初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题(附答案详解)
二次函数的图象与性质(三套带答案解析)
二次函数的图象与性质1一、选择题：1.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A. ﹣4B. 0C. 2D. 62.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0，③ 4a+b2<4ac，④ 3a+c<0.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知二次函数y=−x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是(1,3)C. 当x<1时，y随x的增大而增大D. 图象与x轴有唯一交点4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x=2，有以下结论：① abc>0；②若点M(−12,y1)，点N(72,y2)是函数图象上的两点，则y1<y2；③ −35<a<−25；④ ΔADB可以是等腰直角三形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）A. 154B. 4 C. ﹣154D. ﹣1746.已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A. a≥−2B. a<3C. −2≤a<3D. −2≤a≤3二、填空题7.抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是________.8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x．其中正确结论的序号是________．的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a9.下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为________．10.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________．11.将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________．三、解答题12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．13.已知二次函数y=ax2−2ax−3a的图象与x轴交于A、B两点，且经过C（1，－2），求点A、B的坐标和a的值.14.已知二次函数的顶点坐标为(2，−2)，且其图象经过点(1，−1)，求此二次函数的解析式.15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA=2OB=4．求抛物线的顶点坐标。
中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题（含答案）知识点一：二次函数的概念及解析式 1.一次函数的定义形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y =(a －1)x 2是二次函数，那么a 的取值范围是a ≠0. 2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax 2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h ,k ）; ③交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.变式练习：如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B ，C 两点的坐标； (3)求过O ，B ，C 三点的圆的 面积．(结果用含π的代数式表示)解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝2，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－5，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x －5(2)由A 点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x ＝2，可知AB ＝6，∴OB ＝5，∴B 点坐标为(5，0)，∵y ＝x 2－4x －5， ∴C 点坐标为(0，－5)(3)如图，连接BC ，则△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，在Rt △OBC 中，OB ＝OC ＝5，∴BC ＝52， ∴圆的半径为522，注意：若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可设交点式.∴圆的面积为π(522)2＝252π知识点二 ：二次函数的图象与性质变式练习2：当0≤x ≤5时，抛物线y=x 2+2x+7的最小值为7 .变式练习2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( ) A. 函数有最小值B. 对称轴是直线x ＝12C. 当x ＜12时，y 随x 的增大而减小 D. 当－1＜x ＜2时，y ＞0【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a ＞0，函数有最小值，正确，故本选项不顶点坐标 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性 当x >2ba -时，y 随x 的增大而增大；当x ＜2b a-时，y 随x 的增大而减小. 当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小；当x＜2b a-时，y 随x 的增大而增大.最值x=2ba -，y 最小＝244ac b a -.x =2ba -，y 最大＝244ac b a-. 注意：（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.符合题意；B.由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故本选项不符合题意；C.因为a ＞0，所以，当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x ＜2时，y ＜0，错误，故本选项符合题意． 2.系数a 、b 、c 的关系注意某些特殊形式代数式的符号： ① a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ③ 2a+b 的符号，需判断对称 某些特殊形式代数式的符号： ② a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ④ 2a+b 的符号，需判断对称 ③ a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值.轴-b/2a 与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a ＞1，再根据a 的符号即可得出结果.④2a-b 的符号，需判断对称轴与-1的大小.3．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( D ) A ．当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小系数a 、b 、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下.a 、b 决定对称轴（x=-b/2a ）的位置当a ，b 同号，-b/2a ＜0，对称轴在y 轴左边；当b ＝0时， -b/2a=0，对称轴为y 轴；当a ，b 异号，-b/2a ＞0，对称轴在y 轴右边． c决定抛物线与y 轴的交点的位置当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在正半轴上；当c ＝0时，抛物线经过原点； 当c ＜0时，抛物线与y 轴的交点在负半轴上.b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点; b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点;b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大知识点三 ：二次函数的平移平移与解析式的关系平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象变式练习1：将抛物线y=x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x －2）2． 变式练习2：如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋3变式练习3：已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( ) A. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B. 若图象与x 轴有交点，则a ≤4C. 当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是1＜x ＜3D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1， －2)，则a ＝－3【解析】C ∵y ＝x 2－4x ＋a ，∴对称轴x ＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，所以A 选项正确；B.∵b 2－4ac ＝16－4a ≥0，即a ≤4时，二次函数和x 轴有交点，所以B 选项正确；C.当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是x ＜1或x ＞3，所以C 选项错误；D.y ＝x 2－4x ＋a 配方后是y ＝(x －2)2＋a －4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y ＝(x ＋1)2＋a －3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a ＝－3，所以D 选项正确，故选C.知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式注意：1)二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式2)抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.无论是什么函数，左右移影响着x 的变化，左移x 加，右移x 减；上下移影响着y 的变化，上移y 减，下移y 加。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿yax＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
12222．关于，yx，y3x的图像，下列说法中不正确的是（）yx3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同223．两条抛物线yx与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）yxA．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值24．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（）yxA．x＞0B．x＜0C．x≠0D．x≥0225．对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是（）xA．两条抛物线关于轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点26．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
127．抛物线y=－(x2)－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿2＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
28．抛物线y2(x1)3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）为（）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过达式（1，10），则这条抛物线的表22A．y=3(x1)－2B．y=3(x1)＋222C．y=3－2D．y=－3－2(x1)(x1)210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达yax式为（）22A．y=a＋3B．y=a－3(x2)(x2)22C．y=a(x2)＋3D．y=a(x2)－324411．抛物线的顶点坐标是（）yxxA．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）2212．对抛物线y=2(x2)－3与y=－2(x2)＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反213．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）x243243214．化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题3(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题3（附答案详解）1．在下列四个函数中，当0x >时，y 随x 的增大而减小的函数是（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．32y x =-D ．2y x2．在同一平面直角坐标系中，二次函数21y ax bx =+与一次函数2y ax b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．二次函数y = x 2+2的对称轴为（ ）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-D ．1x =4．已知点()13,A y ，()25,B y ，()34,C y -均在抛物线236y x x m =-+上，下列说法中正确的是（）．A ．321y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．123y y y << 5．已知函数2y x bx c =-++，其中0b >，0c <，此函数的图象可以是（ ） A ．B ．C ．D ．6．二次函数y ＝﹣2（x ﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）A ．（﹣3，1）B ．（3，﹣1）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，1）7．把抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A ．y ＝（x +3）2+1B ．y ＝（x +3）2﹣1C ．y ＝（x ﹣1）2+3D ．y ＝（x +1）2+38．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++= 29．下列哪一个是假命题（ ）A ．五边形外角和为360°B ．圆的切线垂直于经过切点的半径C ．（3，﹣2）关于y 轴的对称点为（﹣3，2）D ．抛物线y ＝x 2﹣4x +2020的对称轴为直线x ＝210．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1．有下列结论：①b 2=4ac ②abc ＞0 ③a ＞c ④4a+c ＞2b ．其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11． 抛物线()2234y x =--+的顶点坐标（ ）A ．(-3，4)B ．(-3，-4)C ．(3，-4)D ．(3，4)12．将抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位后得到的抛物线表达式是y =x 2+1，则原抛物线的表达式是（ ）A ．21y x =-B ．244y x x =++C ．265y x x =++D ．2817y x x =++13．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是A B C →→，点Q 的运动路径是B D →，两点的运动速度相同并且同时结束．若点P 的行程为x ，PBQ ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有下列结论：①0abc >；②240b ac -<；③420a b c -+<；④2b a =-．则其中结论正确的是（ ）A ．①③B ．③④C ．②③D ．①④15．在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A ：y ＝x 2﹣2通过左右平移得到抛物线B ，再将抛物线B 通过上下平移得到抛物线C ：y ＝x 2﹣2x +2，则抛物线B 的顶点坐标为（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，﹣2） 16．已知反比例函数y ＝k x，当x ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y ＝2kx 2﹣x ﹣k 图象的选项是（ ）A ．B ．C ．D ．17．二次函数22y x x =-的顶点坐标是（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．(1,1)-18．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2）19．矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为()2,1.