2016版高考真题(2012-2014)分类汇编： 专题九 概 率

专题九 概 率
1.(2012·高考湖北卷) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.12－1π
B.1π
C ．1－2π D. 2
π
2.(2012·高考四川卷)方程ay ＝b 2x 2
＋c 中的a ，b ，c ∈{－2，0，1，2，3}，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )
A ．28条
B ．32条
C ．36条
D ．48条 3.(2012·高考上海卷)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．
4.(2012·高考山东卷)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
5.(2012·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
6.(2012·高考江西卷) 如图，从A 1(1，0，0)，A 2(2，0，0)，B 1(0，1，0)，B 2(0，2，0)， C 1(0，0，1)，C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．
7.(2012·高考大纲全国卷)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(Ⅰ)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (Ⅱ)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
专题九 概 率
1.A S 1＝2⎝⎛⎭
⎫14×π×12－1
2×1×1
＝π2－1，S 2＝14×π×22－2×1
2×π×12＋π2－1＝π2－1. S 阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝π－2. 故此点取自阴影部分的概率为： π－214
×π×22＝1－2
π.
2.B 方程ay ＝b 2x 2＋c 变形得x 2＝a b 2y －c
b
2，若表示抛物线，则a ≠0，b ≠0，所以分b
＝－2，1，2，3四种情况：
(1)若b ＝－2，⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，c ＝0，或2，或3
a ＝2，c ＝0，或1，或3a ＝3，c ＝0，或1，或2；
(2)若b ＝2，⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－2，c ＝0，或1，或3a ＝1，c ＝－2，或0，或3.a ＝3，c ＝－2，或0，或1
以上两种情况下有4条重复，故共有9＋5＝14条； 同理，若b ＝1，共有9条；若b ＝3时，共有9条． 综上，共有14＋9＋9＝32条． 3.2
3
三位同学每人有3种选法，因此共有3×3×3＝27种不同的选法，而有且仅有两6种结果
P ＝6×327＝23
. 4.解：(Ⅰ)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的
颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P ＝3
10
.
(Ⅱ)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中
颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P ＝8
15
.
5.解：(Ⅰ)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
100
＝1.9(分钟)．
(Ⅱ)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 1.5分
钟”．“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝3
20
，P (A 2)
＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝1
4
，因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以 P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝7
10
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
.
6.解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：
x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．
(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，
A 2
B 2
C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝1
10
.
(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这
3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝3
5
.
7.解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0，1，2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0，1，2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；
B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；
C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (Ⅰ)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，
P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.
(Ⅱ)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36.
C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2
P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.3072.。