二次函数过关练习

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高中数学二次函数通关15题(含答案)

二次函数通关15 题（含答案）1.南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为2捄万元，市场调研表明：当销售价为2当万元时，平均每周能售出8 辆，而当销售价每降低0.捄万元时，平均每周能多售出4 辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润= 销售价- 进货价）（1）求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为Z 万元，试写出Z 与x 之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?2.已知二次函数y = x2 + tx +t -2 ．（1）求证：不论t 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设t ᦙ 0 ，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13 时，求出此二次函数的解析式．（3）若此二次函数图象与x 轴交于A交于两点，在函数图象上是否存在点p ，使得△PAB 的面积为 3 13 ，若存在求出p 点坐标，若不存在请说明理由．23.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1:y1=-2x2+4x+2与C2:y2=-x2+t x+a为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2 的表达式；（2）点A 是抛物线C2 上在第一象限的动点，过A 作A㔠上 x 轴，㔠为垂足，求A㔠 + O㔠的最大值；（3）设抛物线C2 的顶点为C，点于的坐标为-1交4 ，问在C2 的对称轴上是否存在点M，使线段M于绕点M 逆时针旋转当0o 得到线段M于'，且点于' 恰好落在抛物线C2 上?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，二次函数y = tx2 + tx +c 的图象经过点A - 1交0 ，于 4交0 ，C -2交- 3 ，直线于C 与y 轴交于点D，E 为二次函数图象上任一点．上，距离点p 为 2（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点E 在直线于C 的上方，过点E 分别作于C 和y 轴的垂线，交直线于C 于不同的两点F，G（F 在G 的左侧），求!:! EFG 的周长的最大值；（3）是否存在点E，使得!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形，如果存在，求点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．5.已知，t，a是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且l t lᦙl a l，抛物线y=x2+tx + c 的图象过点A t交0 ，于 0交a ，如图所示．（1）求这个抛物线的表达式；（2）点p 是直线于C 上的一个动点（点p 不与点于和点C 重合），过点p 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，点㔠在直线于C!:! pM㔠的面积为S，求出S 与t 之间的函数关系式．个单位长度，设点p 的横坐标为t，6.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A 1交1 ，且与直线y = x - 2 交于于，C 两点，且A于上于C．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN 上 x 轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N 为顶点的三角形与!:! A于C 相似?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，于两点，点C的坐标是8交4 ，连接AC，于C．（1）求过O，A，C 三点的抛物线的表达式，并判断!:! A于C 的形状；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，已知抛物线y = 1 x + tx + c 经过!:! A于C 的三个顶点，其中点A 0交1 ，点于-当交10 ，3AC∥x 轴，点p 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点p 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点㔠，使得以C，p，㔠为顶点的三角形与!:! A于C 相似，若存在，求出点㔠的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图1，抛物线y=-3x-22+a与x轴交于点A t-2交0和于2t+3交0（点A 在点于的捄左侧），与y 轴交于点C，连接于C．（1）求t，a的值；（2）如图2，点M，p 分别为线段于C 和线段O于上的动点，连接pM，pC，是否存在这样的点p，使!:! pCM 为等腰三角形、!:! pM于为直角三角形同时成立?若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由．10.在平面直角坐标系中，平行四边形A于OC 如图放置，点A，C 的坐标分别是0交4 交- 1交0 ，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转当0o，得到平行四边形A'于'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的表达式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，!:! AMA' 的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M 的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A，于两点，点C的坐标是8交4 ，连接AC，于C．（1）求过O，A，C 三点的抛物线的表达式，并判断!:! A于C 的形状；（2）动点p 从点O 出发，沿O于以每秒2 个单位长度的速度向点于运动；同时，动点㔠从点于出发，沿于C 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为t s，当t 为何值时，pA = 㔠A?12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = tx2 + tx 经过两点A -1交1 ，于 2交2 ，过点于作于C∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得!:! 于CM 的面积为7，求出点M 的坐标；2（3）连接OA，O于，OC，AC，在坐标平面内，求使得!:! AOC 与!:! O于N 相似（边OA 与边O于对应）的点N 的坐标．13.如图，在矩形A于CD 中，A于 = 6 cm，于C = 8 cm，对角线AC，于D 交于点O．点p 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cmfs；同时，点㔠从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cmfs；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接pO 并延长，交于C 于点E，过点㔠作㔠F∥AC，交于D 于点F．设运动时间t s 0 ᦙ t ᦙ 6 ，解合下列问题：（1）当t 为何值时，!:! AOp 是等腰三角形；（2）设五边形OEC㔠F 的面积为S cm2 试确定S 与t 的函数关系式．k t 1 图象上，并与x 轴相交于A，于两点，且始终与y 14.已知圆p 的圆心在反比例函数y = kx轴相切于定点C 0交1 ．（1）求经过A，于，C 三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k 为何值时，四边形AD于p 为菱形．15.如图，抛物线y = tx2 - 捄tx + 4 经过!:! A于C 的三个顶点，已知于C∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC = 于C．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，于，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点p 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在!:! pA于是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点p 坐标；不存在，请说明理由．x 1 - x 2 2 132答案1. （1） y = 2当 - 2捄 - x. y =- x + 4 0 ::; x ::; 4（2） Z = 8 + x 0．捄X 4 = 8x + 8 - x + 4 （3） . Z =- 8x 2 + 24x + 32 =- 8 x -3 2 2 + 捄0 . 当 x = 3 时， Z 2= 捄0 . 当定价为 2当 - 1.捄 = 27.捄万元时，有最大利润，最大利润为 50 万元．或：当 x =- t 2t =- 24 2X -8 = 1.捄Z = 4t c -t 2 = 4X -8 X 32-242 = 捄0 最大值 4t4X -8 . 当定价为 2当 - 1.捄 = 27.捄万元时，有最大利润，最大利润为捄0 万元．2. （1）因为 /1 = t 2 - 4 t - 2 = t - 2 2 + 4 t 0所以不论 t 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点．（2）设 x 1交x 2 是 y = x 2 + t x + t - 2 = 0 的两个根，则 x 1 + x 2 =- t 交x 1 · x 2 = t - 2交因两交点的距离是 13交所以 lx 1 - x 2l = = ．即：x 1 - x 2 2 = 13变形为： x 1 + x 2 2 - 4x 1 · x 2 = 13所以： - t 2 - 4 t - 2 = 13整理得： t - 捄 t + 1 = 0解方程得： t = 捄或 - 1又因为： t ᦙ 0所以： t =- 1所以：此二次函数的解析式为 y = x 2 - x - 3（3）设点 p 的坐标为 x 0交y 0 ，因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13交所以： A 于 = 所以： S !:!pA 于 = 1 A 于 · ly 0l = 所以： 13ly 0l = 13 2 2即： ly 0l = 3交则 y 0 =士 3当 y 0 = 3 时， x 02 - x 0 - 3 = 3交即 x 0 - 3 x 0 + 2 = 0解此方程得： x 0 =- 2 或 3当 y 0 =- 3 时， x 02 - x 0 - 3 =- 3交即 x 0 x 0 - 1 = 0解此方程得： x 0 = 0 或 1综上所述，所以存在这样的 p 点， p 点坐标是 ( - 2交3)交(3交3)交(0交 - 3) 或 (1交 - 3)3. （1） : y 1 =- 2x 2 + 4x + 2 =- 2 x - 1 2 + 4，. 