一张透明纸上画有一个点E 和一条抛物线，平移透明纸，使点E 与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为2y x ，再次平移透明纸，使点E 与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为_______. 20．写出一个顶点坐标是(1，2)且开口向下的抛物线的解析式________．21．如图，小亮从斜坡的点O 处抛出一个沙包，沙包轨迹抛物线的解析式为y=12x ﹣x 2， 斜坡OA 的坡度i=1：2，则沙包在斜坡的落点A 的垂直高度是___.22．（1）分解因式：32a ab -=______；（2）抛物线24y x =- 与x 轴的交点的坐标是______． 23．小亮同学参加了学校体育兴趣小组，在今年的校体育节中参加了跳远比赛，若函数h=52t ﹣72t 2（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是_______．24．抛物线2y x =-向右平移4个单位，向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式是_____25．把抛物线2y x =向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式为________26．若点 M （-1， y 1 ），N （1， y 2 ），P （72, y 3 ）都在抛物线 y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0）上，则y 1、y 2、y 3 大小关系为_____（用“＞”连接）．27．将抛物线 y ＝（x+2）2-5向右平移2个单位所得抛物线解析式为_____．28．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数）的图象如图所示，则反比例函数y ＝a b c x++的图象所在的象限是第_____象限．29．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使△PBC的面积为1，求出点P的坐标．30．如图，抛物线y=ax2+c经过点A（0，2）和点B（-1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，使其顶点坐标为（2，1），平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为点C，D（点C在点D的左边），求点C，D的坐标；（3）将此抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m，平移后的抛物线与x轴两个交点之间的距离为n，若1＜m＜3，直接写出n的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】分别根据正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的性质逐项判断即得答案．【详解】解：A 、 20>，∴当0x >时，函数2y x =是y 随着x 增大而增大，故本选项错误； B 、30>，∴当0x >时，函数3y x =是y 随着x 增大而减小，故本选项正确； C 、30>，∴当0x >时，函数32y x =-是y 随着x 增大而增大，故本选项错误；D 、函数2y x ，当0x <时，y 随着x 增大而减小，当0x >时，y 随着x 增大而增大，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了初中阶段三类常见函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解：在A 中，由一次函数图像可知：a ＜0，b ＞0，由二次函数图像可知，a ＞0，b ＜0，矛盾，故不符合；在B 中，由一次函数图像可知：a ＞0，b ＜0，由二次函数图像可知，a ＜0，b ＜0，矛盾，故不符合；在C 中，由一次函数图像可知：a ＞0，b ＜0，由二次函数图像可知，a ＞0，b ＜0，但抛物线不经过原点，与21y ax bx =+性质不符，故不符合；在D 中，由一次函数图像可知：a ＜0，b ＞0，由二次函数图像可知，a ＜0，b ＞0，故符合； 故选D.本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．3．B【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】二次函数y = x 2+2的对称轴为直线0x =．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h ，k ），对称轴是x =h ．4．D【解析】【分析】先求得抛物线的对称轴，再求出点(−4，y 3)关于对称轴的对称点，然后根据抛物线的增减性判断即可．【详解】解：∵抛物线236y x x+m =-的对称轴是：直线x=−-623⨯=1，且抛物线开口向上， ∴当x>1时，y 随x 的增大而增大，又∵点(−4，y 3)关于直线x=1的对称点是(6，y 3)，且3<5<6，∴123y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键． 5．D【分析】根据已知条件“a ＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【详解】解：∵a=-1＜0，b ＞0，c ＜0， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是b x 02a=->，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上； 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握判定方法是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据二次函数的解析式可直接得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2（x ﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1）．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，解题的关键是掌握()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ．7．C【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y ＝x 2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y ＝x 2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y ＝x 2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝(x ﹣1)2+3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8．A【解析】【分析】A 选项，根据抛物线的开口方向可判断a 的正负，然后根据对称轴的位置可判断b 的正负，根据抛物线与y 轴的交点的位置可判断c 的正负，进而即可判断A 选项的正误；B 选项，令1x =结合图象即可判断B 选项的正误；C 选项，令2x =-结合图象即可判断C 选项的正误；D 选项，根据抛物线与x 轴的交点的个数即可判断．【详解】A. ∵该抛物线的开口方向向上，0a ∴>02b x a=-> 0b ∴<∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，0c ∴<0abc ∴>，故此选项正确；B. 令1x =，由图象可知0a b c ++<，故此选项错误；C. 令2x =-，由图象可知420a b c -+>，故此选项错误；D. 由图象可知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴240b ac ->；故此选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系．9．C【解析】【分析】根据多边形的外角和定理、切线的性质定理、关于y 轴对称的点的坐标特征、二次函数的对称轴是确定方法判断即可．【详解】A ．五边形外角和为360°，是真命题；B ．圆的切线垂直于经过切点的半径，是真命题；C ．（3，﹣2）关于y 轴的对称点为（﹣3，﹣2），原命题是假命题；D ．抛物线y ＝x 2﹣4x +2020的对称轴为直线x ＝2，是真命题；故选：C ．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉性质定理．10．C【解析】【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】①∵函数图象与x 轴两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，故①错误；②∵抛物线开口向上，顶点在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴，∴a ＞0，,c ＞0，ab ＞0，∴abc ＞0，故②正确；③∵x=﹣1时，y 0<，即a-b+c 0<，∵对称轴为直线x=﹣1，∴2b a-=﹣1，b=2a ， ∴a-2a+c 0<，即a ＞c ，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y ＞0，∴4a-2b +c ＞0，即4a+c ＞2b ，故④正确.故选C.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系.11．D【解析】【分析】根据抛物线顶点式的特点写出顶点坐标即可得.【详解】因为()2y 2x 34=--+是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3， 4），故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.12．B【解析】【分析】根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位后得到的抛物线表达式是y =x 2+1， ∴抛物线y =x 2+1，左移2个单位，下移1个单位得原函数解析式y=(x+2)2+1-1=244x x ++ 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．13．C【解析】【分析】分两种情况，求出y 关于x 的函数关系式，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，8AB =，∴BD=当0＜x≤8时，则y ＝12x ＝2x + ∴此段抛物线的开口向下；当8＜时，则y ＝12(x−8)• 2x =24x ∴此段抛物线的开口向上，故选：C【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，找出对应的函数关系式是解本题的关键．14．B【解析】【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴右侧，得到a 与b 异号，可得出b 大于0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可得出abc 小于0，选项①错误；由抛物线与x 轴有2个交点，得到根的判别式b 2-4ac 大于0，选项②错误；由x=-2时对应的函数值小于0，将x=-2代入抛物线解析式可得出4a-2b+c 小于0，最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=-2a ，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．【详解】由抛物线的开口向下，得到a <0， ∵02b a->，∴b >0， 由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c >0，∴abc <0，选项①错误；又抛物线与x 轴有2个交点,∴b 2−4ac >0，选项②错误；∵x =−2时对应的函数值为负数，∴4a −2b +c <0，选项③正确；∵对称轴为直线x =1, ∴12b a-=，即b =−2a ，选项④正确， 则其中正确的选项有③④.故选:B【点睛】考查二次函数图象与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向，,a b共同决定了对称轴的位置，常数项c决定了抛物线与y轴的交点位置.15．B【解析】【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【详解】解：抛物线A：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线C：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，所以其顶点坐标是（1，﹣2）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．16．D【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，∴k＜0，∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下，﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b＝﹣1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y 轴左侧，符合题意的只有选项D ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．17．B【解析】【分析】根据配方法把函数化为顶点式即可求解.【详解】∵22y x x =-=2(1)1x -- 故顶点坐标是(1,1)-故选B.【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知配方法的应用.18．D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.【详解】∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）．故选D ．19．2814y x x =++【解析】【分析】先由对称计算出C 点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．【详解】解：∵矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD 关于坐标原点对称，∵A 点C 点是对角线上的两个点，∴A 点、C 点关于坐标原点对称，∴C 点坐标为（-2，-1）；∴透明纸由A 点平移至C 点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位； ∵透明纸上点E 与点A 重合时，函数表达式为y=x 2，∴透明纸上点E 与点C 重合时，函数表达式为y=（x+4）2-2=x 2+8x+14故答案为：2814y x x =++．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式，是解题的关键．20．y=-(x-1)2+2【解析】【分析】利用顶点式可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2，然后根据a 的作用确定a 的值即可．【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2，∵抛物线y=a y=-(x-1)2+22+2的开口向下，∴可令a=-1，∴抛物线解析式y=-(x-1)2+2．故答案为y=-(x-1)2+2．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．234．【解析】【分析】设A 点的坐标为（m ，n ），根据斜坡OA 的坡度i=1：2，可得出m ，n 之间的关系，结合点在二次函数图象上即可列出关于m ，n 的二元二次方程组，解方程组求出n 值即可．【详解】解：设A 点的坐标为（m ，n ）， 根据题意，得21212n m m n m ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 解得：n=0（舍去），或234n =， 故答案为：234． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、坡度角问题以及解二元二次方程组，解题的关键是列出关于m 、n 的二元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，但涉及到的知识点较多，解题的关键是结合各知识点列出方程组．22．()()a a b a b +-； (2,0)-，(2,0)【解析】【分析】（1）先提取公因式a ，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）令y=0，解240x -=这个方程即可得出答案．【详解】（1）3222()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-；故答案为：()()a a b a b +-（2）令y=0，则240x -=，解得： 12x =-，22x =，故答案为：(2,0)-，(2,0)．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，二次函数与x 轴的交点坐标，属于基础题，与x 轴的交点坐标，令y=0，与y 轴的交点坐标，令x=0．23．514s 【解析】【分析】重心最高点，就是求这个二次函数的顶点，将二次函数化为顶点式，由此即可得．【详解】22577525()2221456h t t t =-=--+ 由二次函数的性质可知，当514t =时，h 取得最大值 故答案为：514s ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键．24．241y x 【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线2y x =-向右平移4个单位，向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式是将抛物线241y x ， 故答案为：241y x ．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．25．