二次函数复习课学案
二次函数复习学案
二次函数复习(一)知识点归纳：1．二次函数的定义：一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数．(其中x 是自变量，c b a ,,分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项)2．二次函数解析式的三种形式：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y3．)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征：（1）a 决定了抛物线的形状与大小：其中a 的正负决定其开口方向；||a 越大图象相对开口越小．（2 c b a ,,共同决定了抛物线在坐标系中的位置，其中顶点坐标为：)44,2(2ab ac a b --，对称轴为：直线ab x 2-=，图象在y 轴的截距为c ．4．待定系数法求二次函数解析式：（已知函数类型时，求函数解析式的方法）(二) 例题分析例1．考查二次函数的定义：（1）若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．（2）函数)1(x x y -=的二项式系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 ．（3）已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2的图像经过原点，则m 的值是 ．例2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像特征：（1） 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2例3 考查函数、方程、不等式之间的关系：（1）抛物线y=x 2+6x+8与y 轴交点坐标（ ）（A ）（0，8） （B ）（0，-8） （C ）（0，6） （D ）（-2，0）（（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠（a ）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（b ）写出不等式20ax bx c ++>的解集． （c ）写出y 随x 的增大而减小的自变量x的取值范围．（d ）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（3）．如图，是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围______________．例4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的最值： （1）二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是（2）抛物线()y x =-+23212的顶点坐标是（ ）A. （2，1）B. （-21，）C. 231，⎛⎝ ⎫⎭⎪D. -⎛⎝ ⎫⎭⎪231， （3） 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与接受概念所用时间x （单位：min ）之间满足()y x x x =-++≤≤0126430302..．y 值越大，表示接受能力越强．①x 在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x 在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？②第10 min 时，学生的接受能力是多少？③第几分钟时，学生的接受能力最强？例5．考查用待定系数法求二次函数的解析式：（1）已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
二次函数复习学案
课题：二次函数总编号：NO.20课型：复习课授课人：王德文单位：山东省高密市银鹰文昌中学一、复习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
二、需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
三、课前自我构建：完成以下复习内容：1、二次函数的定义：_____________________________________2、二次函数的图象与性质：二次函数的图象是一条__________。
以下从它们的顶点，对称轴、开口方向，增减性及最值方面记住各自的性质：(1)二次函数y=ax2的性质：顶点坐标为__________(2)二次函数y=a(x-h)2+k的性质：顶点坐标为__________(3)二次函数y=ax2+bx+c的性质：顶点坐标为__________3.对于二次函数y=a(x-x1)(x-x2)，它的图象的对称轴是___________，其中的x1 x2表示的意义是______________________________________。
4.对于二次函数y=ax2+bx+c的符号问题：a的符号看_____________；c的符号看________________；b的符号看________________，b2-4ac的符号看_________________________；a+b+c看_____________________；a-b+c看_____________________________。
九年级数学下二次函数复习学案苏科版
二次函数复习学案◆复习要求1．二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、抛物线平移以及增减性．2．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用3．利用抛物线性质解决与之有关的生活实际问题．4．能解决抛物线与直线、相似三角形、圆等综合性问题．◆典型例题【例1】（1）抛物线y=－3+（x+1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x______时，y•随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值X围是_______，当x_______时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；当k_____时，抛物线与x轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有（）．A．5个B．4个C．3个D．2个（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例2】（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．