平面向量单元小结
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)
高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)关于高中数学平面向量知识点归纳总结，精选5篇优秀范文，字数为800字。
平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。
本文将对平面向量的应用知识点进行总结。
高中数学平面向量知识点归纳总结(优秀范文)：1平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。
本文将对平面向量的应用知识点进行总结。
一、向量的表示和运算1. 向量的表示：向量可以用一个有序数组或者一个点对来表示，分别称为坐标表示和几何表示。
2. 向量的加法和减法：向量的加法和减法遵循交换律和结合律，可以将向量看作有向线段进行运算。
3. 向量的数量积：向量的数量积是向量的一种运算，结果是一个实数。
它有几何意义和代数意义，可以用来计算向量的模、夹角和投影等。
4. 向量的数量积的性质：数量积满足分配律、交换律、结合律等性质，还满足向量垂直的判定定理和平行的判定定理。
二、向量的几何应用1. 向量的共线和垂直：利用向量共线的性质可以判断直线是否相交、线段是否相交等几何问题；利用向量垂直的性质可以判断两条直线的关系、判断线段之间的位置关系等。
2. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，可以用来计算两点之间的距离等；单位向量是模等于1的向量，可以用来表示方向。
3. 向量的投影：向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，可以用来计算力的分解、向量的分量等。
三、向量的物理应用1. 力的合成和分解：利用向量的加法和减法可以对力进行合成和分解，分析力的平衡和不平衡等物理问题。
2. 动量和动量守恒：动量是物体的物理量，可以用向量表示；利用动量守恒原理可以解决碰撞问题等物理问题。
3. 矢量速度和导数：速度是矢量量，表示物体在单位时间内位移的方向和大小；利用导数可以求解速度与时间的关系。
四、向量的工程应用1. 机械平衡：利用向量的平衡原理可以分析机械结构的平衡条件，设计合理的支撑结构。
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
高中数学《平面向量》知识点总结
高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
以下是对平面向量知识点的总结。
1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。
可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。
2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。
3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。
设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
第六章平面向量知识点总结
第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。
它是由起点和终点确定的有向线段。
在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。
二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。
例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。
2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。
（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。
三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。
1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。
3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。
4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。
它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。
四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。
2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。
也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。
3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。
2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
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2：下列各组向量中，能作为它们所在平面上所有向量的基底 的一组是（ ）
训练题:
1、设点A、B、C、D、E、F是平面内不同的六个点，
则 AC BC ED EF BF AD 2、下面给出四个命题： ①对于实数
m
和向量 a , b 恒有: m ( a b ) m a m b
②对于实数
③若 ④若
m,n
和向量 a 恒有: ( m n ) a m a n a
A .e 1 ( 0 , 0 ), e 2 (1, 2 ) C .e 1 ( 3 , 5 ), e 2 ( 6 ,10 ) B .e 1 ( 1, 2 ), e 2 ( 5 , 7 ) 1 3 D .e 1 ( 2 , 3 ), e 2 ( , ) 2 4
5、将所有表示单位向量的有向线段的起点放在一起，其终点 形成的图形是（ ） A.正方形 6、已知 A.5 7、已知