2y 2x =+【解析】【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【详解】∵抛物线y ＝x ²向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），∴所得抛物线的解析式为y＝x²＋2．故答案为：y＝x²＋2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．26．y1＜y3＜y2【解析】【分析】利用图像法即可解决问题．【详解】y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），对称轴为x＝422mm-=-，观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．27．y＝x2−5【解析】【分析】根据平移规律“左加右减”解答．【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y＝（x＋2）2−5向右平移2个单位，得：y＝（x＋2−2）2−5，即y＝x2−5．故答案是：y ＝x 2−5．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．28．二、四．【解析】【分析】根据函数图象，由1x =时，得到a b c ++的正负，即可得到答案．【详解】解：由二次函数的图象可知，当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0，∴反比例函数y ＝a b c x++的图象所在的象限是第二、四象限， 故答案为：二、四．【点睛】本题考查了二次函数中a b c ++的正负判断，反比例函数系数对于图象象限的影响，熟练掌握这些知识点是解题的关键．29．（1）点B 的坐标为：B （3，0），抛物线解析式为y ＝﹣13x 2+23x +1；（2）P 点坐标为（1，43）或（2，1）． 【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性确定B （3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；（2）作PQ ∥y 轴于Q ，如图，利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=13-x+1，设P （t ，13-t 2+23 t +1）（0＜t ＜3），则Q （t ，13-t+1），则PQ=13-t 2+t ，利用三角形面积公式得到12×3×（13-t 2+t ）=1，然后解方程求出t 即可得到P 点坐标． 【详解】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，∴B （3，0），设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），即y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，∵﹣3a ＝1，∴a＝13-，∴抛物线解析式为y＝13-x2+23x+1；（2）作PQ∥y轴于Q ，如图，当x＝0时，y＝13-x2+23x+1＝1，则C（0，1）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，1），B（3，0）代入得130nm n=⎧⎨+=⎩，解得131mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y＝13-x+1，设P（t，13-t2+23t+1）（0＜t＜3），则Q（t，13-t+1）∴PQ＝13-t2+23t+1﹣（13-t+1）＝13-t2+t，∵△PBC的面积为1，∴12×3×（13-t2+t）＝1，整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，∴P点坐标为（1，43）或（2，1）．故答案为：（1）点B的坐标为：B（3，0），抛物线解析式为y＝﹣13x2+23x+1；（2）P点坐标为（1，43）或（2，1）．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．30．（1）y=-2x2+2；（2）C（2-，0），D（2+，0）（3）＜n＜．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于a、c的方程组，通过解方程求得它们的值；（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令y=0，则解关于x的方程，即可求得点C、D的横坐标；（3）根据根与系数的关系来求n的取值范围；试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+c经过点A（0，2）和点B（-1，0）．∴解得：∴此抛物线的解析式为y=-2x2+2；（2）∵此抛物线平移后顶点坐标为（2，1），∴抛物线的解析式为y=-2（x-2）2+1令y=0，即-2（x-2）2+1=0解得x1=2+，x2=2-．∵点C在点D的左边∴ C（2-，0），D（2+，0）（3）＜n＜．考点：1.二次函数图象与几何变换；2.待定系数法求二次函数解析式．。
中考数学总复习《二次函数的图象与性质》专项测试卷带答案
中考数学总复习《二次函数的图象与性质》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是( )A.对称轴为x=-2B.顶点坐标为(2,3)C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-32.将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是( )A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2+4C.y=(x+3)2-4D.y=(x-3)2-43.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(3,y3)是抛物线y=-(x-2)2-m+4上的三个点,若x1>x2>3,则( )A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y1>y3D.y2<y3<y15.已知抛物线y=x2+bx+c过点A(m,n),B(m-4,n),且它与x轴只有一个公共点,则n 的值是( )A.4B.-4C.6D.166.(2024·内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1y2(填“>”或“<”).【B层·能力提升】7.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是( )A.(m,n+1)B.(m+1,n)C.(m,n-1)D.(m-1,n)8.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是( )A.b+c>1B.b=2C.b2+4c<0D.c<09.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:x…-4-2035…y…-24-80-3-15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )A.图象的开口向上B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x=110.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x =-1,下列四个结论:①abc <0;②4a -2b +c <0;③3a +c =0;④当-3<x <1时,ax 2+bx +c <0;其中正确结论的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2024·广安中考)如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-32,0),对称轴是直线x =-12,有以下结论:①abc <0;②若点(-1,y 1)和点(2,y 2)都在抛物线上,则y 1<y 2;③am 2+bm ≤14a -12b (m 为任意实数);④3a +4c =0,其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.若一个函数的图象关于y 轴对称,则称这个函数为偶函数,如二次函数y =-x 2是偶函数.若二次函数y =2x 2+(3-a )x +8是偶函数,则a 的值为 . 13.如图,已知二次函数y =x 2+bx +c 图象经过点A (1,-2)和B (0,-5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标; (2)当y ≤-2时,请根据图象直接写出x 的取值范围.【C层·素养挑战】14.已知二次函数y=x2-2ax+1.(1)若二次函数的图象经过点(1,-2),求a的值;(2)在(1)的条件下,当m-2≤x≤2时,二次函数的最大值是6,求m的值;(3)已知点A(-2,7),B(3,2),直线AB与x轴和y轴分别交于点E,F,若y=x2-2ax+1与直线AB有两个不同的交点,其中一个交点在线段AF上(包含A,F两个端点),另一个交点在线段BE上(包含B,E两个端点),直接写出a的取值范围.参考答案【A层·基础过关】1.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是(C)A.对称轴为x=-2B.顶点坐标为(2,3)C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-32.将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是(A)A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2+4C.y=(x+3)2-4D.y=(x-3)2-43.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(3,y3)是抛物线y=-(x-2)2-m+4上的三个点,若x1>x2>3,则(B)A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y1>y3D.y2<y3<y15.已知抛物线y=x2+bx+c过点A(m,n),B(m-4,n),且它与x轴只有一个公共点,则n 的值是(A)A.4B.-4C.6D.166.(2024·内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1<y2(填“>”或“<”).【B层·能力提升】7.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(D)A.(m,n+1)B.(m+1,n)C.(m,n-1)D.(m-1,n)8.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(A)A.b+c>1B.b=2C.b2+4c<0D.c<09.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:x … -4 -2 0 3 5 …y … -24-8-3-15 …则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D) A.图象的开口向上B.当x >0时,y 的值随x 值的增大而减小C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x =110.如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x =-1,下列四个结论:①abc <0;②4a -2b +c <0;③3a +c =0;④当-3<x <1时,ax 2+bx +c <0;其中正确结论的个数为(D)A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2024·广安中考)如图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)的图象与x 轴交于点A (-32,0),对称轴是直线x =-12,有以下结论:①abc <0;②若点(-1,y 1)和点(2,y 2)都在抛物线上,则y 1<y 2;③am 2+bm ≤14a -12b (m 为任意实数);④3a +4c =0,其中正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个12.若一个函数的图象关于y 轴对称,则称这个函数为偶函数,如二次函数y =-x 2是偶函数.若二次函数y =2x 2+(3-a )x +8是偶函数,则a 的值为 3 . 13.如图,已知二次函数y =x 2+bx +c 图象经过点A (1,-2)和B (0,-5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标; (2)当y ≤-2时,请根据图象直接写出x 的取值范围.【解析】(1)把A (1,-2)和B (0,-5)代入y =x 2+bx +c 得,{1+b +c =-2c =-5,解得{b =2c =-5∴二次函数的表达式为y =x 2+2x -5 ∵y =x 2+2x -5=(x +1)2-6 ∴顶点坐标为(-1,-6); (2)如图:∵点A (1,-2)关于对称轴直线x =-1的对称点C 为(-3,-2) ∴当y ≤-2时,x 的取值范围是-3≤x ≤1.【C 层·素养挑战】14.已知二次函数y =x 2-2ax +1.(1)若二次函数的图象经过点(1,-2),求a 的值;(2)在(1)的条件下,当m -2≤x ≤2时,二次函数的最大值是6,求m 的值;(3)已知点A (-2,7),B (3,2),直线AB 与x 轴和y 轴分别交于点E ,F ,若y =x 2-2ax +1与直线AB 有两个不同的交点,其中一个交点在线段AF 上(包含A ,F 两个端点),另一个交点在线段BE 上(包含B ,E 两个端点),直接写出a 的取值范围. 【解析】(1)∵二次函数的图象经过点(1,-2) ∴-2=1-2a +1 ∴a =2.(2)由(1)可知二次函数为y =x 2-4x +1 ∵y =x 2-4x +1=(x -2)2-3∴抛物线y =x 2-4x +1开口向上,对称轴为直线x =2,顶点为(2,-3) ∵当m -2≤x ≤2时,二次函数的最大值是6 ∴当x =m -2时,二次函数的最大值是6 ∴(m -2-2)2-3=6解得m =1或m =7(舍去),故m 的值为1. (3)∵已知点A (-2,7),B (3,2)∴设直线AB 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 将A (-2,7),B (3,2)代入得:{-2k +b =73k +b =2解得:{k =-1b =5,经过E (5,0)时,a =135∴43≤a ≤135.。
2020-2021初中数学二次函数的图象与性质能力达标训练题3(附答案详解)
16．如图为二次函数 图象，直线 与抛物线交于 两点, 两点横坐标分别为 根据函数图象信息有下列结论:
① ;
②若对于 的任意时若 变大,则线段 变长
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行判断即可得解.
【详解】
解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为 ，可知a、b异号，由a＜0，可知b＞0，因此②不正确；
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；
抛物线的顶点坐标为 ，又顶点坐标为 ，则 ，因此④正确；
抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝ ，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此⑤不正确；
（2）观察图象，当 取何值时， ？
23．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．
（1）抛物线的顶点坐称为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）
（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．
①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；
②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（1）若二次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求k的值；
（2）若一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)．
29．设 都是实数，且 ．我们规定：满足不等式 的实数 的所有值的全体叫做闭区间、表示为 ．对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当 时，有 ，我们就称此函数是闭区间 上的“闭函数”．
