届松江区中考数学一模及答案
2019-2020学年上海市松江区初三数学第一学期中考一模试卷及解析
2019-2020学年上海市松江区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么下列判断正确的( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c >2．（4分）如果点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．（4分）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点(3,4)A ，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为( ) A ．35B ．43C ．45D ．344．（4分）下列两个三角形不一定相似的是( ) A ．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形 B ．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形 C ．有一个内角为50︒的两个直角三角形D ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形5．（4分）如果a b c +=，3a b c -=，且0c ≠，下列结论正确的是( ) A ．||||a b =B ．20a b +=C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反 6．（4分）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sin α的值为( )A ．34B ．12C ．23D ．32二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．（4分）已知：23x y =，那么2x yx y-=+ ． 8．（4分）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ． 9．（4分）若两个相似三角形的面积比为3:4，则它们的相似比为 ．10．（4分）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AP =，则BP = ． 11．（4分）已知Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，3AC =，2BC =，则A ∠的余切值为 ． 12．（4分）已知二次函数21()2f x x bx c =++图象的对称轴为直线4x =，则f （1） f （3）．（填“>”或“<”)13．（4分）在直角坐标平面中，将抛物线22(1)y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．14．（4分）如图，已知D 是ABC ∆的边AC 上一点，且2AD DC =，如果AB a =，AC b =，那么向量BD 关于a 、b 的分解式是 ．15．（4分）如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan BAC ∠的值为 ．16．（4分）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为 ．17．（4分）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为 ．18．（4分）如图，矩形ABCD 中，1AD =，AB k =，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ，如果2AE D F ='，那么k = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：223(2cos45)3tan30260cos60cot 30sin -︒+︒︒-︒-︒20．（10分）已知二次函数241y x x =--．（1）将函数241y x x =--的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象顶点B 坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，13AD AB ==，24BD =，求边DC 的长．22．（10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45︒方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60︒的方向上，小岛A 离港口P 有多少海里？23．（12分）已知：如图，点D ，F 在ABC ∆边AC 上，点E 在边BC 上，且//DE AB ，2CD CF CA =． （1）求证：//EF BD ；（2）如果AC CF BC CE =，求证：2BD DE BA =．24．（12分）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ． （1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当BOP PBQ ∠=∠时，求PQ 的长度； （3）当PBQ ∆为等腰三角形时，求m 的值．25．（14分）已知tan 2MON ∠=，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，2AD =，AB m =，CF ON ⊥，垂足为点F ．（1）如图（1），作AE ON ⊥，垂足为点E ，当2m =时，求线段EF 的长度． （2）如图（2），联结OC ，当2m =，且CD 平分FCO ∠时，求COF ∠的正弦值；（3）如图（3），当AFD∆与CDF∆相似时，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位R 上】1．【解答】解：抛物线开口向下，因此0a <，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，所以0b >，抛物线与y 轴交在正半轴，因此0c >， 故选：C ．2．【解答】解：由点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，得 (1,3)A 与(,3)B m 关于对称轴2x =对称， 221m -=-，解得3m =， 故选：B ．3．【解答】解：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，在Rt OAB ∆中，由题意得： AOB α∠=，(3,4)A ，3OB ∴=，4AB =， 2233cos 534OB OA α∴===+， 故选：A ．4．【解答】解：A 、两条直角边之比为2:3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；B 、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；C 、有一个内角为50︒的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D 、有一个内角是50︒的两个等腰三角形，因为50︒是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意． 故选：D ．5．【解答】解：a b c +=，3a b c -=，∴2a c =，b c =-， ∴2a b =-， ∴a 与b 方向相反，故选：D ．6．【解答】解：如图，过点A 作AE BC ⊥，AF CD ⊥，//AD BC ，//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 的面积是1.5，BC AE CD AF ∴⨯=⨯，且1AE AF ==， BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=， 1.5CD AF =⨯，32CD ∴=， 32AD CD ∴== 2sin 3AF AD α∴==， 故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．【解答】解：23x y =， ∴设2x a =，3y a =， ∴2431235x y a a x y a a --==++． 故答案为：15．8．【解答】解：线段a 是线段b 、c 的比例中项，2a bc ∴=， 2a =，3b =，243a cb ∴==故答案为：43．9．【解答】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴它们的相似比为3:2，故答案为：3:2．10．【解答】解：根据黄金分割定义，得2AP AB BP =4(2)BP BP =+ 2240BP BP +-=解得15(15BP =-±--舍去） 51BP ∴=-故答案为51-．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =， 3cot 2AC A BC ∴==， 故答案为32．12．【解答】解：二次函数()y f x =的图象开口向上，对称轴为直线4x =，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，134<<，f ∴（1）f >（3）， 故答案为：>．13．【解答】解：抛物线22(1)y x =+向上平移1个单位后的解析式为：22(1)1y x =++． 再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：221y x =+． 故答案为：221y x =+． 14．【解答】解：2AD CD =，∴2233AD AC b ==， BD BA AD =+，BA a =-，∴23BD b a =-， 故答案为23b a -．15．【解答】解：连接BC ，由正方形的性质可知，45ABD ∠=︒，45CBE ∠=︒， 180ABD ABC CBE ∠+∠+∠=︒， 90ABC ∴∠=︒， AB BC ∴⊥，在Rt ABC ∆中，22112AB =+=，222222BC =+=， 22tan 22BC BAC AB ∴∠===， 故答案为：2．16．【解答】解：斜面AB 的坡度为20:301:1.5=， 故答案为：1:1.5．17．【解答】解：如图，ABC ∆中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，ABD ∆，ACE ∆都是等边三角形，P ，Q 是ABD ∆，ACE ∆的重心．取BC 的中点H ，连接AH ．AB AC =，BH CH =，90BAC ∠=︒， HA HB HC ∴==，DA DB =，EA EC =，DH ∴垂直平分线段AB ，EH 垂直平分线段AC ， P ∴，Q 分别在DH ，EH 上，PQH ∆是等腰直角三角形， 2AB =，sin 603DF BD ∴=⋅︒=，P 是重心，3PF ∴ 112FH AB ==， 31PH QH ∴==+， 622PQ PH ∴== 62． 18．【解答】解：将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，1AD A D ''∴==，AB A B k '==，90A DAB DCB ABC '∠=∠=︒=∠=∠，////A D BA CD ''∴A D F FEC DEA ''∴∠=∠=∠，且90D A '∠=∠=︒，ADE ∴∆∽△FA D ''， ∴AD DE AE A F A D D F ==''''，且2AE D F ='， 22DE A D ''∴==，1222A F AD '==， 90A DCF '∠=∠=︒，A FD EFC ''∠=∠，∴△A D F CEF ''∆∽，∴EC FC A D A F='''， ∴2122122k k ---= 21k ∴=+，故答案为：21+．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式22233(2)323312()322-⨯+⨯=⨯-- 1313+=-23=--．20．【解答】解：（1）2241(2)5y x x x =--=--， 该函数图象顶点B 坐标为(2,5)-；（2）如图，令0y =，1x =-，(0,1)C ∴-，(2,5)B -，(2,0)A ∴，∴四边形OABC 的面积11()62622AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯=． 21．【解答】解：如图，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，AB AD =，ADB ABD ∴∠=∠，ABD DBC ∴∠=∠，AE BD ⊥，AB AD =，90AEB C ∴∠=∠=︒，12BE DE ==，221691445AE AB BE ∴=-=-，ABD DBC ∠=∠，90AEB C ∠=∠=︒， ABE DCB ∴∆∆∽，∴ABAEBD CD =，∴13524CD =，12013CD ∴=．22．【解答】解：作AE PB ⊥于E ，由题意得，12 1.518PB =⨯=海里， 设AE x =海里，45APE ∠=︒，PE AE x ∴==，60ABE ∠=︒，由题意得，3183x x-=，解得，2793x=+，则27296AP=+，答：小岛A离港口P有(27296)+海里．23．【解答】证明：（1）//DE AB，∴CD CEAC CB=，2CD CF CA=．∴CD CF AC CD=，∴CF CE CD CB=，//EF BD∴；（2）//EF BD，CEF CBD∴∠=∠，AC CF BC CE=，∴AC CEBC CF=，且C C∠=∠，CEF CAB∴∆∆∽，CEF A∴∠=∠，DBE A∴∠=∠，//DE AB，EDB DBA∴∠=∠，且DBE A∠=∠，BAD DBE∴∆∆∽，2BD BA DE ∴=24．【解答】解：（1）将(3,0)A ，(0,3)B 分别代入抛物线解析式，得 9303b c c -++=⎧⎨=⎩． 解得23b c =⎧⎨=⎩． 故该抛物线解析式是：223y x x =-++；（2）设直线AB 的解析式是：(0)y kx t k =+≠，把(3,0)A ，(0,3)B 分别代入，得303k t t +=⎧⎨=⎩． 解得1k =-，3t =．则该直线方程为：3y x =-+．故设(,3)P m m -+，2(,23)Q m m m -++．则BP =，23PQ m m =-+．3OB OA ==，45BAO ∴∠=︒．QM OA ⊥，90PMA ∴∠=︒．45AMP ∴∠=︒．45BPQ APM BAO ∴∠=∠=∠=︒．又BOP QBP ∠=∠，POB QBP ∴∆∆∽．于是BP OBPQ BP ==． 解得195m =，20m =（舍去）． 254325PQ m m ∴=-+=；（3）由两点间的距离公式知，222BP m =，222(3)PQ m m =-+，2222(2)BQ m m m =+-+． ①若BP BQ =，22222(2)m m m m =+-+，解得11m =，23m =（舍去）．即1m =符合题意．②若BP PQ =，2222(3)m m m =-+， 解得132m =-，232m =+（舍去）． 即32m =-符合题意． ③若PQ BQ =，22222(3)(2)m m m m m -+=+-+， 解得2m =．综上所述，m 的值为1或32-或2．25．【解答】解：（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，90BCG CGB ∠+∠=︒，90MON CGB ∠+∠=︒，BCG MON ∴∠=∠，则tan tan 2BCG MON ∠=∠=，24BG BC ∴==，525CG BC =在Rt AOE ∆中，设OE a =，由tan 2MON ∠=， 可得5OA a =，则56OG a =+，16555OF OG a ==+， 655EF OF OE ∴=-=； （2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得25CG =，CD 平分FCO ∠，FCD DCO ∴∠=∠，//CD OM ，FCD CGO ∴∠=∠，DCO COG ∠=∠，CGO COG ∴∠=∠，25CO CG ∴==，在Rt COB ∆中，由222BC BO OC +=，得2222(52)(25)a ++=，解得165a =（舍去），225a = 6585OF a ∴= 4cos 5OF COF OC ∠==， 3sin 5COF ∴∠=； （3）当D 在MON ∠内部时，①如图31-，FDA FDC ∆∆∽时，此时2CD AD ==，2m∴=；②当FDA CDF∆∆∽时，如图32-，延长CD交ON于点Q，过F作FP CQ⊥于P，则135FDC FDA∠=∠=︒，45FDP∴∠=︒，tan tan22PC FP PFC FP MON FP DP CD DP =⋅∠=⋅∠===+，FP PD CD m∴===，2FD m∴=，FDA CDF∆∆∽，∴FD CDDA FD=，2 FD AD CD m∴⋅=∴22m m，1m∴=；当D在MON∠外部时，90ADF∠>︒，90DFC∠>︒，ADF DFC∴∠=∠，DFI FDI∴∠=∠，ID IF=，①如图33-，FDA DFC∆∆∽时，此时FDA DFC∆≅∆，2CF AD ∴==，DAF FCD FHD ∠=∠=∠， A ∴、O 重合，延长BC 交ON 于R ，24FR CF ∴==，25CR =，225BR =+， 1152m CD AB BR ∴====+； ②如图34-，FDA CFD ∆∆∽时，设25(0)CF t t =>，延长BC 交ON 于R ，过F 作FS CD ⊥于S ， DFC FDH ∆≅∆，DH FC ∴=，12ID IF CF ∴===，IS t ∴=，2FS t =，4CS t =，1)DS t =，DH FC ==， FDA CFD ∆∆∽， ∴ADDFDF FC =，22DF AD FC DH ∴=⋅==， 222DF DS FS =+，22241)t t ∴=++，解得1t =，20t =（舍去），52DH AD ∴==>=，矛盾，综上所述：1m =或2m =，或1m =。
