人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总
八年级数学二次根式重点知识点大全
一、二次根式的概念与性质1.二次根式的定义：形如√a的式子称为二次根式，其中a≥0。
2.二次根式的性质：a)若a≥0，则√a≥0；b)若a≥b≥0，则√a≥√b；c)若a>b≥0，则√a>√b；d)若a≥0，则√(a²)=，a，其中，a，表示a的绝对值。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式的常用方法：a)提取因式法：将二次根式中的平方数作为因式提取出来；b)合并相同根号下的项：将根号内的同类项进行合并；c)利用平方公式：将二次根式作为平方差或平方和进行化简。
2.二次根式的四则运算：a)加减运算：合并同类项后，进行加减运算；b)乘法运算：利用分配律，进行乘法运算；c)除法运算：有理化分母，化为二次根式的形式，然后进行乘法运算。
三、含有二次根式的方程1.含有二次根式的方程的解法：a)平方意义法：将方程两边平方，去掉二次根式，解得方程的解；b)分离根号法：将方程中含有二次根式的项移到一边，不含二次根式的项移到另一边，然后平方消去二次根式；c)倒数意义法：将方程两边取倒数，再次运用平方意义法；d)降次法：将方程中的二次根式通过化简变为一次根式，然后解得方程的解。
2.二次根式的绝对值方程：a)若，√a，=√a，则√a为方程的解；b)若，√a，=-√a，则方程无解。
四、二次根式的应用1.二次根式的图像：a)当a>0时，图像为右开口的抛物线；b)当a=0时，图像为直线；c)当a<0时，图像为左开口的抛物线。
2.二次根式的应用：a)二次根式可以表示边长、面积等与几何相关的量；b)二次根式可以表示物质的含量、体积等与实际问题相关的量。
五、解二次根式的几种常用方法1.合并相同根号下的项，然后联立方程求解；2.代入法：将选项代入原方程，判断是否满足等式，找出符合条件的解；3.倒置法：将选项的倒数代入原方程，再运用倒数意义法求解；4.拆解法：将二次根式进行拆解，再利用等式的性质进行求解；5.分离根号法：将方程中含有二次根式的项移到一边，不含二次根式的项移到另一边，然后平方消去二次根式。
八年级下册数学二次根式笔记
八年级下册数学二次根式笔记
一、二次根式的定义
1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。
二、二次根式的性质和运算法则
1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。
2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。
3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。
4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。
三、二次根式的化简
1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。
4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。
四、二次根式的应用
1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。
2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。
五、练习与巩固
为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。
可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。
在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。
人教版八年级数学下册知识点总结
二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2；注意使用)0a ()a (a 2≥=.3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba ba >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (bab a >≥=；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a a 与，b a b a +-与，b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.勾股定理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是2图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．222a b c +=方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证：222a b c +=３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在∠=︒，则c=，CABC∆中，90b=，a=②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边a b c①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b+与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222+<，时，以a，b，c为三边的a b c三角形是钝角三角形；若222+>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；a b c②定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，ca b c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边a c b③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222+=中，a，b，c为正整数时，a b c称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总(超值哦)
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、-、1x y+x ≥0，y•≥0）．”；第二，被开方数是正数或0．知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例2．当x在实数范围内有意义？例3．当x11x+在实数范围内有意义？知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
的值．(2)=0，求a2004+b2004的值例4(1)已知y=，求xy知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例1 计算1．）22．（23．24． 2例2在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
初中数学 人教版八年级下学期期末知识点梳理(二次根式至一元二次方程)
八年级下期末复习知识点归纳二次根式知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个非负数 ； （2）()=2a a （a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式。
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．勾股定理知识点梳理：1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形. 变式：a cb cb ab ac 222222;;-=-=+=（2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．（3）利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点． 2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果三角形三边a, b, c 长满足c b a 222=+那么这个三角形是直角三角形.（1）满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、； 6、8、10； 5、12、13 等.（2）应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较. （3） 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.3、定理：经过人们的证明是正确的命题叫做定理。
八年级下册数学第一章二次根式
第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。
而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。
八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。
在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。
1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。
其中√b表示对b开平方的结果。
2√3和-5√8都是二次根式。
在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。
第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。
开方是指找出一个数的平方根。
对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。
2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。
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二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是
为二次根式的前提条件，如
，
，
等是二次根
式，而
，
等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1
x 、x （x>0）、0、42、-2、
1
x y
+、x y +（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
知识点二：取值范围
1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，
有意义，是二次根式，所
以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？
例3．当x 是多少时，23x ++1
1
x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式
（
）的非负性
（
）表示a 的算术平方根，也就是说，
（
）是一个非负数，即
0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是
0，所以非负数（
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是非负数的算术平
方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；
若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求
x
y
的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过
来应用：若，则，如：，.
