山东大学电气学院电路课件：第七章(下)

δ、ω0 和ω 均决定于给定电路的参数。 均决定于给定电路的参数。
R 3） = 2 L/ C 或δ = ω0 ）
临界状态 ，特征根为 p1, 2 = −δ
uC ( t ) = ( A1 + A2 t )e − δ t duC |t = 0 + = 0 u 代入初始条件， 代入初始条件， C ( 0+ ) = uC ( 0− ) = U 0 ， dt 得到： 得到： A1 = U 0 ，A2 = δU 0
(2)
ap 2 + bp + c = 0
i) 特征根为两个不相等的实根 p1 、p2，通解为 特征根为两个不相等的实根
(3)
x′′ = A e p1t + A2e p2t 1
ii) 特征根为一对共轭复根 p1 = − δ + j ω ，p2 = − δ − j ω 其中 ω >0 ，通解为
x′′ = Ae−δ t sin(ω t +θ )
uL = Ldi L / dt ，得
+ LL uL –
d 2 uC duC LC 2 + RC + uC = 0 dt dt
将该方程写为： 将该方程写为：
d 2 uC duC 2 (1) + 2δ + ω 0 uC = 0 2 dt dt 其中， 其中， = R / 2 L, ω 0 = 1 / LC 表征了二阶电路的固有特性， δ 表征了二阶电路的固有特性，
duC U0 i = −C sin ω 0 t = ω0 L dt
uC、i、uL 都是不衰减的正弦振荡。 都是不衰减的正弦振荡。
R δ= 称为衰减系数； 称为衰减系数； 2L 1 ω0 = 称为谐振频率或无阻尼(R=0，ω0= ω )振荡频率； 称为谐振频率或无阻尼 ， 振荡频率； 振荡频率 LC
ω = ω 02 − δ 2 称为振荡角频率； 称为振荡角频率；
因而是决定二阶系统动态特性的重要参数。 因而是决定二阶系统动态特性的重要参数。
d 2 uC duC 2 + 2δ + ω 0 uC = 0 dt 2 dt
(1)式的特征方程为： 式的特征方程为： 式的特征方程为
2 p 2 + 2δ p + ω 0 = 0
(1)
( 2)
特征根为： 特征根为：
2 − δ ± δ ′， δ > ω 0 ，δ ′ = δ 2 − ω 0 2 2 = −δ ± δ − ω 0 = − δ， δ = ω0 − δ ± jω ， ω 0 > δ
uc零点：ωt = π-β，2π-β ... nπ-β 零点： β πβ πβ uc极值点：ωt =0， π，2π ... nπ 极值点： =0， π π t
0
ω0 − U0e−δt ω
uc U0 ic β 0 β π-β π
duc U0 −δ t ic = −C e sinωt = dt ωL
2π-β 2π πβ π t
R
C L
- C
L
特征根为为一对共轭复根 欠阻尼状态 ，特征根为为一对共轭复根 ，即 p1, 2 = −δ ± jω 故有 −δ t
2 ）R < 2 L/ C 或δ < ω0
uC ( t ) = Ae
sin(ωt + θ )
u 代入初始条件， 代入初始条件， C ( 0+ ) = uC ( 0− ) = U 0 , duC / dt t = 0 + = 0
解得
p2U 0 A1 = , p2 − p1 p1U 0 A2 = − p2 − p1
duc 由 i L = iC = − C dt duC 1 |t = 0 + = − i L ( 0 + ) = 0 dt C
U0 uC (t ) = ( p2e p1t − p1e p2t ) p2 − p1
注意到： 注意到： | p2 |>| p1 |，且p1，p2均为负数。 均为负数。 ，
+
得到：A sin θ = U 0, tan θ = ω / δ 得到：
2 应有图示直角三角形关系。 注意到： = ω 0 − δ 2 ，应有图示直角三角形关系。 注意到： ω
ω0 θ
−1
ω δ
ω0 uC ( t ) = U 0 e −δ t sin(ωt + θ ) ω
duC U 0 −δ t e sin ωt = i ( t ) = −C ωL dt di ω 0 uL ( t ) = L = U 0 e −δ t sin(ωt − θ ) dt ω
0 < ωt < β
R
+ +
β< ωt < π-β β
R
+
π-β < ωt < π β
R
L
- C
L
- C - C
L