上海市松江区初中毕业生学业模拟考试数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海市松江区初中毕业生学业模拟考试数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】-8的绝对值等于( )A. 8B. -8C. -D.【答案】B【解析】根据负数的绝对值等于其相反数可得-8的绝对值是8，故选B.【题文】下列运算中，计算结果正确的是（）A. ；B. ；C. ；D. ．【答案】D【解析】选项A，原式=3a-3；选项B，原式=；选项C，原式=；选项D，原式=9，故选D.【题文】一组数据2，4，5，2，3的众数和中位数分别是（）A. 2，5；B. 2，2；C. 2，3；D. 3，2．【答案】C【解析】在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2；将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的数是3，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是3．故选C．【题文】对于二次函数,下列说法正确的是（）A. 图像开口方向向下；B. 图像与y轴的交点坐标是（0，-3）；C. 图像的顶点坐标为（1，-3）；D. 抛物线在x＞-1的部分是上升的．【答案】D【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象开口向上，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；当x=0时，y=-2，所以图像与y轴的交点坐标是（0，-2）；当x＞-1时，y随x的增大而增大，即抛物线在x＞-1的部分是上升的，故选D.【题文】一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A. 72°；B. 60°；C. 108°；D. 90°.【答案】A【解析】已知正多边形的内角和是540°，所以多边形的边数为540°÷180°+2=5，再由多边形的外角和都是360°，即可得多边形的每个外角=360÷5=72°．故选A．【题文】下列说法中正确的是（）A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形；B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；C. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形；D. 有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形．【答案】C【解析】选项A，有一组邻边相等的梯形是等腰梯形不一定是等腰梯形；选项B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，可能是平行四边形；选项C正确；选项D、有两组对角分别相等的四边形平行四边形，不是等腰梯形．故选C．点睛：本题主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况，熟记等腰三角形的判定方法是解题的关键．【题文】计算：=________．【答案】【解析】根据负整数指数幂的性质可得 .【题文】函数的定义域是________________．【答案】【解析】使函数表达式有意义，则x-3≠0解得x≠3．【题文】方程的根是．【答案】x=．【解析】试题分析：∵，∴3x﹣1=4，∴x=，经检验x=是原方程组的解，故答案为：x=．考点：无理方程．【题文】关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为_________．【答案】【解析】根据题意得△=（-2）2+4k=0，解得k=-1．【题文】在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是_________．【答案】【解析】在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，所以从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是 = .【题文】已知双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为_________．【答案】【解析】已知双曲线y，当x＞0时，y随x的增大而减小，即可得1-m＞0，解得m<1.【题文】不等式组的解集是．【答案】－1≤x＜3【解析】试题分析：先分别求出两个不等式各自的解，即可得到结果.由得，由得，则不等式组的解集是.考点：本题考查的是解一元一次不等式组点评：解答本题的关键是熟练掌握求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到（无解）.【题文】为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中35名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是_______．【答案】【解析】观察可得仰卧起坐的次数在40～45的频数为35-2-4-9=20，所以仰卧起坐的次数在40～45的频率是 .【题文】某山路坡面坡度i=1︰3，沿此山路向上前进了100米，升高了_________米．【答案】【解析】已知山路坡面坡度i=1︰3，设山路坡面的垂直距离为xm，则水平距离为3xm，根据勾股定理可得，解得x= m.即升高了米．【题文】如图，在□ABCD中，E是AD上一点，且，设，，=______________．（结果用、表示）【答案】【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又因，，，所以，即可得 .【题文】已知一个三角形各边的比为2︰3︰4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为_______cm．【答案】8【解析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长为36cm，又因三角形各边的比为2︰3︰4，所以三角形最短的边的长为36× =8cm.【题文】如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，联结DE ，则DE的长为______________．【答案】【解析】如图，由折叠的性质可得AB=AE=4，BC=CE=8，根据已知条件易证△AMC是等腰三角形，可得AM=MC ，设AM=MC=x，则EM=8-x，在Rt△AEM中，由勾股定理可得，解得x=5，即AM=MC=5，EM=3，过点E作EN⊥AD于点N，由可求得EN=，在Rt△NEM中，由勾股定理求得MN={{56l 试题解析：原式==当时，原式＝【题文】解方程组：【答案】，【解析】试题分析：把第二个方程化为=0，根据ab=0，可得a=0或b=0，把这个方程组转化为几个二元一次方程组，解这些方程组即可求得原方程组的解.试题解析：由②得，，原方程组化为，得∴原方程组的解是【题文】如图，直线与双曲线相交于点A(2，m)，与x轴交于点C.（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果PA=PC，求点P的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意求出点坐标，再代入双曲线解析式中即可求解；（2）设点P的坐标为(x，0)，由C（-4，0），PA=PC列方程，解得x的值，即可求得点P的坐标.试题解析：（1）把代入直线解得∴点A的坐标为（2，3）设双曲线的函数关系式为把代入解得∴双曲线的解析式为（2）设点P的坐标为∵C（-4，0），PA=PC∴，解得经检验：是原方程的根，∴点P的坐标为【题文】如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝110厘米，∠BAC＝37°，垂直支架CD=57厘米，DE是另一根辅助支架，且∠CED＝60°.（1）求辅助支架DE长度；(结果保留根号)（2）求水箱半径OD的长度．(结果精确到1厘米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【答案】（1）辅助支架DE长度厘米，（2）水箱半径OD的长度为23厘米．【解析】试题分析：（1）在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出DE的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，在Rt△AOC中，根据sin∠A=，求得OD的长即可.试题解析：（1）在Rt△DCE中，sin∠E=∴DE==（厘米）答：辅助支架DE长度厘米（2）设圆O的半径为x厘米，在Rt△AOC中sin∠A=，即sin37=∴，解得x=22.5≈23（厘米）答：水箱半径OD的长度为23厘米．点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，做题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．【题文】如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD交BC于点F ，且，联结FG.（1）求证：GF∥AB；（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，可得，再由EF∥AD，根据平行线分线段成比例定理可得，所以，即可得GF∥AB ；（2）联结AF ，证明ΔCAD∽ΔCBA，根据相似三角形的性质可得，即，再因，即可得，可得∠CAF=∠CFA，因∠CAG=∠CFG，可得∠GAF=∠GFA，即可得GA=GF，再由四边形AEFG是平行四边形，即可判断四边形AEFG是菱形.试题解析：（1）证明：∵，∴∵EF∥AD，∴∴∴GF∥AB（2）联结AF ，∵GF∥AB ∴∵，∴∵，∴∽∴，即∵，∴∴∵，∴，∴∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形是平行四边形∴四边形是菱形【题文】已知抛物线与轴交于点A和点B（3，0），与轴交于点C（0，3），P是线段BC 上一点，过点P作PN∥轴交轴于点N，交抛物线于点M．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且△QMC和△PMC的面积相等，求点Q的坐标；（3）如果，求tan∠CMN的值．【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）点Q的坐标为（；（3）2.【解析】试题分析：（1）将B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，求得b、c的值，即可得该抛物线的表达式；（2）设直线BC的解析式为，把点C(0，3)，B(3，0)代入，求得直线BC的解析式为，即可得P（2，1），M（2，3）所以，设△QCM的边CM上的高为h，则，可得，即可得Q点的纵坐标为1，所以解得，即可得点Q的坐标为（；（3）过点C作，垂足为H，设M，则P，因为，可得，由此可得，解得，即可得点P 的坐标为（，所以M，求得，所以.试题解析：（1）将，代入，得解得∴抛物线的表达式为（2）设直线BC的解析式为，把点C(0，3)，B(3，0)代入得，解得∴直线BC的解析式为∴P（2，1），M（2，3）∴，设△QCM的边CM上的高为h，则∴∴Q点的纵坐标为1，∴解得∴点Q的坐标为（（3）过点C作，垂足为H设M，则P∵，∴，∴解得，∴点P 的坐标为（∴M∴，∴点睛：本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线、直线的解析式，三角形面积计算，方程思想，以及分类思想，综合性较强，有一定的难度．【题文】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．（1）当PA=1时，求CE的长；（2）如果点P在边AB的上，当⊙P与以点C为圆心，CE为半径的⊙C内切时，求⊙P的半径；（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE∥CF时，求AP的长．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】试题分析：(1)作PH⊥AC，垂足为H，由垂径定理可得AH=DH，由cosB= BC=3，可得AB=5，AC=4，再由PH∥BC，可得，代入数据求得PH= ，即可求得，由，代入数据求得CE的长即可；（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，可得点D在AC的延长线上，过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，，，，根据，代入数据可得，解得，因⊙P与⊙C内切,即可得，所以，即，解得，（舍去），即当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为；（3）先证明四边形PDCF是平行四边形，可得PF=CD，再分当点P在边AB的上和当点P在边AB的延长线上两种情况求AP的长.试题解析：（1）作PH⊥AC，垂足为H，∵PH过圆心，∴AH=DH∵∠ACB=90°，∴PH∥BC，∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4∵PH∥BC，∴，∴，∴∴∴DC=，又∵，∴，∴（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，∴点D在AC的延长线上过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，，，∵，，…（1分）∵⊙P与⊙C内切,∴∴∴,∴，（舍去）∴当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为．（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∠A=∠PDA，∴∠ABC=∠PEC∵∠ABC=∠EBP，∴∠PEC=∠EBP，∴PB=PE∵点Q为线段BE的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF=CD当点P在边AB的上时，，当点P在边AB的延长线上时，，综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．点睛：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中．。
2022松江数学初三一模答案解析
