞0，bc ≠0，∴c ＞0.∴c －b ＞0. ●闯关训练 夯实基础1.已知方程sin 2x －4sin x +1－a =0有解，则实数a 的取值范围是 A.［－3，6］B.［－2，6］C.［－3，2］D.［－2，2］解析：∵a =（sin x －2）2－3，|sin x |≤1， ∴－2≤a ≤6. 答案：B2.当x ∈［－1，2］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则实数a的取值范围是A.a ≥2B.a ≥1C.a ≥0D.a ≥－2解析：当x ∈［－1，2］时，x 2－2x －1=（x －1）2－2∈［－2，2］.∵a ≥x 2－2x －1恒成立，∴a ≥2. 答案：A3.b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：b a ＜m b m a ++.答案：ba ＜mb m a ++4.若a ＞0，b ＞0，ab ≥1+a +b ，则a +b 的最小值为____________. 解析：1+a +b ≤ab ≤（2b a +）2，∴（a +b ）2－4（a +b ）－4≥0.∴a +b ≤2244-或a +b ≥2244+.∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2+22.答案：2+225.已知正数x 、y 满足x +2y =1，求x1+y1的最小值.解：∵x 、y 为正数，且x +2y =1，∴x1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1）=3+x y 2+yx≥3+22，当且仅当xy 2=yx ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立.∴x1+y1的最小值为3+22.6.（2004年春季上海）已知实数p 满足不等式212++x x ＜0，试判断方程z 2－2z +5－p 2=0有无实根，并给出证明.解：由212++x x ＜0，解得－2＜x ＜－21.∴－2＜p ＜－21.∴方程z 2－2z +5－p 2=0的判别式Δ=4（p 2－4）. ∵－2＜p ＜－21，41＜p 2＜4，∴Δ＜0.由此得方程z 2－2z +5－p 2=0无实根. 培养能力7.（2003年全国）已知c ＞0，设P ：函数y =c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x +|x －2c |＞1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数y =c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧>≥-，，c x cc x c x 22222∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c .∴不等式x +|x －2c |＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞21.如果P 正确，且Q 不正确，则0＜c ≤21.如果P 不正确，且Q 正确，则c ≥1. ∴c 的取值范围为（0，21］∪［1，+∞）.8.已知函数f （x ）=x 2+bx +c （b 、c ∈R ）且当x ≤1时，f （x ）≥0，当1≤x ≤3时，f （x ）≤0恒成立.（1）求b 、c 之间的关系式；（2）当c ≥3时，是否存在实数m 使得g （x ）=f （x ）－m 2x 在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f （1）≥0与f （1）≤0同时成立，则必有f （1）=0，故b +c +1=0.（2）假设存在实数m ，使满足题设的g （x ）存在. ∵g （x ）=f （x ）－m 2x =x 2+（b －m 2）x +c 开口向上，且在［22bm -，+∞）上单调递增，∴22b m -≤0.∴b ≥m 2≥0.∵c ≥3，∴b =－（c +1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m 不存在. 探究创新 9.有点难度哟！ 已知a ＞b ＞0，求a 2+）（b a b -16的最小值.解：∵b （a －b ）≤（2ba b -+）2=42a ，∴a 2+）（b a b -16≥a 2+264a ≥16.当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b ，，即⎪⎩⎪⎨⎧==222b a ，时取等号.深化拓展a ＞b ＞0，求b （a －b ）·216a的最大值. 提示：b （a －b ）≤42a .答案：4●思悟小结1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2xy中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心教学点睛1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题【例1】（2003年福建质量检测题）已知函数f （x ）=|log 2（x +1）|，实数m 、n 在其定义域内，且m ＜n ，f （m ）=f （n ）.求证：（1）m +n ＞0；（2）f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）.（1）证法一：由f （m ）=f （n ），得|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|，即log 2（m +1）=±log 2（n +1），log 2（m +1）=log 2（n +1），①或log 2（m +1）=log 211+n . ②由①得m +1=n +1，与m ＜n 矛盾，舍去. 由②得m +1=11+n ，即（m +1）（n +1）=1.③∴m +1＜1＜n +1.∴m ＜0＜n .∴mn ＜0. 由③得mn +m +n =0，m +n =－mn ＞0. 证法二：（同证法一得）（m +1）（n +1）=1.∵0＜m +1＜n +1，∴211）（）（+++n m ＞））（（11++n m =1.∴m +n +2＞2.∴m +n ＞0.（2）证明：当x ＞0时，f （x ）=|log 2（x +1）|=log 2（x +1）在（0，+∞）上为增函数.由（1）知m 2－（m +n ）=m 2+mn =m （m +n ），且m ＜0，m +n ＞0，∴m （m +n ）＜0.∴m 2－（m +n ）＜0，0＜m 2＜m +n .∴f （m 2）＜f （m +n ）.同理，（m +n ）－n 2=－mn －n 2=－n （m +n ）＜0，∴0＜m +n ＜n 2.∴f （m +n ）＜f （n 2）.∴f （m 2）＜f （m +n ）＜f （n 2）.【例2】求证：对任意x 、y ∈R ，都有497721++x x ≤5－3y +21y 2，并说明等号何时成立.证明：72x +49≥2·7x ·7=2·7x +1， ∴497721++x x ≤21. 又∵5－3y +21y 2=21（y －3）2+21≥21，∴497721++x x ≤5－3y +21y 2. 当且仅当x =1，y =3时取等号.。