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2（附答案详解） 1．二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是 A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x=-12．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＞y 3＞y 2 C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 23．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a +b=0；③当x=﹣1或x=3时，函数y 的值都等于0；④4a +2b +c ＞0，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ） A ．y=﹣（x+1）2+1B ．y=﹣（x ﹣1）2+3C ．y=﹣（x+1）2+5D ．y=﹣（x+3）2+35．已知点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭在函数23612y x x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>6．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，﹣1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．a≤﹣1或a≥2B ．12≤a≤2 C ．﹣1≤a ＜0或1＜a≤2D ．﹣1≤a ＜0或0＜a≤27．如图，抛物线的顶点坐标为P (2，5)，则函数y 随x 的增大而减小时x 的取值范围为( )A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞6D ．x ＜68．函数2122y x x =-++有最值为（ ） A ．最大值32B ．最小值32C ．最大值12-D ．最小值12-9．在同一直角坐标系中，函数y=2x +3与y=mx(0)m ≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象所示，对称轴为x ＝1，给出下列结论：①abc ＞0；②当x ＞2时，y ＞0；③3a ＋c ＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④11．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象的函数表达式是____．12．将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是_____． 13．二次函数2y 2x 4x 1=--的图象是由2y 2x bx c =++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b =________，c =________． 14．抛物线2(1)y x =-的顶点坐标是__________．15．一条抛物线的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则该抛物线的函数表达式是_____．16．二次函数222y x x -=-，当x ________时，y 有________值，这个值为________；当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小． 17．已知函数y=﹣2x 2+x ﹣4，当x________时，y 随x 增大而减少．18．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．19．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2-且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0b <；②0a b c ++<；③420a b c -+<；④20a b -<，其中正确的有________．（填代号）20．将抛物线y ＝﹣5x 2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：_____21．观察表格：根据表格解答下列问题：(l) a ＝______，b ＝_____，c ＝_____；(2) 在下图的直角坐标系中画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，并根据图象，直接写出当x 取什么实数时，不等式ax 2＋bx ＋c > －3成立；（3）该图象与x 轴两交点从左到右依次分别为A 、B ，与y 轴交点为C ，求过这三个点的外接圆的半径．22．如图，顶点为C 的抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知OA=OB=2，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+12E′B的最小值．23．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：v(km/min) 0 1 2 3 4I 0 2 8 18 32(1)请根据上表中的数据，在直角坐标系中描出坐标(v，I)所对应的点，并用光滑曲线将各点连接起来；(2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v表示I的二次函数表达式；v(km/min) 1 2 3 42 v I 12121212(3)当汽车的速度分别是1.5 km/min，2.5 km/min，4.5 km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？24．二次函数2y ax bx c =++的图象过()3,0A -，()1,0B ，()0,3C ，点D 在函数图象上，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B ，D ，求：()1一次函数和二次函数的解析式；() 2写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．25．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点()0,3a ，对称轴为1x =．()1试用含a 的代数式表示b 、c ．()2当抛物线与直线1y x =-交于点()2,1时，求此抛物线的解析式． ()3求当()6b c +取得最大值时的抛物线的顶点坐标．26．如图，已知抛物线y=ax 2+32x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与轴交于C 点．（1）A 点的坐标是 ；B 点坐标是 ； （2）直线BC 的解析式是： ；（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由； （4）若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．27．如图，抛物线y=ax 2+c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （﹣2，0），B （﹣1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标．28．己知二次函数221y x x =--.(1)写出其顶点坐标为 ，对称轴为 ; (2)在右边平面直角坐标系内画出该函数图像; (3)根据图像写出满足2y >的x 的取值范围 .参考答案1．A 【解析】 【分析】根据二次函数2()y a x b c =-+的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为 (b, c) 判断即可. 【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2, 故选:A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质. 2．A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A 的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小． 【详解】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ， ∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A′是（-2，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的左边，而对称轴左边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断． 3．D 【解析】根据函数图象，我们可以得到以下信息：a ＜0，c ＞0，对称轴x=1，b ＞0，与x 轴交于（﹣1，0）（3，0）两点．①abc ＜0，正确； ②∵对称轴x=﹣2ba=1时， ∴2a+b=0，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y 的值都等于0，正确； ④当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，正确； 故选D ． 4．B 【解析】解：∵将抛物线y =﹣（x +1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y =﹣（x +1﹣2）2+3=﹣（x ﹣1）2+3．故选B ． 5．C 【解析】 【分析】)把点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭代入2361y x x =++,求出1y ，2y ，3y 的值,比较即可得到大小关系. 【详解】把点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭代入23612y x x =++得， y 1=9，y 2=3274，y 3=3154, ∴1y ，2y ，3y 的大小关系为23y y >>1y . 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上的点的坐标满足二次函数解析式. 6．D 【解析】 【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a 的取值范围即可. 【详解】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）∴-1=a×12∴a=-1∴-1≤a<0若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）∴2=a×12∴a=2∴0<a≤2∴a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2故选D【点睛】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．7．A【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标是P（2，5），可得抛物线的对称轴为x=2；依据图象分析对称轴的左，右两侧是上升还是下降，即可确定x的取值范围. 【详解】∵抛物线的顶点坐标是P（2，5），∴对称轴为x=2.∵图象在对称轴x=2的右侧，是下降的，即函数y随自变量x的增大而减小，∴x的取值范围是x＞2.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质. 8．A【解析】【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】∵y=-x 2+2x+12=-（x-1）2+32， ∴二次函数有最大值32．故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键． 9．A 【解析】试题解析：因为23y x =+的图象经过第一、二、三象限， 故选A ． 10．C 【解析】 【分析】由二次函数图象开口方向、对称轴的位置、图象与y 轴交点的位置得到a 、b 、c 的符号，即可判①；由图象可知，当x=0时，y ＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y ＜0，观察图象即可判定②；由图象可知，x=-1时，y ＞0，即可得a-b+c=0，根据对称轴-2ba=1，可得b=-2a ，代入即可判定③；由-2ba=1可得2a+b=0，所以3a+b=2a+b+a=a ＞0，即可判定④． 【详解】由二次函数图象开口向上，得到a>0；与y 轴交于负半轴，得到c<0，对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，则b<0，所以abc>0，①正确；②由图象可知，当x=0时，y ＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y ＜0，当x ＞2时，y 值得符号不确定，∴②不正确；③∵当x=-1时，y ＞0， ∴a-b+c=0，∵-2b a=1， ∴b=-2a ，∴a+2a+c ＞0，∴3a+c ＞0，∴③正确；④∵-2b a=1， ∴2a+b=0，∴3a+b=2a+b+a=a ＞0，∴④正确．综上，正确的结论为①③④.故选C ．【点睛】本题考查了抛物线图象与系数的关系，熟练运用抛物线的图象与系数的关系是解决问题的关键．11．y ＝(x －1) 2＋3．【解析】根据二次函数图象平移规律,左加右减,上加下减的平移规律,所以将二次函数y ＝x 2的图像向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的新图像的函数表达式是y ＝(x －1) 2＋3,故答案为: y ＝(x －1) 2＋3.12．2【解析】【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空.【详解】解：将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m-2）2．其对称轴为：x=2-m=0，解得m=2．故答案是：2.【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.13．-8, 7【解析】【分析】把y=2x 2-4x-1化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟y=2x 2+bx+c 的系数对比则可．【详解】把y=2x 2-4x-1=2（x-1）2-3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得y=2（x-2）2-1=2x 2-8x+7，所以b=-8，c=7．故答案为-8；7.【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．14．（1，0）【解析】试题解析：抛物线2(1)y x =-的顶点坐标是()1,0. 故答案为: ()1,0.点睛：根据抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k 直接写出即可． 15．2(2)1y x =--+（或243y x x =-+-）【解析】设抛物线解析式为y=a （x-2）2+1，把B （1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，即y=-x 2+4x-3故答案为：()221y x =--+（或y=-x 2+4x-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．16．1= 最小 3- 1> 1<【解析】【分析】先把解析式配成顶点式得到y=（x-1）2-3，根据二次函数的性质得到当x=1时，y 有最小值，最小值为-3；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．【详解】解：y=x 2-2x-2=（x-1）2-3，∵a=1＞0，∴当x=1时，y 有最小值，最小值为-3；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．故答案为=1，最小，-3，＞1，＜1．【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−2b a时，y=244ac b a -；当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−2b a时，y=244ac b a -． 17．＞ 14【解析】【分析】把抛物线解析式化为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=-2x 2+x-4=-2（x-14）2-318， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=14，∴当x＞14时，y随x的增大而减小，故答案是：＞14．【点睛】考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．18．－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．19．①②③④【解析】【分析】观察图象，通过抛物线的开口方向，对称轴x＝−b2a＞−1，以及与x轴交于两点这些条件，即可解答出该题．【详解】①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，由图象可看出抛物线的对称轴x＝b2a＜0，∴b＜0，故①正确．②由图象看出当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②正确．③由图象看出当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＜0，故③正确．④∵抛物线的对称轴大于−1，即x＝b2a＞−1，得出2a−b＜0，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题综合考查了抛物线的性质，体现了数形结合的思想，同学们要熟练掌握．20．25(5)3y x =-+-【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】∵抛物线y=-5x 2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-5，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+5）2-3，故答案为y=-5（x+5）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．21．（1）1，-2，-3；（2）图象见解析，0x <或2x >；（3【解析】【分析】（1）直接将()11，代入求出a 即可，进而将2x =代入求出y ，再分别将()()03,23--，，代入求出b c ，的值；（2）再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集．（3）根据题意求得外接圆的圆心的坐标为()1,1-，进而求得圆的半径.【详解】(1)2y ax =过(1,1)，∴1=a ，∴当x =2时,224y ==， 2y ax bx c =++过(0,−3),(2,−3)，a =1，23,3223c b ∴=--=+-，解得：b =−2，223y x x ∴=--，当x =1时，y =−4， 故答案为1，−2，−3；(2)如图所示：当0x <或2x >时,不等式2 3.ax bx c ++>-(3)由(2)可知A (−1,0),B (3,0),C (0,−3)， 则作BC 、AB 的垂直平分线的交点Q (1,−1)，∴外接圆的半径()()223101 5.QB =-++= 22．(1)3223x ；（2）点P 坐标为（03043）；（321. 【解析】 【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A 点坐标，以及B 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE ，23，推出当OP=12OC 或OP′=2OC 时，△POC 与△AOE 相似； （3）如图，取Q （12，0）．