2022年上海市松江区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列代数式中，归类于分式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、不是分式，故本选项错误；B、是分式，故本选项正确；C、不是分式，故本选项错误；D、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆．2．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．x3+3＝0D．x4+4＝0【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．【解答】解：A、≥0，因而方程一定无解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；C、x3+3＝0，则x＝﹣，故选项正确；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．故选：C．【点评】本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．3．（4分）函数y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据k的取值范围确定﹣k﹣1的符号，从而确定一次函数不经过的象限．【解答】解：∵k＞0∴﹣k＜0，∴﹣k﹣1＜0∴y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象经过一、三、四象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响．4．（4分）某餐饮公司为一所学校提供午餐，有10元、12元、15元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占50%、30%、20%，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（）A．12元、12元B．12元、11元C．11.6元、12元D．11.6元、11元【分析】根据平均数的计算公式和该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数所占的百分比，列式计算即可；根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：这一天该校师生购买盒饭费用的平均数是：10×50%+12×30%+15×20%＝11.6（元）；中位数是10和12的平均数，则（10+12）÷2＝11（元）；故选：D．【点评】此题考查了加权平均数和中位数，注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．5．（4分）如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD为菱形的是（）A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC C．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OAD【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OAB＝∠ACD，∵∠OAB＝∠OAD，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D．【点评】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．【分析】因为﹣4y×3y＝﹣12y2，﹣4y+3y＝﹣y，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．故答案是：（x﹣4y）（x+3y）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．8．（4分）方程的解是x＝1．【分析】先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案．【解答】解：，两边平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，左边＝，方程无意义，当x2＝1时，左边＝右边＝0，则原方程的解是x＝1；故答案为：x＝1．【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验．9．（4分）函数的定义域是x≥0且x≠2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥0且x≠2．故答案是：x≥0且x≠2．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（4分）如果反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么y1＞y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），可知点A，B在第一象限，根据k＞0时，反比例函数在每个象限内，y随着x增大而减小，可得y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．11．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是．【分析】列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：红红白白红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（白，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）﹣﹣﹣所有等可能结果数为12种，其中两个球颜色不同的情况数有8种，则概率P＝＝．故答案为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．（4分）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示：每天出次品的个数0234天数3241那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是．【分析】根据所给出的数据线求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（2×2+3×4+4×1）÷10＝2，这组数据的方差是：[3（0﹣2）2+2（2﹣2）2+4（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是；故答案为：．【点评】此题考查了标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根．13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是250（15﹣x）+80x＝2900．【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟，骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程．【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，根据题意得出：250（15﹣x）+80x＝2900．故答案为：250（15﹣x）+80x＝2900．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是2900米”列出方程．14．（4分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝（用向量、表示）．【分析】由正六边形的性质可得＝，求出，再由是的相反向量，可得出答案．【解答】解：连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴FE＝OD，∴＝，∴＝+＝+，∴＝﹣＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，及向量的加减运算法则．15．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，那么S△DEB：S△EBC＝．【分析】根据BD＝2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴DE：BC＝1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴S△DBE：S△EBC＝＝＝，故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．16．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE ＝5，OF＝1，那么CD＝．【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，根据垂径定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30°，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2，EF＝，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，∴CD＝2DF＝10﹣2．故答案为：10﹣2．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在边BC上，且BD＝4，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于．【分析】过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，根据三角形的面积列出方程可得BC•AG＝2×DC•EF，就可以求出EF的值，证明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性质得出，求出CE 的值从而得出结论．【解答】解：过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，∴EF∥AG．∵AB＝AC＝10，∴BG＝CG＝BC＝6．在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8．∵DC＝BC﹣BD，∴DC＝12﹣4＝8．∵S△ABC＝2S△EDC，∴BC•AG＝2×DC•EF，∴×12×8＝2××8•EF，即EF＝6．∵EF∥AG，∴△CEF∽△CAG，∴，∴，即EC＝，∴AE＝10﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明△CEF∽△CAG是解题的关键．18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE 交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为．【分析】过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，设AF＝x，在Rt△ABF 中，tan∠B＝，可求得BF＝CF＝2x，再利用勾股定理求出AB＝AC＝x，在Rt △CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，即可求得DE＝，结合勾股定理可得CD＝＝，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，进而可得出答案．【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BF＝CF．设AF＝x，在Rt△ABF中，tan∠B＝，∴BF＝CF＝2x，∴AB＝AC＝x，在Rt△CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，∵CE＝，∴DE＝，∴，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，∴．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】根据负整数指数幂与分母有理化得到原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2，然后去括号和进行乘法运算后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2＝2﹣﹣2﹣+3﹣2＝﹣2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．20．（10分）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．【分析】分别解每个不等式，再根据不等式组的解集求出整数解即可．【解答】解：由第一个不等式，得5x≥5，解得x≥1，由第二个不等式，得2（x﹣1）﹣（x+2）＞3x﹣12，整理，得2x＜8，解得x＜4，∴不等式的解集为1≤x＜4，数轴图表示解集：所以整数解为1，2，3．【点评】本题考查一元一次不等式组解法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．21．（10分）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若，求点C点坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，根据平行线分线段成比例定理得出B点的坐标，进一步利用线段成比例得出CD，即可确定C点的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；∴，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为：；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，∴BE∥CD，∴＝＝，又∵AD＝6，∴AE＝4，ED＝2，将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），∴BE＝2，又∵BE∥CD，∴，∴CD＝3∴C点坐标为（4，0）．【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得线段的长度是解题的关键．22．（10分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE：EA＝12：5，设BE＝12x，则EA＝5x，由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，解得，x＝2，则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠F AH＝，∴AH＝≈18，∴BF＝18﹣10＝8，答：BF至少是8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．（1）求证：∠ECA＝∠ABC；（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出结论；（2）先证四边形FBDE是平行四边形，再证∠CBF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ECA＝∠ABC；（2）∵∠ECA＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ECF＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∴BD＝EF，∴四边形FBDE是平行四边形，∵AF＝AB＝AC，∴∠AFB＝∠ABF，∠ABC＝∠ACB，∵∠AFB+∠ABF+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠CBF＝90°，∴平行四边形FBDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tan∠OAB＝3，抛物线y＝x2+mx+3经过A、B两点，顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积；（3）将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足∠ACP＝∠ABO，求点P的坐标．【分析】（1）根据tan∠OAB＝3，求得点A的坐标，代入y＝x2+mx+3即可求得抛物线解析式；（2）由旋转可得出C（4，1），再求出抛物线顶点D（2，﹣1），利用勾股定理及其逆定理可得∠ADC＝90°，根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求得答案；（3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+3经过点B，∴B（0，3），∴OB＝3，∵＝tan∠OAB＝3，∴OA＝1，∴A（1，0），将A（1，0）代入抛物线y＝x2+mx+3，得1+m+3＝0，解得：m＝﹣4，′∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．