A.0
B.菱形
C.矩形
D.圆
a ( 3 , 4 ), b ( 4 , 3 )
，则 a 与 b 方向的投影是（ ） D.以上都不对 ，则向量 a 与 b 的夹角
A . 270
2：已知 a , b 为不共线的向量
且 ( a 3 b ) ( 7 a 5 b ), ( a 4 b ) ( 7 a 2 b )
求
a,b
的大小
6、向量的应用
<1>解决物理问题 物理学中的力、位移、速度、加速度都是向量，所以力的合 成与分解等只不过向量的运算而已。
功是向量与位移的数量积
练习题：
1：如图，用两条成120°角的等长的 绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则 每根绳子的拉力是多少？ 120o
10N
2：如图（1）所示，无弹性的细绳O A , O B的一端分别固定在 A , B 处，同质量的细绳O C下端系着一个称盘，且使得 O B O C ，试分 析 O A , O B , O C三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？
a ( x1 , y 1 ) ( x1 , y 1 )
a b x1 x 2 y 1 y 2
结果： 运算性质：
向量
向量
向量
数量
a b b a, a b b a, ( a b ) c ( c b ) a , ( a b ) c a ( b c ), (a b) c a c b c,
,则
a b
m a m b(m 0) c a b a (a 0)
,则 b c
其中正确命题的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
4、平面向量基本定理
训练题：
1：向量 e 1 , e 2 是一对不共线的向量，则下列各组向量中， 不能作为平面向量的基底的一组是（ ）
A O B
A1
C1
O
B (2)
1
C
(1)
3：在沿正东方向的河水中，水流速度为 10 km / h ，如果要使船
以 的速度从南岸出发沿与河岸垂直的方向横渡，
10 3 km / h 求船的驱动速度的大小和方向
4：已知力 F 与水平方向的夹角为30°（斜向上）大小为50N，
一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用于在动磨擦因素 的水平平面上运动了 20 m 问力 F 和磨擦力 f 所做的功分别为多少？（ g
代数表示：向量的坐标
3、向量的运算
加法： 减法： 数乘： 数量积：
几何法则： 代数法则：
a b ( x1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 , y 1 y 2 ) a b ( x1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 , y 1 y 2 )
sin 提示：
3
)
9、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P满足
OP OA ( AB | AB | AC | AC | ), [ 0 , )
则P的轨迹一定通过 ABC A. 外心 B. 内心的（） D.垂心Fra bibliotekC. 重心
2、向量的表示
几何表示：有向线段
10 m / s
2
0 . 02
）
F
f
G
<2>几何问题 几何中涉及到角度、长度、平行与垂直的判定、三点共线 等问题都可以和向量联系起来。
训练题：
1： 求证： 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．
A
2： 如图，
A D , B E , C F 是 ABC 的三条高，
E F B H D C
变式练习： 在△ABC中，若 AB 若
BC AC BC
则△ABC是＿＿△ 则△ABC是＿＿△
AB BC BC CA
4： 如图在 平行四边形ABCD中．已知： AE 求证：B、F、E 三点共线
1 3
BC , AF
1 4
AC
a ( x 1 , y 1 ), b ( x 2 , y 2 )
a // b x 1 y 2 x 2 y 1 0 a b x1 x 2 y 1 y 2 0
训练题：
1：已知向量 a ( 2 , 1), b ( 4 ,3 )
当实数 k 当实数 k 时 ( a k b ) //( a b ) 时 (a k b) (a b)
3、下列各式不成立的是（ ）
A.0 a 0
B .0 a 0
C .0 // a
D .a a 0
4、已知 a
A .( 3 5 ,
( 3 , 4 ) ，则与 a
4 5 ) B .( 3 4 , ) 5 5
方向相反的单位向量的坐标是（ ）
C .( 3 5 , 4 5 ) D .( 3 4 , ) 5 5
a , b （
B.-5
B . 90
C.0
a ( 3 , 4 ), b ( 4 , 3 )
）
C . 180
8、已知 a
(cos , sin ), b ( 3 , 1) ，求 | 2 a b |
3 cos 2 sin(
的最大值和最小值。
A . | a | | b | | a b | | a | | b | C . | a b | | a | | b | B . | a | | b | | a b | | a | | b |
D. a , b 0时，
| a b | | a b |
知识点复习： 1、向量的有关概念 2、向量的表示 3、向量的运算 4、平面向量基本定理 5、向量平行与垂直 6、向量的应用
1、向量的有关概念
向量、向量的模、向量的夹角、
零向量、单位向量、相反向量、 向量a 在向量 b 方向上的投影 | a | cos a , b
练习题：
1、下列量中，不是向量的量是＿＿＿＿ ①力②质量③温度④加速度⑤路程⑥角度⑦位移 2、下列各式不恒成立的是（ ）
A 求证： D , B E , C F 相交于一点．
例 3 四边形 ABCD 中，
AB = a
， BC = b
， CD = c
，
DA ＝ d
b ，且 a ·
c ＝b ·
d ＝c ·
a ＝d ·
，试问四边形 ABCD 是什么图形？
AB , AF 1 5 AC
3：在正方形ABCD中，AE
若D、E、F三点共线，则 =＿＿＿
5、向量平行与垂直
a // b ( b 0 ) a b ( R ) a b ( R ) a // b
a b a b 0 a b 0 a b?