奥数分数应用题(一)

学科：奥数教学内容：第九讲 分数应用题（一）用分数来解答的应用题叫做分数应用题，与百分数有关的应用题叫做百分数应用题。

分数应用题有以下三种基本类型：求一个数是另一个数的几分之几； 求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，他有其自身的特点和解题规律。

在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键。

实际上分数（百分数）应用题涉及的知识面广，数量关系变化多端，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，通过分析推理，弄清量与分率的对应关系，将复杂的分数应用题转化为上述三种类型，然后依据有关的数量关系解答应用题。

在日常生活、生产当中会经常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题。

这两讲我们一起来探讨一下分数应用题的解题规律。

例1 新华书店运来一批图书,第一天卖出总数的81多16本,第二天卖出总数的21少8本,还余下67本。

这批图书一共多少本?分析：解答此题的关键是要找出实际数量的对应分率。

从含有倍数关系的句子可以看出图书的总数为“单位1”。

现在找出题中所给的数量与“单位1”之间的关系，见线段图：从图中可以看出卖出总数的81和21后，余下的分率是1－81－21=83，与83相对应的数量是(67－8＋16)，从而可以求这批图书。

解答：(67－8＋16)÷1－81－21=200（本） 答：这批图书共有200本。

说明：我们还可以通过另一种方法找出量率对应。

根据题意，我们可以列出下面的等式： 总数的81＋16本＋总数的21－8本＋余下的67本=“单位1”将等式变形，量率分别放在等号的两边：16本－8本＋余下的67本=“单位1”－ 总数的81－总数的21从上面的式子中可以看出，(67－8＋16)就是这批图书的1－81－21=83，因此列式为：(67－8＋16)÷1－81－21=200（本）这种方法比较简单直观，思维比较顺畅，只要把题目的叙述翻译成等式即可。

例2 某工厂第一车间原有工人120名，现在调出81给第二车间后，这是第一车间的人数比第二车间现有人数的76还多3名。

求第二车间原来有多少人？ 分析：通过读题可知“从第一车间调出81的工人给第二车间”，即调出120×81=15名，这时第一车间还剩下105名工人。

这105名比第二车间现有人数的76还多3名。

那么这102名工人就相当于第二车间的现有人数的76了。

于是，第二车间现有人数与原来的人数就可以求了。

解答：（1）第一车间剩下的人数： 120×（1－81）=105（名） （2）第二车间现在的人数： （105－3）÷76=119（名） （3）第二车间原来的人数： 119－120×81=104（名） 答：第二车车间原有104名工人。

例3 学校图书室内有一架故事书，借出总数的75%之后，有放上60本，这时架上的书是原来总数的31。

求现在书架上放着多少本书？ 分析：借出总数的75%之后，还剩下25%，又放上60本，这时架上的书是原来总数的31，这就可以找出60本书相当于故事书总数的几分之几了，问题也就可以求出来了。

还可以画找量率对应。

如下图：解答：（1）60本书相当于故事书总数的几分之几？31－（1－75%）=121 （2）故事书的总数： 60÷121=720（本） （3）现在书架上放有故事书多少本？ 720×31=240（本） 答：现在书架上放有故事书240本。

说明：本题中的量率对应还可以根据图用别的方法求。

从图中可以看出：故事书的31与75%的重叠之出就是60本所对应的分率。

这个分率可以用下面的三种方法求出：（1）31＋75%－1； （2）31－（1－75%）；（3）75%－（1－31）；请你自己想想每种方法的道理。

例4 一块西红柿地，今年获得丰收。

第一天收下全部的83，装了3筐还余12千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐。

这块地共收了多少千克？分析：要求全部西红柿有多少千克，只要求出12千克对应全部的几分之几就行了。

已知12千克和3筐对应全部的83，所以只要求出3筐对应全部的几分之几就行了。

已知6筐对应全部的（1－83），所以3筐对应全部的几分之几就清楚了。

解答：12÷[83－（1－83）÷6×3]=192（千克）答：这块地共收了192千克。

说明：例4还有多种解法，请你认真读题，自己找一找其他的对应关系，进行解答。

例如可以先找出12千克所对应的筐数，然后再找出每筐所对应的分率。

例5 库房有一批货物，第一天运走20吨，第二天运走得吨数比第一天多176，还剩下这批货物的179，这批货物有多少吨？ 分析：由题意可知，第二天运走了20×（1＋176）吨，第一天和第二天共运走货物20×（1＋1＋176）吨。

再由“还剩下这批货物的179”克制，第一天和第二天运走的货物占总重量的（1－179）。

由此找到了相对应的量，可以解题。

解答：20×（1＋1＋176）÷（1－179）=100（吨）答：这批货物有100吨。

例6 有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公顷，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公顷。

那么这块稻田有多少公顷？分析：通过读题，将题目中的条件列成文字等式：菜地的21＋稻田的31=13公顷＋菜地的31＋稻田的21=12公顷 菜地的65＋稻田的65=25公顷这就是说，菜地和稻田的65与25公顷相对应，因此可以求出两种地一共有多少公顷，再求稻田有多少公顷。