（2）∵将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，得到△O′AC，∴∠AO′C＝∠AOB＝∠OAO′＝∠BOC＝90°，O′A＝OA＝1，O′C＝OB＝3，∴C（4，1），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD＝＝，CD＝＝2，，∵AD2+CD2＝10，AC2＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC＝，且∠BAC＝90°，∴，即四边形ABCD的面积为7．（3）当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝42﹣4×4+3＝3，可知抛物线y＝x2﹣4x+3经过点（4，3），∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点C（4，1），∴平移后得抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+1；①若点P在x轴上方时，作CP∥x轴，交抛物线于P点，易证∠ACP＝∠ABO，∴点P与点C关于抛物线y＝x2﹣4x+1的对称轴直线x＝2对称，∴P（0，1）；②若点P在x轴下方时，如图2，作AC的中垂线，与x轴交与E点，联结CE并延长，交抛物线y＝x2﹣4x+1于P点，根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACP，∵O′C∥x轴，∴∠CAE＝∠ACO′＝∠ABO，∴∠ACP＝∠ABO，作CH⊥x轴，垂足为H，则CH＝1，AH＝OH﹣OA＝3，设AE＝x，则CE＝x，EH＝3﹣x，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴1+（3﹣x）2＝x2，解得，∴AE＝，∴OE＝OA+AE＝1+＝，∴E（，0），设直线CE的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，∴x2﹣4x+1＝x﹣2，解得：x1＝4（舍去），x2＝，当x＝时，y＝x2﹣4x+1＝（）2﹣4×+1＝，∴P（，﹣），综上所述，满足条件得P点坐标为（0，1）或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键．25．（14分）如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．【分析】（1）连接OC，利用圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理解得即可；（2）连接AC，利用垂径定理和勾股定理解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法，分①当DF＝OF时，②当DF＝OD＝2时两种情况解答：利用平行线分线段成比例定理，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线是解题的关键．。
2024届上海市松江区初三一模数学试题及答案
上海市松江区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，属于二次函数的是（）.A 2y x ；.B 2y x ；.C 221y x x ；.D 22y x．2.在Rt ABC 中，已知90C ，A ，BC a ，那么AB 的长为（）.A sin a；a；；．3..A 1,0 ．4..A //a5.矩形.A 4；.C 16256.1A 、点B 的和之比等于k ．对于结论①和②，下列说法正确的是（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①和②都错误；.D ①和②都正确．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若12y x ，则yx y．8.A 、B 两地的实际距离250AB 米，画在地图上的距离''5A B 厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是．9.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x，三月份的印书量为y万册，那么y关于x的函数解析式是．10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP，如果5AB ，那么AP ．11.在直角坐标平面中，将抛物线 212y x，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是．12.如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式：．13.如图，一辆小车沿着坡度为1:2.4的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为米．14.如图，15.如图，DF16.如图，2:317.在ABC中，AB AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，如果OBC是等边三角形，那么tan ABC．18.如图，在矩形ABCD中，2AB ，3BC ，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在'B处，联结'BB、'CB，若'90BB C，则'BB ．第18题图第20题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）二次函数2y ax bx c （0a ）的图像上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表．（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D 的坐标；（2）如果该二次函数图像与y 轴交于点A ，点 5,P t 是图像上一点，20.如图，//EF AB ，3AD ，（1）（2）已知：如图，在ABC 中，15AB ，14BC ，4sin 5B ，AD BC 于D ．（1）求AC 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，求cot EBC 的大小．22.如图，处，这时在A 求A 、第22题图第23题图第24题图已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，BDC DEC ．（1）求证：ADE ACD ∽；（2）求证：22CD AEBC AC．24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）的图像经过原点 0,0O 、点 1,3A a ，此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且ADC 的正切值为2，求a 的值；（3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结PA ，如果点P 在y 轴上，//PA x 轴，且EPA CBO ，求新抛物线的表达式．第25题图第25题备用图25.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC 中，AC BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB ．（1）如图，如果点D 在AC 的延长线上．①求证：DE BD ；②联结CE ，如果//CE BD ，2CE ，求EF 的长．（2）如果:1:2DF DE ，求:AE EB 的值．数学第1页共4页2023学年度第一学期九年级期末数学练习卷参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B 2.A3.C4.D5.B6.D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.13；8.1:5000；9.250(1)y x ；10.52；11.2(2)y x ；12.2y x （答案不唯一）；13.2501314.34 m n ；15.2；16.12；17.；18.125.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：（1）∵图像过（0,3）、（4,3）∴该二次函数图像的对称轴为直线x =2,∴顶点坐标为D （2，-1），设该二次函数的解析式为2(2)1y a x ，∵当x =1时，y =0，∴0=a -1，得a =1.∴二次函数的解析式为2(2)1y x ，顶点D 的坐标为（2，-1）.(2)当x =5时，y =8,∴点P （5,8）,当当x =0时，y =3，∴A （0,3）分别过点P ,D 作y 轴的垂线，垂足分别为点B 、点C ，则16325922PBCD S梯形（）12442ACD S△;1255522ABP S △∴6325415.22APDS △20．解：（1）∵DE ∥BC ,∴AD AEBD EC∵AD =3,BD =9,∴31.93 AE EC ∵EF ∥AB ,∴1.3AE BF EC FC （2）∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △∽△∴2(ADE ABC S AD S AB△△，∵△ABC S =16，∴21(.164ADE S △ 1.ADE S △同理可得23(.164EF C S △∴9.EFC S △(第19题图)(第20题图)数学第2页共4页∴1619 6.BFED S 21．解：(1)∵AD ⊥BC,AB =15，4sin 5B，∴AD =15sin B=12.∴BD =9，∵BC =14，∴CD =5∴AC =13(2)联结BE ,过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ∵E 为AC 的中点EH ∥AD ，∴.EH EC CH ADACCD∴EH =6,CH =DH =2.5，∴BH =11.5∴cot ∠EBC =11.523.612BH EH 22（本题满分10分）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .∵∠C =30°，AC =200，∴AH =12AC =100∵AM ⊥AC ，∠BAM =15°∴∠BAC =105°,∠ABC =45°∴AB=°141sin 45AH 米答：A 、B 之间的距离约为141米.23.证明：（1）∵∠BDC =∠DEC∴∠ADC =∠AED∵∠A =∠A ∴△ADE ∽△ACD(2)∵DE ∥BC ∴∠EDC =∠DCB∵∠BDC =∠DEC ∴△BDC ∽△CED ∴22 △△CDE BDC S CD S BC ∵DE ∥BC ∴△△CDE BDC S DES BC, DE AEBC AC∴22CD AE BC AC24.解（1）∵抛物线2(0)y ax bx+c a 的图像经过原点O （0,0）、点A （1，3a ），∴3c =0a b c a∴2b ac =0(第22题图)（第23题图）AD BCE数学第3页共4页∴抛物线的表达式22 y ax ax ∵2122b a a a∴抛物线的对称轴是：直线x =-1（2）∵O （0,0）对称轴是直线x =-1∴D （-2,0）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，则AH =3a ，DH =3∴t a n∠ADC =323AH aDH ∴a =2（3）过点E 作EF ⊥P A ，垂足为F 当x =-1时，y =-a ，∴B （-1，-a ）∵P A ∥x 轴∴P （0,3a ）点B 到P 向右平移1个单位向上平移4a 个单位，∴PF =2,EF =4a ∵tan ∠CBO =1 OC BC a tan ∠EPA =422EF aaPF ∵∠EPA =∠CBO∴12, aa2a ∴新抛物线的表达式是222y x 25．（1）①∵2CD CF CB ∴CF CDCD CB又∵∠DCB =∠FCD ∴△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC ∵AC =BC ，∴∠A =∠CBA ∠DEB =∠A +∠EDA∠DBA =∠CBA +∠DBCB（第25题图）数学第4页共4页∴∠DEB =∠DBA ∴DE =BD （1）②∵CE ∥DB∴∠BDF =∠DEC又∵DB =DE ,∠DBF =∠EDC ∴△DBF ≌△EDC ∴CE =DF =2DE =DB =2+EF∵CE EF BD DF ∴222EFEF EF1（EF=1 舍去）（2）1º当点D 在AC 延长线上时过点D 作DH ∥AB 交BC 的延长线于点H∵DH ∥AB DF :DE =1:2∴DH =EB ∠H =∠HBA =∠A 又∵∠DBH =∠EDA BD =DE∴△BHD ≌△DAE∴DH =AE =EBAE :EB =12º当点D 在边AC 上时过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G同理△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC =∠EDA ∵∠CBA =∠CAB =∠E +∠EDA ∴∠E =∠DBA =∠GDB ∴DE =DB△BGD ≌△DAE∴DG =AE又∵DF :DE =1:2，13DG DF BE EF ∴AE :EB=13B（第25（2）题图）（第25题备用图）BE。
上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海松江区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【答案】D【解析】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．【题文】下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【答案】C．【解析】试题分析：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【答案】A．【解析】试题分析：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．考点：相似三角形的应用．【题文】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥∥ B． C． =－2 D． =2，=【答案】B．【解析】试题分析：A、∥∥则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、 =－2，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、 =2，=则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．考点：平面向量．【题文】如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC∴，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴，故D正确．∴C错误．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【题文】如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B．【解析】试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】已知，则的值为．【答案】．【解析】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵，∴b=a，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：（﹣3）﹣（+2）=．【答案】．【解析】试题分析：根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．考点：平面向量．【题文】已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．【答案】k＜1．【解析】试题分析：由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．考点：二次函数的性质．【题文】把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．【答案】y=（x﹣4）2．【解析】试题分析：直接根据“左加右减”的原则进行解答即可，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．【答案】8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8．考点：解直角三角形．【题文】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【答案】．