小学奥数知识点：不定方程
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程
第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。
解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。
例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，所以方程的解是12 xy=⎧⎨=⎩。
例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7所以方程的解是72xy=⎧⎨=⎩或25xy=⎧⎨=⎩。
例4．已知5x−14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。
解：方程5x−14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是51xy=⎧⎨=⎩，196xy=⎧⎨=⎩，……，51415x ky k=+⎧⎨=+⎩（k为自然数）。
所以x+y的最小值是6.模块二、复杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。
解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是131xy=⎧⎨=⎩或24xy=⎧⎨=⎩。
所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。
例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。
解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100−x−y只鸡雏，则5x+3y+1003x y--=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为418xy=⎧⎨=⎩，解得z=100−x−y=78，或811xy=⎧⎨=⎩，z=81，或124xy=⎧⎨=⎩，z=84.例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。
小学奥数小学6年级奥数之不定方程
解：设0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得
0.9x 0.4 y 5.8, 9x 4 y 58, y 14 2x 2 x ,
4
解得 x 2, x 6, y 10; y 1.
答：可分割成0.9米的2段，0.4米长的10段， 或0.9米长的6段，0.4米长的1段。
第23讲 趣谈不定方程
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14; (2) 11x+3y = 89. 解：
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
因为7+8 14 解：设这个学生出生年份是19ab年,由题意得
1991-19ab=1+9+a+b, 11a 2b 81, b 40 5a 1-a
2 a 1, a 3, a 5, a 7
... b 35, b 24, b 13, b 2 所以, 这个学生出生年份是1972年 1994 1972 22. 答：这个学生1994年22岁。
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0).
(1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
（2)(11,3）=1,1|89，原方程整理得
奥数讲义-不定方程-第十三讲
第十三讲不定方程当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程．本讲只讨论有二个未知数的一次不定方程．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解．我国对不定方程的研究已经有几千年的历史，“物不知其数”，“秦王暗点兵”，“百鸡问题”，“五家共井”等趣题一直流传至今．对不定方程的研究是令人感兴趣的课题之一．例题例1：解方程2x－3y＝8解：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：3 x4k2 y k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．一般地，二元一次不定方程总有无穷多组解，其解法也和例1类似，即先将其中的一个未知数看作常数，把另一个未知数解出，最后把看作常数的未知数取为任意数即可．对二元一次不定方程，我们通常研究它的整数解．例2：求方程2x＋6y＝9的整数解解：因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．说明例2告诉我们，并非所有的二元一次方程都有整数解，二元一次方程什么时候有整数解，什么时候没有整数解呢？我们有下面的定理：定理1 整系数方程ax＋by＝c有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d 能整除c．定理1告诉我们，若d | c，则原方程有整数解，否则，若d c，则原方程没有整数解．例3：求方程4x＋10y＝34的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而2|34，由定理1，原方程有整数解．两边约去2后，得2x＋5y＝17故y＝172x5-因此，要使y取得整数，17－2x必须是5的倍数，如x＝1时，17－2x＝15，y＝3，即我们找到了方程的一组解x0＝1，y＝3．设原方程的所有解的表达式为：x1m y3n=+⎧⎨=+⎩，代入原方程，得2(1＋m)＋5(3＋n)＝17，即 2m ＋5n ＝0，亦即2m ＝－5n ，从而5|2m.．因为2与5互质，所以5| m ．令m ＝5k ，k 为整数，则有n ＝－2k ．由此得到原方程的所有解为x 15k y 32k=+⎧⎨=-⎩，其中k 为任意整数．说明 由定理1，我们知道，若ax ＋by ＝c 有解，则a 与b 的最大公约数d | c ．此时，我们可以在原方程的两边同时约去d ，得a b c x y d d d +=，令1a a d =，1b b d =，1c c d =．显然，此时1a 与b 1的最大公约数为1．因此，只要讨论d ＝1的情况即可．我们有如下定理：定理2 若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），x 0、y 0为二元一次整系数不定方程ax ＋by ＝c 的一组整数解（也称为特解），则ax ＋by ＝c 的所有解（也称通解）为00x x bk y y ak=+⎧⎨=-⎩，其中k 为任意整数． 