外接球专项训练(带详细答案)

外接球专项训练参考答案一．选择题1、已知球O 的半径为2，圆M 和圆N 是球的互相垂直的两个截面，圆M 和圆N 的面积分别为2π和π，则||MN =（ ）A ．1 BC ．2 D【答案】D【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得538212221222221=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d d R d R d ，故52221=+=d d MN ，应选D 。

考点：球的几何性质及运算。

2、在三棱锥P ABC -中，,2AB BC AB BC PA PC ⊥====，AC 中点为M，cos PMB ∠锥的外接球的表面积为（ ）A ．32π B ．2π C ．6π D【答案】C【解析】CA如图,易知312,1212=-===PM AC BM ，由余弦定理可得2333231=⨯⨯-+=PB ，因222PA AB PB =+，故BA PB ⊥;同理222PC CB PB =+，故BC PB ⊥，所以C B A P ,,,是棱长为2的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为223⋅=R ，所以外接球的面积为ππ6464=⨯=S ，应选C 。

考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。

3、球O 的球面上有四点,,,S A B C ，其中,,,O A B C 四点共面，ABC ∆是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S ABC -的体积的最大值为（ ）A．3B ．．4 【答案】A【解析】设球心和ABC ∆的外心为O ，延长CO 交AB 于点P ，则由球的对称性可知AB PD ⊥，继而由面SAB ⊥面ABC 可得⊥PD ABC ∆所在的平面，所以PD 是三棱锥的高；再由,,,O A B C 四点共面可知O 是ABC ∆的中心，故332,33==R OP ，当三棱锥的体积最大时，其高为1)33()332(22=-=PD ，故三棱锥的体积的最大值为331243312=⨯⨯⨯，应选A 。

考点：几何体的外接球等有关知识的运用。

【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。

本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。

解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心O 的位置是三角形ABC 的外心，再求外接球的半径332=R 并确定当PD为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为3。