【例3】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰好是水面中心，OA=，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（2）若水池喷出的水流线形状与（1）相同，水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？（精确到）◆课堂作业1、如图，点A（－1，0），B（4，0）在x轴上，以AB为直径的半圆P交y轴于点C．（1）求经过A、B、C3点的抛物线的解析式；（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连结AD并延长半圆P于点E，AC与EC相等吗？证明你的结论；（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=12AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求这条直线的解析式；若不存在，请说明理由．2、如图，已知：m、n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．◆课后巩固（一）1．抛物线y=13（x－2）2－3与x轴的交点坐标是_______．2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y轴的负半轴相交，请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x，y的值：x …－2 －1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 …则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______．4．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a－b+c>0；⑤4a+2b+c<0．正确的个数是（）．A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（）．A．y=－ax2+bx+c B．y=－ax2－bx+cC．y=－ax2－bx－c D．y=－ax2+bx－c6．已知抛物线y=3x2－2x+a与x轴有交点，则a的取值X围是（）．A．a<13B．a≤13C．a≤－13D．a≥137．已知抛物线y=12x2+x－52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．8．如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6m，宽度OM为12m，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求脚手架三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．◆课后巩固（二）1．已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A（c，－2），对称轴是直线x=3，则其解析式为________．2．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图象如图1所示，那么该抛物线在y•轴的右侧与x轴的交点的坐标是________．3．已知：二次函数的图象过点（0，3），图象向右平移3个单位后的对称轴是y轴，向下平移2个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为________．4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点P的横坐标是4，图象与x轴交于点A（m，0）和点B，且m>4，那么AB的长为（）．A．8－2m B．2m－8 C．m+4 D．m5．已知二次函数y=－2x2+2kx－3的顶点在x轴的负半轴上，则k的值等于（）．A．6 B．－6 C．6D．－66．如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46m，水位上升3m就达到警戒水位线CD，这时水面宽4m3，若洪水到来时，水位以每小时的速度匀速上升，则水过警戒线后淹到拱桥顶部的时间是（）．A．10h B．9h C．12h D．8h7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x （月）之间的关系（即前x个月的利润和y与x的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？8．如图，抛物线y=－32－2333x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．（1）求点A、B、C的坐标；（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC．①求E的坐标；②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．◆典型例题参考答案【例1】解：（1）（－13）；直线x=－1；x>－1；x<－1；（2）m=－2；x<0；x>0．（3）y=－2x2+20x，52≤x≤10，x=5；（4）将方程组2210()y x x ky x⎧=-+-⎨=⎩轴消y后得x2－2x+k－1=0，∴△=8－4k．当△=0时，k=2；当△>0时，k<2；当△<0时，k>2．（5）数形结合，x=－1时，y>0；x=1时，y<0；x=－2时，y>0，a>0，－2b a>0，c<0，△=b 2－4ac>0，∴选A ．（6）两个函数的常数项相同，应交在y 轴同一点，∴排除A ，C ，D 中a ，c 异号，△>0，抛物线与x 轴应有两个交点，∴排除D ，∴选B ．【例2】解：（1）设y=ax 2+bx+c ，再将A （－1，0），B （0，－3），C （4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x 2－2x －3，即y=（x －1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y 随x 的增大而减小；当x>1时，y 随x 的增大而增大．（2）∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3），即y=x 2－2x －3．（3）∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1，∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1．