因此，当d ＝1时，显然ax ＋by ＝c 有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的特解x 0、y 0．例4：求方程2x ＋3y ＝5的整数解解：我们容易发现，x ＝1，y ＝1是方程的一组解，又因为（2，3）＝1，由定理2，方程的所有整数解为x 13k y 12k=+⎧⎨=-⎩，（k 为任意整数）说明 本例通过观察，容易发现一组解．但有时，不定方程的特解是不容易获得的，如不定方程1999x ＋105y ＝1就很难直接找到一组整数解．下面通过几个例子来介绍求不定方程的特解的常用方法．例5：求方程3x ＋5y ＝12的整数解解： 由3x ＋5y ＝12得 x ＝4－5y 3，所以当且仅当3| y 时，x 为整数，取y ＝3，得x ＝4－53×3＝－1， 即x ＝－1，y ＝3是原方程的一组解．因此，原方程的所有整数解为x 15k y 33k=-+⎧⎨=-⎩，（k 为任意整数）例6：求方程3x ＋5y ＝31的整数解解：由原方程，得 x ＝315y 3-，即x＝10－2y＋1y3+，要使方程有整数解，1y3+必须为整数．取y＝2，得x＝10－2y＋1y3+＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2是原方程的一组解．因此，原方程的所有整数解为x75ky23k=+⎧⎨=-⎩，（k为任意整数）以上我们讨论了二元一次方程的整数解的情况下，下面我们介绍二元一次不定方程有正整数的情况．例7：求方程3x＋5y＝31的正整数解．解：由例6，我们知道3x＋5y＝31的所有整数解为x75ky23k=+⎧⎨=-⎩，（k为任意整数）故要求原方程的正整数解，只要使x＞0，y＞0即可，即有不等式组75k023k0+>⎧⎨->⎩，这个不等式组的解为72k53-<<．注意到k为整数，所以在此范围内的整数k只能取0或－1，分别令k＝0和k＝－1，得到原方程的所有正整数解，分别为x7x2,y2y5==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩说明求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解，然后令x＞0，y＞0，得不等式组，由不等式组可解得k的范围，在此范围内取k的整数解，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．例8：求方程5x－3y＝－7的正整数解解：原方程可化为x＝3y75-，即x＝－2＋3(y1)5+．y＝4时，x＝1．即x1y4=⎧⎨=⎩为原方程的一组整数解．因此，原方程的所有整数解为x13ky45k=-⎧⎨=-⎩（k为任意整数）再令x＞0，y＞0，即有不等式组13k045k0->⎧⎨->⎩，解得k<13，所以，当k取0，－1，－2，…时原方程可得到无穷多组正整数解x13ky45k=-⎧⎨=-⎩（k＝0，－1，－2，…）例9：求方程11x＋5y＝12的正整数解解：如果方程有正整数解，则x≥1，y≥1，因此11x＋5y≥11＋5＝16．而方程的右端为12，所以这个方程无正整数解．说明一般地，若方程ax＋by＝c中，a＞0，b＞0，a＋b＞c，则这个方程无正整数解．例10：如果三个既约真分数23，a4，b6的分子都加上b，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积．解：由题意，我们有2b a b b6346+++++＝6，整理得3a＋11b＝64．问题转化为求3a＋11b＝64的正整数解．由3a＋11b＝64得a＝6411b3-，从而a＝21－4b＋1b3+．令b＝2得a＝14．即这个不定方程有一组整数解a14 b2=⎧⎨=⎩，从而它的所有整数解为a1411kb23k=+⎧⎨=-⎩（k为任意整数）令a＞0，b＞0，得不等式组1411k023k0+>⎧⎨->⎩，解得142k113-<<．从而k＝0或－1．因此，这个方程有两组正整数解a14b2=⎧⎨=⎩和a3b5=⎧⎨=⎩．注意a4与b6为既约真分数，所以a＝3，b＝5是它的惟一解．因此所求的积为23×34×56＝512．例11求5x＋8y＋19z＝50 ①的整数解．分析方程ax＋by＋cz＝d可解的条件是a、b、c的最大公约数能整除d（a、b、c）＝1时，方程必有整数解．解法一508192102455y z y z x y z--+ ==--+令25y zu+=（u为整数），则z＝5u－2yx＝10－2y－4（5u－2y）＋u ＝10－2y－20u＋8y＋u＝10＋6y－19u∴原方程的通解为1061952x y u y y z u y =+-⎧⎪=⎨⎪=-⎩解法二 原方程分为两方程即：5x 8y u u 19z 50+=⎧⎨+=⎩②③ （u 为整数）观察得5×(5u)＋8×(－3u)＝u于是方程①的解为115835x u t y u t =-⎧⎨=-+⎩ （1t 为整数） 观察②得 1×（－7）＋19×3＝50于是方程②的解为22u 719t z 3t =--⎧⎨=+⎩（2t 为整数） ∴原方程的通解为12122x 358t 95t y 215t 57t z 3t =---⎧⎪=++⎨⎪=+⎩（12,t t 为整数）评注：不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特殊解不同，解题方法不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，若将解中的参数做适当的代换，就可化为同一形式．（学生课后练习机动，1——2题即可）。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
小学高级奥数第26讲-不定方程与不定方程组
课后作业
<作业1>
解不定方程：2x 3y 7z 34 的正整数解．
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
求方程 2x－3y＝8的整数解
求方程2x＋6y＝9的整数解
求方程4x＋10y＝34的正整数解
求方程3x＋5y＝12的整数解
求方程 7x 19y 213的整数解
求 6x 22y 90 的自然数解
求方程3x＋5y＝31的整数解
求方程 7x 4y 89 的整数解
求方程5x 3y 22 的所有正整数解
求方程 2x－3y＝8的整数解
解不定方程组 1800a 1200b 800c 16000
解方程 a b c 15
解不定方程
5x
ห้องสมุดไป่ตู้
3y
1 3
z
100
(其中x、y、z均为正整数)
x y z 100
<作业1>
解不定方程： 2x 9y 40 （其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 求不定方程 7x 11y 1288 的正整数解有多少组？
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
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小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。