八年级下册第一章《三角形的证明》整章水平测试

八年级下册第一章《三角形的证明》整章水平测试.doc一、选择题 （每小题3分，共36分） 1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）． （A ）有两个角相等的三角形 （B ）有一个角为45o 的直角三角形 （C ）有两个角分别为50 与80 的三角形 （D ）有两个角分别为55 与65 的三角形2．已知一个三角形的任何一个角的角平分线都垂直于这个角所对的边，那么这个三角形是（ ）．（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形 3．请思考下列命题的逆命题：①对顶角相等；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；④两个全等直角三角形的面积相等．其中逆命题不正确的命题个数有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．如图1，在ABC ∆中，AB AC =，36A ∠= ，BD 、CF 分别是ABC ∠、BCD ∠的平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个5．如图2，ABC ∆是等边三角形，AD 是角平分线，ADE ∆是等边三角形，DE 与AB 相交于点F ．有下列结论：①AD BC ⊥；②E F D F =；③B E B D =．④120EBD ∠= ．其中正确的结论是（ ）．（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②③④ （D ）①③6．如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠= ，15B ∠= ，DE 垂直平分AB ，交AB 于D ，交BC 于点E ，4BE cm =，则AC 等于（ ）．DABCE 图1F图2ECBAD E ADBC图3（A ）3cm （B ）2.5cm （C ）2cm （D ）1.5cm 7．已知等腰ABC ∆的周长等于24cm ，且底边减去一腰长的差为3cm ，那么这个等腰三角形的底边长为（ ）．（A ）11cm （B ）10cm （C ）8cm （D ）7cm8．已知线段m 、n ，作一个等腰三角形，使两腰长为m ，底边长为n ，则下列说法中正确的是（ ）．（A ）能作出的等腰三角形只有一个 （B ）能作出的等腰三角形多于一个（C ）不能作出符合条件的等腰三角形（D ）能否作出符合条件的等腰三角形与m 、n 之间的大小有关9．如图4，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线DE 交AB 于D ，交BC 于E ；AC 的垂直平分线FH 交AC 于F ，交BC 于H ，若7BC cm =，则AEH ∆的周长为（ ）．（A ）12cm （B ）10cm （C ）9cm （D ）7cm10．如图5，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠= ，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E 点，则AE BE =∶（ ）． （A ）13∶ （B ）14∶ （C ）12∶ （D ）23∶11．如图6，在ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，BD 和CE 交于点H ，AH 的延长线交BC 于F ．则图中全等的直角三角形有（ ）．（A ）6对 （B ）5对 （C ）4对 （D ）3对12．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图7所示）．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，那么下列结论：①2249a b +=；②2b a -=；③452ab =；④a b +中，正确结论的个数有（ ）． （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个E 图5ABD 图4FDE BA ABCD EF 图6H 图7二、填空题(每小题3分，共18分)13．已知一个三角形一边上的中线和另一边上的高分别是这个三角形的对称轴，则这个三角形的形状是 ．14．下列图8的四个三角形中，若AB AC =，则其中能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 （填写序号即可）．15．有一个三角形的两边长分别为9和12，要使三角形为直角三角形，则第三边的长应为 ．16．如图9，AD ∥BC ，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于E ，若 1.8PE cm =，则AD 与BC 之间的距离为 ．17．如图10，ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠= ，7BC cm =，D 为BC 边上一点，DE AB ⊥于点E ，DF CA ⊥交CA 的延长线于点F ，则DE DF += ．18．如图11，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限的角平分线上，点P 在x 轴上，若以P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有 个．三、解答题（共46分）19．（6分）已知ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，123A B C ∠∠∠=∶∶∶∶，求证：223b a =．20．（7分）把两个含有45 角的直角三角板ABC 与CDE 按如图12的位置放置，其直角顶点C 重合，点D 在BC 上．连接BE ，AD ．AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF BE ⊥．图9PCBEDA FDA BCE 图10图12图84()3()2()1()CBAC BACB AC BA108o45o36o21．