【例3】解：（1）以柱子OA 所在直线为y 轴，过点O 的水平面线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知右侧抛物线过点A （0，），顶点（1，）．∴设解析式为y=a （x －1）2，∴，a=－1，∴抛物线解析式为y=－（x －1）2，即y=－x 2．要求水池的半径，就是求当y=0时，点C的横坐标．∴－（x－1）2+2.25=0．∴，（不合题意，舍去）．即半径至少要．（2）∵形状与（1）相同，∴a=－1设最高点坐标为（m，k），解析式为y=－（x－m）2+k，由题意可得点（0，）和点（，0）在抛物线上．∴m=117，，即最高应达到．◆课堂作业参考答案1、解：（1）连结BC，由△AOC∽△BOC，得OC2=OA·OB=4，∴OC=2，∴点C坐标（0，2）．∵A（－1，0），B（4，0）在x轴上，∴设解析式y=a（x+1）（x－4），将C（0，2）代入，得a=－12，∴y=－12x2+32x+2．（2）AC=CE．理由：易证∠ACD=∠CBA，∠ACD=∠CAE，∴∠CAE=∠ABC AC=EC．（3）不存在符合条件的直线．理由：连结BE．设AD=x，则OD=OC－CD=2－x，由x2=12+（2－x）2，得x=54，即AD=54．由△AOD∽△AEB，得OA ADAE AB=14，∴AE=4，OM=12AE=2，∴M（－2，0）．设过M点的直线解析式为y=kx+b．∴0=－2k+b ，∴b=2k ，∴y=kx+2k ．① 由2213222y kx k y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩消y ， 得12x 2+（k －32）x+2k －2=0．② 由题意得方程②的两个根互为相反数，∴k=32，但这时方程②无实根， ∴不存在符合要求的直线． 2、解：（1）解方程x 2－6x+5=0，得x 1=5，x 2=1．由m<n ，有m=1，n=5．所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）．将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入y=－x 2+bx+c ，得105.b c c -++=⎧⎧⎨⎨=⎩⎩b =-4解这个方程组,得c =5.． 所以抛物线的解析式为y=－x 2－4x+5．（2）由y=－x 2－4x+5，令y=0，得－x 2－4x+5=0，解这个方程，得x 1=－5，x 2=1．所以C 点的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9），过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ．则S △DMC =12×9×（5－2）=272，S 梯形MDBO =12×2×（9+5）=14． S △BOC =12×5×5=252． 所以S △BCD =S 梯形MDBO +S △DMC －S △BOC =14+272－252=15． （3）设P 点的坐标为（a ，0），因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的直线方程y=x+5．那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E （a ，a+5），PH 与抛物线y=－x 2－4x+5•的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．由题意，得①EH=32EP，即（－a2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）．解这个方程，得a=－32或a=－5（舍去）．②EH=23EP，得（－a2－4a+5）－（a+5）=23（a+5）．解这个方程，得a=－23或a=－5（舍去）．P点的坐标为（－32，0）或（－23，0）．◆课后巩固（一）参考答案1．（5，0），（－1，0）2．如：y=－x2+3x－4 3．y=x2－2x+1 对称轴是直线x=1，顶点（1，0）4．A 5．C 6．B7．（1）y=12（x+1）2－3 顶点（－1，－3）对称轴是直线x=－1（2）设A（x1，0），B（x2，0），∴x1+x2=－2，x1x2=－5，∴│x1－x2│2=（x1+x2）2－4x1x2=24，│x1－x28.（1）M（12，0），P（6，6）（2）y=－16x2+2x（3）A（m，－16m2+2m），OB=m，AB=DC=－16m2+2m，AD=BC=12－2m，∴L=AB+AD+DC=－13（m－3）2+15，当m=3时，即OB=3m时，L的最大值为15m．◆课后巩固（二）参考答案1．y=12x2－3x+2 2．（1，0）3．y=19x2+23x+3 4．B 5．D 6．C7．（1）y=12x2－2x （2）10月末（3）万元8．（1）A（－3，0），B（1，0），C（0）（2）①E（－2）②AEBC是矩形∵AEBC 是平行四边形，且∠ACB=90° （3）存在，D （－1）A 点关于BC 的对称点A′，直线A′D ：y=6x+2，直线BC ：y=交点P （－37，7）．。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。
人教版高中数学复习 2.3二次函数与一元二次方程、不等式满分教学案
课题 2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、教学目标：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。
二、学习重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；学习难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用.三、教学过程学习过程本页，完成右一、一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数， .【即时训练1】下列不等式是否是一元二次不等式？（1）−4x2+3x+1>0; (2)ax2+x−4<0;（3）x2−y2>0;（4）2x+5≤0二、完成50P页【思考】：能否通过画出二次函数20122+-=xxy的图像，通过图像得到020122<+-xx及020122>+-xx的解集吗?三、二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使的实数叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.