电磁谐振水波干涉演示仪的设计研究

物理与工程Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．３　２０１２　电磁谐振水波干涉演示仪的设计研究　魏薇　（华中农业大学理学院，湖北武汉４３００７０）　（收稿日期：２０１１－０８—０２；修回日期：２０Ｉ卜０９—２７）　

摘　要　本文介绍了一种自制的水波干涉衍射演示实验装置．装置利用低频信号源输出低频　正弦信号，经电磁转换驱动振子做简谐振动，振子作为波源在水槽中激发水波观察水　波干涉衍射现象．本文定量地分析了装置中最重要的驱动部分和振动部分的物理学　原理，给出了控制演示实验效果的有效途径．装置结构简单，易于控制，成本低，实验　效果明显．还可演示两列频率、振幅不相等的水波的相遇情况．　关键词　磁场；受迫振动；振幅；频率；水波干涉　

ＤＥＳＩＧＮ　ｏＦ　ＷＡＴＥＲ　ＷＡＶＥ　ＩＮＴＥＲＦＥＲｏＭＥＴＥＲ　ｏＦ　ＥＬＥＣＴＲｏＭＡＧＮＥＴＩＣ　ＲＥＳｏＮＡＮＣＥ　

Ｗｅｌ　Ｗｅｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ　４３００７０）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ａ　ｓｅｌｆ—ｍａｄｅ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｆａｃｉｌｉｔｙ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｗａｔｅｒ　ｗａｖｅ　

ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ．Ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｏｗ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｓｉｇｎａｌ　ｓｏｕｒｃｅ　ｔｏ　ｏｕｔｐｕｔ　ｔｈｅ　ｓｉｎｅ　ｓｉｇ—　ｎａ１，ｔｈｅ　ｆａｃｉｌｉｔｙ　ｄｒｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｄｏ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ　ｉＳ　ｕｓｅｄ　ａｓ　ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｏｕｒｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｗａｖｅ　ｔｏ　ｏｂｓｅｒｖｅ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｉｐｐｌｅｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｌｙ　ａｎａｌｙｚｅ　ｔｈｅ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｏｆ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ｐａｒｔ　ａｎｄ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｐａｒｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆａｃｉｌｉｔｙ，　ａｎｄ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ｕｓｅｆｕｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｔｏ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．Ｏｕｒ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｆａｃｉｌｉｔｙ　ｈａｓ　ｓｅｖｅｒａｌ　ａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ｓｕｃｈ　ａｓ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｅａｓｙ　ｔｏ　ｃｏｎｔｒｏｌ，ｌｏｗ　ｃｏｓｔｓ，ａｎｄ　ｏｂｖｉｏｕｓ　ｅｘｐｅｒｉ—　ｍｅｎｔ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｉｔ　ｃａｎ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｍｅｅｔｉｎｇ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｗａｔｅｒ　ｗａｖｅｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｆ—　ｆｅｒｅｎｔ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　ａｎｄ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ　ｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ；ｆｏｒｃｅｄ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ａｍｐｌｉｔｕｄｅ；ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｗａｔｅｒ　ｗａｖｅ　ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ　

１　引言　在物理教学中，经常利用水波干涉仪来演示　水波的干涉现象及衍射现象，并通过投影对干涉　图样进行观察．但是传统发波水槽效果不佳，很　多仪器因振动相干源不合适，相干效果也并不理　想，影响了演示效果．作为水波干涉演示实验所　用的相干波源，要达到良好的演示效果，需要满足　的主要条件有两个：第一，两列波产生过程直观，　易于观察；第二，能方便地调节波源的频率和　