4、已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，PC AB ⊥，若三棱锥P ABC -的外接球的半径是3，ABC ABP ACP S S S S ∆∆∆=++，则S 的最大值是（ ）A ．36B ．28C ．26D ．18 【答案】D【解析】因为PA ⊥面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，又因为PC AB ⊥,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB AC ⊥，所以有2222(23)36AB AC AP ++=⨯=，则由基本不等式可得22211()()1822ABC ABP ACP S S S S AB AC AB AP AP AC AB AC AP ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅≤++=，当且仅当AB AC AP ==时等号成立，所以S 的最大值是36,故选D.AC考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解．5、如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为22，表面积为24(22)32ππ=，选C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体 外接球的表面积为（ ）A ．203π B ．8π C ．9π D ．193π【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，O 为球心，F 为等边三角形BCD 的外心，由图可知2222213192212R OF CF ⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故外接球面积为193π. EDOF考点：三视图. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为222a b c ++;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A ．272C 11D ．23【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正MNP ∆的边长为24,其外接圆的半径3241=r ,同样正111P N M ∆的外接圆的半径是3222=r ,由球的对称性可知球心O 必在正方体的对角线AC 上,且934,9382211====h CO h AO ,该球经过六个点111,,,,,P N M P N M ,设球心O 到平面111P N M ∆的距离为1d ;球心O 到平面MNP ∆的距离为2d ,而两个平面MNP 和111P N M 之间的距离为2121334)(34d d h h d +==+-=,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得2222221212,r d R r d R +=+=,所以822212122=-=-r r d d ,即82122=-d d ,又33421=+d d ,将其代入82122=-d d 可得3212=-d d ,由此可得3352=d ,所以113333832522222==+=+=r d R ,所以外接球的半径11=R ,应选C.OO 2O 1P 1N 1M 1C APNM考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算. 【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正MNP ∆的边长为24,其外接圆的半径3241=r ,同样正111P N M ∆的外接圆的半径是3222=r ,由球的对称性可知球心O 必在对角线上,且经过六个点111,,,,,P N M P N M ,设球心O 到平面111P N M ∆的距离为1d ；球心O 到平面MNP ∆的距离为2d ,而两个平面MNP 和111P N M 之间的距离为2121334)(34d d h h d +==+-=,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得2222221212,r d R r d R +=+=,所以822212122=-=-r r d d ,即82122=-d d ,又33421=+d d ,将其代入82122=-d d 可得3212=-d d ,由此可得3352=d ,所以113333832522222==+=+=r d R ,所以外接球的半径11=R ,其中计算21,h h 时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ） A ．21B ．6C ．7D ．3 【答案】A【解析】球O 的半径满足2223321()(3)232R R =+⋅⇒=考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是 A ．24π B ．24π＋8πC ．24π＋4πD ．32π答案：C10、已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ） （A ）3 （B ）1 （C）3 （D ）332【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到,,A B C 的距离相等． 3SH =Q ，1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的外接球球心．2SC =Q ，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，233,SO OH ∴==，即为O 到平面ABC 的距离，故选A ．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．11、已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ） （A ）3 （B ）1 （C ）3 （D ）332【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．172π B ．34π C．3 D． 【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径为长方体对角线，即2R 2434.R ππ=选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 13、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】连接OC OB OA ,,，则由已知得1======AC BC AB OC OB OA ，可知三棱锥ABC O -是棱长为1的正四面体，其高为36，则三棱锥ABC S -的高为362，所以三棱锥ABC S -的体积为623624331=⨯⨯． 考点：三棱锥外接球．14、半径为1的三个球,,A B C 平放在平面α上，且两两相切，其上放置一半径为2的球D ，由四个球心,,,A B C D 构成一个新四面体，则该四面体外接球O 的表面积为（ ）A ．24323π B ．24392π C ．9π D【答案】A【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为2的等边三角形，且侧棱长为3.该四面体外接球半径计算公式为222x h R h+=，其中x 为底面外接圆半径，h 为高.本题中x h ==，故24238169243,44464232323R S R πππ+⋅====⋅=⋅⋅.考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长22AB =，则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π 【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ？SB ⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直． ∵底面边长22AB =，∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC 的外接球的直径为：2233R R =∴=,， ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是2412S R ππ==，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥P ABC -,在底面ABC ∆中,1=AB 60,3,A BC PA ∠==⊥o 面,23ABC PA =,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．163π B ．43π C ．323πD ．16π 【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得2=AC ,222AC BC AB =+,满足勾股定理，090=∠ABC ,⊥PA 底面ABC ,所以BC PA ⊥,那么⊥BC 平面PAB ,所以PB BC ⊥,那么直角三角形PBC PAC ,有公共斜边PC ,所以三棱锥的外接球的球心就是PC 的中点O ,PC 是其外接球的直径，4=PC ,所以外接球的表面积ππ1642==R S ,故选D.考点：球与几何体17、已知直三棱柱111C C AB -A B 的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，C 4A =，C AB ⊥A ，112AA =，则球O 的表面积为为（ ）A ．153πB ．160πC ．169πD ．360π 【答案】C【解析】由题意，三棱柱111C C AB -A B 为直三棱柱，底面C AB 为直角三角形，把直三棱柱111C C AB -A B 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，22213412132++= 则三棱柱111C C AB -A B 1外接球的表面积是224169R cm ππ=．故选C ． 考点：几何体的外接球18、如图，1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．916π B ．2516π C ．4916π D ．