抛物线 C 1 的顶点坐标为 1交4 ． 1313最大 2: 抛物线C1 与C2 顶点相同，. -t-1X2=1，-1+t+a=4，解得t = 2，a = 3．.抛物线C2的表达式为y2=-x2+2x+3．（2）设点A 的坐标为t交-t2 + 2t + 3 ，则A㔠=-t2+2t+3，O㔠=t，. A㔠+O㔠=-t2+2t+3+t=-t2+3t+3=-t-32+ 21 .4. 当t = 3 时，A㔠 + O㔠有最大值，最大值为21．2 4（3）如图，连接于C，过点于' 作于'D 上 CM，垂直为D．: 于- 1交4 ，C 1交4 ，抛物线的对称轴为x = 1，. 于C 上 CM，于C = 2．: L于M于' = 当0o，. L于MC + L于'MD = 当0o．: 于'D 上 MC，. LM于'D + L于'MD = 当0o，. LM于'D = L于MC．在!:! 于CM 和!:! MD于' 中，L于MC = LM于'D交L于CM = LMD于'交于M = M于'交. !:! 于CM≌!:! MD于'．. 于C = MD，CM = D于'．设点M 的坐标为1交t ，则D于' = CM = 4 - t，MD = 于C = 2．. 点于' 的坐标为t - 3交t - 2 ．. - t - 3 2 + 2 t - 3 + 3 = t - 2．整理得t2 - 7t - 10 = 0，解得t = 2，或t = 捄．当t = 2 时，M 的坐标为1交2 ；当t = 捄时，M 的坐标为1交捄．综上所述，当点M 的坐标为1交2 或1交捄时，于' 恰好落在抛物线C2 上．4. （1）:二次函数y = tx2 + tx + c 的图象经过点A -1交0 ，于 4交0 ，C -2交-3 ，t - t + c = 0交. 16t + 4t + c = 0交4t-2t+c=-3.t=-1交2解得t = 3 交2c = 2.则这个二次函数的表达式为y=-1x2+3x+2．2 2（2）设于C 所在直线的表达式为y = kx + a，把于 4交0 ，C -2交-3 代入，得4k + a = 0 交-2k+a=-3.k = 1 交解得 2a=-2.则直线于C 的表达式为y = 1 x - 2．2当x=0时，y=1x-2=-2，即D0交-2．2在Rt !:! O于D 中，OD = 2，于O = 4，. 于D = OD2 + O于2 = 2 捄．设点E x交-1 x2 + 3 x + 2 ，点G x0交1 x0 -2 ，2 2 2: EG 上 y 轴，. - 1 x2 + 3 x + 2 = 1 x0 - 2，2 2 2.x0=-x2+3x+8，.E G=x0-x=-x2+2x+8．: EG 上 y 轴，. EG∥x 轴，. LEGF = LO于D．又: LEFG = LDO于 = 当0o，. !:! EFG∽!:! DO于，. EF = FG = EG，DO O于D于. EF = 捄EG，FG = 2 捄EG，捄捄.!:!E F G的周长=E F+F G+E G= 捄EG + 2 捄EG + EG捄捄= 3 捄+ 1 - x2 + 2x + 8捄= 3 捄+ 1 - x - 1 2 + 当 .捄即当x = 1 时，!:! EFG 的周长最大，最大值是27 捄+ 当．捄（3）假设存在点E，使!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．连接AD，则AD = 捄．由（2）知，A于 = 捄，于D = 2 捄．. AD2 + 于D2 = A于2，. !:! A于D 是以于D 为直角边的直角三角形．设直线A D的表达式为y=t x+p，代入点A，D坐标，得-t + p = 0交p=-2.解得t=-2交p=-2.则直线A D的表达式为y=-2x-2．y=-2x-2交联立y=-1x2+3x+2.2 2解得x1=-1交或x2=8交y1=0交y2=-18..当点E 的坐标为-1交0 或8交-18 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．当直线A D向上平移q个单位，使y=-2x-2+q恰好经过点于．则0=-2X4-2+q．解得q = 10．.经过点于且恰好与于D垂直的直线表达式为y=-2x+8．y=-2x+8交联立y=-1x2+3x+2.2 2解得x3 = 3交或x4 = 4交y3 = 2交y4 = 0..当点E 的坐标为3交2 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形；当点E 的坐标为4交0 时，与点于重合，不能构成三角形，故舍去．综上所述，点E 的坐标为- 1交0 或8交- 18 或3交2 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．5.（1）解方程x2+4x+3=0，得x1=-1，x2=-3．因为t，a是方程x2+4x+3=0的两根，且l t lᦙl a l，所以t=-1，a=-3．把点A -1交0 ，于 0交-3 代入y = x2 + tx + c，得1 -t + c = 0交c=-3交解得t=-2交c=-3.所以这个抛物线的表达式为y = x2 - 2x - 3．（2）由于 0交-3 ，C 3交0 ，得直线于C 的表达为y = x -3．所以设点p 的坐标为t交t -3 ．因为pM 上 x 轴，点M 在抛物线上，所以点M 的坐标为t交t2 -2t -3 ．如图，过点㔠作㔠F 上 pM 于点F，则!:! p㔠F 为等腰直角三角形．因为p㔠 = 2，所以㔠F = 1．如上图，当点p 在点M 上方时，即0 ᦙt ᦙ3．p M=t-3-t2-2t-3=-t2+3t，所以S=1p M·㔠F=1-t2+3t=-1t2+3t．2 2 2 2如图，当点p 在点M 下方时，即t ᦙ 0 或t t 3．pM = t2 - 2t - 3 - t - 3 = t2 - 3t，所以S = 1 pM ·㔠F = 1 t2 - 3t = 1 t2 - 3 t．2 2 2 2- 1 t2 + 3 t交0 ᦙ t ᦙ 3综上所述，S = 21 t2 -22 ．3 t交t ᦙ 0 或t t 3 26. （1）因为顶点A 的坐标为1交1 ，所以设抛物线的表达式为y = t x -1 2 + 1．因为抛物线过原点，所以0 = t 0 -1 2 + 1，解得t=-1．所以抛物线的表达式为y=-x-12+1，即y=-x2+2x．令y=-x2+2x=x-2，解得x=2或x=-1．当x = 2 时，y = 2 -2 = 0，即于 2交0 ．当 x =- 1 时，y =- 1 - 2 =- 3，即 C - 1交 - 3 ．（2）假设存在满足条件的点 N ，设 N x 交0 ，则 M x 交 - x 2 + 2x ，所以 ON = lxl ，MN = l - x 2 + 2xl ．由 A 1交1 ，于 2交0 ，C - 1交 - 3 ，得 A 于 = 2，于C = 3 2．所以 A 于上于C ，MN 上 x 轴于点 N ，所以 LA 于C = LMNO = 当0o ，所以当 !:! MNO ∽ !:! A 于C 时，有 MN = ON，即l -x 2+2x l = l x l ．A 于于C2 3 2整理，得 lxl · l - x + 2l = 1 lxl ．3当 x = 0 时，M ，O ，N 不能构成三角形，故 x -= 0．所以 l - x + 2l = 1，解得 x = 捄或 x = 7．3 33此时点 N 的坐标为捄交0 或 7交0 ． 33当 !:! ONM ∽ !:! A 于C 时，有 MN= ON，即l -x 2+2x l = l x l ．于C A 于3 22 整理，得 lxl · l - x + 2l = 3lxl ．因为 x -= 0，所以 l - x + 2l = 3，解得 x = 捄或 x =- 1．此时点 N 的坐标为 - 1交0 或捄交0 ．综上所述，存在满足条件的 N 点，其坐标为捄交0 或 7交0 或 - 1交0 或捄交0 ．337. （1）在直线 y =- 2x + 10 上，令 y = 0，得 x = 捄；令 x = 0，得 y = 10．即 A 捄交0 ，于 0交10 ．: 点 A 捄交0 ，C 8交4 ，O 0交0 在抛物线 y = tx 2 + tx + c 上， c = 0交. 2捄t + 捄t + c = 0 交 64t + 8t + c = 4.t = 1 交6解得 t =- 捄交6c = 0.. 抛物线的表达式为 y = 1 x 2 - 捄x ．66: AC 2 = 8 - 捄 2 + 42= 2捄，于C 2 = 82 + 10 - 4 2 = 100，A 于2 = 捄2 + 102 = 12捄， . AC 2 + 于C 2 = A 于2， . !:! A 于C 是直角三角形．（2） : 抛物线与 x 轴交于 O 0交0 ，A 捄交0 的两点， . 对称轴为 x =0+捄 = 捄．22捄 1 当 2 捄 1 当2设存在点 M ，使以 A ，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形，设 M 捄交y ．2. AM 2 = 捄 -捄2 + y 2 = 2捄+ y 2，A 于2 = 12捄，于M 2 =4 + 10 - y 2 =2 捄 + y 2 - 20y + 100，4①当 AM = A 于时，则 AM 2= A 于2，即2捄 + y 2 = 12捄．4解得 y 1 = 捄 1当，y 2 =-捄 1当．22此时点 M 的坐标为捄交捄 1当或捄交 - ． 222②当于M = A 于时，则于M 2 = A 于2，即2捄 + y 2 - 20y + 100 = 12捄．4解得 y 1 = 10 + 捄 1当，y 2 = 10 -捄 1当．2此时点 M 的坐标为捄交10 22或捄交 10 - ．2③当 AM = 于M 时，则 AM 2= 于M 2，即2捄 + y 2 =2捄+ y 2 - 20y + 100．44解得 y = 捄．此时点 M 的坐标为捄交捄，恰好是点 A 于的中点，不能构成三角形，故舍去．2综上所述，存在点 M 使以 A ，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形，此时点 M 的坐标为捄交捄 1当或捄交 - 2或捄交10 222 捄交 10 -28. （1）把点 A 0交1 ，于 - 当交10 的坐标代入 y = 1 x 2 + tx + c ，得 3c = 1交 1X - 当 2 - 当t + c = 10.3解得 t = 2交c = 1.. 抛物线的表达式为 y = 1x 2 + 2x + 1．3（2）设 AC 与抛物线对称轴交于点 F ，由 y = 1x 2 + 2x + 1 =1 x + 32 - 2，得顶点 p 的坐标是 - 3交 - 2 ．3 3此时 pF = y F - y p = 3，CF = x F - x C = 3．则在 Rt !:! CFp 中，pF = CF ， . LpCF = 4捄o ．同理可求 LEAF = 4捄o ， . LpCF = LEAF ．. 在直线 AC 上存在满足条件的点㔠，使得以 C ，p ，㔠为顶点的三角形与 !:! A 于C 相似． : A 0交1 ，于 - 当交10 ，p - 3交 - 2 ， . C - 6交1 ，. A 于 = 当 2，AC = 6，Cp = 3 2． ①如图，捄 2捄 1 当 2 捄 1 当 2捄 1 当 2223 3 34 捄0 0当 !:! Cp 㔠1∽ !:! A 于C 时，设㔠1 t 1交1 ，则 C 㔠1 = Cp ．即 t 1+6 = 3 2．当 2解得 t 1 =- 4．②如图，当 !:! C 㔠2p ∽ !:! A 于C 时，设㔠2 t 2交1 ，则 C 㔠2 = Cp ．即 t 2+6 = 3 2．A 当 2 6解得 t 2 = 3．综上所述，存在点㔠，使得以 C ，p ，㔠为顶点的三角形与 !:! A 于C 相似，此时点㔠的坐标为 - 4交1 或 3交1 ．9. （1）因为抛物线的对称轴是 x = 2，所以 t - 2 + 2t + 3 = 4，解得 t = 1．所以 A - 1交0 ，于捄交0 ．