2010-2011考研数学一真题及解析(打印版)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) 1. （10年，4分） 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A ) 1. (B ) e . (C ) a be -. (D ) b ae-.【考查分析】“1∞”型极限的计算. 【详解】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).2. （10年，4分） 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A ) x . (B ) z . (C ) x -. (D ) z -. 【考查分析】隐函数偏导数的计算. 【详解】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''．选（B ）. 3. （10年，4分） 设,m n 是正整数,则反常积分()20ln 1mnx dx x-⎰的收敛性 ( )(A ) 仅与m 的取值有关. (B )仅与n 的取值有关.(C ) 与,m n 取值都有关. (D ) 与,m n 取值都无关. 【考查分析】判断反常积分的敛散性. 【详解】0x =与1x =都是瑕点.应分成()()()22211212ln 1ln 1ln 1mm mnnnx x x xxx---=+⎰⎰,用比较判别法的极限形式,对于()2120ln 1m nx x-,由于121012[ln (1)]lim 1mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim m x nx x+→-存在,此时()2120ln 1m n x x -实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).【评注】(1)当210m m-≥时，⎰是定积分.(2) 0,0αβ∀>>,有lim ln 00x x x βα+=→. 4. （10年，4分） ()()2211limnnn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A )()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B ) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C )()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D ) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. 【考查分析】利用积分和式求极限. 【详解】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. 【评注】本题易认为是二重积分或误认为逐次极限.实际上,对i 求和时与j 无关,对j 求和时与i 无关,所以这是一道两个和得乘积的极限题.5. （10年，4分） 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A ) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B ) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C ) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D ) 秩()r A n =,秩()r B n =. 【详解】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A .6. （10年，4分） 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A ) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C ) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【考查分析】对称矩阵相似于对角矩阵.【详解】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 【评注】看清题目,说清每个已知条件的作用.即可得出结论.7. （10年，4分） 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A ) 0. (B )12. (C ) 112e --. (D ) 11e --. 【考查分析】本题主要考查分布函数的概念及随机事件概率的计算.已知分布函数,【详解】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C). 【评注】已知分布函数,求随机事件的概率是基本题,但需注意题中的随机变量既不是离散型也不是连续型.由于分布函数在1x =处不连续,故利用{1}(1)(10)P X F F ==--来计算.8. （10年，4分） 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A ) 234a b +=. (B ) 324a b +=. (C ) 1a b +=. (D ) 2a b +=. 【详解】根据题意知,()2212x f x e π-=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) 9. （10年，4分） 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == . 【详解】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx == 10. （10年，4分）2π=⎰.【考查分析】用变量变换与分部计算定积分.【详解】t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法,原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.11. （10年，4分） 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.【详解】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122x x dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12. （10年，4分） 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .【详解】()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdzdxdydz d rdr dzd r rdrππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r drπθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. 13. （10年，4分） 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = . 【详解】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.14. （10年，4分） 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = . 【考查分析】随机变量的数学期望,方差.泊松分布的期望,方差. 【详解】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 【评注】22()EX DX EX =+,所以应求X 的期望与方差,而X 的分布{},0,1,2,!CP X k k k === 的C 是待定常数.不难看出这是一个泊松分布. 三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. （10年，10分）(本题满分10分)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． 【考查分析】求常系数线性非齐次微分方程的通解. 【详解】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． 16. （10年，10分）(本题满分10分)求函数()()2221x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值.【考查分析】对变限求导数,划分单调区间,求极值. 【详解】 因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .【评注】(1)求()f x 的单调性区间就是求()f x '的正负号区间.增减或增减区间的分界点就是极值点.上述方法就是求出()f x ',然后分出()f x '的正负号区间,从而得到()f x 的增减区间,相应地得到()f x 的极值点.这里就不必去求驻点处得()f x ''.(2)若题目只要求()f x 的极值,我们也可以221()2x t f x x e dt -'=⎰后,解得驻点0x =,1x =±,然后再求驻点处的二阶导数.由于201(0)20t f e dt -''=<⎰,⇒11(0)(1)2f e -=-为极大值.由于1(1)40f e -''±=>,⇒(1)0f ±=为极小值.17. （10年，10分）(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. 【详解】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()1111001ln ln ln 1nnn t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.18. （10年，10分）(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.【考查分析】求幂级数的收敛域及和函数. 【详解】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++,所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-. (II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-,故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.【评注】幂函数在收敛域上可以逐项积分,但逐项求导只能先在收敛区间进行.在逐项求导后，在另行讨论端点处是否成立。