【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，考点：平行线分线段成比例．【题文】已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】试题分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可，当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】x=2．【解析】试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，考点：二次函数的性质．【题文】在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．【答案】2．【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长，∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2．考点：三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【题文】在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）【答案】5+5．【解析】试题分析：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【答案】．【解析】试题分析：设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．考点：线段垂直平分线的性质．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．【答案】4．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．考点：旋转的性质；解直角三角形．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析：原式====．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【题文】如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】略【解析】试题分析：（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．试题解析：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【考点】*平面向量．【题文】如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）25．【解析】试题分析：（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE 段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【答案】略【解析】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【考点】二次函数综合题．【题文】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【考点】四边形综合题．。
2021届松江区中考数学一模
第一学期九数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知13a b =，那么aa b +的值为（ ）（A ）13； （B ）23； （C ）14； （D ）34．2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+； （C ）(1)1y x x =--； （D ）21y x=． 3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ） （A ）5sin α； （B ）5sin α； （C ）5cos α； （D ）5cos α． 4．已知非零向量、、a b c ，在下列条件中，不能判定∥a b 的是（ ）（A ）,∥∥a c b c ； （B ）2,3a c b c ==； （C ）5a b =-； （D ）2a b =．5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（A ）3； （B ）2.5； （C ）2.4； （D ）2．6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知线段a ＝4，b =1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c = ．8．在比例尺是1:15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离 是 千米．9．如果抛物线2y a x x=++-的开口向下，那么a的取值范围是．(2)110．如果一个斜坡的坡度1:3i=，那么该斜坡的坡角为度．11．已知线段AB=10，P是AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP= ．12．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG= ．13．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=4，CE=6，BD=3，那么BF= ．14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5,12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．已知抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=1，那么f(2) f(4)．（填“>”或“<”）16．把抛物线2=向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2,3），那么平移后的抛物线的表达式y x是．17．我们定义：关于x的函数22=+=+（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y ax bx y bx ax与22=+=+是互为交换函数．如果函数2y x bx=+与它的交换函数图像顶点关于x轴对称，23443与y x x y x x那么b= ．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD:AE的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，每题各5分）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B （0,3），顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式； （2）求∠OBM 的正切值.20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF ∥AB ，2CF ADFA DB==． （1）设，AB a AC b ==．试用、a b 表示AE ；（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积． 21．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =25，BC =4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ．（1）求线段BF 的长； （2）求AE ：EC 的值． 22．（本题满分10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3 1.72 1.4≈≈）．，23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2BD AD BC=⋅．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2CD BE BC=⋅．24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ．（1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．参考答案：1、C ；2、C ；3、A ；4、D ；5、C ；6、B ；7、2；8、300；9、a <-2；10、30；11、5-；12、83；13、152；14、513；15、>；16、21y x =-；17、-2；18。
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=2，以点A 为圆心，AD 的长为半径的圆交BC 边于点E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2213π--B ．2212π--C ．2222π--D ．2214π--2．函数y ＝ax 2与y ＝﹣ax+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置大致如图所示，O 为原点，则下列关系式正确的是( )A ．a ﹣c ＜b ﹣cB ．|a ﹣b|＝a ﹣bC ．ac ＞bcD ．﹣b ＜﹣c4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）A ．27分钟B ．20分钟C ．13分钟D ．7分钟5．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-6．已知一次函数y ＝﹣12x+2的图象，绕x 轴上一点P （m ，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），则m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．27．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列四个几何体，正视图与其它三个不同的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜1；②a ﹣b+c ＜1；③b+2a ＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③10．（2016福建省莆田市）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的选项是（ ）A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC=ODC ．∠OPC=∠OPD D ．PC=PD11．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．2312．下列计算中，正确的是（ ） A ．a•3a=4a 2 B ．2a+3a=5a 2 C ．（ab ）3=a 3b 3D ．7a 3÷14a 2=2a二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是______．14．数据：2，5，4，2，2的中位数是_____，众数是_____，方差是_____． 15．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表： 人数 1 2 3 4 5 10 次数15825101720那么跳绳次数的中位数是_____________.16．江苏省的面积约为101 600km 1，这个数据用科学记数法可表示为_______km 1． 17．如图，在菱形ABCD 中，AE DC ⊥于E ，AE 8cm =，2sinD 3=，则菱形ABCD 的面积是______．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D=30°，CD=4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 组别 成绩（分）频数（人数） 频率 一2 0.04 二10 0.2 三14 b 四a 0.32 五80.16请根据表格提供的信息，解答以下问题：本次决赛共有 名学生参加；直接写出表中a= ,b= ;请补全下面相应的频数分布直方图；若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为 ．20．（6分）菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．21．（6分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？22．（8分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？23．（8分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：x(万元) 1 2 2.5 3 5y A(万元) 0.4 0.8 1 1.2 2信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y B＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．(1)求出y B与x的函数关系式；(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？24．（10分）某单位为了扩大经营，分四次向社会进行招工测试，测试后对成绩合格人数与不合格人数进行统计，并绘制成如图所示的不完整的统计图．（1）测试不合格人数的中位数是．（2）第二次测试合格人数为50人，到第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，若这两次测试的平均增长率相同，求平均增长率；（3）在（2）的条件下补全条形统计图和扇形统计图．25．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ． （2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =． （3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ． 所以：线段________就是所求的线段x ． ①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=u u u r u r ，试用向量πu r 表示向量DB uuu r．26．（12分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD ＝1米，∠A ＝27°，求跨度AB 的长(精确到0.01米).27．（12分）解分式方程：21133x x x-+=--． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B 【解析】 【分析】先利用三角函数求出∠BAE=45°，则，∠DAE=45°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EAD 进行计算即可． 【详解】解：∵AE=AD=2，而，∴cos ∠BAE=AB AE =2，∴∠BAE=45°，∴，∠BEA=45°．∵AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA=45°，∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EAD 12﹣2452360π⋅⋅1﹣2π． 故选B ． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 2．B 【解析】A 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a ->，∴0a <，所以A 错误； B 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以B 正确；C 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以C 错误；D 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以D 错误．故选B ．点睛：在函数2y ax =与y ax b =-+中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关. 3．A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定出a ，b ，c 的范围，判断即可． 