ω0 uC ( t ) = U 0 e −δ t sin(ωt + θ ) ω ω0 uL ( t ) = U 0 e −δ t sin(ωt − θ ) ω
U 0 −δ t i(t ) = e sin ωt ωL
uC ( t ) = U 0 (1 + δ t )e − δ t duC U 0 −δ t i ( t ) = −C te = dt L di uL ( t ) = L = U 0 (1 − δ t )e −δ t dt
小结： 小结：
L R> 2 > 过 尼 非 荡 电 阻 ， 振 放 C
1 2
t
duc −U0 pt pt iC = −C = (e − e ) dt L(P − P) 2 1
1 2
t=0+ ic=0 , t=∞
ic=0
ic>0 t = tm 时ic 最大
③电感电压 uc ic 0 tm 2tm
U0
U0 Pt − PeP t ) uC = (Pe 2 1 P −P 2 1
零输入响应： 零输入响应： 显然， 显然，uC 、i 及uL 的波形具有 非振荡性质， 非振荡性质，所以临界状态是 电路发生振荡与非振荡的分界 线，这时的电阻 R = 2 L/ C 称为临界电阻， 称为临界电阻，并称电阻大于 小于） （小于）临界电阻的电路为过 阻尼（欠阻尼）电路。 阻尼（欠阻尼）电路。
uC ( t ) = A1e p1t + A2 e p2 t
将初始条件代入（ ）式得： 将初始条件代入（3）式得：
( 3)
要确定A1、A2，需要知道uC(0+) 要确定 需要知道 和duC/dt|0+。 已知 uC(0+)=uC(0–) =U0， iL(0+)= iL(0–) =0
A1 + A2 = U 0 p1 A1 + p2 A2 = 0
d2x dx a 2 +b + cx = 0 dt dt
(2)
的通解。通解决定于齐次方程的特征根， 的通解。通解决定于齐次方程的特征根，有三种可能 的情况。 的情况。
d2x dx a 2 +b + cx = 0 dt dt
方程(2)的通解x"的形式 方程(2)的通解 的形式: (2)的通解 的形式: 方程(2)的特征方程： 方程(2)的特征方程： (2)的特征方程
U0
uc , i , uL uc
2θ π 2π π
i
0
θ π-θ
t
uL
可见： uC ,i, uL的波形都呈现衰减振荡状态，在整个过程中，它 可见： 的波形都呈现衰减振荡状态，在整个过程中， 们将周期性地改变方向，储能元件周期性地交换能量， 们将周期性地改变方向，储能元件周期性地交换能量，电 阻则始终处于耗能状态直至过程结束。 阻则始终处于耗能状态直至过程结束。 0 < ωt < θ 电容 电感 电阻 释放 吸收 消耗
方程(1)的解可写为: 方程(1)的解可写为: (1)的解可写为
(1)
x = x ′ + x ′′ x′ x ′′
方程(1)的特解，决定于激励的变化规律，即所谓的强 方程(1)的特解，决定于激励的变化规律， (1)的特解 制分量，在直流和交流暂态分析中就是电路的稳态解； 制分量，在直流和交流暂态分析中就是电路的稳态解； 方程(1)对应齐次方程的通解 方程(1)对应齐次方程的通解 , 即方程 (1)
iii) 特征根为两个相等的实根 p1= p2 = p ，通解为
x′′ = ( A + A2t)e pt 1
7-5 二阶电路的零输入响应
电路无激励作用(零输入 ，电路方程为齐次方程： 电路无激励作用 零输入)，电路方程为齐次方程： 零输入
d2x dx a 2 +b + cx = 0 dt dt
电路的解只有自由分量(暂态分量 x ′′ 电路的解只有自由分量 暂态分量) 暂态分量
ω ω0 θ = tan ; A= U0 δ ω
ω0 uc是 振 以± U0为 线 指 衰 的 弦 数 其 幅 包 依 数 减 正 函 。 ω
t=0时 uc=U0 时
uc U0
ω0 uc = U0e−δ t sin(ωt + β ) ω
ω0 U0e−δt ω
π-β β π 2π-β 2π πβ π
θ < ωt < π- θ
释放 释放 消耗
π- θ < ωt < π 吸收 释放 消耗
若R=0（δ =0）为无损情况，特征根 p1, 2= ± jω0 ，θ = π/2 （ ）为无损情况， 此时的零输入响应为： 此时的零输入响应为：
uC ( t ) = uL ( t ) = U 0 cos ω 0 t
1 2
+ C uL t R