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
考研数学一真题解析-2010
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限= (A)1 (B) (C)(D)【考点分析】：考察1∞型不定性极限。
【求解过程】：⏹ 方法一：利用求幂指型极限的一般方法：I =lim x→∞[x 2x−a x+b ]x=lim x→∞ex ln x 2(x−a )(x+b)归结为求222lim ln()()lim ln 11()()lim 1()()()lim ()()x x x x x w x x a x b x x x a x b x x x a x b a b x abx x a x b a b→∞→∞→∞→∞=-+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦-+=⋅-+=- 因此，I =e a−b ，选C 【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有：()()ln ()lim ()ln ()lim ()lim g x g x f x g x f x f x e e ==⏹ 方法二：利用第二个重要极限求解22()lim ()()lim lim 11()()()()()lim 1()()x xx x x xa b x abx x a x b x a bx x I x a x b x a x b a b x ab e x a x b e →∞→∞→∞-+⋅-+→∞-⎡⎤⎡⎤⎛⎫==+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-+-+⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎡⎤-+=+=⎢⎥-+⎣⎦=2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦e ea b-eb a-【基础回顾】：一般地，对于1∞型极限，均可利用第二个重要极限求解： 设lim ()1f x =，lim ()g x =∞，则()()()lim(()1)()lim ()lim 1()1g x g x f x g x f x f x e⋅-⋅=+-⎡⎤⎣⎦=(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则= (A) (B) (C)(D)【考点分析】：隐函数求导 【求解过程】：⏹ 方法一：全微分法 方程(,)0y z F x x=两边求全微分得：12()()0y z F d F d x x ''+=，即12220xdy ydx xdz zdxF F x x --''+= 整理得 12122yF zF F dz dx dy xF F '''+=-''所以，122yF zF z x xF ''+∂=∂'，12F z y F '∂=-∂'。
2010年考研数一试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
1、222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫==⎪-+⎝⎭()()2()()()()lim elim e a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()xxx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==（2）等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-'' 所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n⇒->-），故收敛；对于的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<12122ln (1)2(1)n m n mx x <-<-，而2112(1)m x dx -⎰显然收敛，故收敛。
2010年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ ） （A ）1 （B ）e （C ） a b e - （D ）b a e -（2）设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠。
则z zx y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z - （3）设m 、n为正整数，则反常积分0⎰的收敛性（ ）（A ）仅与m 有关 （B ）仅与n 有关 （C ）与 m 、n 都有关 （D ）与 m 、n 都无关 （4）2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（ ） （A ）1201(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（B ）11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ （C ）101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰（5）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）（A ）()()R A R B m == （B ）()R A m =，()R B n = （C ）()R A n =，()R B m = （D ）()()R A R B n ==（6）设A 是4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若()3R A =，则A 相似于（ ）（A ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （D ）1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 的分布函数为0,011(),02211,2x x F x x e x -⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，则{1}P X ==（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）112e -- （D ）11e -- （8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度函数，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度函数，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（0a >，0b >），则a ，b 满足（ ）（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设20ln(1)ttx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==（10）0π=⎰（11）已知曲线L 的方程为1y x =-（11x -≤≤），起点为(1,0)-，终点为(1,0)，则2Lxydx x dy +=⎰（12）设22{(,,)1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心坐标z =（13）若11210α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，21102α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3211a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若由123,,ααα形成的向量组的秩为2，则a =（14）设随机变量X 的分布为{}!CP X k k ==（0,1,2,...k =），则2EX = 三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。
2010年考研数学一真题及参考答案