把 A - 1交0 代入抛物线表达式，得 - 3捄当 + a = 0，解得 a =- 当．所以 t = 1，a =- 当．（2）假设点 p 存在，设点 p x 0交0 0 ᦙ x 0 ᦙ 捄， ①当点 p 为 !:! pM 于的直角顶点时，CM = Mp ．因为 Mp ∥OC ，所以 Mp= p 于，CM= Op，OC O 于 C 于 O 于所以 Mp = 3 捄捄 - x 0 ，CM = 34 x 0．则捄 - x 0 = 34x 0，解得 x 0 =3 34-当．捄捄捄所以 p3 34-当交0 ．捄②当点 M 为 !:! pM 于的直角顶点时，则 CM = Mp ．因为 !:! pM 于∽ !:! CO 于，所以 pM = 于M = p 于，CO O 于于C 所以 pM = 334 捄 - x ，于M = 捄34 捄 - x 0 ，所以 CM =- 捄 - x = 当+捄x 0． 3434则 3 捄- x = 当+捄x0，34 34解得x = 3．4所以p 3 交0 ．4综上所述，满足条件的点p的坐标为334-当交0或捄3 交0 ．410.（1）:平行四边形A于OC 绕点O 顺时针旋转当0o，得到平行四边形A'于'OC，A 0交4 ，C -1交0 ，. A' 4交0 ，于 1交4 ．设抛物线的表达式为y = tx2 + tx + c t -= 0 ，又抛物线过点C，A，A'，t - t + c = 0交. c = 4 交16t + 4t + c = 0.t=-1交解得t = 3交c = 4..抛物线的表达式为y=-x2+3x+4．（2）如图，连接AA'，设点M 的位置如图所示，过点M 作x 轴的垂线交AA' 于点N，连接MA，MA'，: 点M 是第一象限内抛物线上的一动点，.设点M x交-x2 + 3x + 4 ，其中0 ᦙ x ᦙ 4．设直线AA'的表达式为y=k x+t，则0 + t = 4交4k + t = 0.解得k=-1交t = 4..直线AA'的表达式为y=-x+4．: MN 上 x 轴，. 点M，N 的横坐标相同，. 点N x交- x + 4 ，.M N=-x2+3x+4--x+4=-x2+4x，3. S !:!AMA' = S !:!AMN + S !:!A'MN- 0 - x 2 + 4x +- x - x 2 + 4x=- 2x 2 + 8x=- 2 x - 2 2 + 8交. 当 x = 2 时，!:! AMA' 的面积最大，最大面积是 8．当 x = 2 时，y =- 22 + 3 X 2 + 4 = 6，即 M 2交6 ．11. （1）在直线 y =- 2x + 10 上，令 y = 0，得 x = 捄；令 x = 0，得 y = 10，即 A 捄交0 ，于 0交10 ，因为点 A 捄交0 ，C 8交4 ，O 0交0 在抛物线 y = tx 2 + tx + c 上， c = 0交所以 2捄t + 捄t + c = 0交 64t + 8t + c = 4交 t = 1交6解得 t =- 捄交6 c = 0.所以抛物线的表达式为 y = 1 x 2 - 捄x ．66因为 AC 2 = 8 - 捄 2 + 42= 2捄，于 C 2 = 82 + 10 - 4 2 = 100， A 于2 = 捄2 + 102 = 12捄，所以 AC 2 + 于C 2 = A 于2，所以 !:! A 于C 是直角三角形．（2）设运动时间为 t s 时，Op = 2t ，于㔠 = t ，则 C 㔠 = 10 - t ．因为当点 p 运动到端点时，t =O 于 = 捄，2当 t = 捄时，于㔠 = 捄 ᦙ 10，所以 t 的取值范围是 0 ::; t ::; 捄．在 Rt !:! AOp 和 Rt !:! AC 㔠中， pA 2 = OA 2 + Op 2 = 2捄 + 4t 2，㔠A 2 = 㔠C 2 + AG 2 = 2捄 + 10 - t 2 = t 2 - 20t + 12捄．因为 pA = 㔠A ，所以 pA 2 = 㔠A 2．即 t 2 - 20t + 12捄 = 2捄 + 4t 2．解得 t 1 =- 10（舍去），t 1 = 10．即运动时间为10 s 时，pA = 㔠A ．312. （1）把 A - 1交1 交于 2交2 代入 y = tx 2 + tx 中得：1 = t - t 交2 = 4t + 2t.解得4所求函数表达式为t = 2 交3 . t =- 1 .3y = 2 x 2 - 1x. : 于C ∥x3 3轴，设 C 点坐标为 x 0交2 ，. 2 x 2 - 1x 0 = 2，3 03解得x =- 3或x= 2交由题意知 x 0 ᦙ 0，. x 0 =- 3，即 C - 3交2 ．222（2）设 !:! 于CM 的边于C 上的高为 h ， : 于C = 7，2 . S !:! 于 CM = 1X 7X h = 7，222. h = 2，点 M 即为抛物线上到于C 的距离为 2 的点， . 点 M 的纵坐标为 0 或 4，令 y = 2 x 2 - 1x = 4 ，解得33x = 1 + 当 7 交 x = 1 - 当 7 交 . M 1 + 当7 交4，M 1- 当7 交4 ，41 42 43 4综上所述，点 M 的坐标为 0交0 ， 1+ 当7 交4 ，1- 当7 交444（3） : A - 1交1 ，于 2交2 ，C - 1 交2 ，D 0交2 ，2. 易求得 O 于 = 2 2，OA = 2，OC = 捄，LAOD = L 于OD = 4捄o ，tanLCOD = 1，24①如图（1），当 !:! AOC ≌ !:! 于ON 时，AO= OC，LAOC = L 于ON ，于OON. ON = 2OC = 捄，过点N 作NE 上 x 轴于点E，: LCOD = 4捄o - LAOC = 4捄o - L于ON = LNOE，. 在Rt !:! NOE 中，tanLNOE = tanLCOD = 1，4. OE = 4，NE = 3，. 点N 的坐标为4交3 ，同理可得，点N 的坐标也可以3交4 ．②如图2，当!:! A O C∽!:!O t N时，AO =O C，L A O C=L O于N，O于于N.于N = 2OC = 捄，过点于作于G 上 x 轴于点G，过点N 作x 轴的平行线交于G 的延长线于点F，. Nt 上于F，: LCOD = 4捄o - LAOC = 4捄o - LO于N = LN于F，. 在Rt !:! 于FN 中，tanLN于F = tanLCOD = 1，4. NF = 3，于F = 4，.易求得点N 的坐标为-1交-2 ，同理可得，点N 的坐标也可以-2交-1 ．综上所述，点N 的坐标为3交4 ，4交3 ，-2交-1 ，-1交-2 ．13.（1）因为在矩形A于CD 中，A于 = 6 cm，于C = 8 c m，所以AC = 10 cm．①当Ap = pO 时，如图，过点p 作pM 上 AO，所以AM = 1 AO = 捄．2 2因为LpMA = LADC = 当 0o，LpAM = LCAD，所以!:! ApM∽!:! ACD，所以Ap = AM，AC AD所以Ap = t = 2捄．8②当Ap = AO 时，t =捄．因为0 ᦙ t ᦙ 6，所以t = 2捄或t = 捄均符合题意，8所以当t = 2捄或t = 捄时，!:! AOp 是等腰三角形．8（2）如图，过点E作E t上A C于点t，过点㔠作㔠M上A C于点M，过点D作D N上A C于点N，交㔠F 于点G．因为四边形A于CD 是矩形，所以AD∥于C，所以LpAO = LECO．因为点O 是对角线AC 的中点，所以AO = CO．又因为LAOp = LCOE，所以!:! AOp≌!:! COE，所以CE = Ap = t．因为!:!C E t∽!:! A于C，所以Et = CE，A于AC所以Et = 3t．捄因为S!:!ADC = 1 AD · DC = 1 DN · AC，2 2所以DN = AD·CD = 24．AC 捄因为㔠M∥DN，所以!:! C㔠M∽!:! CDN，所以㔠M=C㔠，即㔠M=6-t．DN CD24 6捄所以㔠M=24-4t，捄所以D G=24-24-4t=4t．捄捄捄因为F㔠∥AC，所以!:! DF㔠∽!:! DOC，所以 F 㔠 = DG ， OC DN所以 F 㔠 = 捄t， 6 所以S = S !:!OEC + S !:!OCD - S !:!DF 㔠 = 1 OC · Et + 1 OC · DN - 1 DG · F 㔠 2 2 2 =- 1 t 2 + 3 t + 12. 3 2 即 S 与 t 的函数关系式为 S =- 1 t 2 + 3 t + 12． 3 214. （1）连接 p C ，p A ，p 于，过 p 点作 p t 上 x 轴，垂足为 t ．: ⊙ p 与 y 轴相切于点 C 0交1 ，. pC 上 y 轴．: p 点在反比例函数 y = k的图象上， x . p 点坐标为 k 交1 ，. pA = pC = k ．在 R t !:! A p t 中，A t = . O A = O t - A t = k - k 2 - 1，. A k - k 2 - 1 交 0 ．= k 2 - 1，因为 p t 上 A 于，由垂径定理可知，p t 垂直平分 A 于，即. 于 k + k 2 - 1交0 ．O 于 = O A + 2A t= k - k 2 - 1 + 2 = k + k 2 - 1，故过 A ，于两点的抛物线的对称轴为 pt 所在的直线解析式为 x = k ．可设该抛物线解析式为 y = t x - k 2 + h ．又抛物线过 C 0交1 ，于 k + k 2 - 1交0 ，得：tk 2 + h = 1交2 t k +k 2 - 1 - k + h = 0.解得 t = 1，h = 1 - k 2．p A 2 - p t 2 k 2 -1Ap 2 - A N 2 1 1当当 21 1 . 抛物线解析式为 y = x - k2 + 1 - k 2．（2）由（1）知抛物线顶点 D 坐标为 k 交1 - k 2 ，则 D t = k 2 -1．若四边形 A D 于p 为菱形，则必有 p t = D t ．: pt = 1，. k 2 - 1 = 1．又 : k t 1，. k = 2．当 k 取 2 时，pD 与 A 于互相垂直平分，此时四边形 AD 于p 为菱形．15. （1）抛物线的对称轴 x =- -捄t= 捄． 2t 2（2） A - 3交0 ，于捄交4 ，C 0交4 ．把点 A 坐标代入 y = t x 2 - 捄t x + 4 中，解得 t =- 1．6. y =- 1 x 2 + 捄 x + 4． 6 6 （3）存在符合条件的点 p 共有 3 个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与 C 于交于 M ．过点于作于㔠上 x 轴于㔠，易得于㔠 = 4，A 㔠 = 8，AN = 捄.捄，于M = 捄 2 ① 以 A 于为腰且顶角为 LA 的 !:! pA 于有 1 个：!:! p 1A 于，如图所示．. Ap 2 = A 于2 = A 㔠2 + 于㔠2 = 82 + 42 = 80.在 Rt !:! ANp 1 中，p 1N = = = 1 当当 . 2. p 捄交 - ． 2 ② 以 A 于为腰且顶角为 L 于的 !:! pA 于有 1 个：!:! p 2A 于，如图所示． 80 - 捄.捄280 - 2捄4 2. 于p 2 = A 于2 = A 㔠2 + 于㔠2 = 82 + 42 = 80. 在 Rt !:! 于Mp 2 中，Mp 2 = = = 2 当捄 . 2 . p 2 捄交8- 2当捄． 2 2③ 以 A 于为底，顶角为 Lp 的 !:! pA 于有 1 个，即 !:! p 3A 于，如图所示．画 A 于的垂直平分线交抛物线对称轴于 p 3，此时平分线必过等腰 !:! A 于C 的顶点C ．过点 p 3 作 p 3K 垂直 y 轴，垂足为 K ，连接 p 3C ，显然 Rt !:! p 3CK ∽Rt !:! 于A 㔠． . p 3K = 于㔠 = 1．CK A 㔠 2 : p 3K = 2.捄，. CK = 捄，于是 OK = 1，. p 3 2.捄交 - 1 ．于p 2 - 于M 2 2。