8116π 【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，O 为球心，设1OG x =，则12OB SO x ==-，同时由正方体的性质知112B G =，则在11Rt OB G ∆中，2221111OB G B OG =+，即()222222x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得78x =，所以球的半径198R OB ==，所以球的表面积为281416S R ππ==，故选D ．考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，22421AB BD +=，将此平行四边形沿BD 折成直二面角，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】A【解析】因为平行四边形ABCD 中，BD AB ⊥，沿BD 折成直二面角C BD A --，所以三棱锥BCD A -的外接球的直径为AC ，且212222222=+=++=BD AB CD BD AB AC ，所以三棱锥BCD A -的外接球的半径为42，所以三棱锥BCD A -的外接球的表面积为21624ππ=⨯；故选A ．考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合．20、如图, 在菱形ABCD 中,60,23,BAD AB E ∠==o 为对角线BD 的中点, 将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若 120PEC ∠=o ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．28πB ．32πC ．16πD ．12π 【答案】A【解析】设,M N 分别是等边三角形,PBD CBD 的外心，则11,2O N NC ==画出图象如下图所示，由图象可知，11120,60MO N OO N ∠=∠=o o ,故1tan 603ON =⋅=o ，2234R OC ON NC ==+=+7=,外接球面积为244728R πππ=⋅=.考点：球的内接几何体.21、已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为( )（A ）32（B ）33（C ）3 （D ）6 【答案】B【解析】连接OP 交平面ABC 于'O ，由题意可得：ABC ∆和PAB ∆为正三角形，所以33'3AB APO A ==．因为'AO PO OA PA ⊥⊥，，所以OP AP OA AO ='，所以3APOP OA OA AO =⋅='．又因为球的体积为36π，所以半径3OA =，所以33OP =．考点：点、线、面间的距离计算．【思路点睛】连接OP 交平面ABC 于'O ，由题意可得：33'33AB APO A ==．由'AO PO OA PA ⊥⊥，可得OP APOA AO ='，根据球的体积可得半径3OA =，进而求出答案． 22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且AB CD x ==，BC DA y ==，CA BD z ==，则222x y z ++等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】B【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，则422222==++c b a ，根据题意，得222222222,,z c a y c b x b a =+=+=+，则8)(2222222=++=++c b a z y x ；故选B ．考点：多面体与球的组合 23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B ． 考点：三视图．24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．π13B ．π16C ．π25D ．π27 【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为4正方形高为3正四棱柱,故其对角线长为R l 254322==+=,故该几何体的外接球的面积为ππ2542==R S ,选C.考点：三视图与几何体的外接球．25、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′,若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）ABCDEFEFDA2 B ．52 C 11．62【答案】D【解析】因为折起后,,A B C 三点重合，所以',','A E A F A D 两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为1,1,2的长方体的外接球，球半径R 满足222241126,R R =++==6D. 考点：几何体外接球的性质.26、已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC 3Q 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．43【答案】D【解析】因为三棱锥S ABC -中，,,SA SB SB SC SC SA ⊥⊥⊥，且SA SB SC ==，所以三棱锥的外接球即为以,,SA SB SC 为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为3，所以正方体的对角线长为23，所以球心到平面ABC 的距离为1233233⨯=，所以点Q 到平面ABC 的距离的最大值为343333+=，故选D ．考点：球的性质及组合体的应用．27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为ο120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．205π C ．25π D ．255π 【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱柱为底面为顶角为23π，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接圆直径为234sin3π=，半径为2，设该三棱柱的外接球的半径为R ，则221215R =+=，所以该三棱柱的外接球的表面积为2420S R ππ==，故选A ．考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积．【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力．28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意此四面体是棱长为2的正四面体，其外接球半径为63242⨯=，所以3433()322V ππ=⨯=．故选B ．考点：三视图，外接球，球体积．【名师点睛】正四面体的内切球与外接球： （1） 正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有643R h a ==；（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有436R h a ==；（可用正四面体高h 减去内切球的半径得到）29、如图所示，在直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C A ⊥B ，C 2'B =BB =，C 4A =，点M 是线段'AB 的中点，则三棱锥C M -AB 的外接球的体积是（ ）A ．36πB ．205πC ．6πD ．43π 【答案】A【解析】由题意可知162MA MB AB '===,取AB 的中点D ，连接,MD CD ,在直角MCD ∆中，226MC MD CD =+=,所以点M 在平面ABC 内的射影是ABC ∆的外心，即为AB 的中点，设三棱锥C M -AB 的外接球的球心为O ，由球的截面性质可得()222MD r CD r -+=，即()2215r r -+=，解得3r =，所以其外接球的体积为34363V R ππ==,故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得MA MB MC ==,从而判断点M 在平面ABC 内的射影位置，而ABC ∆又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥C M -AB 外接球的球心在MD 上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.30、已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163π D ．323π【答案】B【解析】设球的半径r ，首先因为O 在CD 上，所以CD 为球O 的直径，BCD ∆为直角三角形，2CD r =，若使三角形的面积最大，则点B 到边CD 的距离最大即可，因为,,B C D 三点共面．所以最大距离为半径r ，三角形BCD 面积的最大值为2122r r r ⋅⋅=；当点A 距离平面BCD 最大时为r ，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为23118333r r r ⋅==，2r =，所以该球的表面积为4416ππ⋅=，选B ． 考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积．31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ．2π B．3π C．4π D．5π 【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为3，利用球的表面积公式得234()32s ππ==，故选B ．考点：球的结合体．评卷人 得分二、填空题（注释）32、在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形.若直线PC 与平面PDB 所成的角为30°，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为_______. 【答案】12π【解析】连结AC 交BD 于H ，则可证得AC ⊥平面PDB ，连接PH ，则CPH ∠就是直线PC 与平面PDB 所成的角，即30CPH ∠=°，2CH =Q 22PC ∴=23PD ∴=∴四棱锥P ABCD -的外接球的半径312π,故应填12π. 考点：四棱锥的外接球的面积及求法．33、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,棱锥O ABCD -的体积为3R = ________．【答案】4【解析】由题可得四棱锥的侧棱为R ，则162383,23V h h =⨯⨯==，再由；4 R==．考点：多面体与外接球．。