2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限2lim ()()x x x x a x b ®¥æö=ç÷-+èø（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x x x x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bx e e x a x b ee eæöæö-ç÷ç÷ç÷ç÷-+-+èøèø®¥®¥®¥-+æö-+ç÷ç÷-+-+èø®¥®¥-æö==ç÷-+èø===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z zx y u y¶¶+=¶¶（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ¢¢¢¢¢¢+++++=， 所以有，1212x x z z F u F v z x F u F v ¢¢+¶=-¢¢¶+，1212yy z z Fu F v z y Fu F v ¢¢+¶=-¢¢¶+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x=，代入即可。
2010年考研数学一真题及参考答案
2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题 （1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x =，代入即可。
（3）、设,m n 是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有222111212ln (1)ln (1)ln (1)mmmnnnx x x dx dx dx xxx---=+⎰⎰⎰对于2120ln (1)m nx dx x-⎰的瑕点0x =，当0x +→时212ln (1)ln (1)mmn nx x x x--=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故2120ln (1)mn x dx x -⎰收敛；对于2112ln (1)m n x dx x -⎰的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2ln (1)2(1)m n m n m n x x x x -<-<-，而2112(1)m x d x -⎰显然收敛，故2112ln (1)mnx dx x-⎰收敛。
2011年考研数学(一)真题(含答案解析)
= −[ ∫ xf x ( x, y ) 1 0 dy − ∫ dy ∫ f x ( x, y ) dx ] = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = a
0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
D
20 解：
1) ∵ α 1 , α 2 , α 101 = 013 =1≠ 0 115 0 0 1 ∴ r (α 1 , α 2 , α 3 ) = 3
针方向，则曲线积分 xzdx + xdy +
∫
y2 dz = ___________ 2
13.若 二 次 曲 面 的 方 程 为 x 2 + 3 y 2 + z 2 + 2axy + 2 xz + 2 yz = 4 ， 经 正 交 变 换 化 为
y12 + 4 z12 = 4 ，则 a = _______________
因为用心，所以专业
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
18 证明：1）对任意正整数 n，都有 2）设 an = 1 + 3）
1 1 1 < ln(1 + ) < n +1 n n
1 1 + … + − ln n(n = 1,2, …) ,证明 {an } 收敛。 2 n
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2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0） 2. 设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===nk kn n n n aS a 1,2,1(,0lim）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f 4.设⎰⎰⎰===444cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A= A 21P P B 211P P- C 12P P D 112P P-6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为A 31,ααB 21,ααC 321,,αααD 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是A )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=A EUEVB EXEYC EUEYD EXEV二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=x x tdt y π的弧长s=____________10.微分方程x ey y xcos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________11.设函数⎰+=xydttt y x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x xF12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz yxdy xzdx13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15求极限11))1ln((lim -→+xex xx16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z17求方程0arctan=-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
18证明：1）对任意正整数n ，都有nnn 1)11ln(11<+<+2）设),2,1(ln n1211⋯=-+⋯++=n n a n,证明}{n a 收敛。
19已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分dxdyy x xy IDxy),("=⎰⎰⎰。
20.T )1,0,1(1=α，T)1,1,0(2=α，T)5,3,1(3=α不能由T a )1,,1(1=β，T)3,2,1(2=β，T)5,3,1(3=β线性表出，①求a ；②将1β，2β，3β由1α，2α，3α线性表出。
21.A为三阶实矩阵，2)(=A R ，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101101101101A（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A 。
22.1)(22==Y XP求：（1）（X ，Y ）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3）XY ρ 23.设n x x x ⋯,,21为来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本，其中0μ已知，02>σ未知，_x和2S 分别表示样本均值和样本方差。
1）求参数2σ的最大似然估计口2σ2）计算E(口2σ)和D(口2σ) 答案： CCABDDDB 填空题： 9.)21ln(+10x e y x sin -= 11 4 12π 131=a 14)(22σμμ+15解：原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(021]))1ln((1[lim e eexxx xxe x x x xxx exx x x xx x ===-++-+--+-+-+→→-16由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(='g)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx z x yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f y x z x g y x yg xy f y x yg xy f xz x ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂17解：）内。
，及（（），（别位于所以方程有三个根，分又因为极大值极小值即当所以因为显然令时，当令极大值为极小值为为极大点为极小点，所以，时，当时，当时，当得时，由即）当（所以方程只有一个根。
又因为单调减少，所以除去可能一点外时，即当令∞+-----∞--∞=+∞=>---<-+-->--->=>>='=-+=---=>>=-----+---=--=<'+∞-∈>'---∈<'---∞∈-±=='>>--∞=+∞=<'≤'≤≤-+--='-=+∞→-∞→+∞→-∞→1)1,1,1,)(lim,)(lim ,011arctan ,011arctan,011arctan),0(0)0()(,0arctan 2)(,0)0(,arctan )1(11arctan)(,01,1,11arctan,11arctan110)(),1(;0)()1,1(,0)()1,(,10)(1,012,)(lim,)(lim)(),0)((0)(1,01)1(11)(arctan )(x 222k k k k x f x f k k k k k k k k k t g t g t t t g g t t t k k k t g t k t k k k k k k k k x k x x f k x x f k k x x f k x k x x f k k x f x f x f x f x f k k x x k x f x x k x f x x x18证明：{}{}。