专题11二次函数综合检测过关卷(原卷版)

专题11 二次函数综合检测过关卷（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）将抛物线y＝﹣x2向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣3B．y＝﹣x2+3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）22．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（）A．1＜y1＜y2B．1＜y2＜y1C．y2＜y1＜1D．y1＜y2＜13．（3分）下列关于抛物线y＝2x2+x﹣3的描述正确的是（）A．该抛物线是上升的B．该抛物线是下降的C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的4．（3分）如图，二次函数y1＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与正比例函数y2＝kx（k≠0）的图象交于点A（4，3），与x轴交于点B（3，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜0B．0＜x＜4C．3＜x＜4D．x＞35．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位B．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位6．（3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y27．（3分）将抛物线y＝（x+5）2﹣3沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣4B．y＝（x+7）2﹣4C．y＝（x+3）2﹣2D．y＝（x+7）2﹣28．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）9．（3分）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点10．（3分）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为．12．（3分）把二次函数y＝（x+5）2﹣8的图象向上平移5个单位长度，平移后二次函数的最小值为．13．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式．14．（3分）如图，二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则使y1＞y2成立的x的取值范围是．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为．三．解答题（共8小题，满分55分）16．（6分）已知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，1），且经过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．17．（6分）已知函数y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求二次函数的表达式；（2）画出该二次函数的图象；（3）若y＞0，请写出x的取值范围．19．（7分）已知二次函数y＝ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．（1）求a的值；（2）求此抛物线的对称轴；（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．20．（7分）随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，便于同学们进入．（1）若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；（2）可以围成的菜地面积最大是多少？21．（6分）阅读与计算：阅读以下材料．并完成相应的任务．欧拉，瑞士数学家和物理学家、近代数学先驱之一．小时候放学回家常帮父亲放羊，一边放羊，一边读书，有一天，他发现羊的数量越来越多，达到了100只，羊圈很拥挤．后来，欧拉的父亲就规划出了面积刚好为600平方米的土地修建新羊圈，平均每只羊刚好占地6平方米，即将动工时发现用来作圈栏的篱笆只有100米长，若按原计划建羊圈，就要再添10米长的材料：要是缩小面积，每只羊的占地面积将会小于6平方米．此时，见父亲一脸无奈，小欧拉却对父亲水：“不用增加材料，也不用缩小羊圈，我还能使羊圈的面积达到最大”．你能用二次函数的知识解释欧拉是如何修建羊圈，并使羊圈的面积最大的？22．（8分）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数的表达式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？23．（9分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．。