四、二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的{x| }{x|x≠－b2a}解集ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x | }注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【即时训练2】完成教材53P 练习第一题（1）、（2）、（5）三、课堂诊断：【A 层】1、课本53P 练习题第1题（2）、（3）、（4）、（6），第2题（日清）【B 层】三个二次之间的关系:2.已知关于x 的不等式ax2＋bx ＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x 的不等式cx2＋bx ＋a<0的解集．3.已知x 2＋px ＋q ＜0的解集{⎭⎬⎫<<-3121x x 是,解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0.【C 层】4.解关于x 的不等式，ax 2＋(1－a )x －1＞05. 已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【闯关题】6.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？。
第18课时 二次函数(复习学案))
第18课时 二次函数一、 复习目标1、 识记二次函数的一般形式和顶点式，并能用待定系数法求它的解析式。
2、 掌握二次函数的图像和性质。
二、 重点、难点重点：⑴用待定系数法求二次函数的解析式；⑵用配方法求二次函数的最值。
难点：深入理解二次函数图像的特征。
三、 复习过程 ㈠知识梳理1、 二次函数的解析式⑴一般形式： 。
⑵顶点式： 。
2、 二次函数的图像与性质二次函数k h x a y +-=2)(的图像是 ，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 当0>a 时，抛物线开口 ，函数在=x 时，达到最 值 ；当0<a 时，抛物线开口 ，函数在=x 时，达到最 值 。
3、 二次函数与一元二次方程的联系 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴是否有交点取决于一元二次方程02=++c bx ax是否有实数根。
⑴当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax有两个不相等的实数根（21x x ≠），抛物线就与x 轴有两个不同的交点，其坐标是（ ）和（ ）。
反之亦然。
⑵当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax有两个相等的实数根（ 21x x = ），抛物线就与x 轴只有一个交点，其坐标是（ ），这一点就是抛物线的顶点。
反之亦然。
⑶当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线就与x 轴没有交点。
反之亦然.㈡问题导学2、已知抛物线的顶点是（1，-4），且经过点（0，-3），则这条抛物线的解析式是 。
(第2题)3、抛物线322--=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 4、二次函数322-+-=x x y 的最大值是 。
5、将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 ． ㈢合作探究例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 ⑴图像经过A （-1,3）、B （1,3）、C （2,6）三点； ⑵图像经过A （-1,0）、B （3,0），函数有最大值8； ⑶图像顶点坐标是（-1,9），与x 轴两交点的距离是6.㈣达标检测1．抛物线()412--=x y 的顶点坐标是( )A ．（1,4）B ．（1.-4）C ．（-1，4）D ．(-1,-4)2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，当0>y 时，x 的取值范围是（ ） A ．14<<-x B ．4-<x 或1>x C ．13<<-x D ．3-<x 或1>x3、抛物线的对称轴是直线2=x ，与x 轴的两个交点的 距离是8，则这两个交点的坐标是 。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
二次函数的复习教案
二次函数的复习教案教案标题：二次函数的复习教案教案目标：1. 复习学生对二次函数的基本概念和性质的理解。
2. 强化学生对二次函数图像、顶点、轴对称性和零点的掌握。
3. 提高学生解决与二次函数相关的实际问题的能力。
教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 通过提问引起学生对二次函数的兴趣，例如：你知道什么是二次函数吗？它有哪些特点？2. 复习基本概念（15分钟）- 提醒学生二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，并解释a、b、c的含义。
- 回顾二次函数的图像特点，如开口方向、顶点位置等。
- 强调二次函数的轴对称性和零点的概念。
3. 图像练习（20分钟）- 展示几个不同形态的二次函数图像，要求学生根据图像特点判断函数的开口方向、顶点和轴对称性。
- 给学生一些简单的二次函数，要求他们画出对应的图像，并标出顶点和轴对称线。
4. 零点练习（15分钟）- 提供一些二次函数的方程，要求学生解方程求出零点。
- 引导学生思考零点与图像的关系，例如：零点在图像上对应什么位置？第二课时：1. 复习顶点和轴对称线（10分钟）- 提醒学生顶点是二次函数图像的最高点或最低点，轴对称线通过顶点并将图像分为两部分。
2. 实际问题解决（20分钟）- 提供一些与实际问题相关的二次函数，要求学生解决问题。
- 引导学生将问题转化为二次函数的方程，并解方程求出答案。
3. 总结（10分钟）- 回顾本节课所学内容，强调二次函数的重要性和应用。
- 鼓励学生通过做更多的练习来巩固所学知识。
教学方法和教学资源：1. 教学方法：- 提问法：通过提问引导学生思考和回忆所学知识。
- 演示法：展示二次函数图像和实际问题，帮助学生理解和解决问题。
2. 教学资源：- PowerPoint幻灯片或白板，用于展示图像和问题。
- 二次函数练习题，包括图像练习和实际问题练习。
评估方法：1. 课堂表现评估：- 观察学生在课堂上的参与度和回答问题的准确性。
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二次函数复习课学案
一、携手相约：
1、一般地，如果y= ，那么y 叫做x 的二次函数；它的图象是＿＿＿＿＿；
（1）、a 决定了抛物线的＿＿＿＿和＿＿＿；当＿＿＿时，开口向上；
（2）、二次函数图象的对称轴由＿＿＿决定；它的对称轴是＿＿＿＿；
（3）、c 决定了图象与_____轴的交点位置；那么交点坐标为＿＿＿.