单调递减有界，故收敛单调递减即其中即应用中值定理，在n n n n n n n n n n a nn n n nn n n nn a a a a a a n n n n n n a a n n a nnn nnn nn nnx x f 01lnln )1ln(ln 1ln 2/3ln 2ln ln )11ln()211()111ln(12/11,01,111ln )1ln(11)1ln(112/11)2(11)11ln(1111,111111,101111ln )11ln()11ln(]1,0[)1ln()()1(1111>+=-+=-++⋯+-=-++⋯++++>+⋯++=<<-+<<-+=++-+=-+-++⋯++=<+<+<++<<+=-+=++=++++ξξξξξ19.解：adxdy y x f dx y x f dy dx y x f dy dy y x xf dxy x f x dy dy y x f y xdxx xf dyy x f y xdxdx x f x dy y x f y xdxI dy y x f y x f y y x f yd dy y x f y dy y x f y xdxdxdy y x f xy I Dx x x x x x xyx xy x xyDxyxy===--='-='-='-'=''='-'='=''''=''=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰),(),(]),(),([),(),()1,(),()1,(),(,),(),(),(),(),(),(11111101110110111111110111于是，20解：⎝⎛++=++=-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===<∴=∴≠==32113212321132132132132132132132132100024210002114210001000110132111110631010142321111410310101531321111511300101),,,)(250,3)(,,3),,(01531110101,,)1αααβαααβαααββββαααβββββββββααααααααα于是，，，解得，，于是，，线性表示，，，不能由又a r r 21.解： 1){{⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===∴<=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=+==001000100000010001,000010001,0212110002121),,Q ,010,10121,101212010000,32)(101101,1,1,,A 1011013213213210000332133212122112131313T13T2T Tx x x x Q Q A AQ Q r r r r r r A A x x x A A r A A 于是则（令单位化得：）解得即为实矩阵，所以有的特征向量的相应于为矩阵令故，向量为对应的线性无关的特征的特征值为，根据特征值向量的定义则，令αααλαλααλλαααααααααα 22.解：同理如图：，即,31)1,1(31)11()1,0()1(0)0,1()1,0()1,0(,0)(1)()12222===∴===+========-======≠⇒==Y X P Y X P Y X P Y P Y X P Y X P Y X P Y XP Y XP31)1,1()1(31)1,0()1,0()1,0()0,0()0(,31)1,1()1(101)2========+-==+==+=====-===-=-Y X P XY P Y X P Y X P Y X P Y X P XY P Y X P XY P Z 、、取值为,32,92,0,0,32)3======XY DY DX EXY EY EX ρ23.解：nnn D n n D xnxn xxD nxE nE nxE n xx nxn L d d xn n L ex f x f x f ni ini in i ini in i in i in i ini ini ini ix nnn ni i 42422221021022104120242212022212022120212022412022212022)(2122)ˆ(2)/ˆ())((D 2))((D ),(~)(2))(1(ˆD ,))(1(ˆ)(1).(~)(1)2(.)(102)(2ln 2)(ln 22lnln )2(1)()()(L )1(2120σσσσσσμσμχσμσμσσσσμσσσμσχμσμσσσμσσσμσπσπσμ====-==--=-==-==---==-+-=----=∑=⋯=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========-=则右式所以有因为于是所以因为的极大似然估计值得令取对数得，似然函数2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= (A)1 (B)e(C)e a b -(D)e b a -(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x y xy∂∂+∂∂= (A)x(B)z (C)x -(D)z -(3)设,m n 为正整数,则反常积分0dx ⎰的收敛性(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关(C)与,m n 取值都有关(D)与,m n 取值都无关(4)2211lim()()nnx i j nn i nj →∞==++∑∑=(A)12001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰(B)101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰(C)1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰(D)1121(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则 (A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B(D)秩(),n =A 秩()n =B(6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 的分布函数()F x =00101,21e 2xx x x -<≤≤->则{1}P X ==(A)0(B)1(C)11e2--(D)11e --(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf x00x x ≤> (0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b +=(B)324a b +=(C)1a b += (D)2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设2e ,ln(1),t tx y u du -==+⎰求220t d y dx== .(10)2π⎰= .(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0), 则曲线积分2Lxydx x dy +⎰= .(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T Tα=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!C P X k k k === 则2EX = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解. (16)(本题满分10分) 求函数221()()extf x x t dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较1ln [ln(1)]n t t dt +⎰与1ln (1,2,)n t t dt n =⎰ 的大小,说明理由.(2)记1ln [ln(1)](1,2,),nn u t t dt n =+=⎰求极限lim .n x u →∞(18)(本题满分10分)求幂级数121(1)21n nn xn -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xo y 面垂直,求P 点的轨迹,C并计算曲面积分,I ∑=⎰⎰其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分) 设11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解. (1)求,.a λ(2)求方程组=A x b 的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q 的第三列为0,.22T(1)求.A(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量()X Y +的概率密度为2222(,)e,,,x xy yf x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率分布为其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使31iii T a N==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.。