例1 计算 1．（
32）2 2．（35）2 3．（56
）2
4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，
即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；
2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
（19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若2a=a ，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a 是什么数？（3）2a>a，则a 是什么数？
例3当x>2，化简2
(2)
x --2
(12)x
-．
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示
一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除
1、a b＝ab（a≥0，b≥0）ab=a·b（a≥0，b≥0）
2
a
b=
a
b（a≥0，b>0）
a
b=
a
b（a≥0，b>0）
（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）例1．计算
（1）57（2）
1
3
9（3927（4
1
2
6
例2 化简
（1916
⨯（21681
⨯（322
9x y（454
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1(4)(9)49
-⨯-=--
（2
12
4
25
25
12
25
25
12
25
25123
例4．计算：（1
12
3
（2
31
28
（3
11
416
（4
64
8
例5．化简：
（1
3
64
（2
2
2
64
9
b
a
（3
2
9
64
x
y
（4
2
5
169
x
y
例6．已知99
66
x x
x x
--
=
--
，且x为偶数，求（1+x）
2
2
54
1
x x
x
-+
-
的值．
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)
5
3
12
; (2) 2442
x y x y
+; (3) 23
8x y
4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；
(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝
对值，注意符号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②与；
③与；④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如818
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算（1818（216x64x
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（181822=（2+322
（216x64x x x=（4+8x x
例2．计算
（1）481
3
122）4820+（125
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2
9
3
x x+y
3
x
y
-（x
1
x
y
x
2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较125教学课题：湘教版音乐小学四年级下册第三课《春》第一乐章
授课人：石嘴山市第十六小学李新慧
课型：欣赏课
课时：第二课时
学生情况分析：
四年级大部分学生，对音乐课有着浓厚的兴趣。
而且，四年级学生生活范围和认知领域进一步发展，体验、感受与探究创造的活动能力增强，对音乐学习的渴求与期望也进一步增强了，但音乐欣赏课还是缺乏耐心的倾听，学生最喜欢律动与音乐活动，在这两个方面表现非常好，乐谱知识的学习，部分学生仍然不是很感兴趣。
由于学生生理及心理的发展特点，在教学中要运用各种手段，采取多种方式策略，充分调动学生学习的积极性，让学生在快乐中学习和掌握所学知识。
教学内容分析：
《春》是意大利作曲家维瓦尔第的作品，乐谱以回旋式写成。
主题生机蓬勃，充满了欢快的春天气息，插部旋律鲜明，整首乐谱春意盎然。
教参要求，通过本课的学习能够培养学生热爱大自然、热爱生活的情感。
了解曲式结构的知识，能用动作表现音乐。
教学方式与手段说明：
1、通过闭目聆听、充分想象、演唱主题、旋律舞动等形式参与体验音乐活动。
2、在情景情绪变化、体裁形式中渗透音乐要素的变化。
媒体选择：
电子白板技术
1、在第一张图片中插入了《春》的背景音乐，时长1分28秒；
2、。