连接AQ ，QE ′．由△OE′Q ∽△OBE ′，推出12E Q OE BE OB ''=='，推出E′Q=12BE ′，推出AE′+12BE′=AE′+QE ′，由AE′+E′Q≥AQ ，推出E′A+12E′B 的最小值就是线段AQ 的长.【详解】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°，∴OH=1，AH=3，∴A点坐标为：（-1，3），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：3420a ba b⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得：3323ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴抛物线的表达式为：y=33x2-23x；（2）如图，∵C（1，-33），∴tan∠EOC=33ECOE=，∴∠EOC=30°，∴∠POC=90°+30°=120°，∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°，∵OA=2OE，OC=233，∴当OP=12OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，∴OP=3，OP′=433，∴点P坐标为（0，3）或（0，43）．（3）如图，取Q（12，0）．连接AQ，QE′．∵12 OE OQ OB OE'=='，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，∴12E Q OEBE OB''=='，∴E′Q=12 BE′，∴AE′+12BE′=AE′+QE′，∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+12E′B的最小值就是线段AQ22321()(3)22+=．【点睛】本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．23．解：(1)如图所示；(2)2v2；(3)4.5，12.5，40.5.【解析】试题分析：将表（1）里各个数据在直角坐标系里描出，连接各点，形成的光滑曲线就是速度与撞击影响之间的函数图象.从表格里可看出速度与撞击影响的函数表达式为I=2v2;当V=1.5,2.5,4.5时，代入函数表达式中可求得撞击影响.解：(1)如图所示．(2)由表格得I＝2v2.(3)当V=1.5,2.5,4.5时，I=4.5，12.5，40.5.所以撞击影响分别是4.5，12.5，40.5.24．()12123y x x=--+，21y x=-+；()22x<-或1x>【解析】【分析】（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据（1）画出函数图象，即可写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【详解】()1二次函数21y ax bx c=++的图象经过点()A3,0-，()B1,0，()C0,3，则9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故二次函数图象的解析式为21y x 2x 3=--+，∵对称轴x 1=-，∴点D 的坐标为()2,3-，设2y kx b =+，∵2y kx b =+过B 、D 两点，∴023k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩． ∴2y x 1=-+；()2函数的图象如图所示，∴当21y y >时，x 的取值范围是x 2<-或x 1>．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小，画出函数图象熟练运用数形结合是解决第2问的关键．25．（1）2b a =-；（2）抛物线为212133y x x =-+；（3）抛物线的顶点坐标为()1,2-． 【解析】【分析】（1）根据抛物线与y 轴的交点可以得到c 与a 的关系，根据对称轴可以得到b 与a 的关系； （2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a 、b 、c 的值即可求得其解析式；（3）b （c+6）=-2a （3a+6）=-6a 2-12a=-6（a+1）2+6，从而确定a 的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．【详解】解：()1∵抛物线与y 轴交于点()0,3a∴3c a =∵对称轴为1=， ∴12b x a=-= ∴2b a =-；()2∵抛物线与直线1y x =-交于点()2,1，∴()2,1在抛物线上，∴()212223a a a =⨯+-+ ∴13a = ∴223b a =-=-31c a == ∴抛物线为212133y x x =-+；()3∵()()2262366126(1)6b c a a a a a +=-+=--=-++ 当1a =-时，()6b c +的最大值为6；∴抛物线2223(1)2y x x x =-+-=---故抛物线的顶点坐标为()1,2-．【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数最值以及待定系数法求二次函数解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解题的关键.26．（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ； （3）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16 ；（4）（8-，0），（4，0），（5+0），（50）.【解析】【分析】可得a 的值，求出解析式.由解析式可得出C 和B 的坐标，从而得出直线的解析式.运用假设法，连接辅助线可以设出P,D 的坐标，表达出相应△PBC 的面积解析式，分析可得出结果.由平行四边形的定义可求出答案.【详解】（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ； （3）假设存在点P ，连结PB 、PC ，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ，设点P （m ，213442m m -++） 则点D （m ，142m -+） 所以PD =213442m m -++- 142m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =2124m m -+ ∴211128224PBC S PD OB m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()228416m m m =-+=--+∵点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合）∴08m <<∴当4m =时，△PBC 的面积最大，最大面积是16∴存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16（4）（8-，0），（4， 0），（541+0），（541，0） .【点睛】本题考查了一元二次方程的解析式的结构，和直线解析式的求解，以及品行四边形的定义，熟练掌握这些是解决本题的关键.27．（1）y=x 2﹣4；（2）M （0，﹣2）【解析】（1）将A 、B 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；（2）由于A 、D 关于抛物线对称轴即y 轴对称，那么连接BD ，BD 与y 轴的交点即为所求的M 点，可先求出直线BD 的解析式，即可得到M 点的坐标；解：（1）由题意可得：403a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩； ∴抛物线的解析式为：y =x 2﹣4；（2）由于A 、D 关于抛物线的对称轴（即y 轴）对称，连接BD ．则BD 与y 轴的交点即为M 点；设直线BD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），则有：320k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得12k b =⎧⎨=-⎩； ∴直线BD 的解析式为y =x ﹣2，∴点M （0，﹣2）．点睛：本题主要考查待定系数法及二次函数的性质.利用二次函数的对称性是解题的关键. 28．（1，-2），直线x=1, x ＜-1或x ＞3．【解析】试题分析：（1）利用配方法将二次函数的解析式由一般式该写为顶点式，由此即可得出该函数的顶点坐标以及对称轴；（2）利用五点法画出函数图象即可；（3）观察函数图象，根据二次函数图象与2y =的上下位置关系即可得出不等式的解集．试题解析：()22121(1)2y x x x =--=--，∴该二次函数的顶点坐标为(1,−2)，对称轴为x =1.故答案为(1,−2)；x =1.(2)找出函数图象上部分点的坐标，如图所示：x… −1 0 1 2 3 … y… 2 −1 −2 −1 2 …描点、连线,画出函数图象如图所示.(3)观察函数图象可知：当x <−1或x >3时，函数图象在y =2的上方， ∴满足y >2的x 的取值范围为x <−1或x >3.故答案为x <−1或x >3.。
初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3（附答案详解）1．将抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ．2(2)3y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =++2．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x 交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b +c +6＝0；③当x 2+bx +c ＞2x时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④3．二次函数y ＝2x 2－8x ＋9的图象可由y ＝2x 2的图象怎样平移得到（ ） A ．先向右平移2个单位再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位再向下平移1个单位 C ．先向左平移2个单位再向上平移1个单位 D ．先向左平移2个单位再向下平移1个单位4．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＝y 1＜y 2B ．y 3≤y 2≤y 1C ．y 2＜y 1＝y 3D ．y 1＜y 2＜y 35．对于每个自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B ，两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +值为（ ）. A ．20142015B ．20162015C ．20152014D ．201520166．已知点A(-3,y 1),B(-1,y 2),C(2,y 3)在函数y=-x 2的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．抛物线y=﹣x 2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（ ） A ．向左平移2个，再向下平移3个单位 B ．向右平移2个，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个，再向上平移3个单位D ．向右平移2个，再向上平移3个单位9．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．1210．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＝0；③a ＞2；④ax 2+bx +c ＝﹣2的根为x 1＝x 2＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．将抛物线y ＝x 2﹣6x +5化成y ＝a （x ﹣h ）2﹣k 的形式，则hk ＝_____． 12．如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,2,0,4,2A B C ，若二次函数22y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是__________．13．若抛物线y=x 2+bx(b>2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围是______.14．已知抛物线的顶点坐标为(1,8)--，且过点(0,6)-，则该抛物线的表达式为________．15．二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是______.16．抛物线2(0)y ax a =≠沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2yx 沿直线y x =向上平移，平移距离2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．17．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2 的图象经过点M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4< x 1< -2， 0< x 2 <2 ，则 y 1 ____ y 2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接） 18．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的_____． 19．已知抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，—1），则b 的值为______.20．某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：_____ x 0 1 2 3 4 y3﹣2321．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3．（1）把函数关系式配成顶点式并求出图象的顶点坐标和对称轴．（2）若图象与x 轴交点为A ．B ，与y 轴交点为C ，求A 、B 、C 三点的坐标； （3）在图中画出图象．并求出△ABC 面积．22．已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-．()1求此抛物线的顶点D 的坐标；()2将此图象沿x 轴向左平移2个单位长度，直接写出当y 0<时x 的取值范围．23．已知二次函数y ＝x 2﹣6mx+9m 2+n （m ，n 为常数）（1）若n ＝﹣4，这个函数图象与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，试求△ABC 面积的最大值；（2）若n ＝4m+4，当x 轴上的动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，求点Q 的坐标．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:23c y ax ax =-+与直线:l y kx b =+交于A ，B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上.（1）直接写出点A 的坐标； （2）若1a =-，求直线l 的解析式； （3）若31k -≤≤-，求a 的取值范围.25．如图，是一块三角形材料，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，要使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在何处？26．如图，已知二次函数21:22(0)L y ax ax a a =++->和二次函数22:(2)2(0)=--+>L y a x a 图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），(1))函数222(0)y ax ax a a =++->的顶点坐标为 ；当二次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ；(2)当AD=MN 时，求a 的值，并判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； (3)当B ，C 是线段AD 的三等分点时，求a 的值.27．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，顶点是D ，且∠DAB ＝45°． （1）填空：点C 的纵坐标是 （用含a 、m 的式子表示）； （2）求a 的值；（3）点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，当﹣12≤m ≤52时，求BC ′的长度范围．28．如图，直线y =－x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA =12OB , 抛物线y =ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；（3）设点E为抛物线对称轴与直线BC的交点，若A，B，E三点到同一直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使得d1= d2=12d3? 若存在，请直接写出d3的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行判断即可. 【详解】解：抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的函数关系式是：2(2)3y x =++. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】由函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，3b +c +6＝0；利用抛物线和双曲线交点（2，1）得出x 的范围；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案． 