青岛大学计算机模拟

5.4
随机数与伪随机数
一、随机数与伪随机数 真随机数：不可预计性，不可重复 伪随机数：利用算法或公式产生的随机数。 1. 真随机数的发生源
晶体管噪声发生器、放射粒子计数器等
2.伪随机数：例如[0，1]区间均匀分布的随机数
二、 伪随机数产生方法 1、平方取中法 从某个初始的2k位整数开始，求出这个数的 平方，去头截尾其中间2k位作为一个新的 随机数，重复以上过程，则得到一列随机数。 例1 已知种子x0=3187， 利用平方取中法产生四 位数的随机数序列。 (3187)2=10156969 x1=1569 (1569)2=02461761 x2=4617 ….. …..
平方取中法的函数 r=pfqz(k,x0,n) 其中，k：随机数种子位数的一半 x0：随机数种子 n：产生的随机数个数 r: 产生的随机数序列

function r= pfqz(k,x0,n) format long; r = zeros(n,1); x = zeros(n,1); x(1) = x0; r(1) = x(1)/(100^k); for i=2:n x(i) =mod(x(i-1)^2 /(10^k),100^k); r(i) = x(i)/(100^k); end format short
2. 线性同余法 若两整数A，B之差是m的整数倍， 则称A和B按m同余。 A-B=m*k 记为B=A mod m xn+1=(axn+c) mod m—线性同余式(0≤x ≤m-1) 例: 设a=5,c=3,m=16,取x0=7，用线性同余法产生随机 数序列。 x0=7 x1=(5×7+3) mod 16=6 依次有 x2=1 x3=8 x4=11 x5=10 x6=5 x7=12 x8=15 x9=14 x10=9 x11=0 x12=3 x13=2 x14=13 x15=4 x16=7
5.5 任意分布的伪随机变量的抽样
一、直接抽样法 1. 连续随机变量的直接抽样
设连续随机变量 ŋ的分布密度函数为f(x),则其
分布函数F(x)=

x
-
f(x)dx，若F(x)存在反函数
F-1(x)，令ξ为[0，1]区间的一个均匀分布的随机
数，再令ξ＝F(ŋ)，则ŋ＝F-1(ξ)。
证明：随机变量η≤x的概率为:

function r=primod(x0,n) format long ; m=2^31-1; a=16807; r=zeros(n,1); x=zeros(n,1); x(1)=x0; for i=1:n-1 x(i+1)=mod(a*x(i),m); end r=x(1:n)/m; format short;
F ( x) pq x p q x
p(q q q q )
0 1 2 x
(1 q )(q 0 q1 q 2 q x ) q q 1 q 1- F ( x) x q q
0 x 1 x 1
当x=0, qx=1; x=∞,qx=0
例2、 已知x0=44，试 产生两位数的随机数序列。 (44)2 =1936 x1=93 (93)2 =8649 x2=64 (64)2 =4096 x3=09 (09)2 =0081 x4=08 (08)2 =0064 x5=06 (06)2 =0036 x6=03 (03)2 =0009 x7=00 (00)2 =0000 x8=00 例3、若利用平方取中法得到xi的一个中间值为4500， 继续类推，则有以下结果： (4500)2=20250000 xi+1=2500 (2500)2=06250000 xi+2=2500 缺点： 重复周期短； 可能产生例外； 较长的随机数序列可能无法通过统计性检验。
0 < 1 <1 4
1 (0.1021) 0.1021 2 (0.2162) 0.2162
7 0.7621 1 3 (0.7621) 1.4449 3
例2：产生[a,b]区间均匀分布的随机数，已知
0 x a F ( x) b a 1
0 x F(x)= 3x+1 7 1
x<0 0x<1 4 1x<2 4 x2
设ξ为[0,1]区间的均匀随机数,令ξ＝F(ŋ),则
0 = 3 +1 7 1
<0 0 < 1
4 1 <2 4 2
1 4
ξ η = 7 -1 3

2.离散随机变量的直接抽样 设离散随机变量X的可能取值为x1,x2, …xk … 密度函数为Pk=P(X=xk), k=1,2,3 …其分布函数为
F ( x) P( X x)
xk x
P
k
(1)取ξ为[0,1]区间的均匀随机数 (2)求非负整数k，使得满足 F(xk-1)<ξ≤F(xk) (3)令ŋ=xk,即为所求随机数。
例4：产生取值可能为0,1,2,3,4的离散分布随机
数，其概率函数为Pk=(k+1)/15, k=0,1,2,3,4。
例5：产生几何分布的随机数，其概率函数为：
Pk

pq x 0
x 0,1,2,3 其中p q 1 其它
其分布函数为：
x x pq x 0,1,2,3 F ( x) P( X x) Pk x0 xk x 0 其它
p( x) p( F ( ) x) p( F ( x))
-1
0 dx
-
0
F ( x)
0
1 dx F ( x)
例1:设某随机变量的分布函数由下式给出, 且产生 的均匀分布的随机数为0.1021, 0.2162, 0.7621,现 将它们转化为下列分布的随 机变量。
xa a xb xb
令 F ( ) a (b a)
例3：产生指数分布的随机数，已知其分布 函数：
F ( x)

1-e 0
-x
x 0 x 0
令 F ( )
ln(1 )

1-e- 0 ln
0 0


ln 令 q x int ln q
x
令 Ri=xi/m
即可得到[0，1]区间分布的随机数。
介绍一种利用素数模乘同余法产生随机数的程序
素数模m= 231-1 ，乘同余式如下： xn= 16807xn-1 mod (231-1) rn=xn/(231-1)
素数模乘同余法的函数 r=primod(x0,n) 其中，x0：随机数种子 n：产生的随机数个数 r: 产生的随机数序列