（7分）如图13，已知线段m ，n （m n >）．求作：Rt ABC ∆，使90C ∠= ，AB m =，BC n =（要求写出画法，画出图形，保留作图痕迹，不必证明）．22．（8分）如图14，已知AB AC =，AD BC ⊥于点D ，AD AE =，AB 平分DAE ∠交DE 于F ．（1）请写出图中三对全等的三角形； （2）选取其中的一对加以证明．23．（8分）如图15，BC AD ⊥于C ，AC BC =，点E 在BC 上，且AE BD =． （1）CE 与CD 相等吗？为什么？ （2）求证：EAB ED B ∠=∠．24．（10分）如图16，南北方向的直线MN 以西为我国的领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方向有一走私艇C 以13海里／时的速度向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B ．已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 测得它离C 艇的距离是12海里．若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？四、附加题（拓广探索与提升，20分）25．（10分）如图17，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，DE 平分ADB ∠交AB 于E ，且DE ∥BC ．（1）请写出图中所有的等腰三角形，并给予证明；图13n mFEA图14CB DE图15ABC D图16CB ANM（2）若90A ∠=o ，32AE =，求BC 的长．26．（10分）如图18，已知ABC ∆中BC 边的垂直平分线DE 与BAC ∠的平分线交于点E ，EF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，EG AC ⊥交AC 于点G ．求证：（1）BF CG =； （2）1()2AF AB AC =+．参考答案一、选择题13．等边三角形； 14．①、③、④； 15．15或；． 16．3.6cm ； 17．3.5cm ； 18．4个．三、解答题19．提示：设A x ∠=，2B x ∠=，3C x ∠=， 由23180x x x ++=o ．证ABC ∆为直角三角形． 再由2c a =，222a b c +=，证得223b a =．20．提示：在证()ACD BCE SAS ∆∆≌．得DAC EBC ∠=∠． 又由ADC BDF ∠=∠，得90BFD ACD ∠=∠= ．GDAB C图18F图17E DCBA∴AF BE ⊥．21．作法：如图2，1．作直线MN ，并在MN 上取一点C ， 2．过点C 作CE MN ⊥，垂足为C ， 3．在CM 上截取CB n =，4．以B 为圆心，m 的长为半径画弧，交CE 于点A ． 5．连接AB ．则Rt ABC ∆即为所求作的三角形．22．（1）解：写出的三对全等三角形不唯一．如ABD ACD ∆∆≌；AEF ADF ∆∆≌；ABE ABD ∆∆≌；BEF BDF ∆∆≌（任写三对即可）． （2）证明不唯一．具体选择证明略［以选择证明()ABD ACD HL ∆∆≌较为简便］．23．（1）解：CD CE =．理由如下： ∵BC AD ⊥，∴90ACB BCD ∠=∠=o ．在Rt ACE ∆和Rt BCD ∆中，,.AC BC AE BD =⎧⎨=⎩∴()Rt ACE Rt BCD HL ∆∆≌． ∴CD CE =．（2）证明：∵CD CE =，90ECD ∠=o ， ∴45CDE CED ∠=∠=o ．同理45CBA ∠=o ． ∴CBA CDE ∠=∠．由（1）知Rt ACE Rt BCD ∆∆≌，∴CEA CDB ∠=∠． ∴EAB CBA EDB CDE ∠+∠=∠+∠， ∴EAB ED B ∠=∠．24．解：设MN 交AC 于E ，∵走私艇C 在A 的正东方向，∴90BEC ∠= ．又∵22222251216913AB BC AC +=+===，∴ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠= ． ∵CE MN ⊥，∴走私艇C 进入我领海的最短距离是CE ． ∵22222AB AE BE BC CE -==-，13AE AC CE CE =-=-，图3NM∴22225(13)12CE CE --=-．解得14413CE =． ∵144130.8513÷≈（小时），0.856051⨯=（分）． ∵9时50分加51分等于10时41分，∴走私艇C 最早会在10时41分进入我国领海． 四、附加题（拓广探索与提升）25．（1）BED ∆、BDC ∆为等腰三角形． 证明：如图5，∵BD 平分ABC ∠，∴12∠=∠． 又∵DE 平分ADB ∠，∴34∠=∠． ∵DE ∥BC ，∴3C ∠=∠，24∠=∠． ∴1243C ∠=∠=∠=∠=∠． ∴BED ∆、BDC ∆为等腰三角形．（2）由（1）知143∠=∠=∠，又∵90A ∠=o ， ∴14390∠+∠+∠=o ． ∴3390∠=o ，∴330∠=o ． ∵32AE =，∴23DE AE ==． ∴3BE DE ==，39322AB AE BE =+=+=． 又∵330C ∠=∠=o ，∴29BC AB ==．即所求BC 的长为9． 26．证明：（1）连接EB ，EG ．∵AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥． ∴EF EG =．∵DE 垂直平分BC ，∴EB EC =．在Rt EFB ∆和Rt EGC ∆中，,.EF EG EB EC =⎧⎨=⎩∴()Rt EFB Rt EGC HL ∆∆≌． ∴BF CG =． （2）∵BF CG =，4321ABCDE图5∴AB AC AB AG CG AB AG BF AF AG +=++=++=+．在Rt AEF ∆和Rt AEG ∆中，,.AE AE EF EG =⎧⎨=⎩∴()Rt AEF Rt AEG HL ∆∆≌． ∴AF AG =．∴2AB AC AF AG AF AF AF +=+=+=． ∴1()2AF AB AC =+．。