【详解】由数轴上点的位置得：a ＜b ＜0＜c ，∴ac＜bc，|a﹣b|＝b﹣a，﹣b＞﹣c，a﹣c＜b﹣c.故选A．【点睛】考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键．4．C【解析】【分析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．【详解】解：设反比例函数关系式为：kyx=，将（7，100）代入，得k=700，∴700yx =，将y=35代入700yx =，解得20x=；∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．【点睛】本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．5．A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A正确；y=2x2–2的对称轴为x=0，B错误；y=–2x2–2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x–2）2的对称轴为x=2，D错误．故选A．1．6．C【解析】【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为y=-12x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．【详解】∵一次函数y＝﹣12x+2的图象，绕x轴上一点P（m，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣12x﹣1，在一次函数y＝﹣12x+2中，令y＝1，则有﹣12x+2＝1，解得：x＝4，即一次函数y＝﹣12x+2与x轴交点为（4，1）．一次函数y＝﹣12x﹣1中，令y＝1，则有﹣12x﹣1＝1，解得：x＝﹣2，即一次函数y＝﹣12x﹣1与x轴交点为（﹣2，1）．∴m＝242-+＝1，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基础题，难度不大．7．D【解析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面的，左面看得到的图形:几何体的左视图是：．故选D.8．C【解析】【分析】根据几何体的三视图画法先画出物体的正视图再解答.【详解】解：A、B、D三个几何体的主视图是由左上一个正方形、下方两个正方形构成的，而C选项的几何体是由上方2个正方形、下方2个正方形构成的，故选：C．【点睛】此题重点考查学生对几何体三视图的理解，掌握几何体的主视图是解题的关键.9．C【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜1，故本选项正确；③由抛物线的开口向下知a＜1，∵对称轴为1＞x=﹣＞1，∴2a+b＜1，故本选项正确；④对称轴为x=﹣＞1，∴a、b异号，即b＞1，∴abc＜1，故本选项错误；∴正确结论的序号为②③．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞1；否则a＜1；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞1；否则c＜1；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．10．D【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．11．B【解析】考点：概率公式．专题：计算题．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．故选B．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）="m" /n ．12．C【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则进行判断即可.【详解】解：A 、a•3a=3a 2，故原选项计算错误；B 、2a+3a=5a ，故原选项计算错误；C 、（ab ）3=a 3b 3，故原选项计算正确；D 、7a 3÷14a 2=12a ，故原选项计算错误； 故选C ．【点睛】本题考点：同底数幂的混合运算.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．258或5或1． 【解析】【分析】根据以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形分类讨论即可．【详解】解：如图（1）当在△ADE 中，DE=5，当AD=DE=5时为等腰三角形，此时m=5.(2)又AC=5，当平移m 个单位使得E 、C 点重合，此时AE=ED=5,平移的长度m=BC=1,(3)可以AE 、AD 为腰使ADE 为等腰三角形，设平移了m 个单位：则223(m-4)+，AD=m ，得：2223(m-4)=m +，得m=258, 综上所述：m 为258或5或1， 所以答案：258或5或1． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论的完整性.14．2 2 1.1．【解析】【分析】先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；找出这组数据中最多的数则是众数；先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]进行计算即可．【详解】解：把这组数据从小到大排列为：2，2，2，4，5，最中间的数是2，则中位数是2；众数为2；∵这组数据的平均数是(2+2+2+4+5)÷5=3，∴方差是：15[(2−3)2+(2−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=1.1.故答案为2，2，1.1.【点睛】本题考查了中位数、众数与方差的定义，解题的关键是熟练的掌握中位数、众数与方差的定义.15．20【解析】分析：根据中位数的定义进行计算即可得到这组数据的中位数.详解：由中位数的定义可知，这次跳绳次数的中位数是将这25位同学的跳绳次数按从小到大排列后的第12个和13个数据的平均数，∵由表格中的数据分析可知，这组数据按从小到大排列后的第12个和第13个数据都是20，∴这组跳绳次数的中位数是20.故答案为：20.点睛：本题考查的是怎样确定一组数据的中位数，解题的关键是弄清“中位数”的定义：“把一组数据按从小到大的顺序排列后，若数据组中共有奇数个数据，则最中间一个数据是该组数据的中位数；若数据组中数据的个数为偶数个，则最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数”.16．1.016×105【解析】【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂,【详解】解：101 600=1.016×105 故答案为：1.016×105 【点睛】本题考查科学计数法，掌握概念正确表示是本题的解题关键.17．296cm【解析】【分析】根据题意可求AD 的长度，即可得CD 的长度，根据菱形ABCD 的面积=CD×AE ，可求菱形ABCD 的面积．【详解】∵sinD=23AE AD ＝ ∴823AD ＝ ∴AD=11∵四边形ABCD 是菱形∴AD=CD=11∴菱形ABCD 的面积=11×8=96cm 1．故答案为：96cm 1．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键．18．43π【解析】【分析】连接半径和弦AE ，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE 和BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为OA=OB ，所以△OBE 的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．【详解】如图，连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=12AB=2， ∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE=2120211·36022AE BE π⨯-⨯=4142233 343ππ-⨯⨯=-，故答案为43 3π-．【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.【解析】试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.试题解析：（1）2÷0.04=50（2）50×0.32=16 14÷50=0.28（3）（4）（0.32+0.16）×100%=48%考点：频数分布直方图20．3m=-．【解析】【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−(2m−1)，AO∙BO=m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．【详解】解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根， 设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，在Rt AOB V 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∴222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=， 由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∴[]()22(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵>0∆，∴()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∴3m =-．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21． (1)4元/瓶．(2) 销售单价至少为1元/瓶．【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y 元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶， 依题意，得：81002x +＝3×1800x，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．设销售单价为y元/瓶，依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2100，解得：y≥1．答：销售单价至少为1元/瓶．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．原计划每天种树40棵．【解析】【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【详解】设原计划每天种树x棵,实际每天植树(1+25%)x棵，由题意，得1000 x −1000+%x （125）=5，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解.答：原计划每天种树40棵.23．(1)y B=－0.2x2+1.6x（2）一次函数,y A=0.4x（3）该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润7.8万元【解析】【分析】（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx求解即可；（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值【详解】解：(1)y B=－0.2x2+1.6x,（2）一次函数,y A=0.4x,（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15－x）万元，投资两种产品共获利W万元，则W=（－0.2x2+1.6x）+0.4（15－x）=－0.2x2+1.2x+6=－0.2(x－3)2+7.8,∴当x=3时,W最大值=7.8,答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润7.8万元.24．（1）1；（2）这两次测试的平均增长率为20%；（3）55%．【解析】【分析】（1）将四次测试结果排序，结合中位数的定义即可求出结论；（2）由第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，可求出第四次测试合格人数，设这两次测试的平均增长率为x，由第二次、第四次测试合格人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论；（3）由第二次测试合格人数结合平均增长率，可求出第三次测试合格人数，根据不合格总人数÷参加测试的总人数×100%即可求出不合格率，进而可求出合格率，再将条形统计图和扇形统计图补充完整，此题得解．【详解】解：（1）将四次测试结果排序，得：30，40，50，60，∴测试不合格人数的中位数是（40+50）÷2＝1．故答案为1；（2）∵每次测试不合格人数的平均数为（60+40+30+50）÷4＝1（人），∴第四次测试合格人数为1×2﹣18＝72（人）．设这两次测试的平均增长率为x，根据题意得：50（1+x）2＝72，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），∴这两次测试的平均增长率为20%；（3）50×（1+20%）＝60（人），（60+40+30+50）÷（38+60+50+40+60+30+72+50）×100%＝1%，1﹣1%＝55%．补全条形统计图与扇形统计图如解图所示．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、扇形统计图、条形统计图、中位数以及算术平均数，解题的关键是：（1）牢记中位数的定义；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据数量关系，列式计算求出统计图中缺失数据．25．①CD ；②平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③94DB π=-u u u r u r . 【解析】【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证OAC OBD ∆∆∽得OA AC OB BD =，即94BD AC =，从而知999DB CA AC 444π==-=-u u u r u u u r u u u r u r ． 【详解】①∵//BD AC ，∴OA ：AB=OC ：CD ，∵OA a =，AB b =，OC c =，::a b c x =，∴线段CD 就是所求的线段x ，故答案为：CD ②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例； ③∵4OA =、5AB =，且//BD AC ，∴OAC OBD ∆∆∽， ∴OA AC OB BD =，即49AC BD=， ∴94BD AC =， ∴999444DB CA AC π==-=-u u u r u u r u u u r u r ． 【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及向量的计算．26．AB≈3.93m ．【解析】【分析】想求得AB 长，由等腰三角形的三线合一定理可知AB ＝2AD ，求得AD 即可，而AD 可以利用∠A 的三角函数可以求出．【详解】∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，又∵CD ＝1米，∠A ＝27°，∴AD ＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB ＝2AD ，∴AB≈3.93m ．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形，等腰三角形等知识，关键利用了正切函数的定义求出AD ，然后就可以求出AB ．27．2x =．【解析】试题分析：方程最简公分母为(3)x -，方程两边同乘(3)x -将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．试题解析：方程两边同乘(3)x -，得：213x x --=-，整理解得：2x =，经检验：2x =是原方程的解．考点：解分式方程．。