解答：两种地共有（12＋13）÷（21＋31）=30（公顷） 那么菜地和稻田的21是：30÷2=15（公顷） 那么稻田有： （15－13）÷（21－31）=12（公顷） 答：稻田有12公顷。

阅读材料神奇的麦比乌斯带（一）同学们你们能用一张纸带造出一个只有一个面的带子吗？有的同学可能会说，不可能，什么东西没有两面呀，一张纸还分正与反呢！可是数学家确实造出了不分正、反面的带子。

它是由一张纸条的两端粘结而成，只不过在粘结前扭转了180度（见下图）。

现在，所得的纸带已不再具有两面，它只有一个面。

如果一只蚂蚁开始沿着这个纸带爬，那么它可以爬遍整条带子而不必跨越带的边缘。

这种纸带与普通的纸带不同，它有许多神奇的性质。

1858年，德国数学家麦比乌斯发现了这种曲面，故这种曲面被称为“麦比乌斯带”。

普通的纸带式双侧曲面，两个面可以图上不同的颜色；麦比乌斯带式单侧曲面，只能涂一种颜色，即从它的某点开始图某种颜色，当逐渐向远处扩展时，不知不觉就会把整个带子涂满了同种颜色。

练习题1．小明看一本小说，第一天看了全书的81还多21页，第二天看了全书的61少4页，还剩下102页。

这本小说一共有多少页？分析与解答：要想求出这本小说有多少页，需要找条件里的“多21页”、“少4页”、“剩102页”这三个条件所对应得分率是多少，也就是这三个量占全书的几分之几。

见图：（102－4＋21）÷（1－81－61）=168（页） 答：这本书由168页。

2．某小学五年级有三个班，一班和二班的人数相等，三班的人数占五年级的207，并且比二班多3人，问五年级共有多少学生？分析与解答：根据条件“三班的人数占五年级的207，并且比二班多3人”可知一班、二班都比全年级的207少3人，假设一班、二班都占全年级的207，那么将比实际人数多出3×2=6人，比单位“1”多出（207＋207＋207－1），两个数量正好对应。

因此全年级的人数为：3×2÷（207＋207＋207－1）=120（人）答：五年级共有120人。

3．有一堆砖，搬走41后又运来306块，这时这堆砖比原来还多了51，问原来这堆砖有多少块？分析与解答：根据题意画出线段图：从图中可以看出，306块正好与（41＋51）相对应，所以列式为： 306÷（41＋51）=680（块） 答：原来这批砖共有680块。

4．车间共有工人152名，选派男工的111和5名女工参加培训班后，剩下的男女工的人数正好一样多。

问车间的男、女工各有多少人？分析与解答：根据题意画出线段图，找出量率对应：题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数的（1－111）相对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1－111＋1）相对应。

因此男工有：（152－5）÷（1－111＋1）=77（名） 女工有：152－77=75（名） 答：南共有77名，女工有75名。

5．一本书，已看了30页，剩下的准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好为全书的225，这本书共有多少页？ 分析与解答：由于每天看的页数相等，且3天看的页数恰好为全书的225，故每天看全书的225÷3。

从而8天将看全书的（225÷3）×8，由此可以找到130页对应的分率为1－（225÷3）×8。

即全书共有： 130÷[1－（225÷3）×8]=330(页)答：全书共有330页。

6．一瓶饮料，一次喝掉一半饮料后，连瓶共重700克；如果喝掉饮料的31后，连瓶共重800克，求瓶子的重量。

分析与解答：如下用文字等式表示题中的两个已知条件：瓶重＋饮料重的（211-）=700克 瓶重＋饮料重的（311-）=800克比较上面两个等式，可以看出800克比700克多的100克就是饮料的（311-）比（211-）多的。

找到了量与率的对应，就可以求出饮料重，从而可以求出瓶重。

列式为：饮料重：（800－700）÷[（311-）－（211-）]=600（克） 瓶重：700－600×21=400（克） 答：瓶子的重量为400克。

7．食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1千克，第二天吃掉剩下的油的一半多2千克，第三天又吃掉剩下的油的一半多3千克，最后桶里还剩下2千克油，问桶里原有油多少千克？分析与解答：第三天吃掉一半多3千克，还剩2千克。

所以第二天吃掉后还剩（2＋3）÷21，这又是第一天吃掉后剩下的一半少2千克，所以第一天吃掉后剩下[（2＋3）÷21＋2]÷21，这又是这桶油的一半少1千克，从而这桶油共有：｛[（2＋3）÷21＋2]÷21＋1｝÷21=50（千克）答：这桶油共有50千克。

8．菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的83时，装满了4筐还多36千克，收完其余的部分时，又刚好装满8筐，求共收黄瓜多少千克？分析与解答：其余部分装满8筐，所以每筐是总数的（1－83）÷8。