人教版九年级数学上学期第22章：《二次函数》单元过关练习卷(含答案)

单元过关练习卷：《二次函数》一．选择题1．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（）A．有最大值．B．有最大值﹣．C．有最小值．D．有最小值﹣．2．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3 3．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下来，滑行的距离为（）A．500米B．600米C．700米D．800米4．设点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y25．如图，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），连结AC，现有一宽度为1，长度足够的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（）A．2+B．6C．2D．2+36．如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2D．7．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1B．h＝1C．1＜h＜2D．h＞28．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B．﹣3a+c＜0C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2+c10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＞﹣；④b2+8a＞4ac中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为．12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是．13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x部分取值和对应函数值如表若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则实数m最小值为．14．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则P A+PC的最小值是15．如图，已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴负半轴交于点C．D是抛物线上一点于点，且AD∥CB，作∠DAE＝∠ADB交射线CB 于点E，则点E的坐标为．16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣+3，由此可知铅球达到的最大高度是m，推出的距离是m．17．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝．三．解答题18．抛物线C1：y1＝a1x2+b1x+c与抛物线C2：y2＝a2x2+b2x+c中，若，则称抛物线C1，C2为“窗帘”抛物线．（1）已知y＝x2+2x﹣3与y＝2x2+bx﹣3是“窗帘”抛物线，①b的值为；②在如图的坐标系中画出它们的大致图象，并直接写出它们的交点坐标．（2）设抛物线y＝x2+2x﹣3，y＝nx2+2nx﹣3，y＝3nx2+6nx﹣3（n＞0）的顶点分别为D，E，F，①判断它们是否是“窗帘”抛物线？答：（填“是”或“不是”）②若EF＝3DE，求n的值．19．若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；（2）若a＞0且b＝2a﹣2，①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．20．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；（2）销售中发现A型汽车的每周销量y A（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y A＝﹣x+20，B型汽车的每周销量y B（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y B＝﹣x+14，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？21．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．22．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．23．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D，交y轴为E．（1）求二次函数的解析式；（2）求的值．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧）与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）已知点M在抛物线上，点N在该抛物线的对称轴上，①当∠ACM＝90°时，求点M的坐标；②是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值﹣，故选：B．2．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14故选：A．3．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，则当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m．故选：B．4．解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x 的增大而增大，∵点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m上的三点，∴点C关于对称轴x＝1的对称点是（0，y3），∵﹣1＜0＜1，∴y2＞y3＞y1，故选：A．5．解：如图，∵OA＝OC＝3，作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN＝DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．∵MN＝DE，MN∥DE，∴四边形MNED是平行四边形，∴DM＝EN，∴△ODE的周长＝OD+DE+EO＝DM+DE+OE＝NE+OE+DE＝ON+DE，∵AC⊥OM∴MN⊥OM，∴∠NMO＝90°，∵MN＝DE＝，OM＝3，∴ON＝＝＝2，∴△ODE的周长的最小值为2+，故选：A．6．解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，∴M（h，0），对称轴为x＝h，∵抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点，∴点A和B的纵坐标相等，设为a，则a＝（x﹣h）2时，x﹣h＝±，∴点A的横坐标为h﹣，点B的横坐标为h+，∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝；即点M到直线l的距离为；解法二：把抛物线往左平移，使点A落在y轴上，则点A的横坐标为0，又因为AB＝3，所以对称轴x＝，所以平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣3x+c，又因为抛物线与x轴只有一个交点，所以△＝b2﹣4ac＝32﹣4c＝9﹣4c＝0，即c＝9/4当x＝0时，y＝c＝9/4，所以点M到直线l的距离为．故选：B．7．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD＝∴＝方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2即h＝（﹣h）2因h＞0，得h＝1，是个定值．故选：B．8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．9．解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x＝2，即＝2，得b＝﹣4a，再根据图象知当x＝1时，y ＝a+b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y＝ax2+bx+c＝，∵＝2，∴原式＝，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．10．解：∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜b，即2a﹣b＜0，所以②正确，③错误；∵y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，∴c＝2﹣a+b，∴b2+8a﹣4ac＝b2+8a﹣4a（2﹣a+b）＝b2﹣4ab+4a2＝（b﹣2a）2，而2a＜b，∴b2+8a﹣4ac＞0，即b2+8a＞4ac，所以④正确．故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，∴当a﹣1＝0时，得a＝1，此时y＝﹣2x+1与两坐标轴两个交点，当a﹣1≠0时，则或，解得，a＝2或a＝﹣2，由上可得，a的值是1，2或﹣2，故答案为：1，2或﹣2．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（1，0）、（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1，x2＝3，故答案为x1＝1，x2＝3．13．解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，顶点为（1，﹣4），若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则二次函数y＝ax2+bx﹣m 与x轴有交点，∵二次函数y＝ax2+bx﹣3向上最大平移4个单位与x轴有交点，∴ax2+bx﹣m＝ax2+bx﹣3+4，解得m＝﹣1，∴实数m最小值为﹣1故答案为：﹣1．14．解：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为：x＝1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点P，则点P为所求，则P A+PC的最小值＝BC＝3，故答案为：3．15．解：当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，则C（0，﹣4），易得直线BC的解析式为y＝x﹣4，∵BC∥AD，∴设AD的解析式为y＝x+b，把A（﹣1，0）代入得﹣1+b＝0，解得b＝1，∴直线AD的解析式为y＝x+1，解方程组得或，∴D（5，6），作DH⊥x轴于H交AE于F，易得△ADH为等腰直角三角形，∴∠DAH＝∠ADH＝45°，∵∠DAE＝∠ADB，∴∠EAH＝∠BAH，∴Rt△AFH∽Rt△DBH，∴＝，即＝，∴FH＝1，∴F（5，1），易得直线AE的解析式为y＝x+，解方程组得∴E点坐标为（5，1）．故答案为（5，1）．16．解：∵y＝﹣+3，∴抛物线的顶点坐标为（4，3），∴当x＝4时，铅球达到的最大高度为3米，令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），答：铅球推出的距离是10m．故答案为：3；10．17．解：存在．设AE＝AH＝CG＝CF＝xm，则BE＝DG＝（10﹣x）m，BF＝DH＝（20﹣x）m，∴四边形EFGH的面积：S＝10×20﹣2×x•x﹣2×（10﹣x）（20﹣x），S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∵﹣2＜0∴x＝7.5时，S有最大值．故答案为：7.5米三．解答题（共7小题）18．解：（1）①∵y＝x2+2x﹣3与y＝2x2+bx﹣3是“窗帘”抛物线，∴，∴b＝4，故答案为：4．②在坐标系中它们的大致图象如图所示，由图象可知交点坐标为（0，﹣3），（﹣2，﹣3）．（2）①∵抛物线y＝x2+2x﹣3，y＝nx2+2nx﹣3，y＝3nx2+6nx﹣3（n＞0），∴，，∴它们是“窗帘”抛物线；故答案为：是；②∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线y＝x2+2x﹣3顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝nx2+2nx﹣3＝n（x+1）2﹣3﹣n，∴抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣3﹣n），∵y＝3nx2+6nx﹣3＝3n（x+1）2﹣3﹣3n，∴抛物线顶点F的坐标为（﹣1，﹣3﹣3n），∴EF＝|﹣3﹣n+3n+3|＝|2n|，DE＝|﹣4+3+n|＝|﹣1+n|，∵EF＝3DE，∴|2n|＝3|n﹣1|，当2n＝3（n﹣1）时，解得n＝3，当2n＝﹣3（n﹣1）时，解得n＝，故n的值为3或．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，∴b≠0，把（0，0）代入y＝ax2+bx+c，得c＝0，∵△＝b2﹣4ac＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴始终有2个交点；（2）函数对称轴为x＝﹣1+，①当a＜﹣1时，函数在x≥﹣1时，函数值y随x的增大而增大，∴（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+2≥a，即1+2a+2≥a，解得a≥﹣3，②当a≥﹣1时，函数的最小值在x＝a时取得，∴a2﹣2a•a+2≥a，解得﹣2≤a≤1，综上所述，﹣3≤a≤1．故答案为：a的取值范围是：﹣3≤a≤1．20．解：（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得＝，解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根．答A、B两种型号汽车的进货单价为：10万元、8万元．（2）设两种汽车的总利润为w万元，根据题意，得w＝（x+2﹣10）（﹣x+20）+（x﹣8）（﹣x+14）＝﹣2x2+50x﹣272＝﹣2（x﹣12.5）2+40.5∵﹣2＜0，当x＝12.5时，w有最大值为40.5．答：A、B两种型号的汽车售价各为14.5万元、12.5万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是40.5万元21．解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．22．解：（1）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣3）（x +1）＝（x ﹣1）2﹣4，∴当y ＝0时，x 1＝3，x 2＝﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC ，如右图所示，∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD 的面积是：S △AOD +S △ODC +S △OCB ＝＝9．23．解：（1）设该函数的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）则3＝a （0+3）（0﹣1），解得，a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x +3）（x ﹣1）＝﹣x 2﹣2x +3，即二次函数的解析式；是y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，∵点C （0，3），点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，∴点D的坐标为（﹣2，3），设过点B（1，0）、点D（﹣2，3）的直线的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线BD的解析式为y＝﹣x+1，当x＝0时，y＝﹣0+1＝0，即点E的坐标为（0，1），作DF⊥AB于点F，∵DF⊥AB，EO⊥AB于点O，∴△BEO∽△BDF，∴，∵点B（1，0），点F（﹣2，0），∴BO＝1，BF＝3，∴，∴＝．24．解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，令y＝0，则x＝﹣3或1，故点A、B的坐标为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）①直线AC的倾斜角为45°，∠ACM＝90°时，则点M所在的直线表达式为：y＝﹣x＝3…②，联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），故点M（﹣1，4）；②存在，理由：设点M的坐标为：（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，点N（﹣1，s），当AC是平行四边形的边时，点A向右平移3个单位向上平移3个单位得到C，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即m±3＝﹣1，解得：m＝2或﹣4，故点M（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）；当AC是平行四边形的对角线时，则﹣3＝m﹣1，解得：m＝﹣2，故点M（﹣2，3），综上，点M（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）或（﹣2，3）．。