振幅．　现利用低频信号源输出低频正弦信号，经电　磁转换获得谐振动来产生相干波源，并对发波水　槽进行改造，设计一个有效的水波干涉演示实验　装置．本文从理论模型出发，定量讨论了实验装　置的驱动部分和振动部分的动力学机理，给出了　为有效演示水波干涉衍射实验现象，对波源频率　和振幅的调节途径．本装置结构简单，易于控制，　成本低，实验现象明显．还可演示两列频率、振幅　不相等的水波的相遇情况．　物理与工程Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．３　２０１２　２实验原理　如图１所示，在铁架台上固定两个螺旋线圈　（Ｎ＝９０００，Ｒ一２４０￣），由低频信号发生器ＸＪ１６３２　提供正弦电压，线圈内产生变化磁场．振动部分　由水平放置的钢片一端固定在铁架台上，开孔的　另一端上下分别放置轻薄氟化硼磁体和一小而轻　的销钉触水（如图２），销钉被氟化硼磁体磁化而固　定在钢片上，整体称为振子．磁场力驱动振子振　动，销钉的振动在水槽中引起水波．发波水槽由　有机玻璃制成６０ｃｍ×６０ｃｍ×５ｃｍ的长方体透明　水槽，在水槽内侧壁粘上横截面是直角三角形的　海绵条，使水槽内侧壁成倾斜度为３０。～４５。的斜　面（如图３）．　

图　１　图　２　

图　３　２．１简谐驱动力的产生　在一个竖直的螺旋线圈中输入低频正弦信　号，当信号发生器输出频率及线圈尺度满足似稳　条件，线圈内电流随电源电动势同步变化，螺旋线　圈轴线下方的一点Ａ会产生随时问周期性变化的　磁场Ｂ　．如图４所示，设螺旋线圈长２Ｌ，半径为　ｒ，单位长度的匝数为　，线圈内电流强度为Ｉ．线　圈是密绕的，螺旋线圈的磁场近似可看作一系列　的圆线圈磁场的叠加．　考虑轴线上点Ａ的磁感应强度，取螺线管轴　线上中点为坐标原点Ｏ，Ｏｚ沿轴线并与电流方向　满足右手定则．在位置ｚ处长度　内共有　ｄｚ　匝线圈，它在Ａ点产生的磁感应强度只有　方向　

ｄｚ　・・三一－一ｌ　

＼　

＼Ａ一　０　Ｚ　

三　一　一　

图　４　

的分量，可得此处ｎｄｚ匝线圈激发的磁场为　ｄＢ　一　两　整个螺线管在点Ａ产生的磁感应强度为　

丙　＝一　２

『

Ｌ　］　＋（ｚ—ｚ）　ｌ＿ｆ．　

一　Ｉ　２　Ｌ　ｚ＋Ｌ　ｚ—Ｌ　

Ｆ　Ｆ　＝　

假设将振子置于Ａ点处，把振子看作磁矩为　ｐ的磁偶极子，则其所受磁场力为Ｆ一一ＶＢ・Ｐ，　因为磁场与磁矩方向一致，且力只有沿ｚ轴的分　量，所以力的大小为　Ｆ一竺　！：　Ｊ　一　２　Ｉ［ｒ　＋（ｚ＋Ｌ）　］　

一　一——１　［ｒ　＋（ｚ—Ｌ）　］。　ｆ　

为周期性变化电流，可见振子将受到一个与　信号源频率一致的周期性驱动力作用．　２．２振片的受迫振动　２．２．１振动系统的固有频率　设振片长ｚ，宽ｂ，厚ｈ，当振片上的振子受力　Ｆ　而使振片向下弯曲时，上层受拉伸，下层受压　缩，总的效果相当一个力矩．设振片弯　Ｅ　曲的曲率半径Ｒ，圆心为０点如图５所　Ｉ　／７　广、　

示．以中性层为原点，竖直坐标（向下为　Ｉ　ｉＥ）　处层长度ｚ　一专（Ｒ－－Ｚ）．　

这样该层的长度变化Ａ１一ｚ　一ｚ一图５　ｌｚ／Ｒ，相应的应变为ＡＵｌ一一ｚ／Ｒ，由胡　克定理　ＡＦ—　丁Ａｌ一一　

，对高度为ｄ　的一层横　

截面积ｄＡ—ｂｄｚ，该面上作用力ｄＦ＝一　ｄｚ，对　Ｏ点的力矩ｄＮ＝ｚｄＦ＝一　ｄｚ，于是作用在整　物理与工程Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．３　２０１２　个面上的总力矩为Ｎ一』ｄＮ一　』　ｚ。ｄｚ一　一ｖ　‘１２Ｒ’　