【详解】∵函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4ac ＜0； ∴b 2﹣4c ＜0 故①不正确；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3， 即3b +c +6＝0； 故②正确；把（1，1）（3，3）代入y ＝x 2+bx +c ，得抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +3， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣3x +3＝1，y ＝2x＝1， 抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．A【解析】【分析】先将二次函数y＝2x2－8x＋9变形为顶点式，再利用函数平移规则：上加下减，左加右减，即可解答.【详解】y＝2x2－8x＋9=2（x-2）2+1所以由y＝2x2的图象先向右平移2个单位再向上平移1个单位得到二次函数y＝2x2－8x＋9的图象.故选A【点睛】本题考查二次函数平移，熟练掌握二次函数平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键. 4．A【解析】【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝12，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3＝﹣（x ﹣12）2﹣114，∴对称轴为x ＝12， ∵a ＜0， ∴x ＜12时，y 随x 增大而增大， ∵（3，y 3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y 3） ∴y 3＝y 1＜y 2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性． 5．D 【解析】 【分析】首先求出抛物线与x 轴两个交点坐标，然后由题意得到n n A B 111n n =-+，进而求出1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +的值．【详解】 令y =x 2()211n n n +-+x ()11n n +=+0， 即x 2()211n n n +-+x()11n n +=+0， 解得：x 1n =或x 11n =+， 故抛物线y =x 2()211n n n +-+x ()11n n ++与x 轴的交点为（1n ，0），（11n +，0），由题意得：n n A B 111n n =-+，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +=11111122320152016-+-++-=11201520162016-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是求出n n A B ． 6．B 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y 1、y 2、y 3的值，然后比较它们的大小． 【详解】当x=-3时，y 1=-x 2=-9；当x=-1时，y 2=-x 2=-1；当x=2时，y 3=-x 2=-4， 所以y 1＜y 3＜y 2． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7．A 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线y=-x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x 2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3． 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8．C【解析】【分析】 根据图上给出的条件是与x 轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a 、b 的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【详解】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，3022a b b a++=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩ 解得a=1，b=-4，∴y=x 2-4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（-1，0）或（3，0），所以对称轴为y 轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C ．【点睛】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．9．B【解析】【分析】求得平移后抛物线的顶点坐标，根据平移规律求得原抛物线的顶点坐标，写出原抛物线解析式，即可取得a 、b 、c 的值．【详解】y ＝x 2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣，）．故原抛物线的解析式是：y ＝（x+）2+＝x 2+x+3．所以a ＝b ＝1，c ＝3．所以a ﹣b+c ＝1﹣1+3＝3．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=， ∵12b a-=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.11．﹣12．【解析】【分析】将抛物线化成顶点式，可得h ，k 的值，代入计算即可.【详解】解：∵y ＝x 2﹣6x +5＝x 2﹣6x +9﹣4＝（x ﹣3）2﹣4，∴h ＝3，k ＝﹣4，∴hk ＝3×（﹣4）＝﹣12．故答案是：﹣12．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.12．b≥-4【解析】【分析】因为a=1＞0，根据左同右异可知，对称轴在y 轴的左侧时，b ＞0，对称轴在y 轴右侧时，b ＜0，对称轴x=-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点． 【详解】抛物线y=x 2+bx+2与y 轴的交点为（0，2），∵C （4，2），当对称轴在y 轴的右侧时当C 与（0，2）是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，∴对称轴0＜-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴-4≤b ＜0．当对称轴在y 轴或y 轴的右侧时，都满足条件则有-02b ≤ 解得：b ≥0， 故有b≥-4故答案为b≥-4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求b 的取值范围，并利用数形结合的思想．13．b>3【解析】【分析】可设出对称的两个点P ，Q 的坐标，利用两点关于直线y=x 成轴对称，可以设直线PQ 的方程为y=-x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx =-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去b ，建立关于a 的函数关系，求出变量a 的范围．【详解】解：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y=x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx=-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解， 即得方程x 2+（1+b ）x -a=0．①判别式△=21b （）+-41a ⨯⨯-（）＞0．② 由①得x 0=x1x22+=-1b 2+，y 0=-x 0+a=1b 2++a ∵M （x 0，y 0）在y=x 上，x 0=y 0∴-1b 1b 22++=+a ∴a=-b-1代入②解得b ＞3或b <-1 ∵b>2，∴b ＞3故答案为b ＞3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量． 14．22(1)8y x =+-【解析】【分析】利用顶点式求解即可，设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入求解.【详解】设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入，得-6=a ×（0+1）2-8，∴a=2，∴22(1)8y x =+-.故答案为：22(1)8y x =+-.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0）；顶点式y=a （x-h ）2+k ，其中顶点坐标为（h ，k ）；交点式y=a （x-x 1）（x-x 2），抛物线与x 轴两交点为（x 1，0），（x 2，0）．15．(-1,-4)【解析】【分析】根据抛物线的顶点式直接得到答案.【详解】二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是(1,4)--.【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），解决此题需注意坐标的符号问题.16．()211y x =-+【解析】【分析】沿直线y=x y=ax 2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =向上平移，相当于抛物线()2y ax a 0=≠向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．>【解析】【分析】通过比较点M 和点N 到y 轴的距离的远近判断y 1与y 2的大小．【详解】解：抛物线y=x 2的对称轴为y 轴，而M （x 1，y 1）到y 轴的距离比N （x 2，y 2）点到y 轴的距离要远，所以y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．18．丙【解析】【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，然后计算自变量为-1和2对应的函数值，从而判断丙错误．【详解】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，当x=-1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．8【解析】【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b 的一元一次方程，解方程即可．【详解】∵抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，-1），∴对称轴x=-22b =2， 解得：b=8．故答案为8．【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．20．y＝x2﹣4x+3．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），则有：a（0﹣1）（0﹣3）＝3，a＝1；∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．故答案为y=x2﹣4x+3【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．21．（1）y=﹣（x+1）2+4（2）抛物线与 y 轴的交点 C（0，3）（3）6【解析】【分析】（1）根据配方法步骤将解析式配成顶点式可得；（2）求出y=0时x的轴可得点A、B的坐标，求出x=0时y的值可得点C的坐标；（3）根据抛物线的顶点坐标及其与坐标轴的交点可画出抛物线的图象，再由三角形的面积公式可得答案．【详解】（1）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线 x ＝﹣1； （2）当 y ＝0 时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x ＝1 或 x ＝﹣3，∴抛物线与 x 轴的交点 A （﹣3，0）、B （1，0），当 x ＝0 时，y ＝3，∴抛物线与 y 轴的交点 C （0，3）；（3）其函数图象如下图所示：S △ABC ＝ AB•y C ＝ ×4×3＝6．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式.22．(1) D 的坐标为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭；(2) 4x 1-<<. 【解析】【分析】 ()1根据抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求得点D 的坐标；()2根据平移的特点，可以得到平移后抛物线的解析式，从而可以写出当y 0<时x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-， {c 642b c 0=-∴-+=，得{b 1c 6=-=-， ∴抛物线的解析式为22125y x x 6(x )24=--=--， ∴此抛物线的顶点D 的坐标为125,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ()2抛物线的解析式为2125y (x )24=--， ∴此图象沿x 轴向左平移2个单位长度后对应的函数解析式为：22125325y (x 2)(x )2424=-+-=+-， ∴平移后抛物线的对称轴为直线3x 2=-，当y 0=时，1x 4=-，2x 1=， ∴当y 0<时x 的取值范围是4x 1-<<．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（1）当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把n ＝﹣4代入得到带有m 的解析式解析式y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，再用带有m 的值表示出A 、B 、C 的坐标，然后得出三角形面积判断最大值；（2）把n ＝4m+4代入原解析式得到y ＝（x ﹣3m ）2+4m+4，得出顶点P 的坐标，再根据动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小时为PQ 的横坐标相同，即可得出Q 的坐标.【详解】解：（1）若n ＝﹣4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，当x ＝0时，y ＝9m 2﹣4，∴C （0，9m 2﹣4），∵这个函数图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，∴9m 2﹣4＜0，当y ＝0时，x 2﹣6mx+9m 2﹣4＝0，x 1＝3m+2，x 2＝3m ﹣2，∴A （3m+2，0），B （3m ﹣2，0），∵3m+2﹣（3m ﹣2）＝4，∴AB ＝4，∴S △ABC ＝1•2C AB y ＝12×4•（﹣9m 2+4）＝﹣2m 2+8， ∵﹣2＜0，∴当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）若n ＝4m+4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2+4m+4＝（x ﹣3m ）2+4m+4，∴P （3m ，4m+4），当动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，则Q 为（3m ，0）且4m+4＝±4， 解得m ＝﹣2或m ＝0，∴Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【点睛】本题是二次函数的动点题型，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.24．（1）()0,3A ；（2）3y x =-+；（3）a<−1或a>3【解析】【分析】（1）抛物线C ：y=ax 2-2ax+3与y 轴交于点A ，令x=0，即可求得A 的坐标；（2）令y=0，解方程即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式； （3）当a=3时，抛物线C 过点B （1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C 过点B （3，0），此时k=-1．结合图象即可求得．【详解】(1)∵抛物线C:y=ax 2−2ax+3与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0,3).(2)当a=−1时,抛物线C 为y=−x 2+2x+3.∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，∴点B的坐标为(3,0).∵直线l:y=kx+b过A，B两点，∴330bk b=⎧⎨+=⎩.解得13kb=-⎧⎨=⎩.∴直线l的解析式为y=−x+3.(3)如图，当a>0时，当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.结合函数图象可得a>3.当a<0时，当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.结合函数图象可得a<−1.综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3.【点睛】本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.25．使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC ＝12AB ＝3，由勾股定理得，AC ==在Rt △ADF 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2DF ，AF DF ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝，则矩形DECF 面积＝DF ×（）2=23)24DF -+当DF ＝32时，剪出的矩形DECF 面积最大， 则AD ＝2DF ＝3，∴使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在AB 的中点．【点睛】本题考查的是勾股定理、二次函数的性质、矩形的性质，根据勾股定理、矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．