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．若2＜2a -＜3，则a 的值可以是（ ） A ．﹣7B ．163C ．132D ．123．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a 亿元和b 亿元，则a 、b 之间满足的关系式为（ ） A ． B ．C ．D ．4．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a+b ＜0B ．a ＞|﹣2|C ．b ＞πD ．0ab< 6．一次函数y=kx+k （k≠0）和反比例函数()0ky k x=≠在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知3x+y ＝6，则xy 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．68．如图，//AB CD ，CE 交AB 于点E ，EF 平分BEC ∠，交CD 于F . 若50ECF ∠=，则CFE ∠ 的度数为（ ）A ．35oB ．45oC ．55oD ．65o9．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）A ．30厘米、45厘米；B ．40厘米、80厘米；C ．80厘米、120厘米；D ．90厘米、120厘米 10．不等式的最小整数解是（ ） A ．－3B ．－2C ．－1D ．211．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示： 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件）25303650288商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）A ．52°B ．38°C ．42°D ．60°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．若关于x 的方程111m xx x ----=0有增根，则m 的值是______． 14．如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正六边形，内接正方形的一边，BC 是圆内接n 边形的一边，则n 等于_____．15．函数y=13x -1x -x 的取值范围是_____．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标______．17．已知a 2+1=3a ，则代数式a+1a的值为 ． 18．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①△DFP ～△BPH ；②33FP DF PH CD ==；③PD 2=PH•CD ；④ABCD31=3BPD S S ∆-正方形，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）解分式方程：2322xx x+--=1 20．（6分）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价(元/只) 售价(元/只) 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯3550()1求甲、乙两种节能灯各进多少只？()2全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？21．（6分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：组别身高A x＜160B 160≤x＜165C 165≤x＜170D 170≤x＜175E x≥175根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的身高众数在组，中位数在组；（2）样本中，女生身高在E组的有人，E组所在扇形的圆心角度数为；（3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估让身高在165≤x＜175之间的学生约有多少人？22．（8分）在同一副扑克牌中取出6张扑克牌，分别是黑桃2、4、6，红心6、7、8.将扑克牌背面朝上分别放在甲、乙两张桌面上，先从甲桌面上任意摸出一张黑桃，再从乙桌面上任意摸出一张红心.表示出所有可能出现的结果；小黄和小石做游戏，制定了两个游戏规则：规则1：若两次摸出的扑克牌中，至少有一张是“6”，小黄赢；否则，小石赢.规则2：若摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时，小黄赢；否则，小石赢.小黄想要在游戏中获胜，会选择哪一条规则，并说明理由.23．（8分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．24．（10分）为了了解某校学生对以下四个电视节目：A《最强大脑》，B《中国诗词大会》，C《朗读者》，D《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：本次调查的学生人数为________；在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为________；请将条形统计图补充完整：若该校共有3000名学生，估计该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有多少名？25．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y2x2=+与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数ky(x0)x=>的图象交于点()M a,4．()1求反比例函数ky(x0)x=>的表达式；()2若点C在反比例函数ky(x0)x=>的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标．26．（12分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41,?3 1.73≈≈）27．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选D．【点睛】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形2．C【解析】【分析】根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项．【详解】a ＜3，解：∵22∴4＜a-2＜9，∴6＜a＜1．又a-2≥0，即a≥2．∴a的取值范围是6＜a＜1．观察选项，只有选项C符合题意．故选C．【点睛】考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法．3．C【解析】【分析】根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，即可得出a、b之间的关系式．【详解】∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，∴2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，∴2015年我省财政收为b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；故选C．【点睛】此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题．4．A【解析】分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，故选A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．D【解析】【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．【详解】a＝﹣2，2＜b＜1．A.a+b＜0，故A不符合题意；B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；C.b＜1＜π，故C不符合题意；D.ab＜0，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．6．C【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y 轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，故选C．7．B【解析】【分析】根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x2+6x，利用配方法求该式的最值．【详解】解：∵1x+y=6，∴y=-1x+6，∴xy=-1x2+6x=-1（x-1）2+1．∵（x-1）2≥0，∴-1（x-1）2+1≤1，即xy的最大值为1．故选B．【点睛】考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值．8．D【解析】分析：根据平行线的性质求得∠BEC的度数，再由角平分线的性质即可求得∠CFE 的度数.详解：50,//180130ECF AB CD ECF BEC BEC ∠=∴∠+∠=∴∠= 又∵EF 平分∠BEC ，1652CEF BEF BEC ∴∠=∠=∠=. 故选D.点睛：本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键. 9．C【解析】当60cm 的木条与20cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm 与120cm ； 当60cm 的木条与30cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm 与80cm ； 当60cm 的木条与40cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm 与45cm ； 所以A 、B 、D 选项不符合题意，C 选项符合题意， 故选C. 10．B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可. 【详解】 ∵， ∴，∴，∴不等式的最小整数解是x=-2.故选B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 11．B 【解析】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：C．点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．12．A【解析】试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．考点：平行线的性质．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】去分母得，m-1-x=0.∵方程有增根，∴x=1, ∴m-1-1=0, ∴m=2.14．12【解析】连接AO，BO，CO,如图所示：∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB=36060o=60°，∠AOC=3604o=90°，∴∠BOC=30°，∴n=36030oo=12，故答案为12.15．x≥1且x≠3【解析】【分析】根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．【详解】根据二次根式和分式有意义的条件可得：1030,x x -≥⎧⎨-≠⎩解得：1x ≥且 3.x ≠故答案为：1x ≥且 3.x ≠【点睛】考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.16．（2，2）．【解析】【分析】连结OA ，根据勾股定理可求OA ，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B 的坐标．【详解】如图，连结OA ，OA ＝2234+＝5，∵B 为⊙O 内一点，∴符合要求的点B 的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．【点睛】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA 的长． 17．1【解析】【分析】根据题意a 2+1=1a ，整体代入所求的式子即可求解.【详解】∵a 2+1=1a ，∴a+1a =2a a +1a =2a 1a+=3a a =1． 故答案为1．18．①②③【解析】【分析】依据∠FDP=∠PBD ，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP ∽△BPH ；依据△DFP ∽△BPH，可得FP DF PH BP ==BP=CP=CD，即可得到FP DF PH CD ==；判定△DPH ∽△CPD ，可得PH PD PD PC=，即PD 2=PH•CP ，再根据CP=CD ，即可得出PD 2=PH•CD ；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积﹣△BCD的面积，即可得出BPD ABCD S S =正方形． 【详解】∵PC=CD ，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD ，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP ∽△BPH ，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan ∠DCF=DF CD = ∵△DFP ∽△BPH ，∴FP DF PH BP ==， ∵BP=CP=CD ，∴3FP DF PH CD ==，故②正确； ∵PC=DC ，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP ，而∠DPH=∠CPD ，∴△DPH ∽△CPD ，∴PH PD PD PC=，即PD 2=PH•CP ， 又∵CP=CD ，∴PD 2=PH•CD ，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×32=23，PM=PC•sin30°=2，∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=12×4×23+12×2×4﹣12×4×4=43+4﹣8 =43﹣4，∴314BPDABCDSS-=正方形，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．x=1【解析】【分析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】化为整式方程得：2﹣3x=x﹣2，解得：x=1，经检验x=1是原方程的解，所以原方程的解是x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．()1甲、乙两种节能灯分别购进40、60只；()2商场获利1300元．【解析】【分析】（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可．【详解】（1）设商场购进甲种节能灯x 只，购进乙种节能灯y 只，根据题意，得30353300x 100x y y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得 4060x y =⎧⎨=⎩， 答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只．（2）商场获利()()4040306050351300(=⨯-+⨯-=元)，答：商场获利1300元．【点睛】此题是二元一次方程组的应用，主要考查了列方程组解应用题的步骤和方法，利润问题，解本题的关键是求出两种节能灯的数量．21．（1）B ，C ；（2）2；（3）该校身高在165≤x ＜175之间的学生约有462人．【解析】【分析】根据直方图即可求得男生的众数和中位数，求得男生的总人数，就是女生的总人数，然后乘以对应的百分比即可求解．【详解】解：（1）∵直方图中，B 组的人数为12，最多，∴男生的身高的众数在B 组，男生总人数为：4+12+10+8+6=40，按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C 组，∴男生的身高的中位数在C 组，故答案为B ，C ；（2）女生身高在E 组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%，∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∴样本中，女生身高在E 组的人数有：40×5%=2（人），故答案为2；（3）600×10840++480×（25%+15%）=270+192=462（人）． 