第22章二次函数知识点过关练习题二次函数与几何图形面积问题2021-2022人教九年级上册数学

人教版九年级上册数学《二次函数》知识点过关精准练（二次函数与几何图形面积问题）知识储备：1.对于二次函数y=-2x2+4x-5,当x=______时,y有最_______值,最_______值是_______.2.应用二次函数解决面积最值问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系,建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.知识点过关精准练一、选择题。

1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m2B.300 m2C.200 m2D.100 m22. 如图,小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )A.16 m2B.18 m2C.20 m2D.24 m23.已知在直角三角形中两条直角边的和为18,则当三角形的面积最大时,其中一条直角边长为( )A.8B.9C.10D.124.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是( )A.1 350B.1 300C.1 250D.1 2005. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定6.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时则另一个动点也停止运动,则△APQ 的最大面积是( )A.0 cm2B.8 cm2C.16 cm2D.24 cm27. 用长为12 m的篱笆,一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图,围出的苗圃是五边形ABCDE,AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E.设CD=DE=x m,五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为 ( )A.12√3 m2B.12 m2C.24√3 m2D.没有最大值二、填空题。

第27章二次函数综合能力过关训练(含答案)

第27章二次函数综合能力过关训练(满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列函数属于二次函数的是( ) A.y=5x+3 B.y=21xC.y=2x 2+x+1D.y= 2.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则a,b,c 的符号为( ) A.a<0,b>0,c=0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c=0 D.a<0,b>0,c<03.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )A.(2,－3)B.(2,1)C.(2,0)D.(3,2)4.将抛物线y=4x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,所得抛物线的表达式为( ) A.y=4(x+2)2+3 B. y=4(x+2)2－3 C. y=4(x －2)2+3 D. y=4(x －2)2－35.已知二次函数y=ax 2－6x+3的顶点坐标在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6.二次函数y=ax 2+(2a －1)x+a+32的图象与x 轴有两个交点,则a 应为( ) A.a >110 B. a <110 C.0< a <110D.以上都不对7.一次函数y=mx+n 的图象如图所示,那么二次函数y=nx 2+mx 的图象大致为( )xxy0y=mx+nxyoxyyyxxAB Dx8.二次函数 y=x 2+mx+n,若m －n=0,则图象必过点( ) A.(－1,1) B.(1,－1) C(－1,－1) D(1,1)9.二次函数y=4x 2－mx+5,当x<－2时,y 随x 的增大而减小;当x>－2时, y 随x 的增大而增大,那么当x=1时,函数y 的值为( ) A.－7 B.1 C.17 D.2510.抛物线y=－x 2+bx+c 的的部分图象如图所示,若y>0,则x 取值范围是( ) A.－4<x<1 B.－3<x<1 C.x<－4或x>1 D.x<－3或x>113-1x y o10题图xyo1第14题图40x y1617题图二 .填空题(每小题3分,共30分)11.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则点P(a,bc)在第_____________象限.12.请写一个开口向上,对称轴为直线x=2, 且与y 轴的交点为(0,3)的抛物线解析式________________________.13.函数y=－3x 2的图象在对称轴右边,y 随x 的增大而___________ 14.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,且P=|a －b+c|+|2a+b|,Q=|a+b+c|+|2a －b|,则P 、Q 的大小关系为_____________. 15.把二次函数y=12x 2－2x+3化为y=a(x+d)2+k 的形式为________________. 16.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了一些特点: 甲:对称轴是直线x=4;乙:与x 轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3,请你写出满足上述一些特点的一个二次函数多项式解析式_______________.17.有一个抛物线的拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标中(如图所示)此抛物线的解析式为______________________.x11题图18.若二次函数y=x2－6x+k的最小值为2,则k=_______________.19.若点P(1, a)和Q(－1,b)都在抛物线y=－x2+1上,则线段PQ=_____________.20.将抛物线y=－2(x－1)2向上平移m个单位长度,所得抛物线与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),若x12+x22=16,则m=_____________.三.(本大题共6小题,其中21～23题各8分,24题10分,25题,26题各13分,共60分)21.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线对应的关系式及顶点坐标.22.已知二次函数y=－2x2,怎样平移这个函数的图象,才能使它经过(0,1)和(1,6)两点?写出平移后的函数解析式.23.已知二次函数y=－2x 2－8x+1中,有两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),其中x 1=－5,x 2=－6,请不求y 1与y 2的值,直接比较y 1与y 2的大小.24.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元,物价部门定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元,市场调查发现:单价定为70元时,日销量60千克;单价每减低1元,日均多销售出2千克,在销售过程中,每天还要支出500元(天数不足一天时,按整天计算)设销售单价为x 元,日均获利为了y 元. (1)求y 关于x 的二次函数关系式,并注明x 的取值范围;(2)将(1)中所求出的二次函数配成y=a(x+2b a )2+244ac b a的形式,写出顶点坐标,在直角坐标系中画出草图,观察图象,指出单价定为多少时日均获利最多,是多少?25.某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现以O 点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).(1)直接写出点M及抛物线顶点P坐标;(2)求出这条抛物线的函数解析式;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A、D点在抛物线上,B、C点地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮助施工队计算一下.x26.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练,身体(将运动员看成一点)在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知数据).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中最高处距水面2103米,入水处距池边4米.同时,运动员在距水面高度5米以前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误.(1)求这条抛物线的关系式;(2)某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为335米,问此次跳水会不会失误? 通过计算说明理由.参考答案一、1.C 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A 9.D 10.B 二、11.一； 12.略；13.减小；14.p>Q ；15.y=12(x －4)2+1;16.略.17.y=21(2)1625x --+; 18.11; 19.2; 20.14 . 三、21.y=12(x －2)2+72 ；顶点坐标(2，72) ；22.y=－12x 2+152x+1; 23.y=－2x 2－8x+1=－2(x+2)2+4.5,当x<－2时，y 随x 的增大而增大，所以y 1>y 2;24.(1)y=(x －30)〔60+2(70－x)〕－500=－2x 2+260x －6500(30≤x ≤70)(2)y=2x 2+260x －6500=－2(x －65)2+1950, 顶点坐标(65，1950)，即单价为65元时，日均获利最多是1950元。