（4）、图象的顶点坐标为＿＿＿＿＿＿；
（5）、当a ＞0时，图象有最＿＿点，函数有最＿＿值，
当 ＿＿＿ ，y 随x 的增大而减小， 当 ，y 随x 的增大而增大；
（6）、若抛物线与x 轴没有交点，则 ；若抛物线与x 轴有一个交点，则 ；
若抛物线与x 轴有两个交点，则 ， 若两交点坐标分别为（ x 1,0） 、 （x 2,0） 则对称轴x= （x ， x 1 ，x 2 三者关系） 2、二次函数y = a x 2 ( a ≠ 0 )
(1)向下平移C(C ＞0)个单位，得到函数解析式是 （2）向右平移h(h ＞0)个单位，得到函数解析式是
(3) 向上平移C(C ＞0)个单位，再向左平移h(h ＞0)个单位，得到函数解析式是
二、智力冲关：
★1、若函数y=(k -1) x k - k+2 +kx-1是关于x 的二次函数，则k= ★2、填表
★3、把抛物线2
2y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是 （ ） （A ）2
2(1)y x =-+ （B ）2
2(1)y x =--（C ）2
21y x =-+
（D ）2
21y x =--
★4、将二次函数y= x 2 - 2x – 1配成顶点式为 ，当x= 时，y 的最小值是 ★★5、已知抛物线21(4)33
y x =--与x 轴的一个交点坐标是（1、0），
则图象与x 轴的另一个交点坐标是
★★6、抛物线c x a y +-=2
)1(的图象如图1所示,该抛物线与x 轴交于
A ,
B 两点, B 点的坐标为
B )0,2(,则A 的坐标是
.
★★7、（2009湖州）已知抛物线2y ax bx c =++
（a ＞0）的对称轴为
直线1x =，且经过
点
()
()2
12y
y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：
1y _2y （填“>”
，“<”或“=”） 8、根据下列条件，求二次函数的解析式。
图象经过(0，0)， (1，3) ， (2，4) 三点； 9．在同一坐标系中一次函数和二次函数
的图象可能为( )
10．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
的解为__________．
11．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ； ②
；③
；④
；⑤
，(
的实数)其中
正确的结论有( )
图1
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
12．下列图形中，阴影部分面积为1的是（）
三、综合运用
★★★1、已知二次函数的最大值是4，图象顶点在直线y=x+3上，图象经过点（0，3）
（1）求二次函数的解析式。
(2)、试判断二次函数图像与x轴有无交点，若有交点，求出交点坐标。
(3)、试判断当x为何值时，y随x的增大而增大;
2. 二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。
3.某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，旅行社对超过30人的团给予
优惠，即旅行团每增加1人，每人的收费就降低10元。
请计算当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？
四、矫正补偿(中考再现)
★★1、(08长沙) 二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图2所示，
则下列关系式不正确的是（）
（A）a＜0 （B）abc＞0
（C）c
b
a+
+＞0 （D）ac
b4
2-＞0
2、（2009遂宁）把二次函数3
4
1
2+
-
-
=x
x
y用配方法化成()k
h
x
a
y+
-
=2的形式（）
A.()2
2
4
12
+
-
-
=x
y B.()4
2
4
12
+
-
=x
y
图2
C.()42412++-=x y
D. 3212
12
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y
★★★2、（2009宁波）如图抛物线254y ax x a =-+与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标． (2)请你设计一种．．平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
3.（内江市）如图2，一次函数3x y +-=的图像交x 轴于点A ，交y 轴于点Q ，抛物线()0a c bx ax y 2
≠++=的顶点c ，其图像过A 、Q 两点，并与x 轴交于另一点B ，（B 点在A 点左侧），△ABC 三内角∠A 、∠B 、
∠C 的对边为a 、b 、c ，若关于x 的方程(
)()2
2
x 1c bx 2x
1a +++-=0有两个相等实数根，且b a =。
图2
（1）试判断△ABC 的形状。
（2）当32
AQ
AB =
时，求此抛物线解析式。
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使
A CBQ A BP S S 四边形△=，若存在，求P 点坐标，若不
存在，请说明理由。
4.（北京市海淀区）已知抛物线2m mx x y 2
-+-=。
（1）求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点。
（2）若m 是整数，抛物线2m mx x y 2
-+-=与x 轴交于整数点，求m 的值。
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ，若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标。