答：该校身高在165≤x ＜175之间的学生约有462人．【点睛】考查频数（率）分布直方图, 频数（率）分布表, 扇形统计图, 中位数, 众数，比较基础，掌握计算方法是解题的关键.22．（1）：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（2）小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法，列举所有的可能情况即可；（2）分别求出至少有一张是“6”和摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时的概率，进行选择即可.【详解】（1）所有可能出现的结果如下：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（1）摸牌的所有可能结果总数为9，至少有一张是6的有5种可能，∴在规划1中，P （小黄赢）59=； 红心牌点数是黑桃牌点数的整倍数有4种可能， ∴在规划2中，P （小黄赢）49=. ∵5499>，∴小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1. 【点睛】考查列举法以及概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比. 23．解：（1）AF 与圆O 的相切．理由为：如图，连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ．∴∠OCP=90°．∵OF ∥BC ，∴∠AOF=∠B ，∠COF=∠OCB ．∵OC=OB ，∴∠OCB=∠B ．∴∠AOF=∠COF ．∵在△AOF 和△COF 中，OA=OC ，∠AOF=∠COF ，OF=OF ，∴△AOF ≌△COF （SAS ）．∴∠OAF=∠OCF=90°．∴AF 为圆O 的切线，即AF 与⊙O 的位置关系是相切．（2）∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF=∠COF ．∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12AC ，OE ⊥AC ． ∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1．∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245． ∴AC=2AE=． 【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ．试题解析：（1）连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA=90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC=OA ，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF 和△OCF 中，{32OA OCOF OF=∠=∠=，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF=∠OCF ，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴=∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=1×AE，解得：AE=125，∴AC=2AE=245．考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．24．（1）120；（2）54；（3）答案见解析；（4）1650.【解析】【分析】(1)依据节目B的数据，即可得到调查的学生人数；(2)依据A部分的百分比，即可得到A部分所占圆心角的度数；(3)求得C部分的人数，即可将条形统计图补充完整；(4)依据喜爱《中国诗词大会》的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱《中国诗词大会》的学生数量．【详解】()16655%120÷=，故答案为120；()18236054120⨯=，故答案为54；()3C：12025%30⨯=，如图所示：()4300055%1650⨯=，答：该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有1650名．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．25．（1）y=4x（1）（1，0）【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k 的值即可；（1）根据平行四边形的性质得到BC∥AD且BD＝AD，结合图形与坐标的性质求得点D的坐标．【详解】解：（1）∵点M（a，4）在直线y=1x+1上，∴4=1a+1，解得a=1，∴M（1，4），将其代入y=kx得到：k=xy=1×4=4，∴反比例函数y=kx（x＞0）的表达式为y=4x；（1）∵平面直角坐标系中，直线y=1x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴当x=0时，y=1．当y=0时，x=﹣1，∴B（0，1），A（﹣1，0）．∵BC∥AD，∴点C的纵坐标也等于1，且点C在反比例函数图象上，将y=1代入y=4x，得1=4x，解得x=1，∴C（1，1）．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD 且BD=AD ，由B （0，1），C （1，1）两点的坐标知，BC ∥AD ．又BC=1，∴AD=1，∵A （﹣1，0），点D 在点A 的右侧，∴点D 的坐标是（1，0）．【点睛】考查了反比例函数与一次函数交点问题．熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，难度适中．26．5.5米【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中表示出AD ，在Rt △BCD 中表示出BD ，再由AB=4米，即可得出关于x 的方程，解出即可.【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中，∠CAD=30°，则33在Rt △BCD 中，∠CBD=45°，则BD=CD=x. 3x ﹣x=4， 解得：)x 231 5.531==≈-. 答：生命所在点C 的深度为5.5米.27．（1）y=x2+2x ﹣3；（2）258；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用抛物线的对称性确定出点B 的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x-1），将点D 的坐标代入求得a 的值即可；（2）过点E 作EF ∥y 轴，交AD 与点F ，过点C 作CH ⊥EF ，垂足为H ．设点E （m ，m 2+2m-3），则F （m ，-m+1），则EF=-m 2-3m+4，然后依据△ACE 的面积=△EFA 的面积-△EFC 的面积列出三角形的面积与m 的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE 的最大值即可；（3）当AD 为平行四边形的对角线时．设点M 的坐标为（-1，a ），点N 的坐标为（x ，y ），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x 的值，然后将x=-2代入求得对应的y 值，然后依据2y a +＝052+，可求得a 的值；当AD 为平行四边形的边时．设点M 的坐标为（-1，a ）．则点N 的坐标为（-6，a+5）或（4，a-5），将点N 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 的值．试题解析：(1)∴A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴B(－3，0)，设抛物线的表达式为y ＝a(x ＋3)(x －1)，将点D(－4，5)代入，得5a ＝5，解得a ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)过点E 作EF ∥y 轴，交AD 与点F ，交x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥EF ，垂足为H.设点E(m ，m 2＋2m －3)，则F(m ，－m ＋1)． ∴EF ＝－m ＋1－m 2－2m ＋3＝－m 2－3m ＋4.∴S △ACE ＝S △EFA －S △EFC ＝12EF·AG －12EF·HC ＝12EF·OA ＝－12 (m ＋32)2＋258. ∴△ACE 的面积的最大值为258； (3)当AD 为平行四边形的对角线时：设点M 的坐标为(－1，a)，点N 的坐标为(x ，y)．∴平行四边形的对角线互相平分，∴12x -+＝()142+-，2y a +＝052+， 解得x ＝－2，y ＝5－a ，将点N 的坐标代入抛物线的表达式，得5－a ＝－3，解得a ＝8，∴点M 的坐标为(－1，8)，当AD为平行四边形的边时：设点M的坐标为(－1，a)，则点N的坐标为(－6，a＋5)或(4，a－5)，∴将x＝－6，y＝a＋5代入抛物线的表达式，得a＋5＝36－12－3，解得a＝16，∴M(－1，16)，将x＝4，y＝a－5代入抛物线的表达式，得a－5＝16＋8－3，解得a＝26，∴M(－1，26)，综上所述，当点M的坐标为(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形．。
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届松江区中考数学一模及
答案
Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am
松江区2017学年第一学期九年级质量调研考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知13
a
b =，那么
a
a b
+的值为（ ） （A ）13
； （B ）23； （C ）14； （D ）3
4．
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+； （C ）(1)1y x x =--； （D ）2
1
y x =． 3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角
为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ） （A ）
5sin α； （B ）5sin α； （C ）5cos α
； （D ）5cos α． 4．已知非零向量、、a b c ，在下列条件中，不能判定∥a b 的是（ ）
（A ）,∥∥a c b c ； （B ）2,3a c b c ==； （C ）5a b =-； （D ）2a b =．
5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于 （A ）3； （B ）； （C ）； （D ）2．
6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．
（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知线段a＝4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c= ．
8．在比例尺是1:的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离
是千米．
9．如果抛物线2
=++-的开口向下，那么a的取值范围是．
y a x x
(2)1
10．如果一个斜坡的坡度1:3
i=，那么该斜坡的坡角为度．
11．已知线段AB=10，P是AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP= ．
12．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG= ．
13．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=4，CE=6，BD=3，那么BF= ．
14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5,12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．
15．已知抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=1，那么f(2) f(4)．（填“>”或“<”）
16．把抛物线2
=向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2,3），那么平移后的抛物线
y x
的表达式是．
17．我们定义：关于x的函数22
y ax bx y bx ax
=+=+（其中a≠b）叫做互为交换函数．如
与
22
2
=+与它的交换函数图像顶点关于x
y x bx
=+=+是互为交换函数．如果函数2
3443
与
y x x y x x
轴对称，那么b= ．
18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD:AE的值为．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分，每题各5分）
如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，
二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B
（0,3），顶点
为M ．
（1）求该二次函数的解析式； （2）求∠OBM 的正切值.
20．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF ∥AB ，
2CF AD
FA DB
==． （1）设，AB a AC b ==．试用、a b 表示AE ；
（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积．
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，AB =AC =25，BC =4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ． （1）求线段BF 的长； （2）求AE ：EC 的值．
22．（本题满分10分）
某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH 为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3 1.72 1.4
≈≈）．
，
23．（本题满分12分，每小题6分）
已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2
=⋅．
BD AD BC
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2
=⋅．
CD BE BC
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2
=++的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交
y x bx c
于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．
（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；
（2）当AE:EP=1:2时，求点E的坐标；
（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．
参考答案：
1、C；
2、C；
3、A；
4、D；
5、C；
6、B；
7、2；
8、300；
9、a<-2；10、30；11、
555
-；12、8
3
；13、
15
2
；14、
5
13
；15、>；16、21
y x
=-；17、-2；18、22
3。
19、（1）243
y x x
=-+；（2）1
2
；20、（1）
21
33
AE a b
=+；（2）4；21、（1）5；（2）
5;22、秒超速；23、略；24、（1）223
y x x
=--；（2）E（1,4）；（3）t=4；25、（1）
22
CD=；（2）
32
CP=；（3）
32552
或或
CP=。