人教版二次函数过关训练

二次函数基础过关练习1．二次函数y＝x2+bx﹣t的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（）A．﹣4≤t＜5B．﹣4≤t＜﹣3C．t≥﹣4D．﹣3＜t＜52．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（）A．3a+b＜0B．﹣2≤a≤﹣l C．abc＞0D．9a+3b+2c＞03．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：则可求得（4a﹣2b+c）的值是（）A．8B．﹣8C．4D．﹣44．已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点为（1，﹣2），则其图象与y轴的交点坐标为．5．设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，1），B（2，3），C三点，其中点C在直线x＝上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的解析式为．6．如果一条抛物线的形状与y＝﹣x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的函数关系式是．7．过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是．8．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2．则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为米．9．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大．10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．11．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为米．12．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是m2．13．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，为使每天所获销售利润最大，销售单价应定为元．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数数形结合与方程与不等式比较大小（1.确定开口方向2.比较与对称轴的距离）1.已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（）A．3B．4C．5D．62.已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2），若|x1﹣h|＜|x2﹣h|，则下列结论正确的是（）A．a（y1﹣y2）＜0 B．a（y2﹣y1）＜0 C．y1﹣y2＜0 D．y2﹣y1＜03.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0）.当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值为y1，y2，且y1＝y2.设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是( ) A.0＜m＜1 B.1＜m≤2 C.2＜m＜4 D.0＜m＜44.若M（a，y1），N（a+1，y2）两点都在抛物线y＝x2﹣3x +2上，试比较y1与y2的大小．线段（直线）与抛物线相交求参数取值范围例1.校本15.2019贵阳练习1.2019天桥区一模例2.暑假测试13.练习2.已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．则a与c满足的关系式是（）A．c＝﹣15a B．c＝﹣8a C．c＝﹣3a D．c＝a练习3.如图，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，边界距点O的水平距离为18m，若球发出后不出边界，则h的取值范围是．自变量函数值求取值范围（常考）1.已知二次函数y＝x2﹣ax﹣1，若0＜a≤，当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是（用含a的代数式表示）．2.对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为．代几简单综合1.如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．2.已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），过点A，B 分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．动态问题专项练习1.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．2．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△OAB中，OA＝AB，∠OAB＝90°，点P从点O沿边OA、AB匀速运动到点B，过点P作PC⊥OB交OB于点C，线段AB＝2，OC＝x，S△POC＝y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．5．如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设AP＝x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的周长为（）A．4B．C．12D．6．在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm，点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BA﹣AD﹣DC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△P AC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．9．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC 与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．。

二次函数训练题基础过关

二次函数训练题一、填空1、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ．(1)y=-x 2中 a= ,b= ,c= ; (2)y=2x 2+3x a= ,b= ,c= ; (3)y=(4x-1)2 a= ,b= ,c= ; 2 、已知函数y=(m-1)x 2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点． 3、函数y=x 2+2x+3的对称轴是，顶点坐标是，对称轴的右侧y 随x 的增大而，当x= 时，函数y 有最值，是 .4、函数y=2(x-2)2的对称轴是，顶点坐标是，图像开口向，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最值，是 .5、.函数y=-(x+5)2+5的对称轴是，顶点坐标是，图象开口向，当x 时， y 随x 的增大而减小，当时，函数y 有最值，是 .6、函数y=x 2-3x-9的图象开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，当x 时，函数y 有最值，是 .7、函数y =–3(x-1)2+1是由y =–3x 2向平移单位，再向平移单位得到的.8已知抛物线y=x 2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 .9、已知二次函数y=ax 2-4x-13a 有最小值-17，则a= .10．如图1，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A 、B 、C ，其中，B点坐标为)4,4(，则该抛物线的关系式__________．11. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).12. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的对称轴为直线X= 1 ，则m= ．13、已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= .14、抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象经过第象限.15、抛物线y=(1-k)x 2-2x-1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 .16．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数的最大值为4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数关系式____．17．请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式．18．函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________．19．抛物线y ＝ ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线．．20．二次函数y ＝2x 2－x －3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________．21．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是_______．22．用配方法把二次函数y ＝2x 2＋2x －5化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为___________．23．抛物线y ＝(m －4)x 2－2mx －m －6的顶点在x 轴上，则m ＝______．24．若函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y ＝－2x 2－2x ＋3相同，则此函数关系式______．二、选择题1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（）A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( )A.x=3B.x=-2C.x=-0.5D.x=0.53. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（）A.y= - (x-2 )2 -2B.y= - (x-2 )2 +6C. y = - (x+2 )2 -2D. y= - (x+2 )2 +6 4 把二次函数B.y= - (x-2 )2 +6的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（）A . y= - (x-4 )2 +9 B. y= - x 2 +9 C y= - (x-5)2 +8. D y= - x 2 +8 5 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（）A.y= (x+2 )2 -2B.y= (x-2 )2 -2C. y = 2(x+2 )2 -2D. y= 2(x-2 )2 -2 7. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或28、二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( )A.直线y=-x 上B. 直线y=x 上C.y 轴上D.x 轴上9、抛物线y=x 2+x+2上三点（-2，a ）、(--1，b)，（3，c ），则a 、 b 、c 的大小关系是（）A 、a ＞b ＞cB 、b ＞a ＞cC 、c ＞a ＞bD 无法比较大小10、已知二次函数y=x 2-4x-5，若y>0, 则（）A . x>5 B.-l ＜x ＜5 C. x>5或x ＜-1 D. x>1或x<-511．抛物线y ＝－2(x －1)2－3与y 轴的交点纵坐标为( )(A)－3 (B)－4 (C)－5 (Ｄ)－112．将抛物线y ＝3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是( )(A)y ＝3(x ＋2)2＋4 (B) y ＝3(x －2)2＋4 (C) y ＝3(x －2)2－4 (D)y ＝3(x ＋2)2－413．抛物线y ＝21x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的图象开口最大的是( ) (A) y ＝21x 2 (B)y ＝－3x 2 (C)y ＝x 2 (D)无法确定 14．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于( )(A)4 (B)8 (C)－4 (D)1615．抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋3的顶点坐标是( )(A)(－1，－5) (B)(1，－5) (C)(－1，－4) (D) (－2，－7)16．过点(1，0)，B(3，0)，C(－1，2)三点的抛物线的顶点坐标是( )(A)(1，2) B(1，32) (C) (－1，5) (D)(2，41-) 17．若二次函数＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )(A)a ＋c (B)a －c (C)－c (D)c18．在一定条件下，若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为252s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为( )(A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒19．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是( )(A) (B) (C) (D)20．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图角如图3，则下列结论：①abc ＞0；②a＋b ＋c ＝2；③a ＞21；④b ＜1．其中正确的结论是( ) (A)①② (B)②③ (C)②④ (D)③④三、解答1已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为（-1 , 2 ) 且图象过点（ l ，-3 ) .(1)求这个二次函数的关系式；(2)写出它的开口方向、对称轴；2 已知抛物线经过点（2，0）（-1，-1）并以直线X=1为对称轴。