26．（1）顶点坐标为M （-1，-2），12x -<<；（2）四边形AMDN 是矩形，理由见解析；（3）a =329 【解析】【分析】（1）把222(0)y ax ax a a =++->化为顶点式()212y a x =+-，即可求出顶点坐标；根据图像即可求出次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围； （2）由两点间的距离公式求出MN 的长，用含a 的代数式表示出AD 的长，根据AD =MN列方程即可求出a 的值；由两点间的距离公式可求AN =MD ，AM =DN ，从而可证四边形AMDN是平行四边形，又AD =MN ，所以可证四边形AMDN 是矩形；（3）当B ，C 是线段AD 的三等分点时，分两种情况，根据两点间的距离公式求解：①点C 在点B 的左边，②点B 在点C 的左边.【详解】（1）∵222(0)y ax ax a a =++->∴()212y a x =+-，∴顶点坐标为M （-1，-2）；∵M （-1，-2），N （2，2），∴当1x >-时， L 1 的y 值随着x 的增大而增大，当2x <时，L 2的y 值随着x 的增大而增大. ∴x 的取值范围是12x -<< .（2）如图1，MN =，当y=0时，即()2120a x +-=，解得1A x =--1B x =-+当y=0时，即()2220a x --+=，2C x =-2D x =+∴AD=（2+-（1--=3+当AD=MN 时，即3+，解得a =2. 当 a =2时，1A x =--2，2D x =3，∵==∴AN=DM,∵==,∴AM=DN,∴四边形AMDN 是平行四边形，∵AD=3-(-2)=5,MN=5,∴AD=MN,∴四边形AMDN 是矩形 ;（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：①点C在点B的左边，如图2，BC=（21a-+-（22a-=232a-+AC=BD=3 ，即232a-+，解得29a=;②点B在点C的左边，如图3，CB=（22a--（21a-+=23a-AB=CD=22a，即22a23a-329a= .【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定，数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键.27．（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤94．【解析】【分析】（1）代入0x =求出y 值，此问得解；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，由二次函数的对称性可得出ABD 为等腰直角三角形，进而可得出2AB DE =，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B 、D 的坐标，由2AB DE =可得出关于a 的无理方程，解之即可得出a 值；（3）由（1）（2）可得出点B 、C 的坐标，由旋转的性质可得出点'C 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2'2BC m m =-++，再利用二次函数的性质即可求出：当1522m -≤≤时，'BC 的长度范围. 【详解】解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝am 2+1，∴点C 的纵坐标为am 2+1．故答案为am 2+1．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，如图1所示．∵DA ＝DB ，∠DAB ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2DE ．∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝a （x ﹣m ）2+1，∴点D 的坐标为（m ，1）．当y ＝0时，ax 2﹣2amx +am 2+1＝0，即a （x ﹣m ）2＝﹣1，解得：x 1＝m x 2＝m∴AB ＝2， 解得：a ＝﹣1．（3）由（1）（2）可知：点C 的坐标为（0，1﹣m 2），点B 的坐标为（m +1，0）．∵点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，∴点C ′的坐标为（m 2﹣1，0），∴BC ′＝|m +1﹣（m 2﹣1）|＝|﹣m 2+m +2|．∵﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣12）2+94，﹣12≤m ≤52，∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣74；当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为94，∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m+2≤94，∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤94．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解无理方程、两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入0x 求出y值；（2）利用等腰直角三角形的性质找出关于a的无理方程；（3）利用二次函数的性质找出'BC的长度范围.28．（1）y=－12x2+ x+4；（2）当m=2时，PE2；（3）存在，满足题意的d3的值为2或665．【解析】【分析】（1）由直线y=-x+4得出B（4，0），C（0，4），即可得出A（-2，0），将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；（2）已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．（3）见解析.【详解】解:（1）由y=－x+4得当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴B (4，0) ，C (0，4)， ∴ OB =4．∴ OA =12OB =2， ∴ 点 A (－2，0)． 把A (－2，0)，B (4，0)分别代入抛物线y =ax 2+bx +4中，得4230,16430.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,21.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 抛物线的解析式为 y =－12x 2+ x +4． （2）∵ 点P 的横坐标为m ，则P (m ，－12m 2+ m +4)． 过点P 作PF ∥y 轴交BC 于点F ，则F (m ，－m +4) ．∴ PF =－12m 2+ m +4－(－m +4)=－12m 2+2m ． 在Rt △OBC 中，OB =4，OC =4．又 PF ∥y 轴， ∴ ∠PFD =∠OCB=45°．∴ PD =PF ·sin ∠PFD = PF ·sin ∠OCB =22(－12m 2+2m )=－24(m －2)22 ∵ 0＜m ＜4，－24＜0，∴ 当m =2时，PE 2 （3）存在，∵y =－12x 2+ x +4=－12（x-1）²+92， ∴C 点坐标为（1,3），如图，d 1= d 2=12d 3 ，满足题意的d3的值为2或6或655．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，。
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初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题（附答案详解）1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），自变量x 与函数y 的对应值如下表：则下列说法正确的是（ ） x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.06 4.9 …A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最大值是6D ．抛物线的对称轴是x=﹣2．已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ＞1，其中正确的项是（ ）A ．①⑤B ．①②⑤C ．②⑤D ．①③④ 3．抛物线216242y x x =-+的顶点是（ ） A ．()6,6-- B ．()6,6- C ．()6,6 D ．()6,6-4．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．y=﹣5（x+1）2﹣1B ．y=﹣5（x ﹣1）2﹣1C ．y=﹣5（x+1）2+3D ．y=﹣5（x ﹣1）2+35．已知二次函数y=（x+1）2+（x ﹣3）2 ， 当函数y 取最小值时，x 的值是（ ） A ．x=﹣1 B ．x=3 C ．x=2 D ．x=16．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的解析式为( )x …1- 0 1 2 … y… 1- 74- 2- 74- … A ．2y x x 424=-- B ．2y x x 424=+- C ．2117y x x 424=--+ D ．2117y x x 424=-++7．二次函数y=mx 2+（6﹣2m ）x+m ﹣3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞3B ．m ＜3C ．0≤m≤3D ．0＜m ＜3 8．二次函数y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且过点（1，0），设t=a ﹣b ﹣2，则t 值的变化范围是（ ）A ．﹣2＜t ＜0B ．﹣3＜t ＜0C ．﹣4＜t ＜﹣2D ．﹣4＜t ＜0 9．将抛物线y ＝2（x ﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝2x 2+1B ．y ＝2x 2﹣3C ．y ＝2（x ﹣8）2+1D ．y ＝2（x ﹣8）2﹣3 10．已知抛物线235y x bx c =++与y 轴交于点()0,3A ，与x 轴交于点()1,0B ，则此抛物线的解析式为（ ）A ．2318355y x x =++ B ．2353518y x x =-+ C ．2318355y x x =-- D ．2318355y x x =-+ 11．将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是_____． 12．如果点P 1(-a,3)和P 2(1,b)关于y 轴对称,则经过原点和点A(a,b)的直线的函数关系式为______.13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点P （a ，bc ）在第_____象限．14．把抛物线y 1向右平移2个单位，再绕原点旋转180°得到抛物线y 2=2x 2+4x +4，则y 1的解析式为______．15．一条抛物线的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则该抛物线的函数表达式是_____．16．抛物线2483y x x =-+-的开口方向向______，对称轴是__________，最高点的坐标是_________，函数值得最大值是________．17．已知点A （－3，y 1），B （－1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y ＝ x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________________.18．抛物线的顶点坐标是________．19．与抛物线223y x x =-+关于x 轴对称的抛物线解析式是__________．20．将抛物线y=﹣3x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则它的关系式为 ．21．用配方法求二次函数y=x 2﹣10x+3的顶点坐标．22．已知一元二次方程x 2+px+q+2=0的一根为3．（1）求q 关于p 的关系式；（2）求证：抛物线y=x 2+px+q 与x 轴有两个交点；（3）设抛物线y=x 2+px+q 与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且x 1+x 2﹣5x 1x 2+1=0，求抛物线的解析式．23．如图，已知：二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为（-3，0），与 y 轴交于点 C （0，-3）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点 P ，求出当 PB+PC 最小时点 P 的坐标；（3）若抛物线上有一动点Q ，使△ABQ 的面积为6，求Q 点坐标．24．用适当的方法解下列方程：（1）2x 2-8x=0；（2）x 2-3x －4=0．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．（3）y=12x 2－x+3（公式法）．25．已知抛物线过点（，）和点（1，6），（1）求这个函数解析式；（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；26．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝x2的形状相同，对称轴是直线x＝2，且顶点在直线y＝12x＋3上．求此抛物线的解析式．27．对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}＝2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．（1）设y1＝x，y2＝1x，则函数y＝min{x，1x}的图象应该是中的实线部分．（2）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：①；②；③；（3）函数y＝min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于对称．28．如图，直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴的另一个交点为点A（点A在点B的左侧），对称轴为l1，顶点为D．（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．（2）点M（0，m）为y轴上一动点，过点M作直线l2平行于x轴，与抛物线交于点P （x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），且x2＞x1＞0．①结合函数的图象，求x3的取值范围；②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m的值．参考答案1．D【解析】【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴进而得出答案． 【详解】解：由数据可得：当x=﹣3和﹣2时，对应y 的值相等，故函数的对称轴为：直线，且数据从x=﹣5到﹣3对应的y 值不断减小，故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，时，y 随x 的增大而增大． 故选项A ，B ，C 都错误，只有选项D 正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键．2．A【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵对称轴为x=-2b a＞0， ∴a 、b 异号，即b ＜0，又∵c ＜0，∴abc ＞0，故本选项正确；②∵对称轴为x=-2b a ＞0，a ＞0， -2b a＜1， ∴-b ＜2a ，∴2a+b ＞0；故本选项错误；③当x=1时，y 1=a+b+c ；当x=m 时，y 2=m （am+b ）+c ，当m ＞1，y 2＞y 1；当m ＜1，y 2＜y 1，所以不能确定； 故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c ＞0；∴（a+b+c ）（a-b+c ）=0，即（a+c ）2-b 2=0，∴（a+c ）2=b 2故本选项错误；⑤当x=-1时，a-b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（-c ）＞1，即a ＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．故选A ．3．C【解析】【分析】 化为顶点式表达式即可求出抛物线216242y x x =-+的顶点坐标． 【详解】 解：抛物线2211624(6)622y x x x =-+=-+， 所以抛物线216242y x x =-+的顶点是()6,6． 故选C ．【点睛】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们之间的转化方法是解题的关键． 4．A【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．详解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选A．点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．5．D【解析】【分析】将二次函数整理成一般式,根据开口方向,在对称轴处取得最小值,求出对称轴即可解题. 【详解】y=x2+2x+1+x2-6x+9=2x2-4x+10,∵二次函数开口向上,∴函数有最小值,当x=-b2a=1时,y有最小值=8故选D.【点睛】本题考查了二次函数图像的性质,属于简单题,求出二次函数的对称轴是解题关键. 6．A【解析】【分析】根据表中数据得到抛物线过点（0，-74）和（2，-74），则利用抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x=1，而x=1时，y=-2，则抛物线的顶点坐标为（1，-2），于是设顶点式y=a（x-1）2-2，然后把（-1，-1）代入求出a的值即可.