外力矩和内力矩平衡时Ｎ—Ｆ　ｌ，Ｆ　一　

一ｙ　一一ｙｂｈ　ａＯ　１２Ｒ　Ｚ　１２　Ｚ　。　当振幅不太大时０＜５。这时Ｏ￣ｘ／ｌ，ｚ为偏离　平衡位置的距离，Ｆ　一一ｙ等－ｚ．　

当系统做简谐运动时，系统固有频率　一　一　Ｙｙ丽ｂｈ３，可见系统固有频率与振片长度成负相关．　

２．２．２振动的频率与振幅　在弹性限度内，振片应力与振幅成正比，作用　在振子上的力是三个力的和，它们是弹性力、阻力　和外驱动力，故动力学方程为　

一ｋｘ—Ｃ　＋Ｆ　一ｍ　该动力学方程是非齐次常系数微分方程，其通解　是它对应的齐次方程的解加上该方程的一个特　解，考虑到外驱动力是简谐力，有理由认为稳态解　也是简谐的，因此问题化为只需求解动力学方程　满足物理问题的特解．故设试探解为　ｚ—Ａｅｉ（　式中，Ａ与０　为待定常数．若这个试探解是正确　的，它必须满足动力学方程，将试探解代入动力学　方程　一ｍｚｏ　Ａ上ｉｗｃＡ上ｋＡ　—Ｆｏｅ　‘　一Ｆ０　ＣＯＳ（　一０　）＋ｉＦｏ　ｓｉｎ（　一０　）　上面等式成立的条件是方程两边的实部与虚部相　等，即　Ａ（志一批ｕ。）一Ｆ　ＣＯＳ（０—０　）　ｃｏＪＡ＝：＝Ｆ０　ｓｉｎ（０—０　）　将上面两式相除，可得出０　满足的等式为ｔａｎ（　一　

）一＿　．　

振幅Ａ满足等式Ａ—　赢，　于是我们得到了确定试探解所需的全部待定常数　满足的条件，一旦从中解出Ａ与　稳定解就确定　了．Ｎ，Ｎ∞；一鱼和７一　可将上面两式改写成　

ｔ　ｎ（　一０，）一　，Ａ一—＝＝＝—　【＿＝一．　叫　一∞　￣／（　０一　。）。＋４７　（Ｕ。　

系统共振时振幅最大，共振的频率可由求振　幅极大值获得．令　［（叫　－－ＯＪ　）。＋４７　］一０，解　得共振频率ｃＵ　一（ｃｏ　一２７。）专．　弱阻力的情况下共振发生在略小于系统固有　频率处，代入系统固有频率，得到共振频率与振片　

关系为∞一（ｙ　一２　）　．实验所得数据与　理论计算基本吻合（如图６）．　

图　６　将振子所受简谐驱动力及系统固有频率代人　得到振子的振幅为　

Ａ一　￣／（∞：一∞　）　＋４７卫Ｏ９２　

（ｃｏｓ　一ｃｏ　）ｐ／ｍ　一——————　：——————————————————————————————————————一　￣／（Ｙｂｈ。／ｍｌ一叫　）。＋４７　。　

通过振幅公式可以看出，振幅的大小与线圈　中电流强度、振子相对于线圈位置、销钉和钢片的　参数以及共振频率有关．振幅的大小将影响振子　在水槽中引发的水波的强度，决定水波干涉衍射　实验现象的明显程度，通过部分参数的调整可以　获得理想的实验效果．　

３结论　本文介绍的水波干涉演示实验装置，利用低　频信号源输出低频正弦信号，经电磁转换获得谐　振动来产生相干波源．通过对理论模型进行定量　的理论推导，得出了波源振动的频率及振幅公式，　完善了实验理论．在演示实验中，可以根据演示　需要调整相关参数以达到明显的实验效果．　本装置设计中驱动部分所采用的信号发生器　频率为７￣５０Ｈｚ，任意可调；振动部分结构简单，　（下转第３３页）　

；写　控如博　Ｈ　ｍ　Ｎ｝｛