初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题（附答案详解）1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x 轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b ；③4a+b=0；④当x ＞-1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．针对下列图象李明同学说到：图①可能是24y x x =-+；图②可能是2(2)1y x =--；图③可能是2341y x x =--+；图④可能是241y x x =-+你认为其中必定正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．将抛物线2y x =向左移动2个单位，再向上移动3个单位后，抛物线的顶点为（）A ．（-2,3）B ．（2,3）C ．（2,-3）D ．（-2,-3）4．二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（1，﹣1），则b+c 的值是（） A ．﹣1 B ．3 C ．﹣4 D ．﹣25．二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的坐标(),x y 对应值列表如下：x… 3- 2- 1-1 … y…3-2- 3- 6-11-…则该函数图象的对称轴是（） A ．直线3x =-B ．直线2x =-C ．直线1x =-D ．直线0x =6．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1-，其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠中的x 与y 的部分对应值如下表所示，则下列结论中，正确的个数有（）x1-1 3 y1- 3 53()10a <；()2当0x <时，3y <；()3当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小； ()4方程25ax bx c ++=有两个不相等的实数根．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知点()12,y -，()23,y -，()31,y 在函数2287y x x =++的图象上．则1y 、2y 、3y 的大小关系是（） A ．321y y y << B ．231y y y << C ．123y y y << D ．132y y y << 9．已知函数2y ax ax =+与函数(0)ay a x=<，则它们在同一坐标系中的大致图象是（） A ．B ．C ．D ．10．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2-，与y 轴交于()0,2点，且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．给出三个命题：①点P （b ，a ）在抛物线y=x 2+1上；②点A （1，3）能在抛物线y=ax 2+bx +1上；③点B （﹣2，1）能在抛物线y=ax 2﹣bx +1上．若①为真命题，则（） A ．②③都是真命题 B ．②③都是假命题C ．②是真命题，③是假命题D ．②是假命题，③是真命题12．若A (-5,y 1),B (-3,y 2),C (0,y 3)为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ) A ．y 2<y 3<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 213．已知()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数264y x x =-+的图象上，若123x x <<，则1y ________2y （填“>”、“=”或“<”）． 14．如图所示，在同一坐标系中，作出，，的图象，比较、、大小是______．15．抛物线2y x bx c =-++的最高点为（-1，-3），则b+c=____________。

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《二次函数》过关检测姓名一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知二次函数y =a (x +1)2b (a ≠0)有最小值1，则a 、b 的大小关系为（） A.a >b B.a <b C.a =b D.不能确定2. 抛物线y =ax 2+2ax +a 2+2的一部分如图示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是（） A ．（21，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（） A.y =(x +2)2+2B.y =(x 2)2 2C.y =(x 2)2+2D.y =(x +2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（） A.2，4 B. C.2，D.，06.对于函数，使得随的增大而增大的的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么（）A.B.C.D.8. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A =90°，AB =8cm ，AC =6cm 点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是（）A PQO 12－1－2 xy(第10题图)A ．8cm 2B ．16cm 2C ．24cm 2D ．32cm 2 9.已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线xy 21=上，点N 在直线y =x +3上，设点M 的坐标为（a ,b ），则二次函数y =abx 2+（a +b ）x）（）A.有最大值，最大值为29-B.有最大值，最大值为29C.有最小值，最小值为29D.有最小值，最小值为29-10. 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过点(－1，2)，且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中－2＜x 1＜－1，0＜x 2＜1，下列结论：①4a －2b ＋c ＜0；②2a －b ＜0；③a ＜－1；④b 2＋8a ＞4ac 。

其中正确的有（）。

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y =(x 1)2+1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2（填“>”“=”或“<”）. 12. 对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 . 13. 如图抛物线的部分图象，若0<y ，则的取值范围 14. 若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如图所示，则a 的值为15. 抛物线191222+-=x x y ，其关于x 轴对称的抛物线解析式为___ __. 16.设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点，则△的面积是 .17. 已知二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当x 满足的条件是时，0y =；当x 满足的条件是时，0y >．x2- 1- 0 1 2 3y16-6-26-18. ．烟花厂为扬州4·18烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h (m )与飞行时间t (s )的关系式是h =－25t 2+20t +1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为。

（第14题）yOAxy–1 13Ox(第13题图)三、解答题（共66分）19.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式.20.如图已知二次函数y=ax2－4x+c的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．21.已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x +在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y=kx+6(k≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A （3,m），求m和k的值.22.如图，已知AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形，设BC=x，（1）AC=______；（2）设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_____.（3）总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少？23.某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图8，9所示.（1）分别写出国内、国外市场的日销售量y （万件）与第一批产品A 上市时间t 的函数关系式；（2）如果每件产品A 的销售利润为60元，写出第一批产品A 上市后日销售W （万元）与上市时间t 的函数关系式；（3）问第几天日销售利润最大？24．如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为（m ，2）（其中m ＞0），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将△OCE 沿OE 翻折，得到△OGE ；再将△ABF 沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到△AGF ，且∠OGA ＝90°．（1）求m 的值；（2）求过点O 、G 、A 的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使得△OPG 是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出．．．．所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）．图8 图9第二章二次函数检测题参考答案一、选择题1. A 解析:∵二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1,∴a>0且x=1时，b=1.∴a>0,b= 1.∴a>b.2.C 解析:由函数图象可知，所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位，得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合.又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C符合.同理可讨论当时的情况.各选项均不符合.5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），所以，解得.6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧随的增大而增大，由对称轴为直线，知的取值范围是.7.D 解析:当时，，故抛物线经过固定点（1，3）.8.D 解析:画出抛物线简图可以看出，所以.9. B 解析:∵点M的坐标为（a,b）,∴点N的坐标为（a,b）.∵点M在双曲线y=上，∴ab=.∵点N（a,b）在直线y=x+3上,∴a+3=b.∴a+b=3.∴二次函数y=abx2+（a+b）x=x2+3x=（x3）2+.∴二次函数y=abx2+(a+b)x有最大值,最大值是.10. D 解析:由图象知a ＞0,c ＜0,又对称轴x ==＜0,∴ b ＞0,∴ abc ＜0.又＝，∴ a ＝b ，a +b ≠0.∵ a =b ,∴ y =ax 2+bx +c =bx 2+bx +c . 由图象知,当x ＝1时，y ＝2b +c ＜0，故选项A,B,C 均错误.∵ 2b +c ＜0， ∴ 4a 2b +c ＜0.∴ 4a +c ＜2b ,D 选项正确.二、填空题11. ＞解析:∵ a ＝1＞0，对称轴为直线x =1，∴ 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.故由x 1＞x 2＞1可得y 1＞y 2. 12.13.解析:因为当时，，当时，，所以.14.(5,-2)15. 600 解析:y =60x 1.5x 2= 1.5（x 20）2+600,当x =20时,y 最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来. 16. 解析:令，令，得，所以，所以△的面积是.17.18.本题答案不唯一，只要符合题意即可，如2218181 1.7777y x x y x x =-+=-+-或三、解答题19. 分析：先求出当k 分别取1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值. 解：（1）当k =1时，函数y =4x +4为一次函数，无最值.（2）当k =2时，函数y =x 24x +3为二次函数且图象开口向上，无最大值. （3）当k =1时，函数y =2x 24x +6=(x +1)2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x =1，顶点坐标为（，8），所以当x =1时，y 最大值=8.综上所述，只有当k=1时，函数y=(1)x24x+5k有最大值，且最大值为8.点拨：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.20.解:将整理得.因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以.示意图如图所示.21.解:（1）建立平面直角坐标系，设点A为原点，则抛物线过点（0，0），（600，0），从而抛物线的对称轴为直线.又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，则其顶点坐标为（300，1 200），所以设抛物线的表达式为，将（0，0）代入所设表达式得，所以抛物线的表达式为.（2）将代入表达式，得，所以炮弹能越过障碍物.22.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为元，销售量为[件，据此得关系式．解：设售价定为元/件.由题意得，，∵，∴当时，有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．23. 分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x==1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.（2）把x=3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，则=1，∴t=.∴y=x2+x+.(2)∵二次函数图象必经过A点，∴m=×()2+(3)+= 6.又一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴3k+6=6,∴k=4.24. 分析：（1）由三角形面积公式S=得S与x之间的表达式为S=·x（40x）=x2+20x.（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解：（1）S=x2+20x.（2）方法1：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为==200.∴当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.方法2：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为S=×202+20×20=200.∴当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2..点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.25. 分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+b(a≠0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b; (2)令h=6,解方程（t19）2+8=6得t 1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜.解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴8=64a+11，解得a=,抛物线表达式为y=x2+11.(2)画出h=(t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时，h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.答：禁止船只通行的时间为32小时.点拨：（2）中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实际问题中的应用.26.解：（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴＞0，即解得c＜.(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵两交点间的距离为2，∴.由题意，得,解得,∴，.。