【详解】解：∵抛物线过点（0，-74）和（2，-74），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）设抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，把（-1，-1）代入得4a-2=-1，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14（x-1）2-2=14x2-12x-74．故选A.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.7．D【解析】【分析】由抛物线的开口向上知m＞0，由对称轴在y轴的左侧可与得到x=﹣622mm-＜0，由二次函数与y轴交于负半轴可以推出m﹣3＜0，又抛物线与x轴有两个交点（b2﹣4ac＞0），可以得到（6﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，然后利用前面的结论即可确定m的取值范围．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴m＞0，①∵对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣622mm-＜0，②∵二次函数与y轴交于负半轴，∴m﹣3＜0，③∵抛物线与x轴有两个交点（b2﹣4ac＞0），∴（6﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，④联立①②③④解得：0＜m＜3，∴m的取值范围是0＜m＜3．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象的图象和性质．由图象得出各种条件是解答本题的关键．8．D【解析】【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=a+b-2，把点（1，0）代入y=ax 2+bx-2，a+b-2=0，然后根据顶点在第三象限，可以判断出a 与b 的符号，进而求出t=a-b-2的变化范围．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx-2的顶点在第三象限，且经过点(1,0)∴该函数是开口向上的，a>0∵y=ax 2+bx ﹣2过点（1，0）,∴a+b-2=0.∵a>0,∴2-b>0.∵顶点在第三象限,∴-2b a<0. ∴b>0.∴2-a>0.∴0<b<2.∴0<a<2.∴t=a-b-2.∴﹣4＜t ＜0.【点睛】本题考查大小二次函数的图像，熟练掌握图像的性质是解题的关键.9．A【解析】【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．【详解】抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x 2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x 2-1+2，即y=2x 2+1；故选A【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．10．D【解析】【分析】将A （0，3），B （1，0）两点代入抛物线y ＝35x 2＋bx ＋c 中，列方程组求b 、c 即可． 【详解】将A （0，3），B （1，0）两点代入抛物线y ＝35x 2＋bx ＋c 中， 得3{305c b c =++=，解得18{53b c =-=， 即y ＝35x 2185-x ＋3． 故选D ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式的一般方法，需要熟练掌握．11．2【解析】【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空.【详解】解：将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m-2）2．其对称轴为：x=2-m=0，解得m=2．故答案是：2.【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.12．y=3x【解析】【分析】设正比例函数的解析式为()0y kx k =≠,先利用关于y 轴对称的点的坐标特征求出a 、b ，确定A 点坐标为()1,3,然后把A ()1,3代入y kx =,计算出k 即可．【详解】解：设正比例函数的解析式为y kx =()0k ≠点()3a -，和()21P b ，关于y 轴对称， 13a b ∴==，，()1,3A ∴点坐标为，把()1,3代入y kx =，解得k=3，∴ 所求的直线解析式为3y x =.3y x =故答案为．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：先设正比例函数的解析式为y kx =()0k ≠，再把图象上的一个已知点的坐标代入，然后计算出k 的值即可确定正比例函数解析式．也考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征．13．三．【解析】∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴左边，∴a ，b 同号即b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴，∴c ＞0，∴bc ＜0，∴点p （a ，bc ）在第三象限．故填空答案：三．14．y 1=﹣2（x +1）2﹣2．【解析】∵y 2=2x 2+4x +4，=2（x 2+2x +1）+2，=2（x +1）2+2，∴抛物线y 2的顶点坐标为（﹣1，2），∵抛物线y 1向右平移2个单位，绕原点旋转180°得到抛物线y 2，∴抛物线y 1向右平移2个单位的顶点坐标为（1，﹣2），∵抛物线y 1向右平移2个单位，∴抛物线y 1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴抛物线y 1的解析式为y 1=﹣2（x +1）2﹣2．故答案为：y 1=﹣2（x +1）2﹣2．15．2(2)1y x =--+（或243y x x =-+-）【解析】设抛物线解析式为y=a （x-2）2+1，把B （1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，即y=-x 2+4x-3故答案为：()221y x =--+（或y=-x 2+4x-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．16．下 直线x=1 （1，1） 1【解析】y=-4x 2+8x-3=-4（x 2-2x+1）+1=-4（x-1）2+1，∴开口方向向下，对称轴是直线x=1，最高点的坐标是（1，1），函数值的最大值是1． 故答案为下；直线x=1；（1，1）；1． 点睛：函数y=ax 2+bx+c=a(x+2b a )2+244ac b a -，其对称轴为直线x=-2b a ，最高点坐标为（-2b a ，244ac b a -），函数的最值为244ac b a-（a>0时是最小值，a<0时是最大值）. 17．y 1>y 3>y 2【解析】∵当x=−3时,y 1=x 2=9；当x=−1时,y 2= x 2=1；当x=2时,y 3=x 2=4，∴y 1>y 3>y 2.故答案为y 1>y 3>y 2.18．（-3，1）【解析】【分析】由二次函数的顶点式方程y=a （x-k ）2+h 的顶点坐标是（k ，h ）即可得出答案.【详解】解：抛物线的顶点坐标是（-3，1）.故答案为：（-3，1）.【点睛】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a （x-k ）2+h 的顶点坐标是（k ，h ），对称轴方程是x=k ．19．223y x x =-+-【解析】分析：把原抛物线解析式转化为顶点式形式，求出顶点坐标，再根据关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出描出的抛物线的顶点坐标，然后根据描出的抛物线与原抛物线形状相同，开口方向向下写出解析式即可．详解：∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴顶点(1,2)，∴顶点关于x 轴，对称点为(1,2)-且开口向下，∴22(1)223y x x x =---=-+-．故答案为：223y x x =-+-.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是求出关键点—顶点的对称坐标，然后根据对称性求出函数的解析式，是常考题.20．y=﹣3（x ﹣2）2+3．【解析】试题分析：∵将抛物线y ＝﹣3x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣3(x﹣2)2＋3．故答案为：y＝﹣3(x﹣2)2＋3．点睛：本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．21．（5，﹣22）【解析】【分析】利用配方法把二次函数y=x2-10x+3从一般式转化为顶点式，直接利用顶点式的特点求解．【详解】解：∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式. 22．（1）q=﹣3p﹣11；（2）详见解析；（3）y=x2﹣4x+1．【解析】【分析】（1）直接代入x=3即可；（2）由一元二次方程x2+px+q+2=0的一根为3可知该方程的△≥0，基于此证明x2+px+q=0的△＞0即可；（3）由韦达定理得到x1+x2﹣5x1x2+1=﹣p﹣5q+1=0，再结合（1）中结论即可求解.【详解】（1）解：把x=3代入得32+3p+q+2=0，∴q=﹣3p﹣11；（2）证明：∵一元二次方程x2+px+q+2=0的一根为3，∴p2﹣4q-8≥0，∴p2﹣4q≥8＞0，∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根，∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（3）解：∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，∴x1+x2=﹣p，x1x2=q，∵x1+x2﹣5x1x2+1=0，∴﹣p﹣5q+1=0，由（1）得q=﹣3p﹣11，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+1．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系.23．（1）y=x２+2x-3；（2）点 P 的坐标为（-1，-2）；（3）点 Q 的坐标为（-1+7，3），（-1-7，3），（0，-3）或（-2，-3）．【解析】【分析】（1）根据题目中点A 和点C 的坐标可以求得该抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象具有对称性和两点之间线段最短可以求得点P 的坐标；（3）根据（1）中求得的函数解析式可以求得点B 的坐标，然后根据△ABQ 的面积为6，可以求得点Q 的纵坐标的绝对值，然后根据点Q 在抛物线上，即可求得点Q 的坐标．【详解】（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0）和点C（0，-3），∴930 {3b cc-+=-＝，得2{3 bc=-＝，即抛物线的解析式为y=x2+2x-3；（2）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3=（x+1）2-4，如图：∴该抛物线的对称轴为直线x=-1，∵点P 为抛物线的对称轴上的一动点，点A 和点B 关于直线x=-1对称，∴点P 到点A 的距离等于点P 到点B 的距离，∵两点之间线段最短，∴连接点A 和点C 与直线x=-1的交点就是使得PB+PC 最小时的点P ，设过点A （-3，0）和点C （0，-3）的直线解析式为y=kx+m ，30{3k m m -+=-＝，得1{3k m -=-＝， 即直线AC 的函数解析式为y=-x-3，当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，即点P 的坐标为（-1，-2）；（3）∵抛物线解析式为y=x 2+2x-3，当y=0时，x=-3或x=1，∴点B 的坐标为（1，0），∵点A 的坐标为（-3，0），∴AB=1-（-3）=4，∵抛物线上有一动点Q ，使△ABQ 的面积为6，∴设点Q 的纵坐标的绝对值为：624⨯=3，当点Q 的纵坐标为3时，则3=x 2+2x-3，得x 1，x 2，当点Q 的纵坐标为-3时，则-3=x 2+2x-3，得x 3=0或x 4=-2，∴点Q 的坐标为（，3），（，3），（0，-3）或（-2，-3）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 24．（1） x 1=0， x 2=4；（2） x 1=4，x 2=-1；（3） 抛物线对称轴为x=1，顶点坐标为（1，52）. 【解析】试题分析：（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用顶点坐标公式求解．试题解析：（1）原方程可化为x 2-4x=0，因式分解可得x （x-4）=0，∴x=0或x-4=0，∴x 1=0，x 2=4；（2）因式分解可得（x-4）（x+1）=0，∴x-4=0或x+1=0，∴x 1=4，x 2=-1；（3）在y=12x 2-x+3中， ∵a=12＞0， ∴抛物线开口向上，∵-2b a =-1122-⨯=1，22143(1)45214242ac b a ⨯⨯---==⨯， ∴抛物线对称轴为x=1，顶点坐标为（1，52）． 25．（1）239y x =-+；（2）x>0 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数y 随x 的增大而增大．试题解析：（1）把点（-2，-3）和点（1，6）代入y=ax 2+b 得436a b a b +-⎧⎨+⎩＝＝, 解得39a b -⎧⎨⎩＝＝, 所以这个函数的关系式为y=-3x 2+9；（2）∵这个函数的关系式为y=-3x 2+9；∴对称轴x=0，∵a=-3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．26．抛物线为y＝x2－4x＋8或y＝－x2＋4x.【解析】【分析】根据题意得出a的值和顶点坐标，从而可求出解析式. 【详解】∵抛物线的形状与y＝x2相同，∴a＝±1.又∵抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点在y＝12x＋3上，∴顶点为(2，4)．∴所求抛物线为y＝±(x－2)2＋4，即y＝x2－4x＋8或y＝－x2＋4x.【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，解答此题的关键是根据题意得出a的值和顶点坐标，进而得出抛物线的解析式．27．(1)B,(2)对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；(3) x=1．【解析】【分析】（1）依据函数解析式，可得当x≤-1时，x≤1x；当-1＜x＜0时，x＞1x；当0＜x＜1时，x≤1x；当x≥1时，x＞1x；进而得到函数y=min{x，1x}的图象；（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=1，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．【详解】（1）当x≤﹣1时，x≤1x；当﹣1＜x＜0时，x＞1x；当0＜x＜1时，x≤1x；当x≥1时，x＞1x；∴函数y=min{x，1x}的图象应该是故选B；（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：性质为：对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．故答案为对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=1．故答案为直线x=1．【点睛】本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．28．（1）y=x2﹣4x+3；（2）①0＜x3＜4，②m的值为1131721．【解析】【分析】（1）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c 求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣1），当直线l2经过点D时求得m=﹣1；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x1＞0，可得﹣1＜y3＜3，即可﹣1＜﹣x3+3＜3，所以0＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可. 【详解】（1）在y=﹣x+3中，令x=0，则y=3；令y=0，则x=3；得B（3，0），C（0，3），将点B（3，0），C（0，3）的坐标代入y=x2+bx+c得：，解得∴y=x2﹣4x+3；（2）∵直线l2平行于x轴，∴y1=y2=y3=m，①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点为D（2，﹣1），当直线l2经过点D时，m=﹣1；当直线l2经过点C时，m=3∵x2＞x1＞0，∴﹣1＜y3＜3，即﹣1＜﹣x3+3＜3，得0＜x3＜4，②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．∵x2＞x1＞0，∴x3﹣x2=x2﹣x1，即x3=2x2﹣x1，∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，∴点P、Q关于抛物线的对称轴l1对称，又抛物线的对称轴l1为x=2，∴2﹣x1=x2﹣2，即x1=4﹣x2，∴x3=3x2﹣4，将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）即x22﹣x2﹣4=0，解得x2=，（负值已舍去），∴m=（）2﹣4×+3=113172-如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．由上可得点P、Q关于直线l1对称，∴点N在抛物线的对称轴l1：x=2，又点N在直线y=﹣x+3上，∴y3=﹣2+3=1，即m=1．故m 11317-1．【点睛】本题是二次函数综合题，本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、线段的中点及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用；在（2）①注意利用数形结合思想；在（2）②注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。